2024年高考數(shù)學(xué)考試易錯(cuò)題：數(shù)列（新高考專(zhuān)用）（解析版）

專(zhuān)題08數(shù)列

題型一：數(shù)列求最值問(wèn)題e易錯(cuò)點(diǎn)：混淆數(shù)列與函數(shù)的區(qū)別

題型二：等比數(shù)列利用中項(xiàng)求其它生、易錯(cuò)點(diǎn)：忽視兩個(gè)“中項(xiàng)"的區(qū)別

題型三：等比數(shù)列求和0、易錯(cuò)點(diǎn)：忽略等b啜列求和時(shí)對(duì)q的討論

題型四：求通項(xiàng)公式0.易錯(cuò)點(diǎn)：由公求a”時(shí)忽略對(duì)"=1"的檢驗(yàn)

題型五：數(shù)列求和已易錯(cuò)點(diǎn)：裂項(xiàng)求和留項(xiàng)出錯(cuò)

易錯(cuò)點(diǎn)一：混淆數(shù)列與函數(shù)的區(qū)別（數(shù)列求最值問(wèn)題）

1、等差數(shù)列的定義

（1）文字語(yǔ)言：一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)；

（2）符號(hào)語(yǔ)言：a“+「an=d（"wN*,"為常數(shù)）.

2、等差中項(xiàng)：若三個(gè)數(shù)a,A,6組成等差數(shù)列，則/叫做a,b的等差中項(xiàng).

3、通項(xiàng)公式與前〃項(xiàng)和公式

（1）通項(xiàng)公式：a?=%+（〃-l）d.

（2）前〃項(xiàng)和公式：邑=〃%+若幽產(chǎn).

（3）等差數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系

①通項(xiàng)公式：當(dāng)公差dwO時(shí)，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式%=%+（"-1皿=而+是關(guān)于〃的一次函數(shù),

且一次項(xiàng)系數(shù)為公差若公差d>0,則為遞增數(shù)列，若公差d<0,則為遞減數(shù)列.

②前〃項(xiàng)和：當(dāng)公差"*0時(shí)，邑=〃%+器辿〃=；|〃2+（%一；|）77是關(guān)于〃的二次函數(shù)且常數(shù)項(xiàng)為。

已知數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，S,是其前“項(xiàng)和.

1、等差數(shù)列通項(xiàng)公式的性質(zhì)：

（1）通項(xiàng)公式的推廣：an=am+（n-m）d（n,m^N*）.

（2）若k+l=m+n（k，rn,neN*）,則w+q=〃“+%.

（3）若｛%｝的公差為d,貝！|｛出"｝也是等差數(shù)列，公差為2d.

（4）若也｝是等差數(shù)列，則｛0％+處｝也是等差數(shù)列.

2、等差數(shù)列前〃項(xiàng)和的性質(zhì)

(1)邑，="(%+。2,)=--="(%+%+1)；

(2)=Q"T)%;

(3)兩個(gè)等差數(shù)列｛%｝,也｝的前n項(xiàng)和S”，1之間的關(guān)系為沁=9.

，2鞏-1

(4)數(shù)列s“，S2m-sm,s3m-…構(gòu)成等差數(shù)列.

3、關(guān)于等差數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)和與偶數(shù)項(xiàng)和的性質(zhì)

(1)若項(xiàng)數(shù)為2〃，貝IJS偶一5奇=加7,=

'偶an+\

S有n

⑵若項(xiàng)數(shù)為2〃-1,貝”(禺=(〃-1)%,,5奇="。?,S奇一S偈=《，-^=--

6偶"T

最值問(wèn)題：解決此類(lèi)問(wèn)題有兩種思路：

一是利用等差數(shù)列的前"項(xiàng)和公式，可用配方法求最值，也可用頂點(diǎn)坐標(biāo)法求最值；

二是依據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式%=q+(〃-1”=辦+(%-d),當(dāng)d>0時(shí)，數(shù)列一定為遞增數(shù)列，當(dāng)d<0時(shí),

數(shù)列一定為遞減數(shù)列.所以當(dāng)為>0,且d<0時(shí)，無(wú)窮等差數(shù)列的前”項(xiàng)和有最大值，其最大值是所有非

負(fù)項(xiàng)的和；當(dāng)為<0,且">0時(shí)，無(wú)窮等差數(shù)列的前"項(xiàng)和有最小值，其最小值是所有非正項(xiàng)的和，求解

非負(fù)項(xiàng)是哪一項(xiàng)時(shí)，只要令%20即可

易錯(cuò)提醒：數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，在求解數(shù)列問(wèn)題時(shí)有時(shí)可以利用函數(shù)的性質(zhì)，但是在利用函數(shù)單調(diào)性

求解數(shù)列問(wèn)題，要注意"的取值不是連續(xù)實(shí)數(shù)，忽略這一點(diǎn)很容易出錯(cuò).

三

例.已知等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S",且%=1,S5=10,求S,取得最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的"值.

