2024年1月上海市春季高考數學試卷（含答案詳解）

2024上海春考數學試卷

一、填空題(本大題共12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5

分)

L10g2》的定義域為.

2.直線x-y+i=o的傾斜角.

7_

3.已矢口-~~；=i,貝！Iz=___-

1+1

4.(x-1)6展開式中/的系數為.

TVJT

5.三角形ABC中，BC=2,A=-,B=-,貝|AB=

6.已知ab=l,4a2+9b2的最小值為.

7.數列{%},%="+c,$7＜。，c的取值范圍為.

8.三角形三邊長為5,6,7,則以邊長為6的兩個頂點為焦點，過另外一個頂點的雙曲線的離

心率為.

9.已知/(x)=x2,g(x)=，y：一°,求g(x)42-x的X的取值范圍___.

10.已知四棱柱ABCD-A4G2底面ABC。為平行四邊形，M=3,應)=4且

ABXBC-ADXDC^5,則異面直線M與BD的夾角余弦值為.

11.正方形草地ABCZ)邊長12E到距離為0.2,尸到BC,C。距離為0.4,有個圓形通

道經過瓦尸，且經過AD上一點，求圓形通道的周長.(精確到0.01)

DC

F

E

4B

12.%=2,%=4,%=8,%=16,任意4,4,Z?4$R,滿足

{ai+a.|l<i<j<4}=也+=4},求有序數列抄■，4也}有一對.

二、選擇題(本大題共4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每

題5分)

13.a,b,c&R,b>c,下列不等式恒成立的是()

A.a+b1>a+c2B,a2+b>a2+c

C.ab2>ac2D.a2b>a2c

14.空間中有兩個不同的平面c,，和兩條不同的直線〃2,“，則下列說法中正確的是()

A.若a_1_尸,"2_1__1_/，則〃B.若aJ_⑸m_La,〃z_L〃，貝。

C.若a〃分，加//a,〃///7,則〃D.若a11B，m11a,m11n,則〃//月

15.有四種禮盒，前三種里面分別僅裝有中國結、記事本、筆袋，第四個禮盒里面三種禮品

都有，現從中任選一個盒子，設事件A：所選盒中有中國結，事件3:所選盒中有記事本,

事件C：所選盒中有筆袋，則()

A.事件A與事件3互斥B.事件A與事件3相互獨立

C.事件A與事件3uC互斥D.事件A與事件BcC相互獨立

16.現定義如下:當彳?〃,〃+1)時("eN),若/(x+l)=/'(x),則稱為延展函數.已知

當xe(O,l)時,g(x)=e*且無(x)=/,且g(x),〃(無)均為延展函數,則以下結論()

(1)存在y=Ax+6(左力eR,Z,bwO)與y=g(x)有無窮個交點

(2)存在y=Ax+b(￡beR,左力wO)與y=人⑺有無窮個交點

A.(1)(2)都成立B.(1)(2)都不成立

C.(1)成立(2)不成立D.(1)不成立(2)成立.

三、解答題(本大題共5題，共14+14+14+18+18=78分)

試卷第2頁，共4頁

_兀

17.已知/(x)=sin(s:+,),a)>0

⑴設(y=l,求解:y=y(x),xe[0,7r]的值域；

(2)4>7imeR)J(x)的最小正周期為兀，若在xe[7t,句上恰有3個零點，求。的取值范圍.

18.如圖，PA,PB、PC為圓錐三條母線，AB=AC.

(1)證明:R4JLBC；

(2)若圓錐側面積為后,BC為底面直徑，BC=2,求二面角8-P4-C的大小

19.水果分為一級果和二級果，共136箱，其中一級果102箱，二級果34箱.

(1)隨機挑選兩箱水果，求恰好一級果和二級果各一箱的概率；

(2)進行分層抽樣，共抽8箱水果，求一級果和二級果各幾箱；

(3)抽取若干箱水果，其中一級果共120個，單果質量平均數為303.45克，方差為603.46；

二級果48個，單果質量平均數為240.41克，方差為648.21；求168個水果的方差和平均數，

并預估果園中單果的質量.

22

20.在平面直角坐標系中，已知點A為橢圓「土+乙=1上一點，F、、F,分別為橢圓

62

的左、右焦點.

