專題09 一次函數(shù)【考點精講】（解析版）

專題09一次函數(shù)1．一次函數(shù)與正比例函數(shù)的定義如果y=kx+b(k≠0)，那么y叫x的一次函數(shù)，當b=0時，一次函數(shù)y=kx也叫正比例函數(shù).正比例函數(shù)是一次函數(shù)的特例，具有一次函數(shù)的性質(zhì).2．一次函數(shù)與正比例函數(shù)的關(guān)系一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖象是過點(0,b)與直線y=kx平行的一條直線。它可以由直線y=kx平移得到.它與x軸的交點為，與y軸的交點為(0,b).3．一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)函數(shù)系數(shù)取值大致圖象經(jīng)過的象限函數(shù)性質(zhì)y=kx(k≠0)k>0一、三y隨x增大而增大k<0二、四y隨x增大而減小y=kx+b(k≠0)k>0b>0一、二、三y隨x增大而增大k>0b<0一、三、四k<0b>0一、二、四y隨x增大而減小k<0b<0二、三、四4．確定一次函數(shù)表達式用待定系數(shù)法求一次函數(shù)表達式的一般步驟:（1）由題意設(shè)出函數(shù)的關(guān)系式;（2）根據(jù)圖象所過的已知點或函數(shù)滿足的自變量與因變量的對應值列出關(guān)于待定系數(shù)的方程組;（3）解關(guān)于待定系數(shù)的方程或方程組，求出待定系數(shù)的值;（4）將求出的待定系數(shù)代回到原來設(shè)的函數(shù)關(guān)系式中即可求出.【考點1】一次函數(shù)圖象與性質(zhì)【例1】（一次函數(shù)圖像）（2022·安徽）在同一平面直角坐標系中，一次函數(shù)與的圖像可能是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】分為和兩種情況，利用一次函數(shù)圖像的性質(zhì)進行判斷即可．【詳解】解：當時，兩個函數(shù)的函數(shù)值：，即兩個圖像都過點，故選項A、C不符合題意；當時，，一次函數(shù)經(jīng)過一、二、三象限，一次函數(shù)經(jīng)過一、二、三象限，都與軸正半軸有交點，故選項B不符合題意；當時，，一次函數(shù)經(jīng)過一、二、四象限，與軸正半軸有交點，一次函數(shù)經(jīng)過一、三、四象限，與軸負半軸有交點，故選項D符合題意．故選：D．【例2】（一次函數(shù)圖像性質(zhì)）（2021·遼寧營口市·中考真題）已知一次函數(shù)過點，則下列結(jié)論正確的是（）A．y隨x增大而增大 B．C．直線過點 D．與坐標軸圍成的三角形面積為2【分析】將點代入一次函數(shù)解析式，求出k的值，利用一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)逐一判斷即可．【詳解】解：∵一次函數(shù)過點，∴，解得，∴一次函數(shù)為，y隨x增大而減小，故A和B錯誤；當時，，故C正確；該一次函數(shù)與x軸交于點，與y軸交于點，∴與坐標軸圍成的三角形面積為，故D錯誤；故選：C．【例3】（一次函數(shù)圖像性質(zhì)）（2022·浙江紹興）已知為直線上的三個點，且，則以下判斷正確的是（

）．A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】D【分析】根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)和各個選項中的條件，可以判斷是否正確，從而可以解答本題．