2024年高考數(shù)學最后沖刺訓練《五大類立體幾何題型》含答案解析

專題03五大類立體幾何題型-2024年高考數(shù)學大題

秒殺技巧及專項訓練（解析版）

c高考大題題型歸納②

【題型1線面平行問題（刻度尺平移大法）】

【題型2線面垂直問題（勾股定理妙解）】

【題型3點面距離（體積求算）問題】

【題型4線面夾角問題（兩大法）】

【題型5面面夾角問題（兩大法）】

基礎工具：法向量的求算

待定系數(shù)法：步驟如下：

①設出平面的法向量為）=（x,y,z）.

②找出（求出）平面內(nèi)的兩個不共線的向量a=（ai，A，q）,b=（a2,Z>2,c2）.

n-a=Q

③根據(jù)法向量的定義建立關于x,y,z的方程組1一1

n-b=Q

④解方程組，取其中的一個解，即得法向量.

注意：在利用上述步驟求解平面的法向量時，方程組1r有無數(shù)多個解，只需給

元?b=0

x,y,z中的一個變量賦于一個值，即可確定平面的一個法向量賦的值不同，所求平面的法

向量就不同，但它們是共線向量.

秒殺大法：口訣：求誰不看誰，積差很崩潰（求外用外減，求內(nèi)用內(nèi)減）

向量。=（占,%，4）,B=（X2，y2，Z2）是平面a內(nèi)的兩個不共線向量，則向量

ZXZ

n=-J2I，2I-X1Z2,X1J2-》2%）是平面a的一個法向量.

特別注意：空間點不容易表示出來時直接設空間點的坐標，然后利用距離列三個方程求解.

幾何法N:線面平行問題

線面平行：關鍵點n①必須將刻度尺與所證線重合，然后平移落在所證平面且留下痕跡②

眼神法：觀察采用哪一種技巧（五種方法）（記住六大圖像）

模型一中位線型

如圖⑴，在底面為平行四邊形的四棱錐尸-4BCD中，點￡是尸。的中點.求證：尸8〃平

面NEC.

分析:

模型二：構(gòu)造平行四邊形

如圖⑵，平行四邊形4BCD和梯形5EPC所在平面相交，BE//CF,求證：ZE〃平面

DCF.

分析：過點￡作EG〃/。交EC于G,DG就是平面ZEGD

與平面DC戶的交線，那么只要證明ZE〃DG即可。

如圖⑵

模型三:作輔助面使兩個平面是平行

如圖⑶，在四棱錐?！?BCD中，底面4BCD為菱形，M為CM的中點，N為5c的中

點，證明：直線跖V〃平面。CD

分析:：取08中點E,連接ME,NE,只需證平面"EN〃平面0CD。

模型四：利用平行線分線段成比例定理的逆定理證線線平行。

已知公共邊為Z6的兩個全等的矩形力靦和的'不在同一平面內(nèi)，P,0分別是對角線

劭上的點，且4—制（如圖）.求證：PQH平面CBE.

如圖⑸，已知三棱錐尸—48C,H、B'、。是AP5C,APC4,AP4B的重心.（1）求證:

如圖（6）

〃面48C；

向量法（向量法）所證直線與已知平面的法向量垂直，關鍵：建立空間坐標

系（或找空間一組基底）及平面的法向量。

如圖⑹，在四棱錐S—幺5。（中，底面Z3CD為正方形，側(cè)棱底面N5CD,E,F

分別為幺5,SC的中點.證明EE〃平面￡4。；

分析：因為側(cè)棱底面4BCD,底面48CD是正方形，所以很容易建立空間直角

坐標系及相應的點的坐標。

證明：如圖，建立空間直角坐標系。-町Z.

設Z(a,O,O),5(0,0,b),則B(a,a,0),C(0,a,0),

中,"|，0)/］吟3，而［-a'O'j.

