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文檔簡(jiǎn)介
重慶八中2024—2025學(xué)年度(上)高二年級(jí)第一次月考
數(shù)學(xué)試題
一'選擇題:本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)備選項(xiàng)中,只有
一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.復(fù)數(shù)Z滿足z(2-i)=3+4i(i為虛數(shù)單位),貝小的值為()
A.1B.V5C.—D.5A/5
3
2.已知a,6是兩個(gè)不同的平面,/,機(jī)是兩條不同的直線,下列說(shuō)法正確的是()
A.若a///,Iua,ma/3,則〃/加B.若/ua,貝
C.若/_Lcz,aV/3,則〃//D.若/〃a,mVa,貝
3.“直線ax-(a+6)y+8=0與3x-ay+a-5=0平行”是“。=6”的()條件
A.充分不必要B.必要不充分
C.充分必要D.既不充分也不必要
4.已知兩個(gè)單位向量,,1的夾角為120。,則(1+2項(xiàng)?修-1)=()
35
A.-B.3C.-D.5
22
5.圓%?+>2+2加工+4町+6=0關(guān)于直線m%+>+3=。對(duì)稱(chēng),則實(shí)數(shù)加=()
A.1B.-3C.1或-3D.-1或3
6.直線/:%+島-6=0與圓C:(x+2)2+(y-1)2=2交于A,5兩點(diǎn),則直線ZC與直線的傾斜角之
和為()
A.120°B.145°C.165°D.210°
已知,若加cos]:一夕]=cos]:+6
7.tan28=(,,則實(shí)數(shù)加的值為()
1
3.—C.
2
8.已知圓C:(x-2)2+(y+l)2=5及直線/:(〃z+2)x+(?7-l)y-加-8=0,下列說(shuō)法正確的是()
A.圓C被無(wú)軸截得的弦長(zhǎng)為2
B.直線/過(guò)定點(diǎn)(3,2)
C.直線/被圓C截得的弦長(zhǎng)存在最大值,此時(shí)直線/的方程為x+y-l=0
D.直線/被圓C截得的弦長(zhǎng)存在最小值,此時(shí)直線/的方程為x-y-5=0
二、選擇題:本大題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)
9.在邊長(zhǎng)為2的正方形A8CZ)中,E,尸分別為BC,CO的中點(diǎn),貝!|()
一1一
A.AB-AD=2EF
B.AE-AF=4
C.AE+AF=+AD^
1-
D.ZE在同上的投影向量為弓/E
10.如圖,直三棱柱48C-4耳。所有棱長(zhǎng)均為4,D,E,F,G分別在棱44,4G,48,/C上,(不
與端點(diǎn)重合)^.AlD=AlE=BF^CG,H,P分別為3C,4〃中點(diǎn),貝U()
A.4G//平面尸尸G
B.過(guò)。,F(xiàn),G三點(diǎn)的平面截三棱柱所得截面一定為等腰梯形
C.M在△44G內(nèi)部(含邊界),ZAXAM^,則M到棱距離的最小值為二百
63
D.若M,N分別是平面4和4/CG內(nèi)的動(dòng)點(diǎn),則△跖VP周長(zhǎng)的最小值為3
11.已知圓G:f+y2=1和圓。2:(》-機(jī))2+(了-2"?)2=4,點(diǎn)。是圓上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)。作圓G的
兩條切線,切點(diǎn)分別為G,H,則下列說(shuō)法正確的是()
A.當(dāng)機(jī)旬0,時(shí),圓G和圓G沒(méi)有公切線
B.當(dāng)圓G和圓G有三條公切線時(shí),其公切線的傾斜角的和為定值
(2R3
C.圓。與x軸交于M,N,若圓&上存在點(diǎn)尸,使得則機(jī)e七,當(dāng)
D.圓。和Q外離時(shí),若存在點(diǎn)。,使四邊形0GG8面積為2亞,貝IJme](,石]
三、填空題:本大題共3小題,每小題5分,共15分.把答案填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置上.
12.將函數(shù)y=cos14x-E1的圖象向右平移。個(gè)單位長(zhǎng)度后,所得函數(shù)為奇函數(shù),則。=—.
