2024年高考數(shù)學(xué)考前20天終極沖刺攻略（二）（新高考新題型專用）含答案解析

2024年高考數(shù)學(xué)考前20天終極沖刺攻略（新高考新題型專用）含答案解析

三角恒等變換（選填題）

情分析

年份題號(hào)知識(shí)點(diǎn)考點(diǎn)

2021年I卷6三角恒等變換已知條件求值問題

2021年II

無

卷

2022年I卷無

①三角函數(shù)和差、半角正余弦公式

2022年II②三角函數(shù)和差、半角正切公式

6三角函數(shù)化簡

卷③三角函數(shù)輔助角公式

④三角函數(shù)萬能公式

①三角函數(shù)和差、半角正余弦公式

2023年新②三角函數(shù)和差、半角正切公式

8三角恒等變換

高考1③三角函數(shù)輔助角公式

④三角函數(shù)萬能公式

①三角函數(shù)和差、半角正余弦公式

2023年新

②三角函數(shù)和差、半角正切公式

高考27三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式

③三角函數(shù)輔助角公式

④三角函數(shù)萬能公式

近三年，三角恒等變換在選填中占據(jù)一個(gè)位置，考查的考點(diǎn)一般來說是：

1、已知條件求值問題（①“給角求值”②“給值求值”③“給值求角”）

2、求非特殊角三角函數(shù)值運(yùn)算（①整體換元利用恒等變形公式計(jì)算其結(jié)果②對偶式處理③記住一些特殊角

的三角函數(shù)值）

3、正余弦三角函數(shù)值加減問題（①三角函數(shù)和差、半角正余弦公式②三角函數(shù)和差、半角正切公式③三

角函數(shù)輔助角公式④三角函數(shù)三劍客）

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4、tana與齊次式互換（掌握五類變形的標(biāo)準(zhǔn)）

題干的設(shè)置一般來說在上述的四項(xiàng)考點(diǎn)中選其一項(xiàng)。三角恒等變換需要認(rèn)真分類，熟練掌握各類題的

技巧，即目測題后瞬間就能想到對應(yīng)的做題方案，便可輕松搞定。

高考預(yù)測

三角恒等變換在2024新高考新題型中的考查形式依然以選擇或者填空為主，以考查齊次化和已知條件

求值問題為主，三角恒等變換在選填中難度中等，考生可適當(dāng)留意常見的變換并分類，每一類總結(jié)出一個(gè)

固定模板，以便此類題在高考出現(xiàn)時(shí)考生能做到心中有數(shù)，快速解答.

/應(yīng)試必備

一、已知條件求值問題

I誘導(dǎo)公式的秒記

奇變偶不變，符號(hào)看象限

①奇變偶不變n關(guān)鍵要看所加弧度是工的奇數(shù)倍還是偶數(shù)倍

2

若是奇數(shù)倍則sinocos互變，若是偶數(shù)倍,則sinocos不變

例如：sin（a+網(wǎng)］?包是工的3倍，3屬于奇數(shù)，故先變?yōu)閏osa

I2J22

②符號(hào)看象限n首先將a永遠(yuǎn)看成30°,其次利用sin看上下，cos看左右進(jìn)行秒殺

上個(gè)例題中變成cosa后，然后判斷符號(hào)，270°+30°=300°,所以位于第四象限，利用sin看上下,

所以原式為負(fù)，化簡結(jié)果為-cosa

例如：cos（a+乃）n是看的2倍,2屬于偶數(shù)，故先變?yōu)閏osa,然后判斷符號(hào),180°+30°=210°,

所以位于第三象限，利用cos看左右，所以原式為負(fù)，化簡結(jié)果為-cosa.