【詳解】解：∵直線y=?2x+3∴y隨x增大而減小，當y=0時，x=1.5∵(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)為直線y=?2x+3上的三個點，且x1<x2<x3∴若x1x2>0，則x1，x2同號，但不能確定y1y3的正負，故選項A不符合題意；若x1x3<0，則x1，x3異號，但不能確定y1y2的正負，故選項B不符合題意；若x2x3>0，則x2，x3同號，但不能確定y1y3的正負，故選項C不符合題意；若x2x3<0，則x2，x3異號，則x1，x2同時為負，故y1，y2同時為正，故y1y2>0，故選項D符合題意．故選：D．解答本考點的有關(guān)題目，關(guān)鍵在于掌握一次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系.注意以下要點：（1）當k＞0，b＞0時，函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過第一、二、三象限，y的值隨x的值增大而增大；（2）當k＞0，b＜0時，函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過第一、三、四象限，y的值隨x的值增大而增大；（3）當k＜0，b＞0時，函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，y的值隨x的值增大而減?。唬?）當k＜0，b＜0時，函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，y的值隨x的值增大而減小.1．（2022·四川涼山）一次函數(shù)y＝3x＋b（b≥0）的圖象一定不經(jīng)過（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)可得其經(jīng)過的象限，進而可得答案．【詳解】解：一次函數(shù)，∵∴圖象一定經(jīng)過一、三象限，∴當時，函數(shù)圖象一定經(jīng)過一、二、三象限，當時，函數(shù)圖象經(jīng)過一、三象限，∴函數(shù)圖象一定不經(jīng)過第四象限，故D正確．故選：D．2．（2022·內(nèi)蒙古包頭）在一次函數(shù)中，y的值隨x值的增大而增大，且，則點在（

）A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限【答案】B【分析】根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)求出a的范圍，再根據(jù)每個象限點的坐標特征判斷A點所處的象限即可．【詳解】∵在一次函數(shù)中，y的值隨x值的增大而增大，∴，即，又∵，∴，∴點在第三象限，故選：B3．（2020?杭州）在平面直角坐標系中，已知函數(shù)y＝ax+a（a≠0）的圖象過點P（1，2），則該函數(shù)的圖象可能是（）A． B． C． D．【分析】求得解析式即可判斷．【詳解】∵函數(shù)y＝ax+a（a≠0）的圖象過點P（1，2），∴2＝a+a，解得a＝1，∴y＝x+1，∴直線交y軸的正半軸，且過點（1，2），故選：A．4．（2021·江蘇連云港市·中考真題）關(guān)于某個函數(shù)表達式，甲、乙、丙三位同學都正確地說出了該函數(shù)的一個特征．甲：函數(shù)圖像經(jīng)過點；乙：函數(shù)圖像經(jīng)過第四象限；丙：當時，y隨x的增大而增大．則這個函數(shù)表達式可能是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)所給函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷即可．【詳解】解：A.對于，當x=-1時，y=1，故函數(shù)圖像經(jīng)過點；函數(shù)圖象經(jīng)過二、四象限；當時，y隨x的增大而減小．故選項A不符合題意；B.對于，當x=-1時，y=-1，故函數(shù)圖像不經(jīng)過點；函數(shù)圖象分布在一、三象限；當時，y隨x的增大而減小．故選項B不符合題意；C.對于，當x=-1時，y=1，故函數(shù)圖像經(jīng)過點；函數(shù)圖象分布在一、二象限；當時，y隨x的增大而增大．故選項C不符合題意；D.