【詳解】在等差數(shù)列｛%｝中，&=幺愛(ài)x5=^x5=10,貝1]%=2,而。4=1,

于是公差6?=%—%=-1，因此=%+(〃—3)d——九+5,

由與NO,得“V5,顯然數(shù)列｛%｝是遞減等差數(shù)列，前5項(xiàng)都是非負(fù)數(shù)，從第6項(xiàng)起為負(fù)數(shù)，所以s“的最

大值為凡=風(fēng)=%；&x4=10，此時(shí)”=4或"=5.

變式1.數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，q=50,"=-0.6.

⑴從第幾項(xiàng)開(kāi)始有%<0?

(2)求此數(shù)列的前〃項(xiàng)和的最大值.

【詳解】(1)因?yàn)椋?50,d=-0.6,所以%=50-0.6(〃-1)=-.06〃+50.6

令一0.6〃+50.6?0,貝I」〃2p84.3.由于〃wN*,故當(dāng)〃>85時(shí)，%<0,

0.6

即從第85項(xiàng)開(kāi)始各項(xiàng)均小于0；

(2)方法1：5“=50〃+(-0.6)=-0.3/+50.3〃=-0.3、一半］十嗡.

當(dāng)〃取最接近于受503的自然數(shù)，即〃=84時(shí)，S,取到最大值54=2108.4.

6

方法2：因?yàn)閐=—0.6<0,q=50>0,由(1),知%>0，。85<0，

所以$<$2<???<$84,且$84>§85>$86>….

04乂QO

所以(S.)mx=%=50X84+-^—X(-0.6)=2108.4.

變式2.記S“為等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，已知為=-7,S3=-15.

⑴求｛%｝的通項(xiàng)公式;

(2)求S”的最小值.

【詳解】(1)設(shè)公差為d,4=-7,

3x(1)

Z.S3=3x(-7)+^~t/=-21+36/=-15,解得d=2,

=4+(〃—1)d=2〃—9.

(2),:a、=-7,d=2,

n2

Sn="％+("2—d=n-8/2=(〃-4)~-16,

.?.當(dāng)〃=4時(shí)，S“最小，最小值為-16.

變式3.等差數(shù)列｛%｝,Sn=-ll,公差d=-3.

(1)求通項(xiàng)公式和前"項(xiàng)和公式；

(2)當(dāng)〃取何值時(shí)，前〃項(xiàng)和最大，最大值是多少.

【詳解】(1)由S,為等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，則耳|=上竽￡=@盧=11&=T1，解得G=T，

=Qe+(〃-6)d=-1+(〃-6)x(-3)=17-3〃，貝(j4—17—3=14,

n(%+?！?〃(14+17-3〃)331

S“二n2H-----n

2222

(2)由?！?17-3〃，則數(shù)列｛%｝為遞減數(shù)列，

由&=T<0,%=2>。，則當(dāng)〃=5時(shí)，5.取得最大值，即最大值為1=5.(；+2)=40.

1.已知數(shù)列｛叫是等差數(shù)列，若%+初<0，4。4<0,且數(shù)列｛叫的前〃項(xiàng)和九有最大值，當(dāng)S〃>0

時(shí)，”的最大值為()

A.20B.17C.19D.21

【答案】C

【分析】可判斷數(shù)列｛%｝是遞減的等差數(shù)列，利用前〃項(xiàng)和公式和等差數(shù)列的性質(zhì)可得%>0,％,<0,進(jìn)而

可得”的最大值.

【詳解】因?yàn)榧?%1<0，所以和%1異號(hào)，

又等差數(shù)列｛??｝的前?項(xiàng)和E,有最大值，

所以數(shù)列｛%｝是遞減的等差數(shù)列，

所以q0>0,<0,

所以

S20=%x20=10(0(+a20)=10(a9+a12)<0,

所以當(dāng)S0>0時(shí)，〃的最大值為19.

故選：c.

2.已知等差數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和為S.，7a5+5%=0,且。9>%，則A取得最小值時(shí)〃的值為()

A.5B.6C.7D.8

【答案】B

【分析】由等差數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式，求得&<0，%>0,進(jìn)而得到當(dāng)當(dāng)lW〃W6,〃eN*時(shí)，??<0,當(dāng)

7/6N*時(shí)，%>0,即可求解.

【詳解】由等差數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式7%+5%=0,得

7(q+4d)+5(%+8d)—0,12%+68d=0,%=-----d,--=------,又,%>%,

3d3

以％<0,d>0,*.*%+d=0,「.4+5d+5d=0「./+5d=%<°,%+d+—d=>0,

則等差數(shù)列｛。/中滿(mǎn)足4<0，%>0,且d〉0，

數(shù)列｛%｝為遞增數(shù)列，且當(dāng)1w加W6,〃EN*時(shí)，?！?lt;°，當(dāng)"27,〃GN*時(shí)，??>0,

所以當(dāng)S“取得最小值時(shí)，〃的值為6.

故選：B.