⑴若點A的橫坐標為2,求|A耳|的長；

⑵設「的上、下頂點分別為陷、加2，記的面積為S^AM,M2的面積為邑，若SR邑,

求|。4|的取值范圍

⑶若點A在x軸上方,設直線AB與:T交于點B,與，軸交于點K,KF{延長線與「交于點C,

是否存在x軸上方的點C,使得￡1+那+居=2(豆+*+E0(2eR)成立?若存在，

請求出點C的坐標;若不存在，請說明理由.

21.記Af(a)={dt==t=f(x)—f(a)^<a^

⑴若/(x)=/+L求M⑴和”1);

⑵若"x)=x3_3f,求證:對于任意aeR,都有加㈤0口+⑹，且存在。，使得

-4eAf(a).

(3)已知定義在R上/(x)有最小值，求證”/(%)是偶函數”的充要條件是“對于任意正實數c,

均有Af(-<?)=￡?”.

試卷第4頁，共4頁

1.(0,+oo)

【分析】由對數函數性質即可得.

【詳解】由題意可得尤>0,即10g2》的定義域為(。,+8).

故答案為：(0,+oo).

2.-

4

【分析】求出直線的斜率，再根據斜率與傾斜角之間的關系求解即可.

【詳解】設直線x-y+i=o的傾斜角為兀)，

易知直線x-y+l=。的斜率為1,

所以tan9=l,

解得。

4

故答案為：—

4

3.

【分析】借助復數的乘法運算與共輾復數定義計算即可得.

【詳解】由題意可得z=i(l+i)=-l+i,故［=

故答案為：-1-i.

4.15

【分析】根據給定條件，利用二項式定理直接求出結果.

【詳解】(x-球展開式中令Y的項為。r4(-1)2=15尤4,

所以(x-l)6展開式中犬的系數為15.

故答案為：15

530+而

-3

【分析】根據已知條件，結合正弦定理，即可求解.

TTJrSi?

【詳解】三角形A5C中，???A+5+C=7I,A=Z，5=T，/.C=二,

3412

.一.(71兀、.717171.71V2+V6

sinC=sin—d--=sin—cos—+cos—sin—=-----------,

<46)46464

答案第1頁，共13頁

BCAB71

由正弦定理BC=2,A=—,

sinAsinC3

9V2+V6

,BCsinC2X-Z-3&+逝

得ZPA3=-----------=--------——=---------------

sinAyf33

~2

故答案為：3'+、.

6.12

【分析】利用不等式即可求解.

【詳解】46+962=（2。y+（36）2W2x2qx36=12.6=12,

當且僅弋:‘，即"和邛或”*年/時，等號成立,

故44+9/的最小值為12.

故答案為：12.

7.（ff

【分析】先利用等差數列的定義判定｛4｝為等差數列，再利用等差數列性質即可求解.

【詳解】因為%="+。，貝!|?！?1-4=(〃+1+。)一(〃+。)=1,

可知數列｛凡｝為等差數列,

則S7=7%=7（4+C）<0,解得C<-4,

所以c的取值范圍為(re,-4).

故答案為：(-℃,-4).

8.3

【分析】利用雙曲線的定義求解即可.

【詳解】由雙曲線的定義，2c=6,2a=7-5=2,

則e，=3.

a

故答案為：3

9.

【分析】分無20與x<0兩段求解二次不等式可得.

答案第2頁，共13頁

【詳解】根據題意知g(%)=2-7

[-X,x<0

2

當xNO時，g(x)<2-x,Bpx+x-2<0,解得一2<尤<1,則有OWxVl；

當x<0時，g(x)<2-x,BP-x2+x-2<0,xeR,即x<0時，不等式g(x)<2-x都成立.

綜上所述，g(x)V2-尤的x的取值范圍為(t』.

故答案為：(-也』.

10.—

12

【分析】將荏1,南用不共面的向量在，甌，蒞表示出來，從而得到招?前-麗?皮=5,

然后由公式計算夾角余弦值即可.

【詳解】福=方+招，碣=而+甌，

:.[AB+AA^-BC-(AD+A^-DC=5,

荏屈+招屈-屈衣-環(huán)覺=5,

底面ABCZ)為平行四邊形，所以福.阮=而.覺，

所以福?阮—醺■?覺=5,

麗初=招.(而-網=話蒞-麗.麗=環(huán)前-麗衣=5.