對于，當x=-1時，y=1，故函數(shù)圖像經(jīng)過點；函數(shù)圖象經(jīng)過二、四象限；當時，y隨x的增大而增大．故選項D符合題意；5．（2020?嘉興）一次函數(shù)y＝2x﹣1的圖象大致是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，判斷出k和b的符號即可解答．【詳解】由題意知，k＝2＞0，b＝﹣1＜0時，函數(shù)圖象經(jīng)過一、三、四象限．故選：B．6．（2022·天津）若一次函數(shù)（b是常數(shù)）的圖象經(jīng)過第一、二、三象限，則b的值可以是___________（寫出一個即可）．【答案】1（答案不唯一，滿足即可）【分析】根據(jù)一次函數(shù)經(jīng)過第一、二、三象限，可得，進而即可求解．【詳解】解：∵一次函數(shù)（b是常數(shù)）的圖象經(jīng)過第一、二、三象限，∴故答案為：1答案不唯一，滿足即可）7．（2022·甘肅武威）若一次函數(shù)y=kx?2的函數(shù)值y隨著自變量x值的增大而增大，則k=_________（寫出一個滿足條件的值）．【答案】2（答案不唯一）【分析】根據(jù)函數(shù)值y隨著自變量x值的增大而增大得到k＞0，寫出一個正數(shù)即可．【詳解】解：∵函數(shù)值y隨著自變量x值的增大而增大，∴k＞0，∴k=2（答案不唯一）．故答案為：2（答案不唯一）．【考點2】一次函數(shù)解析式的確定【例4】（2021·湖北恩施土家族苗族自治州·中考真題）某物體在力的作用下，沿力的方向移動的距離為，力對物體所做的功與的對應關(guān)系如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意及圖象可設(shè)該函數(shù)解析式為，然后把代入求解即可．【詳解】解：由題意及圖象可設(shè)該函數(shù)解析式為，則把代入得：，解得：，∴該函數(shù)解析式為；故選C．【例5】（2022·四川廣安）在平面直角坐標系中，將函數(shù)y=3x+2的圖象向下平移3個單位長度，所得的函數(shù)的解析式是（）A．y=3x+5 B．y=3x﹣5 C．y=3x+1 D．y=3x﹣1【答案】D【分析】根據(jù)“上加下減，左加右減”的平移規(guī)律即可求解．【詳解】解：將函數(shù)y=3x+2的圖象向下平移3個單位長度，所得的函數(shù)的解析式是y=3x﹣1,故選：D【例6】（2022·浙江麗水）因疫情防控需嬰，一輛貨車先從甲地出發(fā)運送防疫物資到乙地，稍后一輛轎車從甲地急送防疫專家到乙地．已知甲、乙兩地的路程是，貨車行駛時的速度是．兩車離甲地的路程與時間的函數(shù)圖象如圖．（1）求出a的值；（2）求轎車離甲地的路程與時間的函數(shù)表達式；（3）問轎車比貨車早多少時間到達乙地？【答案】(1)1.5(2)s=100t-150(3)1.2【分析】（1）根據(jù)貨車行駛的路程和速度求出a的值；（2）將（a，0）和（3，150）代入s=kt+b中，待定系數(shù)法解出k和b的值即可；（3）求出汽車和貨車到達乙地的時間，作差即可求得答案．(1)由圖中可知，貨車a小時走了90km，∴a=；(2)設(shè)轎車離甲地的路程與時間的函數(shù)表達式為s=kt+b，將（1.5，0）和（3，150）代入得，，解得，，∴轎車離甲地的路程與時間的函數(shù)表達式為s=100t-150；(3)將s=330代入s=100t-150，解得t=4.8，兩車相遇后，貨車還需繼續(xù)行駛：h，到達乙地一共：3+3=6h，6-4.8=1.2h，∴轎車比貨車早1.2h時間到達乙地．1．（2022·四川瀘州）如圖，在平面直角坐標系xOy中，矩形OABC的頂點B的坐標為(10，4)，四邊形ABEF是菱形，且tan∠ABE=．若直線l把矩形OABC和菱形ABEF組成的圖形的面積分成相等的兩部分，則直線l的解析式為（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】過點E作EG⊥AB于點G，利用三角函數(shù)求得EG=8，BG6，AG=4，再求得點E的坐標為(4，12)，根據(jù)題意，直線l經(jīng)過矩形OABC的對角線的交點H和菱形ABEF的對角線的交點D，根據(jù)中點坐標公式以及待定系數(shù)法即可求解．