II誘導(dǎo)公式的延伸

結(jié)論I：sin(〃%+a)=sina(〃GZ)

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推導(dǎo)如下①當(dāng)〃=2左（左￡Z）時(shí)，

由誘導(dǎo)公式有sin（2左％+a）=sina二（-1）2Asina（keZ）

②當(dāng)〃=2左+1（左cZ）時(shí)，由誘導(dǎo)公式有

sin[（2左+1）TT+a]=sin（2左乃+乃+a）=sin（%+a）=-sina=（—1廣+1.sin。（左GZ）

結(jié)論II：cos（〃7r+a）=（-l）〃cosa（〃GZ）

推導(dǎo)如下①當(dāng)〃=2左（左￡2）時(shí)，

由誘導(dǎo)公式有cos（2左?+a）=cosa=（一1廣cosa（kGZ）

②當(dāng)〃=2左+1（左EZ）時(shí)，由誘導(dǎo)公式有

cos[（2左+l）7r+a]=cos（22萬+乃+a）=COS（TT+a）=-cosa=（-1）2A+1-cosa（kGZ）

結(jié)論HI：sin（〃萬一a）=（-1）"一sina（〃eZ）

①當(dāng)n=2k（kcZ）時(shí)，

由誘導(dǎo)公式有sin（2左%一a）=-sina=（-1）""sina（左eZ）

②當(dāng)〃=2左+1（左EZ）時(shí)，由誘導(dǎo)公式有

sin[（2A:+l）;r-cr]=sin（2^+TT-cr）=sin（^-a）=sina=（-l）2^.sina（左eZ）

結(jié)論IV:cos（〃萬一a）=（-1）〃cosa（nGZ）

推導(dǎo)如下①當(dāng)〃=2左（丘Z）時(shí)，

由誘導(dǎo)公式有cos（2左乃-a）=cosa=（-l）2icosa（keZ）

②當(dāng)〃=2上+l-eZ）時(shí)，由誘導(dǎo)公式有

cos[（24+1）乃一（z]=cos（24乃+"一a）=cos（乃一a）=-cosa=（-1）2A+1-cosa（A;eZ）

IH誘導(dǎo)公式的妙用

技巧總結(jié)

題中出現(xiàn)同名三角函數(shù)相加且首尾互余或互補(bǔ)時(shí)，則采用倒序相加的思想處理此類問題

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模型：cos—+COS—+.......+cos—~^-+cos—~為大于2的奇數(shù)）…①

nnnn

cos—~—+cos—~+........+cos—+cos—（〃為大于2的奇數(shù)）...②

nnnn

由①+②得（cos—~—+cos—fcos—~^-+cos—+.......（〃為大于2的奇數(shù)）

InnJnn）

由誘導(dǎo)公式可得每一組都為0

IV誘導(dǎo)公式的超級(jí)應(yīng)用

技巧總結(jié)

針對已知條件求值問題，則遵循以下步驟（萬能）

第一步：將目標(biāo)角和已知角全拿出來

第二步：通過加減乘消去a或x

第三步：用已知角代替目標(biāo)角

第四步：利用誘導(dǎo)公式或三角恒等變換處理

二、求非特殊角三角函數(shù)值運(yùn)算問題

I三角函數(shù)非特殊角選擇問題

技巧總結(jié)

記住常見數(shù)據(jù):sin6°?0.1,sin12°?0.2,sin18°?0.3,sin24°?0.4,sin30°=0.5

sin37°=0.6,sin44°工0.7,sin53°x0,8,sin64°工0.9,sin90°=1.0

sin75°=0.96,sin45°?0.71

H三角函數(shù)非特殊角填空問題

技巧總結(jié)

一些非特殊角的三角恒等變形求值填空題，由于最后得出的是一個(gè)具體的數(shù)值，故將其設(shè)為一個(gè)元/,再利

用恒等變形公式計(jì)算其結(jié)果

IH針對非特殊角三角函數(shù)值運(yùn)算有兩種思路

思路1：采用對偶式處理

步驟如下：

第一步：令原式為X,對偶式為y

第二步：兩式相加x+y=?,兩式相減x-y=?

第三步：解二元一次方程組，求解x

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思路2：若原式擁有兩個(gè)角的運(yùn)算，可借助三角形處理

步驟如下：

第：一步：構(gòu)造△ABC,//=?、NB=?、/。=?外接圓直徑2火=1

第二步：應(yīng)用正弦定理求出a=?、b=?、c=?