3.已知數(shù)列｛〃“｝中，。1=25,4%+1=4%一7,若其前〃項(xiàng)和為反，貝1J8幾的最大值為（）

,八一765705

A.15B.750C.——D.——

42

【答案】C

7

【分析】由題意可得數(shù)列｛%｝是以首項(xiàng)為25,公差4=-^的等差數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及前〃

項(xiàng)和的性質(zhì)分析運(yùn)算.

7

【詳解】由4。用=44一7,可得%+產(chǎn)％—a,

7

所以數(shù)列｛%｝是以首項(xiàng)為25,公差1=的等差數(shù)列，且｛%｝為單調(diào)遞減數(shù)列，

,7、7107

其通項(xiàng)公式為%=25+（〃-叫_/=7+/

71077100

當(dāng)%=—：〃■1—>0且〃用二—?-n-\?—<0時(shí)，Sn最大，

“4444

M?>—,貝ij"=i5,

77

即數(shù)列｛an｝的前15項(xiàng)均為非負(fù)值，第16項(xiàng)開(kāi)始為負(fù)值，

4。-15x14/7、765

故S/5取大，S]5=15X25H--xI--1=.

故選：C.

4.若｛6｝是等差數(shù)列，首項(xiàng)%>0,a2O2l+a2Q22>0,a2021.a2022<0,則使前“項(xiàng)和邑>0成立的最大自然數(shù)

“是（）

A.2021B.2022C.4042D.4043

【答案】C

【分析】根據(jù)題意得。2021>°，02022<0?再結(jié)合$4043=4。43。2022<。，54042=2021(?2021+?2022)>0>求解即可.

【詳解】根據(jù)%>得所以5=4043（;+

o,?2021??2022<0a2021>0,?2022<0,4043喙）=4043$<0,

因?yàn)椤?。21+?2022>0,所以品>42=竺"78=2021（g⑼+?2022）>0，

所以使前“項(xiàng)和S">0成立的最大自然數(shù)"是4042.

故選：C

5.設(shè)｛0｝是等差數(shù)列，，是其前〃項(xiàng)和，且&<久，S—,則下列結(jié)論正確的是（）.

A.d>0B.%=0

C.S9>s5D.凡與與均為邑的最大值

【答案】BD

【分析】對(duì)于B：根據(jù)題意結(jié)合前〃項(xiàng)和分析可得R>0，。7=0，g<。；對(duì)于A：根據(jù)等差數(shù)列的定義分析

判斷；對(duì)于C：根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)分析可得%+%+%+為<0,進(jìn)而可得結(jié)果；對(duì)于D：根據(jù)等差數(shù)列

的正負(fù)性結(jié)合前n項(xiàng)和的性質(zhì)分析判斷.

【詳解】因?yàn)?<$6，S6=S7>Ss,

貝I]a6=S6-S5>0,a1=S1-S6=0,as=Ss-Sy<0,故B正確；

設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,則1=%-。6<0,故A錯(cuò)誤；

可知數(shù)列｛%｝為遞減數(shù)列，可得外>出>?,,>%=0>6>…，

可得R+%+網(wǎng)+%=2（%+%）=2as<0,

所以$9=$5+。6+%+4+%<$5，故C錯(cuò)誤；

因?yàn)镼為最后一項(xiàng)正數(shù)，根據(jù)加法的性質(zhì)可知：$6為S”的最大值，

又因?yàn)槠?品，所以$6與M均為s“的最大值，故D正確；

故選：BD.

6.設(shè)等差數(shù)列｛氏｝的前〃項(xiàng)和為5“，公差為d.已知。4=12,514>0,S15<0,則下列結(jié)論正確的是（）

A.a7<0B.——<d<-3

C.$7=84D.設(shè)的前〃項(xiàng)和為北，則%>。時(shí)，〃的最大值為27

【答案】BC

【分析】由已知求得。8<0，%>0,解公差為d的取值范圍，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求和公式及其性質(zhì)

逐個(gè)選項(xiàng)判斷正誤即可.

【詳解】S15<0,14”%4）=7（%+/）>0,15"/5）=]5%<0,

+6Z8>0,678<0,6Z7>0,A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

又,.?〃4=12,即％=12—3d,

%+1—%+3d+。4+4d—24+7d〉0

，解得一亍</<一3B選項(xiàng)正確;

=&+4d=12+4d<0

...$=7（%；%）=7%=84,故C選項(xiàng)正確;

因?yàn)榈炔顢?shù)列｛?！埃那啊表?xiàng)和為，所以與d,

S“S“="%+DBP—=+---d,

n2

數(shù)列用為等差數(shù)列,設(shè)或個(gè)=%+—"，

因?yàn)楫?dāng)〃414時(shí)，S〃>0,當(dāng)〃>15時(shí)，Sn<0,

所以當(dāng)〃414時(shí)，b及>0,當(dāng)〃>15時(shí)，<0,

所以=^^乂27=2744>0，38=^^*28=14(2?[+多]=14(24+;

24

因?yàn)?萬(wàn)</<-3,所以盤(pán)可能為正數(shù)，也可能為負(fù)數(shù)，所以D選項(xiàng)不正確.