【詳解】解：過點E作EG⊥AB于點G，∵矩形OABC的頂點B的坐標為(10，4)，四邊形ABEF是菱形，∴AB=BE=10，點D的坐標為(0，4)，點C的坐標為(10，0)，在Rt△BEG中，tan∠ABE=，BE=10，∴sin∠ABE=，即，∴EG=8，BG=6，∴AG=4，∴點E的坐標為(4，12)，根據(jù)題意，直線l經(jīng)過矩形OABC的對角線的交點H和菱形ABEF的對角線的交點D，點H的坐標為(，)，點D的坐標為(，)，∴點H的坐標為(5，2)，點D的坐標為(2，8)，設(shè)直線l的解析式為y=kx+b，把(5，2)，(2，8)代入得，解得：，∴直線l的解析式為y=-2x+12，故選：D．2．（2021·內(nèi)蒙古呼和浩特市）在平面直角坐標系中，點，．以為一邊在第一象限作正方形，則對角線所在直線的解析式為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】過點作軸于點，先證明，再由全等三角形對應邊相等的性質(zhì)解得，最后由待定系數(shù)法求解即可．【詳解】解：正方形中，過點作軸于點，設(shè)直線所在的直線解析式為，代入，得，故選：A．3．（2022·黑龍江大慶）寫出一個過點且y隨x增大而減小的一次函數(shù)關(guān)系式_______．【答案】y=-x+1（答案不唯一）【分析】根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，k＜0時，函數(shù)值y隨自變量x的增大而減小，然后解答即可．【詳解】解：∵函數(shù)值y隨自變量x的增大而減小，∴設(shè)一次函數(shù)關(guān)系式為y=-x+b，把點（0，1）代入得，b=1，∴一次函數(shù)關(guān)系式為y=-x+1．故答案為：y=-x+1（答案不唯一）．4．（2022·湖北鄂州）在“看圖說故事”話動中，某學習小組設(shè)計了一個問題情境：小明從家跑步去體育場，在那里鍛煉了一陣后又走到文具店買圓規(guī)，然后散步走回家．小明離家的距離y（km）與他所用的時間x（min）的關(guān)系如圖所示：（1）小明家離體育場的距離為km，小明跑步的平均速度為km/min；（2）當15≤x≤45時，請直接寫出y關(guān)于x的函數(shù)表達式；（3）當小明離家2km時，求他離開家所用的時間．【答案】(1)2.5；；(2)(3)當小明離家2km時，他離開家所用的時間為12min或37.5min【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖象結(jié)合路程=時間×速度進行求解即可；（2）分當時和當時兩種情況討論求解即可；（3）分當小明處在去體育館的途中離家2km時，當小明從體育館去商店途中離家2kn時兩種情況討論求解即可．【解析】(1)解：由函數(shù)圖象可知小明在離家15分鐘時到底體育館，此時離家的距離為2.5km，∴小明家離體育館的距離為2.5km，小明跑步的平均速度為，故答案為：2.5；；(2)解：由函數(shù)圖象可知當時，，當時，此時y是關(guān)于x一次函數(shù)，設(shè)，∴，解得，∴此時，綜上所述，(3)解：當小明處在去體育館的途中離家2km時，；當小明從體育館去商店途中離家2km時，∴，解得；綜上所述，當小明離家2km時，他離開家所用的時間為12min或37.5min．【考點3】一次函數(shù)與方程、不等式的關(guān)系【例7】（一次函數(shù)與方程）（2022·浙江杭州）已知一次函數(shù)y=3x-1與y=kx（k是常數(shù)，k≠0）的圖象的交點坐標是（1，2），則方程組的解是_________．【答案】【分析】根據(jù)一次函數(shù)的交點坐標即可確定以兩個一次函數(shù)解析式組成的二元一次方程組的解．