第三步：應(yīng)用余弦定理表示求出答案

三、正余弦三角函數(shù)值加減問題

I三角函數(shù)三劍客

技巧總結(jié)

三角函數(shù)sina+cosa、sina-cosa、sinacosa稱為《三劍客》，《三劍客》中《知一求二》

理由如下：

(sintz+cosa)2=sin2a+2sincosa+cos2a=l+2sin(zcos(z

(sina-cosa)2=sin2a—2sinacosa+cos2a=1—2sinacosa

如果已知5苗&?05戊求5苗&±?05&必須會(huì)判斷sina土cosa的正負(fù)

判斷如下：

①關(guān)于sina—cosa的符號(hào)判斷

當(dāng)角a的終邊在區(qū)域2、3、4、5則有sina-cosa>0

當(dāng)角a的終邊在區(qū)域1、6、7、8則有sina—costz<0

當(dāng)角a的終邊在直線y=x上時(shí)，則有sina-cosa=0

②關(guān)于sina+cosa的符號(hào)判斷

當(dāng)角tz的終邊在區(qū)域8、1、2、3貝|］有sina+cosa>0

當(dāng)角a的終邊在區(qū)域4、5、6、7則有sintz+cosa<0

當(dāng)角a的終邊在直線y=-x上時(shí)，則有sina+cosa=0

③關(guān)于sina±tana的符號(hào)判斷

當(dāng)角a的終邊在區(qū)域1、2、5,6則有sina+tana>0,sin(z—tan(z<0

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當(dāng)角a的終邊在區(qū)域3、4、7、8則有sina+tanaV0,sina-tana>0

當(dāng)角a的終邊在x軸上時(shí)，則有sina土tan。=0

結(jié)論：④若/(a)=sina+cosa=41sinfa+?J則

I當(dāng)角a在終邊在區(qū)域1、2內(nèi)時(shí)，/(a)e(l,V2)

II當(dāng)角a在終邊在區(qū)域3、8內(nèi)時(shí),/(a)e(O,l)

HI當(dāng)角a在終邊在區(qū)域4、7內(nèi)時(shí)，/(cr)e(-l,O)

IV當(dāng)角a在終邊在區(qū)域5、6內(nèi)時(shí)，/((z)e(-V2-1)

⑤若/(a)=sina-cosa

I當(dāng)角a在終邊在區(qū)域3、4內(nèi)時(shí)，/(a)e(l,V2)

H當(dāng)角a在終邊在區(qū)域2、5內(nèi)時(shí)，/((Z)G(O,1)

III當(dāng)角a在終邊在區(qū)域1、6內(nèi)時(shí),f(a)e(-1,0)

IV當(dāng)角a在終邊在區(qū)域7、8內(nèi)時(shí)，/(tz)e(-72-1)

結(jié)論1：出現(xiàn)asina+bcosa=/形式則采用對偶式處理

asina+bcosa-A...(1)

acosa-bsina=B...(2)

(l)2+(2)2n(asina+bcosa)2+(acosa-bsina1=A?+B2

/f+§2n§2={+,2_/2

然后利用二元一次方程組快速求解sina、cosa

特殊情況：asina+bcosa=J/+/則tana=2

b

結(jié)論2：速記一些常見的勾股數(shù)，然后利用直角三角形處理

(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25),(8,15,17),(1,1,&)(1,后2)(1,2,⑸(1,3,師)

(1,7,5收)

n三角函數(shù)和差、半角正余弦公式

技巧總結(jié)

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①兩角和與差的正弦公式口訣：正余余正，符號(hào)相同

sin(a+/?)=sinacos/?+cosasin

sin(cif-p)=sinacos—cosasin￡

sin(cr+or)=sincrcosa+coscrsincr=2sinacosa故：sin2a=2sinacosa

②兩角和與差的余弦公式口訣：余余正正，符號(hào)相反

cos(cr+p)=cosacos一sinasinB

cos(a-/?)=cosacos/3+sinasinD

cos(a+a)=cosacosa-sinasina=cos2a-sin2a=2cos2a-l=l-2sin2a

III三角函數(shù)和差、半角正切公式

技巧總結(jié)

①tan(a+0=tana+tan夕②tan(0-0=空"吧邑

1-tanatan/?1+tanatan0

③tana+tan0=tan(a+^)(1-tanatan/?)