故選：BC.

7.已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和S”滿(mǎn)足S,=的2+ll"+6(a,6eR,〃eN*),則下列說(shuō)法正確的是()

A.6=0是｛%｝為等差數(shù)列的充要條件

B.｛0｝可能為等比數(shù)列

C.若a>0,beR,則｛%｝為遞增數(shù)列

D.若。=一1,則凡中，/，A最大

【答案】ABD

【分析】計(jì)算q=。+6+11,當(dāng)〃22時(shí)，an=2an+11-a,驗(yàn)證知A正確，當(dāng)〃二6二0時(shí)是等比數(shù)列，B

正確，舉反例知C錯(cuò)誤，計(jì)算。6=0得到D正確，得到答案.

2

【詳解】Sn=an+lln+b,ax=Sx=a+b+11；

2

當(dāng)〃22時(shí)，an=S〃-S-i=an+lln+b--11(〃一/-b=2anv11-6,

當(dāng)6=0時(shí)，4=。+11,滿(mǎn)足通項(xiàng)公式%=2曲+11-。，數(shù)列為等差數(shù)列；

當(dāng)｛%｝為等差數(shù)列時(shí)，4=2"+ll-"=11+"+6,b=0,故A正確；

當(dāng)a=6=0時(shí)，%=11,是等比數(shù)列，B正確；

%=3。+11,取6=24，則4=4，C錯(cuò)誤；

當(dāng)。=-1時(shí)，從第二項(xiàng)開(kāi)始，數(shù)列遞減，且%=-2〃+12,故4=0,故工，S6最大,D正確.

故選：ABD

8.已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和S"=-/+9〃HeN*),則下列結(jié)論正確的是()

A.｛為｝是等差數(shù)列B.&+。6=。

81

c.g<%0D.s”有最大值二

【答案】AB

【分析】由％與S”的關(guān)系求出數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)，從而可判斷AB,根據(jù)數(shù)列性質(zhì)可判斷C,根據(jù)前〃項(xiàng)和5

的函數(shù)性質(zhì)可判斷D.

【詳解】當(dāng)72=1時(shí)，。[=5[=8,

當(dāng)時(shí)，

22

a?=Sn-S,i=-n+9n-[-(?-1)+9(?-1)]=10-2n,符合％=8,

故4=10-2/z,(?eN*),

所以a“+i=10-2(n+l)=8-2〃,an+x-an=-2,

所以數(shù)列｛見(jiàn)｝是等差數(shù)列，首項(xiàng)為%=8,公差〃=-2,A正確；

%+。6=2。5=。，B正確；

因?yàn)楣睢?-2<0,所以數(shù)列｛4｝是遞減數(shù)列，所以。9>%。，C錯(cuò)誤；

s=-n2+9n=-(n--)2+—,

24

易知當(dāng)〃=4或5時(shí)，S.有最大值邑=1=20,D錯(cuò)誤.

故選：AB

9.數(shù)列｛%｝的前”項(xiàng)和為S"，已知y=-/+7",則下列說(shuō)法正確的是（

A.｛%｝是遞增數(shù)列B.=-14

C.當(dāng)〃>4時(shí)，an<0D.當(dāng)〃=3或4時(shí)，S”取得最大值

【答案】CD

【分析】根據(jù)邑表達(dá)式及2時(shí)，a“=S“-ST的關(guān)系，算出數(shù)列｛%｝通項(xiàng)公式，即可判斷A、B、C選項(xiàng)

的正誤.S,=-n1+7n的最值可視為定義域?yàn)檎麛?shù)的二次函數(shù)來(lái)求得.

【詳解】當(dāng)"22時(shí)，an=Sn-Sn_x=-2n+^,又％=品=6=-2x1+8,所以％=-2"+8,則｛4｝是遞減數(shù)

列，故A錯(cuò)誤；

%。=72,故B錯(cuò)誤；

當(dāng)〃>4時(shí)，?！?8-2〃<0,故C正確；

7

因?yàn)镾.=-/+7〃的對(duì)稱(chēng)軸為"=5,開(kāi)口向下，而〃是正整數(shù)，且〃=3或4距離對(duì)稱(chēng)軸一樣遠(yuǎn)，所以當(dāng)〃=3

或4時(shí)，5“取得最大值，故D正確.

故選：CD.

10.等比數(shù)列｛4｝中％=16,。6=2,則數(shù)列｛log?%｝的前〃項(xiàng)和的最大值為.

【答案】21

【分析】先求得數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式，由此求得數(shù)列｛log?%｝的通項(xiàng)公式，可知數(shù)列｛log??！保堑炔顢?shù)列，

然后根據(jù)通項(xiàng)公式的特征求得前n項(xiàng)和的最大值.