13.已知點(diǎn)P(3,0)在直線/上,且點(diǎn)尸恰好是直線/夾在兩條直線4:2x-v-2=0與/2:x+y+3=0之間線
-2-
段的一個(gè)三等分點(diǎn),則直線/的方程為.(寫(xiě)出一條即可)
14.臺(tái)風(fēng)“摩羯”于2024年9月1日晚在菲律賓以東洋面上生成.據(jù)監(jiān)測(cè),“摩羯”臺(tái)風(fēng)中心位于某海濱城市
O(如圖)的東偏南。[cos。=;]方向350km的海面尸處,并以20km/h的速度向西偏北60。方向移動(dòng),臺(tái)
風(fēng)侵襲的范圍為圓形區(qū)域,當(dāng)前半徑為130km,并以10km/h的速度不斷增大,小時(shí)后,該海濱
城市開(kāi)始受到臺(tái)風(fēng)侵襲.
四、解答題:本題共5小題,共77分、解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明'證明過(guò)程或演算步濠.
2兀
15.(13)在△NBC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為“,b,c,己知。=4,c=~>。為48邊上一
點(diǎn).
(1)若。為的中點(diǎn),且CZ)=百,求
(2)若平分NNC8,且A/BC的面積為2?,求。的長(zhǎng).
16.(15)如圖,在正三棱柱48C-481cl中,CA=6,E為棱/C的中點(diǎn),尸為BC邊上靠近8的三等分
點(diǎn),且P3-8G.
(1)證明:。四//平面£34;
(2)求平面/3可4與平面BEG夾角的余弦值.
(1)圖(2)圖
—3—
17.(15)圓心為C的圓經(jīng)過(guò)2(0,3),B(2,l)兩點(diǎn),且圓心C在直線/:3x-2y=0上.
(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過(guò)點(diǎn)M(l,2)作圓C的相互重直的兩條弦。/,EG,求四邊形。EFG的面積的最大值與最小值.
18.(17)如圖、三棱錐尸一/8C中,P/_L平面/3C,。為的中點(diǎn),AC±BC,0c=1,PA=4.
(1)證明:面/C尸_1面8cP;
4
(2)若點(diǎn)A到面的距離為h,證明:OC.LAB;
(3)求OP與面尸所成角的正弦值的取值范圍.
—4—
2
19.(17)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知圓C:X+/-2X-2V3J-12=0,MX,是圓C上的動(dòng)點(diǎn),
且“M|=4后,MM的中點(diǎn)為V.
(1)求點(diǎn)M的軌跡方程;
(2)設(shè)點(diǎn)4是直線/:岳-y+46=0上的動(dòng)點(diǎn),AP,4。是W的軌跡的兩條切線,P,。為切點(diǎn),求
四邊形NPC。面積的最小值;
(3)若垂直于N軸的直線4過(guò)點(diǎn)C且與M的軌跡交于點(diǎn)。,E,點(diǎn)N為直線x=-3上的動(dòng)點(diǎn),直線ND,
A?與"的軌跡的另一個(gè)交點(diǎn)分別為尸,G(尸G與DE不重合),求證:直線FG過(guò)定點(diǎn).
——5——
重慶八中2024—2025學(xué)年度(上)高二年級(jí)第一次月考
數(shù)學(xué)答案
1.B
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求z,再結(jié)合共輾復(fù)數(shù)以及模長(zhǎng)公式運(yùn)算求解.
【詳解】因?yàn)閦(2-i)=3+4i,則z=曰=39
2-1J+(2-'1I)(f2++1?)55
2.D
【分析】根據(jù)空間中直線與平面,以及平面與平面的關(guān)系,即可結(jié)合選項(xiàng)逐一求解.
【詳解】對(duì)于A,若e//£,/ua,muB,則〃/加或者/,加異面,故A錯(cuò)誤,
對(duì)于B,若a,尸,/ucz,且/與a,尸的交線垂直,才有/,萬(wàn),否則/與月不一定垂直,故B錯(cuò)誤,
對(duì)于C,若/La,aV13,則〃//7或者/u",故C錯(cuò)誤,
對(duì)于D,若/〃a,mLa,貝!!/_!.〃?,D正確,
故選:D
3.C
【分析】根據(jù)兩直線平行求出參數(shù)的值,即可判斷.