④tana—tan。=tan(a—/?)(l+tanatan/?)

…1ctana+tan￡八tana-tan/3

⑤l一tanatan[3-----彳-------?@l+tanatan/?=-----彳----?

tan(a+/3)tan(a-(3)

⑦tana+tan0+tanortan0tan(cr+/3)=tan(cr+/?)

只要a+，=左+都有tana+tan，+君tanatan，=△

只要a+尸=左"+工，左wZ都有J^(tana+tanP)+tanatan/?二l

6

■IJ

只要a+￡=左九+彳，左wZ都有tana+tan，+tanatan，=I

⑧△45。中，tan^+tan5+tanC=tan^4tanStanC(正切恒等式)

IV三角函數(shù)輔助角公式

技巧總結(jié)

形如：asina+bcosa

第一步：asma+bcosa=y/a2+b2sin(a+0)=+〃cos(a-。)

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第二步：等號(hào)左側(cè)若是加號(hào)，則等號(hào)右側(cè)也為加號(hào)，等號(hào)左側(cè)若是減號(hào)，等號(hào)右側(cè)也為減號(hào).

第三步：。的求算，只需在第一象限標(biāo)明點(diǎn)《4網(wǎng)）尋找夾角即可達(dá)到秒殺的境界.

注意：若果則需提負(fù)號(hào)，繼續(xù)遵循以上步驟

三角函數(shù)萬能公式

技巧總結(jié)

萬能公式如下

aaa

2sin—cos—2tan—

八.八.aa777

①sina=2sin—cos—=------------------------------

22si.n2—,+cos2—a…1+tan2—a

222

2ct.2a-12a

cos------sin—1-tan—

②cosa=cos----sm一二-------------—=--------

22si.n2——,Feos2—al1+「tan2—。

222

2tan—

-7asincr1-cosa

③tana二-------@tan—二--------二--------

1-t-an2—a21+coscrsina

2

Of

記憶方法：令/=tan巴

2

對

一

鄰

對

一

斜

鄰

一

斜

a

之所以稱之為萬能公式是因?yàn)橹灰鞔_tan絲的值，則可以秒求sina、cosa、tana

2

四、tana與齊次式互換

技巧總結(jié)

形式如下：

上asina+bcosa,,七八》八

①形如---------------的分式，可將分子分母同時(shí)除以cosa

csina+dcosa

asinabcosa

atana+

得:cosacosa

csinadcosa

——十——ctana+d

cosacosa

asin2a+bsinacosa+ccos2a

②形如的分式，可將分子分母同時(shí)除以cos2a

dsin2a+esinacos<z+fcos2a

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asin2asinacosaccos2a

得.-sina+lsinacosa+ccosa=cos2acos2acos2a

dsin2cif+esincifcosof+fcos2adsin2aesinacosafcos2a

cos2acos2acos2a

atan2a+btana+c

n------------5-------------------------------T

dtana+etana+f

③形如asin2a+Z?sinacosa+ccos2a的式子，可將其看成分母為1的分式

2222

anasma+bsinacosa+ccosaasina+6sinacosa+ccosa

即：-------------------------------=------------2-----------------2-------------------------

1sina+cosa

可將分子分母同時(shí)除以cos2a

2

asmabsinacosaccos2a

asnrc+bsinecose+ccos-十—s2acos2acos2c

國：?22—?22

sina+cosasinacosa

212

cosacosa

atan2a+btana+c

n--------------------2------------------------

tana+1

④形如asina±Z?cosa=4=^>(tzsincr±Z?cosaf=A2

na1sin2a±Zabsinacosa+b2cos2a=A2

222a

na?sina+2absinacosa+bcos_^2

1

a2sin2a±labsinacosa+b2cos2a

=A2

si.n2a+cos2a

a2tan2a±labtana+b2

=M求tana即可

tan2a+1

⑤形如acos2a+力sin2anacos2a+26sinacosa轉(zhuǎn)化為形式③

它真題回眸

典例112023新高考1卷】已知sin(a—/?)=Lcosasin/?=’，貝!Jcos(2a+2月)=().