【詳解】由于等比數(shù)列｛?！埃?，?3=16,。6=2,

所以卜“5：6,解得q=64,q=：,

[axq=22

=2'-",所以log?%=7-〃,

所以數(shù)列｛log???｝是首項(xiàng)為6,公差為-1的等差數(shù)列，

當(dāng)時(shí)，log2a?>0；當(dāng)〃=7時(shí)，log2a?=0；當(dāng)〃>7時(shí),log2a?<0,

則當(dāng)"=6或〃=7時(shí)，數(shù)列｛log?%｝的前"項(xiàng)和取得最大值，最大值為6+5+4+3+2+1=21.

故答案為：21.

11.記等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S”，若為>0,出+電。23=0，則當(dāng)S”取得最大值時(shí)，n=

【答案】1012

【分析】由出+出。23=0求出生和d的關(guān)系，結(jié)合等差數(shù)列前〃項(xiàng)和公式即可求解.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為"，由。2+。2。23=0可得：a,=-^~d,

ll…cn（n-l）2023〃dn（n-V）d,……、

所以》='2'dr=------+'2dr=—（n2~2024〃），

因?yàn)?>0,所以d<0,則S”是關(guān)于〃的二次函數(shù)，開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸”=1012,

由二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得：當(dāng)”=1012時(shí)，S.取最大值，

故答案為：1012.

易錯(cuò)點(diǎn)二：忽視兩個(gè)“中項(xiàng)”的區(qū)別（等比數(shù)列利用中項(xiàng)求其它）

1、等比數(shù)列的定義：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)非零常數(shù)，那么這個(gè)

數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示。

a-

數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)式：-=q（〃之2,4為非零常數(shù)）.

an-\

2、等比中項(xiàng)性質(zhì)：如果三個(gè)數(shù)a,G,6成等比數(shù)列，那么G叫做。與6的等比中項(xiàng)，其中G=±J拓,

注意：同號(hào)的兩個(gè)數(shù)才有等比中項(xiàng)。

3、通項(xiàng)公式及前〃項(xiàng)和公式

（1）通項(xiàng)公式：若等比數(shù)列｛%,｝的首項(xiàng)為%,公比是0,則其通項(xiàng)公式為=/0i；

nm

通項(xiàng)公式的推廣：an=amq-.

（2）等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式：當(dāng)q=l時(shí)，Sn=??1；當(dāng)qwl時(shí)，s“二%（l——'）二%—%、

\-q\-q

已知｛4｝是等比數(shù)列，S〃是數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和.（等比中項(xiàng)）

1、等比數(shù)列的基本性質(zhì)

（1）相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列，即，，ak+m,勾+2加，…仍是等比數(shù)列，公比為小".

⑵若｛%｝,同（項(xiàng)數(shù)相同）是等比數(shù)列，則｛血JCO）,片，｛硝，畀仍是等比數(shù)

列.

（3）若k+1=m+n（k,l,m,nGN*）,則有％

口訣：角標(biāo)和相等，項(xiàng)的積也相等推廣：片=《一/%+及（〃,左eN*,且"—左21）

（4）若｛%｝是等比數(shù)列，且％〉0,貝！!｛log/“｝（。＞0且。21）是以108“％為首項(xiàng)，1。8,4為公差的等

差數(shù)列。

2

（5）若｛%,｝是等比數(shù)列，Tk=axa^...ak,則，,多工‘乎‘…伏仁"*）構(gòu)成公比為/的等比數(shù)列。

Ik12k

易錯(cuò)提醒：若“c成等比數(shù)列，則6為。和c的等比中項(xiàng)。只有同號(hào)的兩數(shù)才有等比中項(xiàng)，“b2=ac”

僅是“b為a和c的等比中項(xiàng)”的必要不充分條件，在解題時(shí)務(wù)必要注意此點(diǎn)。

三聲

例.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛%｝中，a2a4+2。3a5+%%=25,則%+%等于（）

A.5B.10C.15D.20

【詳解】解：由等比數(shù)列的性質(zhì)可得念。4=田2,a4a6=。5?，

(*.a2Ci44_2asci5H-U4Ci6=ct32H_2asci5+as2=(的+。5)2=25,

又等比數(shù)列｛g｝各項(xiàng)均為正數(shù)，...％+。5=5,選項(xiàng)A正確

變式1.已知等差數(shù)列｛七｝的公差4*0,且％,4，生成等比數(shù)列，則=（）

13101115

A.B.—C.—D.—

16131316

【詳解】由題意可知，另=的9得（%+2d『=%（q+8d）,解得d=0或4=d,

因?yàn)閐。0,故q=d,

一％+%+。9_34+10d_13〃_13

出+為+陽(yáng)刈+1M16(i16,

故選：A.

變式2.已知見(jiàn)仇ceR,如果-1,a,b,。，-9成等比數(shù)列，那么（）

A.b=3,ac=9B.b=—3,ac=9

C.b=3,ac=—9D.b=—3,ac=—9

【詳解】因?yàn)閎是T和-9的等比中項(xiàng)，所以〃=(-l)x(-9)=9,設(shè)公比為/貝1］6=_?2,

所以6與首項(xiàng)-1同號(hào)，所以6=-3.又°,。必同號(hào)，所以ac=//=9.