所以c°s(M，幽=網網二芯=在

故異面直線AA與BD的夾角的余弦值為:1,

故答案為：—

11.2.73

【分析】利用給定條件求解圓的半徑，再求周長即可.

【詳解】如圖，以A為原點建系，易知￡(0.2,0.2),尸(0.8,0.8),連接所，

答案第3頁，共13頁

不妨設EF中點為M（0.5,0.5）,直線EF中垂線所在直線方程為丁-0.5=-（犬-0.5）,

化簡得V=f+1,所以圓心為半徑為。，且經過及廠點

即（口―0.2）+（—口+1—0.2）=a2,化簡得a?—2。+0.68=0,

解得4=^^=]±7^二]±述，

25

結合題意可得a=1-2徨a0.434,故圓的周長為C=23B2.73.

5

故答案為：2.73

12.48

【分析】先確定{a,+?716,10,12,18,20,24},再結合{《+%11Vi<>4}={仿+勺11Vi<jV4},

設4<為<&<%，可得到4+a=6,a+&=10,b2+a=20,4=24,進而求出這四個數,

從而求得答案.

【詳解】由題意知{《十%」6,10,12,18,20,24},

滿足{q+a/lq?〈廠4}={偽+%|1"<廠4},

不妨設仇<4<%<&，

則必有4+匕2=6,bx+b3=10,b2+b4=20,Z?3+Z?4=24,

若。+4=12,a+b4=18,解得％=2也=4也=8也=16；

若。+。=18,。=12,解得4=-1,b2=7,Z?3=11,/?4=13,

由此可知此時有2種情況，

結合任意4,白，為NeR，共有2P：=48對，

故答案為：48

答案第4頁，共13頁

【點睛】關鍵點睛：解答本題的關鍵是結合｛《+/11v，</<4｝=｛偽+勺11Vi<j<4｝推出

仇時，這四個數的值，進而結合題意求得答案.

13.B

【分析】根據不等式的性質可判斷AB的正誤，根據特例可判斷CD的正誤.

【詳解】對于A,若c<b<0,則廿<°2,選項不成立，故A錯誤；

對于B,因為b>c,故q2+b>q2+c,故B成立，

對于C、D,若。=0,則選項不成立，故C、D錯誤；

故選：B.

14.A

【分析】根據面面垂直的性質結合線線以及線面的位置關系可判斷AB；根據面面平行的性

質結合線線以及線面的位置關系可判斷CD；

【詳解】對于A,若則根//6或根u￡,

又〃_L/,當以〃尸時,在夕內必存在直線/和機平行，貝I]"，/".”_L機；

當mu，時，顯然有"J_w,所以相_L〃，故A正確；

對于B,若。_1/?,777_1_。，則"Z〃尸或mu/,由〃2_LW,則九與月斜交、垂直、平行均有可

能，故B錯誤；

對于C,若。//月，m//。，則機〃尸或根u/5,由"〃夕，則機與W相交、平行、異面均有

可能，故C錯誤；

對于D,若a"B，mlla,則〃z//月或〃zu/,又mlln,則"http://"或"u，，故D錯誤.

故選：A.

15.B

【分析】根據互斥事件和對立事件的定義，逐一判斷選項即可.

【詳解】選項A,事件A和事件8可以同時發(fā)生，即第四個禮盒中可以既有中國結，又有記

事本，事件A與事件8不互斥，A錯誤；

選項B,??-P（A）=1,P（B）=1,P（AB）=1,

.■.P（A）P（B）=P（AB）,B正確;

選項C,事件A與事件BUC可以同時發(fā)生，即第四個禮盒中可以既有中國結，又有記事本

或筆袋，C錯誤；

答案第5頁，共13頁

選項D,??-P(A)=1,P(Bp|C)=；,尸(ACGBpOX；,

P(A)P(BnC)*P(An(BnC)),

，A與Bp|C不獨立，故D錯誤.

故選：B.

16.D

【分析】由延展函數的定義分段求出g(x)，〃。)解析式，作出函數圖象，數形結合可得.

【詳解】當x?l,2)時，x-le(0,l),則g(x-l)=ei,

又g，(x-1)=e-,則由延展函數定義可得g(x)=g'(x-l)=e^；

同理可得，當x?2,3),g(x)=e-；L；

任意〃wN,當xw(",〃+l)時，g(x)=e'-".