【詳解】解：∵一次函數(shù)y=3x-1與y=kx（k是常數(shù)，k≠0）的圖象的交點坐標是（1，2），∴聯(lián)立y=3x-1與y=kx的方程組的解為：，即的解為：，故答案為：．【點睛】本題考查了一次函數(shù)與二元一次方程組，熟練掌握一次函數(shù)的交點坐標與二元一次方程組的解的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【例8】（一次函數(shù)與不等式）（2022·江蘇揚州）如圖，函數(shù)的圖像經(jīng)過點，則關(guān)于的不等式的解集為________．【答案】【分析】觀察一次函數(shù)圖象，可知當y>3時，x的取值范圍是，則的解集亦同．【詳解】由一次函數(shù)圖象得，當y>3時，，則y=kx+b>3的解集是．1．（2021·湖南婁底市·中考真題）如圖，直線和與x軸分別相交于點，點，則解集為（）A． B． C． D．或【答案】A【分析】根據(jù)圖像以及兩交點，點的坐標得出即可．【詳解】解：∵直線和與x軸分別相交于點，點，∴觀察圖像可知解集為，故選：A．2．（2021·廣西賀州市·中考真題）直線（）過點，，則關(guān)于的方程的解為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】關(guān)于的方程的解為函數(shù)的圖象與x軸的交點的橫坐標，由于直線過點A(2,0)，即當x=2時，函數(shù)的函數(shù)值為0，從而可得結(jié)論．【詳解】直線（）過點，表明當x=2時，函數(shù)的函數(shù)值為0，即方程的解為x=2．故選：C．3．（2021·福建中考真題）如圖，一次函數(shù)的圖象過點，則不等式的解集是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先平移該一次函數(shù)圖像，得到一次函數(shù)的圖像，再由圖像即可以判斷出的解集．【詳解】解：如圖所示，將直線向右平移1個單位得到，該圖像經(jīng)過原點，由圖像可知，在y軸右側(cè)，直線位于x軸上方，即y>0，因此，當x>0時，，故選：C．4．（2021·湖北鄂州市·中考真題）數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學問題常用的思想方法．如圖，直線與直線相交于點．根據(jù)圖象可知，關(guān)于的不等式的解集是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)一次函數(shù)圖像的交點直接判斷即可．【詳解】解：由題意可知，當時，直線的圖像位于直線圖像的上方，即關(guān)于的不等式的解集為：．故選：C．5．（2021·湖南邵陽市·中考真題）在平面直角坐標系中，若直線不經(jīng)過第一象限，則關(guān)于的方程的實數(shù)根的個數(shù)為（）A．0個 B．1個 C．2個 D．1或2個【答案】D【分析】直線不經(jīng)過第一象限，則m=0或m＜0，分這兩種情形判斷方程的根．【詳解】∵直線不經(jīng)過第一象限，∴m=0或m＜0，當m＝0時，方程變形為x+1=0，是一元一次方程，故有一個實數(shù)根；當m＜0時，方程是一元二次方程，且△=，∵m＜0，∴-4m＞0,∴1-4m＞1＞0,∴△＞0,故方程有兩個不相等的實數(shù)根，綜上所述，方程有一個實數(shù)根或兩個不相等的實數(shù)根，故選D．【考點4】一次函數(shù)的實際應用【例9】（幾何運用）如圖，直線l1的解析式為y=12x+1，且l1與x軸交于點D，直線l2經(jīng)過定點A、B，直線l1與l2交于點（1）求直線的解析式；（2）求△ADC的面積；（3）在x軸上是否存在一點E，使△BCE的周長最短？若存在，請求出點E的坐標；若不存在，請說明理由．【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可直接求得l2的函數(shù)解析式；（2）首先解兩條之間的解析式組成的方程組求得C的坐標，然后利用三角形的面積公式即可求解；（3）求得C關(guān)于y軸的對稱點，然后求得經(jīng)過這個點和B點的直線解析式，直線與x軸的交點就是E．