【詳解】若直線ax-(a+6)y+8=0與3x-ay+a—5=0平行,
貝!J—。一=—3(a+6),解得a=—3或a=6,
當(dāng)。=-3時(shí)直線-3x-3y+8=0與3x+3y-8=0重合,故舍去;
當(dāng)。=6時(shí)直線6x-12y+8=0與3x-6y+l=0平行,符合題意;
所以。=6.
所以“直線ax-(<7+6)y+8=0.!g3x-ay+a-5=0平行”是“a=6”的充分必要條件.
故選:C
4.A
【分析】首先根據(jù)數(shù)量積的定義求出小3,再由數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算可得.
【詳解】因?yàn)閮蓚€(gè)單位向量耳,1的夾角為120。,
所以q.%=卜小卜21cos120°=Ixlx
2
一6一
所以,i+24),(02_q)=6.g-q+2g—2,.4=—F+2xF=5.
故選:A
5.B
【分析】求出圓心坐標(biāo),代入直線方程即可求解.
【詳解】x2+y2+2mx+Amy+6=0的圓心坐標(biāo)為(-私-2間,
因?yàn)閳A/+j?+2mx+Amy+6=0關(guān)于直線mx+y+3=0對(duì)稱(chēng),
所以圓心在直線見(jiàn)+歹+3=0上,也即—加2_2加+3=0,
解得:加二一3或加=1.
當(dāng)機(jī)=一3時(shí),可得:x2+y2-6x-12y+6=0,符合圓的方程;
當(dāng)加=1時(shí),可得:*+/+2x+4y+6=0,配方可得:(x+1)2+(j/+2)2=-1<0,舍去.
故選:B
6.A
【分析】聯(lián)立方程,設(shè)Z(%i,yi),以孫,2)(0>西〉-2>馬),設(shè)直線4C與直線的傾斜角分別為%夕,
分別求出兩直線的斜率,即tana,tan,,再求出tan(a+0即可.
【詳解】圓C:(x+2)2+(y—Ip=2的圓心為C(―2,1),
x+V3y-V3=0
由</、2,、2,消去)整理得2/+6%+3=0,
(x+2)+(y-1)=2
3
設(shè)yj,B(%2,丫2)(°>再>-2>%2),又A=62-4x2x3=12>0?所以再+/=—3,再/=~
設(shè)直線ZC與直線的傾斜角分別為%尸,顯然見(jiàn)尸均不等于90°,
V3V3
X1
所以tana=kAC=必TT?%一1
>0tan°=kBC=—<0'
M+2x1+2x2+2x2+2
所以0。<a<90°,90°</7<180°,則90。<。+/<270。,
二再一三M
所以tan(a+0=「嗎演+2x2+2
1-tanatanpV36
丁再一十%2
1------、X—、——
國(guó)+2%+2
2X1X2+2(項(xiàng)+%)2再%2+2(%+%)
y/3(X1+2)(%2+2)V3再吃+2(再+、2)+4
xxxx
31--.x231」x2
3(%1+2)(X2+2)3xxx2+2+x2)+4
-7-
3
2x1+2x(-3)
-3
△x]+2X(-3)+4
■=-V3,
33
2
l--x3
3)+2x(-3)+4
所以a+/7=120。,即直線NC與直線8c的傾斜角之和為120°.
7.C
【分析】根據(jù)余弦和差公式化簡(jiǎn)得到tanO==,由正切二倍角公式和得到tan。二,從而得到
m+1<4J2
方程,求出實(shí)數(shù)加的值.
[詳解】因?yàn)榧觕os[:_e)=cos[:+e),
Elf^2V2?
貝U加——cos6+——sin?!猚os。----sin。即m(cos0+sin0)=cos-sin0,
I22)22
整理可得(1+加)sin8=(1-加)cos。,即tan6=^~——,
m+1
又因?yàn)閠an2。=2tan,上故2tad0+3tan。-2=0,解得tan6=-2或
1-tai?。32
且日£[。,:],則tan9>0,可得tan6=;,
即1解—W7得1用=1;.
m+l23
故選:C.