故選：B

變式3.已知等比數(shù)列｛%｝中，a2+a6=5,a3-as=4,貝Ijtan［學(xué)］=()

向

A.也B.-V3C.g或-6D.-y-

【詳解】解：由等比數(shù)列性質(zhì)可知。2q=。3,%=4=a：，所以為=2或%=-2，

但4+4>0，可知%>0,所以&=2,

故選：B

I.已知等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，公差不為0,若滿(mǎn)足%、%、%成等比數(shù)列，則學(xué)W的值為（）

?5-?3

A.2B.3C.1D.不存在

【答案】A

【分析】根據(jù)題意，利用等比中項(xiàng)公式列出方程求得%=-4d,結(jié)合妥言=」^,即可求解.

a

S5-S3%+5

【詳解】由等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S〃，公差不為0,若滿(mǎn)足4,%，%成等比數(shù)列,

可得〃；=4%，即(％+2d)4=%(%+3"),整理得(4+4d).d=0,

因?yàn)閐wO,所以q=—4d,

—S-y4a,+2d—2d.

又由」——1=——」=」-----=----=2

S5-S3%+%2%+7d-d

故選：A.

2.已知公差不為零的等差數(shù)列｛%｝中，％+%=14,且％,%,%成等比數(shù)列，則數(shù)列｛%｝的前9項(xiàng)的和

為（）

A.1B.2C.81D.80

【答案】C

【分析】由題知為=7,〃；=%4，進(jìn)而根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式解得1=2,再求和即可.

【詳解】因?yàn)?+%=14,所以2a4=14,解得。4=7.

又4,%，%成等比數(shù)列，所以蝙=%“5.設(shè)數(shù)列｛4,｝的公差為"，

則(。4-2d)=(。4-32)(%+d)，即(7-22)=(7—3d)(7+d),整理得儲(chǔ)-2d=0.

因?yàn)閐wO,所以d=2.

所以9x(%+%)=9x(l+⑺/I.

922

故選:C.

3.已知〃=5+2指，c=5-2直，則使得。也。成等比數(shù)列的充要條件的6值為()

A.1B.±1C.5D.±2^/6

【答案】B

【分析】根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)求解即可.

【詳解】若。也c成等比數(shù)列，則62=ac,即6=土4^=±J(5+2#)(5-2#)=±1，

當(dāng)6=±1時(shí)，滿(mǎn)足。，4c成等比數(shù)列，

故使得。，“。成等比數(shù)列的充要條件的6值為士1.

故選：B

4.已知等差數(shù)列｛%｝的公差不為0,%=1且。2,%，W成等比數(shù)列，則錯(cuò)誤的是()

at+a9aAa5S口"+10、

A.---=2B.—>—C.=——D.Sn>an

“2+。3。344〃+12

【答案】c

【分析】設(shè)出公差，根據(jù)題干條件列出方程，求出公差，求出通項(xiàng)公式%=”,再利用通項(xiàng)公式和前〃項(xiàng)和

公式對(duì)四個(gè)選項(xiàng)一一計(jì)算，進(jìn)行判斷.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d(4/0).

因?yàn)椋?1且％,%，%成等比數(shù)歹U，所以(l+3d)2=(l+d)(l+7〃).

解得：d=l,所以?！?%+(/7-l)d=l+("-l)xl=〃.

ci,+etc，1+9.

對(duì)于入京點(diǎn)=而=2.故A正確;

24451ca.a.

對(duì)于B：因?yàn)?-----=T-J=—>0,所以一>一.故B正確;

。3。43412%。4

S”+1=(〃+l)(〃+2)="+2〃+1

對(duì)于c：片亍.故c錯(cuò)誤;

n+\~2(w+l)-2

對(duì)于D：因?yàn)镾"-%=攻上。一〃=攻上力，所以當(dāng)“21時(shí)，5＜！Izl）＞0,即”.故D正確.

222

故選：C

5.正項(xiàng)等比數(shù)列｛%｝中，4%是%與-2%的等差中項(xiàng)，若出=g，則。3%=（）

A.4B.8C.32D.64

【答案】D

【分析】依題意4%是%與-2%的等差中項(xiàng)，可求出公比夕，進(jìn)而由■求出&，根據(jù)等比中項(xiàng)求出4出

的值.

【詳解】由題意可知，4%是應(yīng)與-2a4的等差中項(xiàng),

所以。5一2。4=8%，即-2%0=8%，

所以/_2q_8=0,q=4或0=_2（舍），

所以。4=砧2=8,

a3a5=4；=64,

故選：D.

Y2

6.已知實(shí)數(shù)4,m,9構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，則圓錐曲線上+產(chǎn)=1的離心率為（）

m

A.—B.V7C.叵或eD.|■或7

666

【答案】C

【分析】根據(jù)等比中項(xiàng)可求機(jī)=±6,然后代入曲線方程分別得到曲線為橢圓和雙曲線，根據(jù)離心率的公式

即可求解.