因為y軸垂直與平面故可設平面的法向量為五=(0,1,0)

則：EF-H=f-a,0,11-(0,1,0)=0因此而，萬，所以EF〃平面￡40.

模型演煉

如圖，三棱柱/8C-4耳G中，。為底面△4AG的重心，OeCG，CD:DG=l：2.

⑴求證：。。||平面44。；

(2)若AA,1底面4BG,且三棱柱ABC-4耳G的各棱長均為6,設直線ABX與平面43c所

成的角為。，求sin。的值.

模型演演

如圖，平行六面體-4且GA中，EF分別為N&CC的中點，N在B出上.

⑴求證：E尸〃平面

271----?>

⑵若DC=DDX=2AD=4,/DQC=—,ADl平面DCQD^B.N=5NB,求平面EFN與平面

OCG。的夾角的余弦值.

模型演煉

如圖，已知四棱臺/BCD-4月CQ的上、下底面分別是邊長為2和4的正方形，平面44Q。

1平面4BCD,AA=DQ=后，點尸是棱?！ǖ闹悬c，點。在棱5c上.

(1)若20=30。，證明：尸?！ㄆ矫?班M；

(2)若二面角尸-。。-C的正弦值為宇，求20的長.

ONONEFINEDAY

專項滿分必刷

1.如圖，在直三棱柱48C-44cl中，AB1BC,AB=BC=BBt=2,M,N,P分別為

4月，AC,8c的中點.

C

求證：MN//平面8CG片;

2.如圖，在四棱錐P—A8co中，PALnABCD,AB±AD,AD//BC,BC=-AD,

2

PA=AB=2,E為棱尸。的中點.

求證：EC〃平面尸/2；

3.如圖，在四棱錐尸-/BCD中，PAVnABCD,PA=AD=CD=2,BC=3,

PC=2也.

⑴求證：CD_L平面尸40；

(2)再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為己知，求平面RBC與平面P4D所成銳

二面角的大小.

條件①：AB=s[5;

條件②：8C〃平面P4O.

注：如果選擇的條件不符合要求，第(2)問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解

答，按第一個解答計分.

4.如圖，S為圓錐頂點，。是圓錐底面圓的圓心，AB,是長度為2的底面圓的兩條直

徑，ABnCD=O,且S0=3,P為母線S3上一點.

s

求證：當尸為SB中點時，￡4〃平面PCD；

5.如圖，在四棱錐尸-中，尸C，平面N8CD,4?〃C￡>,點E在棱尸3上，

2

PE=2EB,點、F,H是棱尸N上的三等分點，點G是棱的中點.尸。=CB=CD=-AB=2,

AC=yJ\3.

證明：HD〃平面CFG,旦ECHFG；

6.如圖，在四棱錐P-48CD中，底面48co為正方形，PDLAD,平面尸平面

ABCD,PD=AD=2,E是尸C的中點，作EFLPB交PB于F.

求證：Pzl〃平面8DE；

7.在四棱錐P-48co中，底面/BCD為平行四邊形，PA=PC,PBLAC.

(1)證明：四邊形N2CD為菱形；

(2)￡為棱尸8上一點(不與尸，8重合)，證明：NE不可能與平面PCO平行.

8.如圖，在平行六面體ABCD—A}B}CXD}中,AB=AD—AAX=1,Z.DAB=90°,

—-—-V2

cos<A,A.,,A,B>=—,cos<AA,,AD>=—,點〃為中點.

122

證明：耳M〃平面4G。；

線面垂直問題(勾股定理妙解)

幾何法

必記結(jié)論：①特殊的平行四邊形n邊長之比1:2,夾角為60°,則對角線與邊垂直

②特殊的直角梯形n邊長之比1：1：2,對角線與腰垂直

③等腰三角形三線合一，三線與底垂直

④直徑所對的圓周角為直角⑤菱形和正方形：對角線互相垂直

⑥特殊的矩形：邊長之比1:2或1：、歷有明顯的直角關系

向量法

要證線面垂直，只需讓線垂直于平面內(nèi)兩條相交直線即可

如：要證4c，平面

第一步：表示ZC,表示(BDDEBE)中的兩個

AC-BD=QACA,BD—

第二步：彳竺竺又?.?60門?！?。，2。，平面80￡

ACDE=0ACIDE

Il

模型演煉

如圖，在四棱錐尸—48CD中，尸2,平面48C。，底面4BC。是菱形，AB=2,

/BAD=60°.