8.D
【分析】根據(jù)圓方程求得圓C與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)可得弦長(zhǎng)為4,即A錯(cuò)誤,將直線/整理可得其恒過(guò)定點(diǎn)
M(3,-2),即B錯(cuò)誤,又圓心C(2,-l)不在直線/上,可得直線/被圓C截得的弦長(zhǎng)不存在最大值,即C
錯(cuò)誤;當(dāng)CM,/時(shí),直線/被圓C截得的弦長(zhǎng)存在最小值,此時(shí)直線/的方程為-5=0,即D正確.
【詳解】對(duì)于A,由圓C方程可得圓C與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0)和(4,0),
因此圓C被x軸截得的弦長(zhǎng)為4,即A錯(cuò)誤;
對(duì)于B,將直線/:(加+2)x+(加一l)y-機(jī)一8=0整理可得(x+y-1)機(jī)+2尤一y-8=0;
—8—
x+y-l=0x=3
由2二一8二0,解得
y=-2'
所以無(wú)論機(jī)為何值時(shí),直線/恒過(guò)定點(diǎn)m(3,-2),即B錯(cuò)誤;
對(duì)于C,易知圓C:(x-2)2+(y+l)2=5是以C(2,-l)為圓心,半徑升=石,
易知圓心C(2,-l)不在直線/上,又直線/被圓C截得的弦長(zhǎng)的最大值為直徑,
所以可得直線/被圓C截得的弦長(zhǎng)不存在最大值,可得C錯(cuò)誤;
對(duì)于D,設(shè)直線/與圓C交于點(diǎn)45,圓心C到直線/的距離為",
則弦長(zhǎng)=23-/=2,5-屋,
由直線/恒過(guò)定點(diǎn)M(3,-2)可得圓心C到直線/的距離d有最大值為dmm=CM=42一3)2+(-1+2)2=行,
此時(shí)直線/被圓C截得的弦長(zhǎng)存在最小值,滿足酸,46,如下圖所示;
此時(shí)直線/的斜率為1,其方程為y+2=x-3,即,可得D正確;
故選:D
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:本題關(guān)鍵在于判斷出不管加取何值時(shí)直線/都不過(guò)圓心,即取不得弦長(zhǎng)的最大值(圓
的直徑),可得出結(jié)論.
9.BC
【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積的運(yùn)算律分別計(jì)算即可.
【詳解】
對(duì)于A,EF=EC+CF=-AD--AB,
22
所以石-萬(wàn)=2萬(wàn),故A錯(cuò)誤;
9
對(duì)于B,萬(wàn)?施=+:方)(;而+方)
1---->21--->25----?---?
=-AD+-AB+-AD-AB=2+2-K)=4,故B正確;
224
對(duì)于C,萬(wàn)+元=(而+而)+(益+而)
="+|■同+Q■詼+回=:(石+硝,故C正確;
對(duì)于D,因?yàn)镋中點(diǎn),由圖可知樂(lè)在而上的投影向量為,故D錯(cuò)誤.
故選:BC.
10.ACD
【分析】由直三棱柱性質(zhì)以及線面平行判定定理可判斷A正確,易知當(dāng)2E,尸,G分別為棱44,4G,/8,
/C的中點(diǎn)時(shí)截面為EDFG為矩形,即B錯(cuò)誤;易知點(diǎn)M的軌跡是以4為圓心,4"=逑為半徑的圓在
3
△4片G內(nèi)的部分,可判斷c正確,作出點(diǎn)P關(guān)于平面4/8耳和//CG的對(duì)稱(chēng)點(diǎn),再利用余弦定理可得D
正確.