【詳解】實(shí)數(shù)4,m,9構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，可得加=±6,

當(dāng)機(jī)=6時(shí)，圓錐曲線二+/=1為橢圓，則其離心率為：與二叵.

m766

當(dāng)〃?=-6時(shí)，圓錐曲線二+/=1為雙曲線,其離心率為："=療.

m1

故選：C.

7.數(shù)列｛%｝為等比數(shù)列，q=1,%=4,命題p：4=2,命題夕：的是%、%的等比中項(xiàng)，貝I夕是^的（）

條件

A.充要B.充分不必要C.必要不充分D.既不充分也不必要

【答案】A

【分析】根據(jù)等比中項(xiàng)的定義結(jié)合等比數(shù)列的定義判斷可得出結(jié)論.

【詳解】因?yàn)閿?shù)列｛與｝為等比數(shù)列，且%=1,%=4,若%=2,則生=%,

則的是％、%的等比中項(xiàng)，即pnq；

若的是％、%的等比中項(xiàng)，設(shè)｛%｝的公比為小，則/=%相2>0，

因?yàn)?。?%%=4,故%=2,即puq.

因此，P是q的充要條件.

故選：A.

8.在數(shù)列｛%｝中，為=2,a“=2%+i（〃eN*）,則為。3+。2。4+…+%o%2=（）?

A.1x（410-l）B.1x（4n-l）

【答案】D

【分析】由等比數(shù)列定義可知數(shù)列｛%｝為等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列性質(zhì)可知數(shù)列｛d｝是以4為首項(xiàng)，；為公

比的等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列求和公式可求得結(jié)果.

【詳解】??,4=2,4即a“+i=；a“

???數(shù)列｛4｝是以2為首項(xiàng)，y為公比的等比數(shù)列，

又?jǐn)?shù)列｛?；｝是以4為首項(xiàng)，:為公比的等比數(shù)列，

/2222\2

%%+〃204+,,,+〃10。12=1%+%++,,?+41)=

16(.1)4414(

=Txr#4=rr^=rrU?

故選：D.

9.已知｛4｝是等差數(shù)列，公差d<0,前〃項(xiàng)和為S〃，若〃3,%，4成等比數(shù)列，則()

A.>0,S4>0B.4<0,54<0C.4>0,54<0D.4<0,S4>0

【答案】A

【分析】首先由。3，%，網(wǎng)成等比數(shù)列可得然后計(jì)算得出％=-1"，再由d<0可得%>0,最

后由等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式即可得出邑的表達(dá)式，進(jìn)而得出所求的答案.

【詳解】因?yàn)榈?，?，。8成等比數(shù)列，所以為之二生心，

o5

即(為+3d)—(%+2d)(%+7d),即q——~d,

因?yàn)閐<0,所以%>0；

4x352

而Sq=4qH———d=4%+6d=4x+6d=—-17>0,

故選：A.

10.數(shù)1與4的等差中項(xiàng)，等比中項(xiàng)分別是()

,55-5.5

A.±—,+2B.—,+2C.—,2D.±-,2

2222

【答案】B

【分析】利用等差、等比中項(xiàng)的性質(zhì)求對(duì)應(yīng)中項(xiàng)即可.

【詳解】若等差中項(xiàng)為加，貝112%=1+4=5,可得%=：；

2

若等比中項(xiàng)為"，則〃2=ix4=4,可得〃=右；

故選：B

11.已知數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，%=2,其中公差dwO,若應(yīng)是。3和。8的等比中項(xiàng)，則幾=()

A.398B.388

C.189D.199

【答案】C

【分析】數(shù)列缶“｝是等差數(shù)列，%=2,其中公差d/O,由%是附和。8的等比中項(xiàng)，可得

(2+4")2=(2+2d)(2+7d),解得d即可得出.

【詳解】解：數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，6=2,其中公差???%是。3和%的等比中項(xiàng),

，(2+4dy=(2+2d)(2+7d),

化為d(d-l)=O,dwO.

所以d=1,

貝I]S[8=18X2+穹衛(wèi)xl=189.

故選：C.

易錯(cuò)點(diǎn)三：忽略等比數(shù)列求和時(shí)對(duì)q討論(等比數(shù)列求和)

等比數(shù)列前〃項(xiàng)和的性質(zhì)

(1)在公比qw—1或q=-l且〃為奇數(shù)時(shí)，s“,S2n-Sn,S3n-S2n,……仍成等比數(shù)列，其公比為/；

(2)對(duì)Vm,peM,有鼠+〃=S?,+q"Sp；

s

(3)若等比數(shù)列｛%｝共有2〃項(xiàng)，則”=夕，其中S偶，s奇分別是數(shù)列｛%｝的偶數(shù)項(xiàng)和與奇數(shù)項(xiàng)和；

J奇

(4)等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和J=#一—,令左=盧_,貝iJS“=左—左p"(人為常數(shù)，且qwO,l)

1-q\-q1-q

n%,q=1

易錯(cuò)提醒：注意等比數(shù)列的求和公式是分段表示的：s“=,所以在利用等比數(shù)列求和公式

—:----

Ii-q

求和時(shí)要先判斷公比是否可能為1,,若公比未知，則要注意分兩種情況4=1和g力1討論..