當xe(l,2)時，x-le(O,l),IJJljTz(x-l)=(x-l)10,則〃(x)=10(x-iy；

同理可得，當xe(2,3)時，/i(x)=10x9(x-2)8；L；

當xe(9,10)時，依尤)=10!(x-9)；

當xe(10,n),A(x)=10!；當xe(ll,12),h(x)=0;L.

則任意〃eN,〃211時，當x€(〃,〃+l),/z(x)=0.

如圖,作出g(x)與h(x)大致圖像，

因為人,6片0,如圖可知，不存在直線y=Ax+6與g(x)圖象有無窮個交點，故(1)不成立;

又因為當xe(9,10),h(x)=10!(x-9),

故當上=10!,b=-9xl0!時，

答案第6頁，共13頁

直線y=10!x-9xl0!與無0)的圖象在區(qū)間(9,10)的函數部分重合，

即有無窮個交點，故(2)成立；

故選：D.

【點睛】關鍵點點睛：解決此題目的關鍵在于理解新定義“延展函數”，能夠依次求解出函數

在各段的解析式及作出函數圖象，數形結合解決函數圖象與直線的交點個數問題.

r6.

17.(1)---,1;

7兀17兀

(2)^e

【分析】(1)利用三角函數的性質結合換元法求出單調性，再求解值域即可.

(2)利用三角函數的性質求解參數即可.

【詳解】⑴因為°=1,所以〃x)=sin、+1,

因為xe[0,可，所以令f=x+;，手,

jrjr冗47r

由正弦函數性質得＞=8(。=加力在上單調遞增，在上單調遞減,

(2)由題意得7=.兀，所以/=2,可得〃x)=sin"+g

當/'(x)=。時，2x+——ht,keZ,即》=—‘+keZ,

當左=2時，]=詈＜兀，不符合題意，

當左=3時，％=￥＞兀，符合題意，

11兀

當左=4時，X=—＞71,符合題意，

6

7兀

當左=5時，x=—＞7l,符合題意，

4TT4it3

所以把+T＜〃＜竺+2丁

332

口口7兀/17兀,,7兀17兀

即—K。＜---,故aG

3636

18.(1)證明見解析

(2)7i-arccos—

答案第7頁，共13頁

【分析】（1）取BC中點。，連接49、PO,則A0L3C,尸OL8C,故可得BC_L面尸AO,

從而得到24,3c.

（2）利用向量法可求面尸AC、面上鉆的法向量，計算出它們的夾角的余弦值后可得二面角

的余弦值.

【詳解】（1）取BC中點0,連接A。、PO,

因為AB=AC,P3=PC,所以AO_L3C,PO_L3C,

又因為尸Ou面PAO,AOu面PAO,POcAO=。，所以3<?_1面240,

因為E4u面PAO,所以B4L3C.

（2）因為BC為直徑，故。為底面圓的圓心，故尸平面8AC,而AOJ_3c

故可建立如圖所示的空間直角坐標系，

因為圓錐側面積為g/r,BC為底面直徑，BC=2,所以底面半徑為1,母線長為百，

所以PO=JPT-AO?=0,

則可得尸（0,0,忘）,4（0,1,0）,3（1,0,0）,C（T,0,0）,

故麗=（0,1,-夜）,麗=（1,0「血），冗=卜1,0,-3）,

設%為平面鉆的法向量，貝"上一n”「

-PB=0[%]_A/2Z]=0

令玉=夜，則乂="4=1,所以々=（0,后,1）.

設晨=（%2，%/2）為平面PAC的法向量,

令赴=一逝，則%="22=1,所以%=卜0,3,1）.

答案第8頁，共13頁

4?幾2—2+2+1

則cos(4,〃2

y/Sxs/55

設二面角3-PA-C為。，則。為鈍角，

所以二面角3—PA—C的大小為兀-arccos].

17

19.(1)—

45

(2)一級果抽取6箱，二級果抽取2箱

(3)方差1427.27克2,平均數285.44克，預估平均質量為287.69克

【分析】(1)利用組合知識和超幾何分布求概率公式求出答案；

(2)利用分層抽樣的定義進行求解；

(3)根據公式計算出總體樣本平均質量和方差，并預估平均質量.