【詳解】對(duì)于A,如下圖所示:
由8尸=CG可得bG//BC,由三棱柱性質(zhì)可得3C//用0,因此可得FG//BlCl,
因?yàn)槭珿u平面尸尸G,用0。平面尸尸6,
所以呂G〃平面尸尸G,即可知A正確;
對(duì)于B,由4。=4£可知,結(jié)合A選項(xiàng)可知DE〃bG,
當(dāng)D,E,尸,G分別為棱44,4G,/3,/C的中點(diǎn)時(shí),滿足DE=bG,如下圖所示:
10
結(jié)合直棱柱性質(zhì)可知,此時(shí)過(guò)。,F(xiàn),G三點(diǎn)的平面截三棱柱所得截面為EDFG,為矩形;即B錯(cuò)誤;
對(duì)于C,易知又/%//=—,
6
所以在直角三角形和也中,tan/&4M=4N=tan==*,可得/附=延;
4工633
因此可得w的軌跡是以4為圓心,4M=迪為半徑的圓在△4gG內(nèi)的部分,即圓弧"1河2;如下圖所
3
又△44G是邊長(zhǎng)為4的正三角形,取乜為BC的中點(diǎn),所以4到3c的距離為2退,
因此可得當(dāng)M為圓弧MAG的中點(diǎn)時(shí),M到棱用G距離的最小值為26君=^6,即C正確;
對(duì)于D,取尸點(diǎn)關(guān)于平面和A.ACQ的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別為用鳥(niǎo),
連接耳心與平面4/8g和//CG的交點(diǎn)分別為M,N時(shí),△跖VP周長(zhǎng)的最小,如下圖所示:
易知PR=PP]=也,/4隼=120。,
11
由余弦定理可得Ptp2=yjPFf+PF^-2PPX-P^cos12(T=.3+3-2x3{—j寸9=2,
因此△跖VP周長(zhǎng)的最小值為MV+MP+NPn/W3,即D正確.
故選:ACD
11.ABD
【分析】對(duì)于A:根據(jù)題分析可知圓q和圓G內(nèi)含,即可得結(jié)果;對(duì)于B:根據(jù)題意可知兩圓外切,進(jìn)列
式求得機(jī)得值即可分析判斷;對(duì)于C:根據(jù)題意分析可知圓q與圓C,相交,列式求解即可;對(duì)于D:根
據(jù)兩圓外離解得機(jī)〉手,根據(jù)面積關(guān)系可得|0G|=3,即可得班機(jī)-2w|0CjvN+2,運(yùn)算求解即可
【詳解】由題意可知:圓。的圓心為G(0,0),半徑。=1,圓G的圓心為G("2"),半徑2=2,
可得|CG|=V^加,
對(duì)于選項(xiàng)A:若機(jī)e0,咚),則CCzl=后山<1=々一4,
可知圓£和圓G內(nèi)含,所以圓。和圓G沒(méi)有公切線,故A正確;
對(duì)于選項(xiàng)B:若圓。和圓G有三條公切線,則兩圓外切,
則|c?r+4,即行加=3,可得加=竽,
此時(shí)兩圓是確定的,則公切線方程也是確定的,
所以公切線的傾斜角的和為定值,故B正確;
對(duì)于選項(xiàng)C:若NMPN*,則點(diǎn)尸的軌跡方程為圓弓:/+/=1,
由此可知:圓C?存在點(diǎn)尸在圓C]內(nèi),且4<4,
可知圓G與圓G相交,可得弓-q<卜夕2|<。+々,Bp1<y/5m<3,
解得好<機(jī)<述,故C錯(cuò)誤;
55
對(duì)于選項(xiàng)D:若圓G和G外離,可得|£。2|>4+々,即右m>3,解得加>手,
2
因?yàn)樗倪呅?GG"面積SpGG”=2SMGG=2x(r-|0。=7|eq|-f小時(shí)7=6解得=3,
又因?yàn)閨CC|一%W|QG14|CG|+弓,即鬲一24|QG歸鬲+2,
ARL
W*V5m-2<3<V5m+2,解得一^―<加故D正確;
故選:ABD.
12-
7L_d兀
12.一或一
123
【分析】首先求出平移后的解析式,再根據(jù)誘導(dǎo)公式計(jì)算可得.
【詳解】將函數(shù)v=cos4x-弓的圖象向右平移。個(gè)單位長(zhǎng)度得到y(tǒng)=cos4(%-媚-弓=cosl4x-4^-^-1,
又丁=cos"-40-m|為奇函數(shù),所以一4。-女=火+左兀(左€Z),
\6/6262
解得。=-.一號(hào)住eZ),又所以。或。=;.
故答案為:.