36

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7117

A.一B.-D.

9999

【答案】B

【解析】因?yàn)閟in(a-尸)=sinacos尸-coscifsin/3=—,而cosasin/?，因此sinacos￡二!，

362

2

則sin(a+,)=sinacos°+cosasm］3=—,

所以cos(2a+2/?)=cos2(a+/?)=1-2sin?(a+/?)=1-2x(1-)2=g.

故選：B

典例212023新高考全國H卷】已知a為銳角，cosa=S5,貝心也q=().

42

3—^5—1+A/53—y/~5—l+Vs

.-----jj.------?-----\-j?-------

8844

【答案】D

【解析】因?yàn)閏osa=l—25苗24=匕且，而戊為銳角,

24

解得：sin4=/3-V5_“一1）_卡-1.

故選：D.

典例312022新高考全國II卷】若sin(a+/?)+cos(a+/?)=2Ccos孫2則()

A.tan(a-0=lB.tan(a+0=l

C.tan(a一尸)=-1D.tan(a+尸)=一1

【答案】c

【解析】［方法一］:直接法

由已知得：sinacos/3+cosasin/+cosacos/一sinasin4=2(cosa—sina)sin/,

即：sinacos/3-cosasin/3+cosacos/3+sinasinp=0,

即：sin(a—尸)+cos(a—尸)=0

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所以tan(a_/)=_l

故選：C

［方法二］:特殊值排除法

解法一:設(shè)(3=0則sina+cosa=0,取a=~~，排除A,B；

71

再取a=0則sinP+cosp=2sin0,取「=一，排除D；選C.

4

［方法三］:三角恒等變換

sin(a+/?)+cos(a+,)=拒sin(a+/+?”A/5"sin[(a+?)+0

二力sin(a+?)cos尸+拒cos(a+^-)sin0=2也cos(a+^-)sin,

所以0sin(a+3)cos/?=V2cos(cr+^-)sin/?

TTTTTT

sin(cif+—)cos/?-cos(cr+—)sin/?=0即sin(a+]—￡)=0

?/cR、、/八、71/2.71V2.c、6,小八

/.sm(a—/?+-)=sm(a—6)cos—+cos(a—￡)sm—=——smz(a—/?)+——cos(a—/?)=0

44422

，sin(a-p)=-cos(a-萬)即tan(a-尸)=-1,

故選：C.

71

典例412021新高考全國I卷】下列區(qū)間中，函數(shù)/（x）=7sinX--單調(diào)遞增的區(qū)間是（）

n3兀

1,2萬

A.B.2^D.

【答案】A

（TCTC

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)》=$也%的單調(diào)遞增區(qū)間為2左〃一萬,2左〃十萬(左eZ),

71

對于函數(shù)/(x)=7sinX--，由2k兀一三<x一三<2k7i+三｛keZ),

262

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TC

解得2k兀-----<x<2左"

3

?。?0,可得函數(shù)/（X）的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為。

則A選項(xiàng)滿足條件，B不滿足條件;

取左=1,可得函數(shù)/（X）的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為

CD選項(xiàng)均不滿足條件.

故選：A.

名校預(yù)測

sina(1—sin2a)

預(yù)測1（2024嚀夏銀川?模擬預(yù)測）若tan（a+J=-2,則

cosa-sina

兒一|3D.”