【詳解】解：（1）設(shè)l2的解析式是y＝kx+b，根據(jù)題意得：4k+b=0?k+b=5，解得k=?1則函數(shù)的解析式是：y＝﹣x+4；（2）在y=12x+1中令即y=12x+1＝0，解得：則D的坐標是（﹣2，0）．解方程組y=?x+4y=12則C的坐標是（2，2）．則S△ADC=12×AD×y（3）存在，理由：設(shè)C（2，2）關(guān)于y軸的對稱點C′（2，﹣2），連接BC′交x軸于點E，則點E為所求點，△BCE的周長＝BC+BE+CE＝BC+BE+C′E＝BC+BC′為最小，設(shè)經(jīng)過（2，﹣2）和B的函數(shù)解析式是y＝mx+n，則2m+n=?2?m+m=5，解得：m=?則直線的解析式是y=?73x令y＝0，則y=?73x+83則E的坐標是（87【例10】（路程問題）（2022·浙江湖州）某校組織學生從學校出發(fā)，乘坐大巴前往基地進行研學活動．大巴出發(fā)1小時后，學校因事派人乘坐轎車沿相同路線追趕．已知大巴行駛的速度是40千米/小時，轎車行駛的速度是60千米/小時．（1）求轎車出發(fā)后多少小時追上大巴？此時，兩車與學校相距多少千米？（2）如圖，圖中OB，AB分別表示大巴、轎車離開學校的路程s（千米）與大巴行駛的時間t（小時）的函數(shù)關(guān)系的圖象．試求點B的坐標和AB所在直線的解析式；（3）假設(shè)大巴出發(fā)a小時后轎車出發(fā)追趕，轎車行駛了1.5小時追上大巴，求a的值．【答案】(1)轎車出發(fā)后2小時追上大巴，此時，兩車與學校相距120千米(2)點B的坐標是，s＝60t－60(3)小時【分析】(1)設(shè)轎車行駛的時間為x小時，則大巴行駛的時間為小時，根據(jù)路程兩車行駛的路程相等得到即可求解；(2)由(1)中轎車行駛的時間求出點B的坐標是，進而求出直線AB的解析式；(3)根據(jù)大巴車行駛路程與小轎車行駛路程相等即可得到，進而求出a的值(1)解：設(shè)轎車行駛的時間為x小時，則大巴行駛的時間為小時．根據(jù)題意，得:,解得x＝2．則千米，∴轎車出發(fā)后2小時追上大巴，此時，兩車與學校相距120千米．(2)解：∵轎車追上大巴時，大巴行駛了3小時，∴點B的坐標是．由題意，得點A的坐標為．設(shè)AB所在直線的解析式為，則：解得k＝60，b＝－60．∴AB所在直線的解析式為s＝60t－60．(3)解：由題意，得，解得：，故a的值為小時．【例11】（最大利潤）（2021·江蘇連云港市）為了做好防疫工作，學校準備購進一批消毒液．已知2瓶A型消毒液和3瓶B型消毒液共需41元，5瓶A型消毒液和2瓶B型消毒液共需53元．（1）這兩種消毒液的單價各是多少元？（2）學校準備購進這兩種消毒液共90瓶，且B型消毒液的數(shù)量不少于A型消毒液數(shù)量的，請設(shè)計出最省錢的購買方案，并求出最少費用．【分析】（1）根據(jù)題中條件列出二元一次方程組，求解即可；（2）利用由（1）求出的兩種消毒液的單價，表示出購買的費用的表達式，根據(jù)購買兩種消毒液瓶數(shù)之間的關(guān)系，求出引進表示瓶數(shù)的未知量的范圍，即可確定方案．【詳解】解：（1）設(shè)種消毒液的單價是元，型消毒液的單價是元．由題意得：，解之得，，答：種消毒液的單價是7元，型消毒液的單價是9元．（2）設(shè)購進種消毒液瓶，則購進種瓶，購買費用為元．則，∴隨著的增大而減小，最大時，有最小值．又，∴．由于是整數(shù)，最大值為67，即當時，最省錢，最少費用為元．此時，．最省錢的購買方案是購進種消毒液67瓶，購進種23瓶．1．（2022·黑龍江牡丹江）2008年5月12日14時28分四川汶川發(fā)生里氏8.0級強力地震．某市接到上級通知，立即派出甲、乙兩個抗震救災小組乘車沿同一路線趕赴距出發(fā)點480千米的災區(qū)．乙組由于要攜帶一些救災物資，比甲組遲出發(fā)1.25小時（從甲組出發(fā)時開始計時）．圖中的折線、線段分別表示甲、乙兩組的所走路程y甲（千米）、y乙（千米）與時間x（小時）之間的函數(shù)關(guān)系對應的圖象．