13.2卜一6v一63=0或10%+>—30=0(其中一條即可)
【分析】設(shè)直線/夾在直線4、4之間的部分是且43被P(3,o)三等分,設(shè)4支1,為),S(x2,y2),依題
2_X]+2X2_2xl+x2
\—3—
1+2+2
意可得或“J,再結(jié)合A、8分別在直線八4上,求出A、5坐標(biāo),即可求出直線/
0=止2%0=2%+%
1+21+2
的方程.
【詳解】設(shè)直線/夾在直線4、4之間的部分是NB,且被尸(3,0)三等分,
AP1
PB2
又A、8分別在直線4、4上,所以2尤1-乂-2=0,x2+v2+3=0,
175811
石二一
T33T
解得或<
28141020
%—%二5
1728'哈蘭或,81020
所以/5
3335T,T3
—13—
14282010
則直線/的方程為y_曰=33卜一?或:《tn
3£__I3J3££_oI3)
3-TT-3
整理得21x—6>—63=0或10x+y—30=0.
故答案為:21x—6〉-63=0或10x+y-30=0(其中一條即可)
14.8
【分析】設(shè)在,小時(shí)后,該海濱城市開(kāi)始受到臺(tái)風(fēng)侵襲,此時(shí)臺(tái)風(fēng)中心位于點(diǎn)Q,利用兩家和差公式求得
13
cosZOPQ=—,在結(jié)合余弦定理運(yùn)算求解即可.
14
【詳解】設(shè)在/小時(shí)后,該海濱城市開(kāi)始受到臺(tái)風(fēng)侵襲,此時(shí)臺(tái)風(fēng)中心位于點(diǎn)。,
則。0=13O+1O/,OP=35O,P0=2O/,且/0月0=。—60。,
因?yàn)閏os。=e,則sin6=Jl-cos?6,
可得cos/OPQ=cos(0-60°)=cos0cos60°+sin0sin6O°=—x—+x=12,
v'727214
在△。尸。中,由余弦定理可得002=尸02+。吠-2尸0,0尸8$/。尸0,
,,[3
BP(130+10?)=(20/)+3502-2x20Zx350x—,
整理可得〃一52/+352=0,解得f=8或/=44,
故8小時(shí)后該海濱城市開(kāi)始受到臺(tái)風(fēng)侵襲.
故答案為:8.
15.(1)277
4
⑵3
【分析】(1)依題意可得而="£?+荏),將兩邊平方,由數(shù)量積的運(yùn)算律求出6,再由余弦定理計(jì)算
可得;
JT
(2)由CD平分//C8,則N/CD=4BCD=],由邑公。+邑比。=S/虛,利用三角形的面積公式可求得。,
CD.
14—
【詳解】(1)在△N8C中,a=4,C=y
因?yàn)椤榈闹悬c(diǎn),所以詼=g(襦+荏),
兩邊平方得比2=^CA+CB1+X^A-CB^,
貝l]3=;/+16+2x4x6xcos及,解得b=2,
由余弦定理/=/+/—2a6cosc=42+22-2x4x2x[-g)=28,
所以c=2j7.
JT
(2)因?yàn)镃O平分/4CB,所以/4CD=/BCD=—,
3
又S“c°+SABCD=S&ABC,
即LzCOsinN4C7)+L5COsin/BCZ)」/COsinNZC5
222
1jr1jr127ri-
所以一xCDxftxsin—+—x4xCDxsin—=一x4x6xsin——=2V3,
232323
4
解得6=2,CD=-.
【分析】(1)利用三角形的中位線得線線平行,即可根據(jù)線面平行的判定求證,
(2)建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量垂直可得三棱柱的高,即可利用法向量的夾角求解.