求證：AD，平面尸4C.

4^/模型演煉

如圖，在三棱柱48C—481cl中，AB1，平面48C,AB1BCAA,=AB=BC=2.

三棱柱4SC—451cl中，側(cè)棱與底面垂直，ZABC=90°,AB=BC=BBX=2,M,

N分別是48,4c的中點.

求證：MN_L平面481c.

02ONEFINEDAV

專項滿分必刷

1.在長方體/BCD-44GA中，E是GA上的點,，且G￡,44，/B的長成等比數(shù)列，又“

是24所在的直線/上的動點.

求證：平面8CE

2.如圖，在三棱柱NBC-48G中，平面44CC，。是44的中點，是邊長為

2的等邊三角形.

證明：CXD1BD

3.如圖，在三棱臺NBC-45cl中，平面平面

TT

AB{C,BB、±AB[,AB=4,AA{=AB{=2,NBAC=-.

證明：zc，平面

4.如圖，在四棱錐尸-4BCD中，尸C,平面48cD,AB"CD,鼠E在橇PB上,PE=2EB,

2

點尸，反是棱尸4上的三等分點，點G是棱的中點.PC=CB=CD=-AB=2,

AC=yJ\3.

⑴證明：他II平面CFG,且C,E,F,G四點共面;

(2)證明：平面P4B_L平面尸8C；

5.如圖，在四棱錐尸-/BCD中,底面/3CZ)是正方形，側(cè)面P4D_L側(cè)面尸NB,F為BD

中點，E是R1上的點，PA=PD=2,PA1PD.

求證：平面P4D_L平面48CD；

TT

6.如圖，西棱錐4-BCDE,AB=BC=4C=CD=2BE=2,BE〃CD,/BCD=—,平面

2

平面8CDE,尸為8c中點.

A

證明：平面/EC_L平面/尸￡>；

7.如圖幾何體中，底面/3C是邊長為2的正三角形，平面/3C,若AE/ICDHBF,

AE=5,CD=4,BF=3.

求證：平面DET7J_平面4EFB；

8.如圖，在直四棱柱48CD-44G2中，底面為矩形，AB=43AD=y/3a,高為〃，O,E

分別為底面的中心和的中點.

求證：平面AfiE_L平面CDD?；

結(jié)論1：《點線距離》《異面直線求距離問題》

"=￡?結(jié)論3：《線面距離》d=￡華

結(jié)論2：《點面距離》

\n\\n\

結(jié)論4：《面面距離》d=S

同

在棱長為1的正方體ABCD-451GA中，E為吊A的中點，則點G到直線CE的距離

為

模型演煉

在棱長為1的正方體4SC。-Z/CQi中，則平面4BC與平面4G。之間的距離為（）

模型演煉

已知正方形N8CD的邊長為1,平面Z8CD,且P。=1,E,歹分別為N8,BC

的中點.（1）求點。到平面尸所的距離；（2）求直線NC到平面PER的距離.

03oNEFINEDAY'

專項滿分必刷

1.如圖，在平行六面體48cz中，E在線段4￡）」，且NEDA=/EAD,F,G

分別為線段BC,的中點，且底面為正方形.

(1)求證:平面3CGB，_L平面EFG

(2)若E尸與底面不垂直，直線由與平面E8C所成角為45。,且EB=AB=2,求點、

A到平面481CQ1的距離.

2.如圖，四邊形48CD是圓柱OE的軸截面，點尸在底面圓。上，圓。的半徑為1,

/尸=百，點G是線段3尸的中點.