B.一c

5-15

預(yù)測2(2024?浙江?模擬預(yù)測)已知cos(a+/7)cosy-cosacos(〃+y)=；,則

sinasin('+/)—sin(a+〃)sin/=()

11

A.——B.——cD

63-I-1

兀兀

預(yù)測3（2024?山西?模擬預(yù)測）已知sinasinla+-=coscrsinaj,貝！Jtan12a-；

6

A.V3B.—c.2-V3D.2+6

3

預(yù)測4（2024?貴州遵義模擬預(yù)測）已知向量5=（4,2）,彼=（235/25吊0）,當(dāng)五.6取得最大值時(shí)1@11。=（）

11

BC.一D.-

-I45

預(yù)測5(2024?青海西寧?模擬預(yù)測)已知tana+tan月=5,cosacos/?=—,IJj!jsin(cr+>0)=()

6

114

A.-B.一D.-

65C15

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‘趕名師押題

貝！jsin[<9+gj=

押題1已知)

A3—V6口3+^60yl'6

6633

押題2已知XE0,：,sinx+cosx=h，，則tan[x—?)=(

)

A.3B.-3C.-V5D.2

押題3已知COSXu-qXE]兀,,貝ljcos[x+；j=()

A672-1D672+1c-672+1

A?------JJ.--------C?-----------------2#+G

101010io

押題4若兀且5cos2a=V2貝!Jtana=

431

A.B.C.D.1

343

押題5已知戊,，滿足1@119+5)=3/211(3一2)=:，則tan(a+2/7)=()

6122

?

參考答案與解析

名校預(yù)測

預(yù)測1：答案A

■、乂■/兀、tana+1A力,口_

【詳解】tan(of+—)=--------=-2,解得tana=3,

41-tana

sina(1-sin2(7)sina(cosa-sina)2sina?osa-sina)

所以

cosa-sin。cosa-smacos2a+sin2a

tana(1-tana)3X(1-3)=3

1+tan2a1+9一一M

故選：A.

預(yù)測2：答案B

2024年高考數(shù)學(xué)考前20天終極沖刺攻略（新高考新題型專用）含答案解析

【詳解】因?yàn)閏os(a+，+/)=cos(a+，)cos7—sin(a+，)sin7,

又cos(a+P+y^=cosacos+y)-sinorsin(y0+y),

所以cos(a+')cosy-sin(a+/?)sin/=cosacos—sinasin(/?+7),

()(△+/)=；，

|3^JCOS6Z+^COS/-COS6ZCOS

則sin?sin(^+/)-sm(a+/?)sin/=cosacos(/7+/)-cos(a+^)cos/=

故選：B.

預(yù)測3：答案C

得V3.21-V~321-

2sma+—smacosa=——cosa—smacosa，

0222

即2cos2a-sin2a)=sinacosa，所以^^cos2a='sin2a,

/。。

所以tan2a=內(nèi),

所以tan(2a-^-\="廠】=2-e.

I4j1+V3xl

故選：C.

預(yù)測4：答案A

【詳解】3?=4sin+8cosa=475sin(cif+(p),其中sin°=^^,cas(p=^~，

故當(dāng)a+0=2左"+萬(左￡Z)時(shí)，五.6取得最大值4百，

,sin2k"-----cp

,,,smaI2)cos。1

此時(shí)tana=-------=—>----------------7~^=一

cosac771IsinG72

COSI2^4---^)1，

故選：A.

預(yù)測5：答案C

sinacos,+cosasin,

【詳解】因?yàn)閠ana+tan/?==5

coscrcos/?

又cosacos/?=一,

6

2024年高考數(shù)學(xué)考前20天終極沖刺攻略（新高考新題型專用）含答案解析

所以sinacos/7+cosasin/?=sin(a+/)=5cosacos夕=—,

6

故選C.

名師押題

押題1:答案B

【詳解】由-可得一建0+9],又sin"A=，L則cos"印"，

332626J3[6)3

故sinje+4]=sin[e+'+工]=sinje』[co止+cos]?J]si:=^-?+灰故選:B.

(3)(661(6)6(61632326

押題2：答案A

【詳解】因?yàn)閟hrr+cosxn迷,所以收sin[x+巴]=述，所以sin[x+^]=巫，

5I4J5I4)10

又xe0,[,所以x+：e,所以cos，+工]=Jl—si/jx+e]=巫^

4J4142」{4J10

所以tan|x+：J=3

故選：A

押題3:答案A

（兀17171112遙'V3_6V2-1

I3J3廠人［一丁J~T~10

故選：A.