【詳解】(1)如圖,連接B4cB/=。,連接OE,
則。為/用的中點(diǎn),又E為/C的中點(diǎn),
CBX//OE,又C3|C平面EB4,OEu平面EB4,
15
,。4//平面£網(wǎng);
(2)取NB中點(diǎn),設(shè)三棱柱的高為。,以〃■為原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
(aha)
則“(0,0,0),3(0,-3,0)0(3痣0,0)/9,3,0)尸區(qū)一2,0月46),0能*-3^聲-^-,-,0,
I22J
國(guó)=2,-1,a),咽=(3孤36),
由于尸名,8。,故珂?鷗=卜石,一1,.)(36,3,“)=-9-3+.2=0,解得°=2有,(負(fù)值舍去),
設(shè)平面8EG的法向量為萬(wàn)=(x,y,z),
元屈=3瓜+3了+2昌=0
取了=_i,得河=(G,-i,-V5),
則―?3G9
n-BE=—x+-y=0
22
而平面的一個(gè)法向量為歷=(i,o,o),
m^n_V3_V21
則cosin,n=
同同V77
故平面與平面時(shí)夾角的余弦值為寧
17.(l)(x-2)2+(y-3)2=4
(2)四邊形DENG的面積的最大值為6,最小值為4友
【分析】(1)設(shè)C(2人,3斤),根據(jù)圓的定義解得人=1,即可得圓心和半徑,即可方程;
(2)設(shè)弦。尸,EG的中點(diǎn)分別為弦尸,。,|CP|=a,|C0|=6,可得62=2-6[0,回,利用垂徑定理
求|DF|,|EG|,進(jìn)而求面積并結(jié)合二次函數(shù)求最值.
【詳解】(1)因?yàn)閳A心C在直線/:3x-2y=0,設(shè)C(2幺3左),
——16——
由題意可知:|C/|=|C8|,即濃+(3后-3『=J(2"2y+(3I)2,解得左=1,
即圓心C(2,3),半徑r=|C4|=2,
所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(尤-2)2+(y-3『=4.
(2)因?yàn)镼卜J(2_iy+(3_2)2=6<r,可知點(diǎn)M在圓C內(nèi),
設(shè)弦。/,EG的中點(diǎn)分別為弦尸,。,|CP卜",|CQ|=b,
由題意可知:CPMQ為矩形,貝IJ|CP「+|CQ『=|CM『,
即/+/=2,可得62=2-/,0平,五],
且\DF\=2^r2-a2=2^4-a2,\EG\=2』尸-b?=2^4-(2-a2)=2^a2+2,
XA2
則四邊形DEFG的面積SDEFG=||DF|-|£G|=|2/4-ax2址+2=2J--爐+9,
且何0,間,即/e[0,2],
當(dāng)/=1,即。=1時(shí),%EFG取到最大值6;
當(dāng)02=0或/=2,即0=0或”=及時(shí),取到最小值40;
所以四邊形DEFG的面積的最大值為6,最小值為4拒.
18.(1)證明見(jiàn)解析
(2)證明見(jiàn)解析
【分析】(1)由條件先證明3CL平面尸/C,即可求證;
(2)設(shè)NC=x,8C=y,通過(guò)直角三角形PNC的面積構(gòu)造等式,說(shuō)明》=了,即可求證;
(3)確定。到平面尸的距離,再結(jié)合線面角正弦值的計(jì)算公式即可求解.
【詳解】(1)因?yàn)镽4_L平面43C,BC在平面48c內(nèi),
17
所以又/CL8C,為平面尸/C內(nèi)兩條相交之間,
所以8C_L平面尸/C,又2C在平面3c尸內(nèi),
所以面/3,面8cp.
(2)
因?yàn)?。?8的中點(diǎn),AC1BC,OC=\,
所以/8=2,。/=。8=1,設(shè)NC=x,8C=y,所以/+y=4,
由(1)知,BC1PC,PALAB,PAIAC,
22
所以為=PA+AB=20,
所以尸C2=尸82-8C2=20-/,所以PC=j20-/,
所以在直角三角形尸/C中,由面積可得:4x=gj20_j?,結(jié)合/+產(chǎn)=4,
解得:x2=y2=2,也即/C=BC,
所以O(shè)C_L/B.
(3)
因?yàn)?8=2,OP=V17設(shè)/C=x,3C=y,所以/+y=4,其中0<x<2
止匕時(shí)PC2=PB2-BO?=20-/,所以尸。=120-y2,
過(guò)A向尸C作垂線,垂足為。,設(shè)
所以4x=hy/20—y2,
4x4x
所以仁亞寧=而;
x2
18
由(1)可知,/D_L面尸8C,
因?yàn)?。為的中點(diǎn),所以O(shè)到面尸8c的距離為
2
設(shè)OP與面尸Be所成角為e,
2舊
所以5也6=言=2x
V1
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