【詳解】(1)設A事件為恰好選到一級果和二級果各一箱，

樣本空間的樣本點的個數〃=q=四產=9180,

A事件的樣本點的公式機=C%-Cl=3468,

(2)因為一級果箱數：二級果箱數=102:34=3:1,

31

所以8箱水果中有一級果抽取8x不=6箱，二級果抽取8x「=2箱；

3+13+1

(3)設一級果平均質量為1方差為S；,二級果質量為亍，方差為聽,

總體樣本平均質量為乙方差為整，

因為天=303.45,了=240.41,S；=603.46,=648.21,

12048

所以云=------x303.45+-----------x240.41=285.44克,

120+48120+48

12048

S2=]20~48X[603.46+(303.45-285.44)。]+⑵疝x[648.21+(240.41-285.44)。]=1427.27克2.

預估平均質量為1巖02下+若34?歹=287.69克.

20.⑴平；

⑵(立率];

答案第9頁，共13頁

⑶存在，C(--,

4

【分析】（1）根據給定條件，求出點A的縱坐標，再利用兩點間距離公式計算即得.

（2）設A（x,y）,個40,求出岳，邑，再利用給定關系求出，的范圍，進而求出|QA|的范圍.

（3）設A（%[,y）,%>0,B,％），利用向量坐標運算及共線向量的坐標表示可得%+2%=0,

再聯立直線A8與橢圓方程，結合韋達定理求解即得.

22,22,

【詳解】（1）設4（2,y）,由點A為橢圓「工+匕=1上一點，得上+工=1,即又

62623

耳（-2,0）,

所以|A耳上^[2-（-2）]2+（y-0）2=當.

（2）設4x,y）RW0,而|%|=4,|MMI=20，

則S[=：|片可|4=2刨，S2=^\MtM2\\x\=^/2\x\,由HNS2,得21yl20國，

即2y又乙+21=1,則2/^6-3/，解得工4/<2,

625

22

儂=yjx+y=J（6_3y2）+y2=擊-2（e（衣,

所以的范圍是（在粵）.

（3）設A（%，x），x>0,8@2，%），由圖象對稱性，得A、C關于y軸對稱，則c（f,yj,

又耳（-2,0）,6（2,0）,于是率=（X|+2,兇）,耶=伍+2,%），房=（一%+2,%）,

答案第10頁，共13頁

則耳A+耳3+耳。=(%2+6,%+2%),同理區(qū)4+月；3+與。=(%2-6,y2+2yJ,

由和+率+就=2(及1+孽+笆)，得(耳1+耶+竹〃(11+磔+笆)，

因此(々+6乂％+2%)=(*2-6)(%+2%),即12(%+2%)=0,則為+2%=。,

設直線4K：*=陽+2,由，?「消去尤得(蘇+34+4b2=0,

[%+3y=6'/

-2y；=Y^￡r-

則:，即m,3,而％>。，解得”7=也，%=叵,

4mAm54

%+丫2=__F77f=F77

Im+3Im+3

由占=根％+2,得尤|=:,所以c(_j,手).

【點睛】思路點睛：解答直線與橢圓的題目時，時常把兩個曲線的方程聯立，消去x(或y)

建立一元二次方程,然后借助根與系數的關系，并結合題設條件建立有關參變量的等量關系;

涉及到直線方程的設法時，務必考慮全面，不要忽略直線斜率為?；虿淮嬖诘忍厥馇樾?

21.(l)M(l)=[0,+a>);L(l)=[-l,+(?);

(2)證明見解析

(3)證明見解析

【分析】⑴將〃力=1+1代入求解即可;

(2)根據函數8(力=%3一3爐-4+3/的單調性，對。進行分類討論，然后求出M⑷即可

證明；

(3)利用偶函數的定義，即可證明必要性，利用M(-c)=L(c),得出兩個集合中最小的元

素相同，從而f(c)=/(—c),即可證明充分性.

答案第11頁，共13頁

2

【詳解】(1)由題意得：/⑴=,r=x+l-2^>l}=[0,+(?);

"1)=,Z=x2+1-2,x<1j=[-1,+oo);

(2)由題意知M(a)={/jr=%3-3%2-。3+36/2。},記g(x)=%3-3f一^+3/,有

g'(x)=3x2-6x=0nx=0或2,

(-8,0)0（0,2）2(2,+00)

g'(x)正0負0正

g(x)