押題4：答案A

【詳解】由5cos2a=瓜:a得5(cos2a-sin2a)=A/5"|^-cosa-拳sina

即5(cosa-sina)(cosa+sina)=cosa-sina,

因?yàn)樨Ｋ詂osa-sinaw0,

2024年高考數(shù)學(xué)考前20天終極沖刺攻略（新高考新題型專用）含答案解析

所以cosa+sina=《，結(jié)合cos?a+sin2a=1,且cosa<0,sina>0,

,3.4sina4

Z得Fcosa=——,sma=—,所以tani=-------=——.

55cosa3

故選：A.

押題5:答案B

v

兀1兀兀1o4

【詳解】由tan(=—夕)=彳，得1@口(工一2月)=1@112(不一萬)二------嶺——=-

1226122

i-tan(^-^)3

tan(cu+—)-tan(--2/3)3--

所以tan(a+2￡)=tan[(a+$-(/_2￡)]=----------------------三----=---,

1+tan(<7+—)tan(——2/7)l+3x—

663

故選：B

平面向量（選填題）

,考情分析

年份題號(hào)知識(shí)點(diǎn)考點(diǎn)

2021年I卷10坐標(biāo)向量坐標(biāo)向量與三角函數(shù)的綜合

2021年II

15平面向量平面向量數(shù)量積

卷

2022年I卷3平面向量用基底表示某向量

2022年II平面向量數(shù)量積

4坐標(biāo)向量

卷

2023年新3坐標(biāo)向量平面向量數(shù)量積

高考116平面向量平面向量與雙曲線綜合

2023年新

13平面向量平面向量數(shù)量積

高考2

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近三年，平面向量在選填中占據(jù)一個(gè)位置，考查的考點(diǎn)一般來說是：

1、平面向量的基礎(chǔ)知識(shí)及共線定理（①平面向量的四則運(yùn)算②平面向量共線定理）

2、平面向量極化恒等式及等和線（①極化恒等式②等和線定理）

3、平面向量建系法及對角線向量定理（①平面向量建系法.②對角線向量定理③平面向量奔馳定理及向量四

心④平面向量的基本運(yùn)算及基底）

題干的設(shè)置一般來說在上述的三項(xiàng)考點(diǎn)中選其一項(xiàng)。平面向量題目中若表示向量則最好采用建系的思

想，平面向量題目中若表示求向量積最值問題則最好采用極化恒等的思想，另外考生們要想靈活應(yīng)用小技

巧則需在有限的時(shí)間內(nèi)多推導(dǎo)幾遍，考場中便可輕松搞定。

從近三年的全國卷的考查情況來看，本節(jié)是高考的熱點(diǎn)，其中平面向量數(shù)量積定值和向量積最值考查

比較頻繁平面向量三類題目比重相當(dāng)，新高考主要以基向量表示平面向量及向量積最值的形式考查，因小

結(jié)論偏多，考生需多推導(dǎo)一遍，試題靈活，下面為考生已總結(jié)..

宅應(yīng)試絲備

一、平面向量的基礎(chǔ)知識(shí)及共線定理

平面向量的四則運(yùn)算

技巧總結(jié)

①向量加法與減法的法則：

平行四邊形法則：以同一點(diǎn)。為起點(diǎn)的兩個(gè)已知向量”，8為鄰邊作口3。瓦則以。為起點(diǎn)的對角線歷

就是a與b的和.

圖形表示:

字母表示：OA+OB=OCOA-OB=BA

坐標(biāo)表不：記OA=（X],乂），OB=（x2,%）則Q4+O8=（玉+乂,x2+y2）

OB-OA={x2-xl,y2-yt）

三角形法則：如果把兩個(gè)向量的起點(diǎn)放在一起，那么這兩個(gè)向量的差是以減向量的終點(diǎn)為起點(diǎn)，被減向量

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的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量.