例?設(shè)等比數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S”.已知S用=2S“+g,〃eN*，貝IJA=.

【詳解】當(dāng)｛%｝的公比為1時(shí)，由S用=2S“+；可知顯然不成立，故公比不為1,

由S“+i=2S“+g得S〃+]-S“=S“+gna?+i=Sn+-1)

所以〃22時(shí)，a=Sn_x+1,相減可得%+1-。“=5"-5._|=。"=＞。"+1=2%,故公比q=2,又

1一——_1

a、—u+—P2cli—a1+—Pa,--,

21｝222

故v3(1一叫63,故答案為：與

3A=---------二—2

61-22

變式1.記s“為等比數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，若邑=-5,5=21邑，則$8=.

【詳解】等比數(shù)列｛%｝中，邑=5,5=21邑，顯然公比

設(shè)首項(xiàng)為%,則*Ql=_5①，華山=智匕?②，

\-q1-q1-q

化簡(jiǎn)②得/+如一20=0,解得［2=4或/=_5(不合題意，舍去)，

代入①得=4，

\-q3

所以S8=^1^=4(1-/)(1+/)=；X(T5)X(1+16)=-85.

\-ql-q3

故答案為：-85

變式2.在等比數(shù)列｛%｝中，%=；,砌=-4,令求數(shù)列也｝的前"項(xiàng)和S”.

【詳解】設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為,%=g,硝=-4，

所以%=%?/=-4,解得：q=-2,

所以%?(-2廣，

又2=⑷=((一2-=2一，所以$=M1Z￡)=2"->.1.

2"1-22

3

變式3.數(shù)列｛叫前〃項(xiàng)和S“滿(mǎn)足-=2S“+3,4=3,數(shù)列也｝滿(mǎn)足”=3點(diǎn).

⑴求數(shù)列｛%｝和也｝的通項(xiàng)公式；

(2)對(duì)任意機(jī)eN*,將數(shù)列抄“｝中落入?yún)^(qū)間(M4+J內(nèi)項(xiàng)的個(gè)數(shù)記為％，求數(shù)列｛c“｝前m項(xiàng)和Tm.

【詳解】(1)4=3,%+i=2S〃+3①，當(dāng)〃=1時(shí)，。2=2岳+3=9,

當(dāng)〃>2時(shí)，=2sl+3②，

兩式①-②得an+\~an=2?！?，即?！?1=3%,

其中々2=9=3%,也滿(mǎn)足上式，

故｛%｝是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，

故.“=%.3"T=3"；

6"=喝系=噫。=3〃-2；

（2）（i,向）=（3H）,

9?

令3m<3〃-2<3",my"-1+-<n<y+-,又〃eN*,

33

故〃=3"i+1,3叫7+2,…,3"',則c,“=3?-3叫一=2-S^1,

故汕=叁g=3,所以匕｝為等比數(shù)列，首項(xiàng)為。=2,公比為3,

%2.3

所以T=2（1-3匚"1—].

m1-3

1.已知｛%｝為等比數(shù)列，其公比4=2,前7項(xiàng)的和為1016,則bg2（%%）的值為（）

A.8B.10C.12D.16

【答案】C

【分析】根據(jù)等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式求出首項(xiàng)為,進(jìn)而可得%,再結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算即可得答案.

【詳解】依題意，$位%=[0]6,127^=1016,解得％=8,因此%=2川，

71-2

5712

所以噫（a3a5）=log2（2X2）=log22=12.

故選：C

2.已知正項(xiàng)等比數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，若％=1,9邑-1052=0,則工=（）

134012180

A.—B.—C.--D.—

9278127

【答案】c

【分析】由等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式直接計(jì)算即可.

【詳解】設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為q,

當(dāng)9=1時(shí)，9s「IOS2=36%-20%=16%w0,不符合題意，（注意對(duì)q=1情況的討論），

所以qwl,由9邑一10S2=0得9x%°一力=10x%（>"）,得q=；,（注意等比數(shù)列｛4｝為正項(xiàng)數(shù)列，故

\-q\-q3

>0）,

故選：c.

3.已知。|=1,電=1，an=an-\+2fl?-2+1(?>3,"€N*),g,為其前〃項(xiàng)和，則$60=()

A.230-31B.430-31C.2"-30D.430-30

【答案】B

【分析】利用遞推關(guān)系構(gòu)造得｛%+a,i+l｝是一個(gè)以3為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，再賦值，結(jié)合等比數(shù)

列的前“項(xiàng)和公式求答案.

【詳解】由%=%_]+2%_2+1(〃？3,〃eN*)可得+1=2。,_]+2aL2+2=2(a._]+%_2+1)，

已知q=l,a2=1,所以%+%+1=3,

即｛%+%7+1｝是一個(gè)以3為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，

n2

所以6+%+1=3x21,即4+an_x=3x2--1(?>2,?eN*),

%+%=3x2°—1,%+。4=3*2-