請根據(jù)圖象所提供的信息，解決下列問題：（1）由于汽車發(fā)生故障，甲組在途中停留了___小時；（2）甲組的汽車排除故障后，立即提速趕往災區(qū)．請問甲組的汽車在排除故障時，距出發(fā)點的路程是多少千米？（3）為了保證及時聯(lián)絡(luò)，甲、乙兩組在第一次相遇時約定此后兩車之間的路程不超過25千米，請通過計算說明，按圖象所表示的走法是否符合約定？【答案】(1)1.9(2)270(3)按圖象所表示的走法符合約定，理由見解析【分析】（1）由于線段AB與x軸平行，故自3時到4.9時這段時間內(nèi)甲組停留在途中，所以停留的時間為1.9時．（2）觀察圖象可知點B的縱坐標就是甲組的汽車在排除故障時距出發(fā)點的路程的千米數(shù)，從而求得直線EF和直線BD的解析式，即可求出B點的坐標．（3）由圖象可知：甲、乙兩組第一次相遇后在B和D相距最遠，在兩點處時，，分別同25比較即可．(1)4.9-3=1.9小時；故答案為：1.9(2)設(shè)直線EF的解析式為y乙=kx+b，∵點E（1.25，0）、點F（7.25，480）均在直線EF上，∴，解得．∴直線EF的解析式是y乙=80x﹣100．∵點C在直線EF上，且點C的橫坐標為6，∴點C的縱坐標為80×6﹣100=380．∴點C的坐標是（6，380）．設(shè)直線BD的解析式為y甲=mx+n；∵點C（6，380）、點D（7，480）在直線BD上，∴，解得．∴BD的解析式是y甲=100x﹣220．∵B點在直線BD上且點B的橫坐標為4.9，代入y甲得B（4.9，270），∴甲組在排除故障時，距出發(fā)點的路程是270千米．(3)符合約定．理由如下：由圖象可知：甲、乙兩組第一次相遇后在B和D相距最遠，在點B處有y乙﹣y甲=80×4.9﹣100﹣（100×4.9﹣220）=22千米＜25千米，在點D有y甲﹣y乙=100×7﹣220﹣（80×7﹣100）=20千米＜25千米，∴按圖象所表示的走法符合約定．2．（2022·黑龍江牡丹江）如圖，直線MN與x軸，y軸分別相交于A，C兩點，分別過A，C兩點作x軸，y軸的垂線相交于B點，且OA，OC（OA＞OC）的長分別是一元二次方程x2﹣14x+48=0的兩個實數(shù)根．（1）求C點坐標；（2）求直線MN的解析式；（3）在直線MN上存在點P，使以點P，B，C三點為頂點的三角形是等腰三角形，請直接寫出P點的坐標．【答案】（1）C（0，6）．（2）y=x+6．（3）P1（4，3），P2（）P3（），P4（）．【詳解】試題分析：（1）通過解方程x2﹣14x+48=0可以求得OC=6，OA=8．則C（0，6）；（2）設(shè)直線MN的解析式是y=kx+b（k≠0）．把點A、C的坐標分別代入解析式，列出關(guān)于系數(shù)k、b的方程組，通過解方程組即可求得它們的值；（3）需要分類討論：PB為腰，PB為底兩種情況下的點P的坐標．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、兩點間的距離公式以及一次函數(shù)圖象上點的坐標特征進行解答．試題解析：（1）解方程x2-14x+48=0得x1=6，x2=8∵OA，OC（OA＞OC）的長分別是一元二次方程x2-14x+48=0的兩個實數(shù)根∴OC=6，OA=8∴C（0，6）（2）設(shè)直線MN的解析式是y=kx+b（k≠0）由（1）知，OA=8，則A（8，0）∵點A、C都在直線MN上∴解得，∴直線MN的解析式為y=-x+6（3）∵A（8，0），C（0，6）∴根據(jù)題意知B（8，6）∵點P在直線MNy=-x+6上∴設(shè)P（a，--a+6）當以點P，B，C三點為頂點的三角形是等腰三角形時，需要分類討論：①當PC=PB時，點P是線段BC的中垂線與直線MN的交點，則P1（4，3）；②當PC=BC時，a2+（-a+6-6）2=64解得，a=±，則P2（-，），P3（，）③當PB=BC時，（a-8）2+（-a+6-6）2=64解得，a=，則-a+6=-∴P4（，）綜上所述，符合條件的點P有：P1（4，3），P2(-，)，P3(，)，P4（，-）3．（2020?樂山