圖形表示:

字母表示：OA+^B=OB

坐標(biāo)表示：記OA=(%,乂)，OB=(x2,%)貝UOA+OB=(XA+yx,x2+%)

OB-OA={X2,y2-jj)

②向量數(shù)乘的定義

實(shí)數(shù)力與向量方的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作位

圖形表示：

A'~

字母表示：AB=ma(meR)

坐標(biāo)表示：記Q=(1,>),則ma-(mx,my)

③兩個(gè)向量的數(shù)量積

圖形表示：/

字母表示：用?口COS(Q,弓

坐標(biāo)表示:記〃=(須，必),b=(x2,y2),貝!]q加=+必％

注意：

1、向量B與非零回重5共線的充要條件是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)X,使得彼=25.

2、設(shè)5=(再,%)石二(、2，%),5〃3，=>西必—工2%二0，

a-Lb=0=xxx2+為乃=0.

3、兩個(gè)向量a,B的夾角公式：cos0=.X^+.V2---.

擊+小值+/2

平面向量共線定理

技巧總結(jié)

定理1：定知玩=2莎+〃而，若4+4=1,則/、B、。三點(diǎn)共線；反之亦然

平面向量共線定理證明

若點(diǎn)/、B、?；ゲ恢睾?，尸是/、B、。三點(diǎn)所在平面上的任意一點(diǎn)，且滿足正=xA?+y麗，則

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4、B、C三點(diǎn)共線=x+y=l.

證明：(1)由x+y=ln4、B、C三點(diǎn)共線.由x+y=1得

PC=xR4yPB=xR4-l-(1-x)~PB^PC-PB=x(R4-PB)^BC=xBA.

—?—*

即8C,A4共線，故/、B、。三點(diǎn)共線.

(2)由4、B、。三點(diǎn)共線nx+y=l.

---?---?---?---?

由/、5、。三點(diǎn)共線得8C,A4共線，即存在實(shí)數(shù)x使得5C=XA4.

故加+正=2麻+應(yīng))n正=2或+(1—2)麗.令x=X,y=l—；l,則有x+y=l.

推廣1：分點(diǎn)恒等式

①當(dāng)M為5C中點(diǎn)時(shí);②當(dāng)BM=2MC；

AM=-AB+-ACAM=-AB+-AC

③當(dāng)藥〃=3MC時(shí);④當(dāng)3/=時(shí),

AM=-AB+-AC

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31—■

AM=-AB—AC

22

結(jié)論：分點(diǎn)恒等式：在AX5C中，M為直線上一等分點(diǎn)，當(dāng)=時(shí),

->1—>-A—?

有=——AB+——AC

1+21+2

AT-----------------B

分點(diǎn)恒等式變形：

---*777---*n

在A4BC中，。是上的點(diǎn)，如果忸。|:|。。|=加：〃，則/￡>=-----AC+AB

m+nm+n

二、平面向量極化恒等式及等和線

向量方法證明:平行四邊形的對角線的平方和等于兩條鄰邊平方和的兩倍.

證明：不妨說刀=a7萬=3則就=1+B,DB=a-b

2------>2(——\2|—|2——I-12

AC=AC-\a-\-bj-\a\+2a.Z?+b(1)

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—?2—>2

DB=DB=

--*2?2

(1)（2）兩式相加得:AC+DB

結(jié)論：定理：平行四邊形對角線的平方和等于兩條鄰邊平方和的兩倍.

將上面（1）（2）兩式相減,a-b=^R+極化恒等式

即：a-b=^\AC\]-\DB^（平行四邊形模式）

在三角形45c中（/為的中點(diǎn)），恒等式：

因?yàn)?c=23N,所以方.芯=|/朋f一忸必2（三角形模式）

極化恒等式的作用主要在于，它可以將兩個(gè)向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化為這兩個(gè)向量的“和向量”與“差向量”，因此，

當(dāng)兩個(gè)向量的“和向量'’或"差向量”為定向量時(shí)，常?？梢钥紤]利用極化恒等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

常