F

(1)證明：EG〃平面D4F；

(2)若直線。廠與圓柱底面所成角為45。，求點G到平面尸的距離.

3.如圖，在直三棱柱形木料48C-48cl中，。為上底面/BC上一點.

(1)經(jīng)過點。在上底面/8C上畫一條直線/與耳。垂直，應該如何畫線，請說明理由;

TT

⑵若BC=BB0,AB=2,E為/內(nèi)的中點，求點B到平面/。也的距

離.

4.如圖，在直四棱柱中，底面48CD為菱形，ABAD=60°,48=2,

AAX=4A/2,E是的中點.

(1)證明：8。//平面/GE；

⑵求點8到平面/￡￡的距離.

5.圖，在四棱錐尸-N8C。中，PN_L平面/BCD,底面A3CQ是正方形，點K在棱PD上,

AD=AP=2,AEICE.

p

Bc

(1)證明：AELPD；

⑵求點C到平面BAE的距離.

6.設四邊形/BCD為矩形，點P為平面/BCD外一點，且平面22CD,若

PA=AB=\,BC=1.

⑴求尸C與平面PAD所成角的正切值；

(2)在8c邊上是否存在一點G,使得點。到平面P4G的距離為血，若存在，求出BG的值,

若不存在，請說明理由；

7.如圖，在四棱錐尸-/BCD中，AD//BC,ADLPD,平面P/。_L平面尸Q).

R

\D

C

A

B

(1)證明：3cl平面PCD；

(2)己知ND=PO=OC=g8C=2,且/DPC=30。，求點。到平面P/8的距離.

8.如圖，在三棱柱/BC-/血G中，NC/4=60。，AB=BC,AC=CQ,點、E,尸分別為

BC,4G的中點.

(1)求證：跖//平面

(2)若底面N3C是邊長為2的正三角形，且平面4CC/］，平面/3C,求點￡到平面

的距離.

線面夾角問題(兩大法)

向量法

結(jié)論1：異面直線所成角cos9=：^"

①能建空間直角坐標系時，寫出相關各點的坐標，然后利用結(jié)論求解

②不能建空間直角坐標系時，取基底的思想，在由公式cosG，B）=』g求出

'/同似

關鍵是求出展B及同與國

結(jié)論2：線面角cosa=sin￡=竺.〃

AB.|H|lk2”

幾何法

結(jié)論：sina=：｛dn點面距離（d往往用等體積法計算），/n線自身長度｝

模型演演

如圖，在四棱錐P—Z8C。中，四邊形/BCD是菱形，ACcBD=O,APNC為正三角

形，AC=2.

求直線PA與平面PBD所成角的大小；

模型演煉

四棱錐尸—4BCD中，0Z_L平面4BCD,四邊形4BCD為菱形，NADC=60°，

PA=AD=2,E為40的中點.

模型演煉

如圖，在直三棱柱48C—48cl中，AC=AB=AA1,ZCAB=90°,M是用G的中點,

N是NC的中點.

求直線A.B與平面BCC&1所成的角的大小.

模型演煉

在長方體ABCD-451G2中，AB=2,8C=441=1，則2cl與平面48G所成角的

正弦值為.

04ONEFINEDAY

專項滿分必刷)

1.如圖，在幾何體ABC￡＞斯中，/DE尸為等腰梯形，/3CD為矩形，ADHEF,48=1,

AD=3,DE=g，EF=\,平面尸_L平面23cD.

(1)證明：BF±CF；

(2)求直線AF與平面CEF所成角的余弦值.

2.如圖，三棱柱NBC-44G中，四邊形NC￡4,8CG片均為正方形，。1分別是棱/氏/百

的中點，N為GE上一點.

(1)證明：8"http://平面40。；

⑵若AB=AC^=3QV,求直線DN與平面AfiC所成角的正弦值.

3.如圖，在四棱錐。-4BC。中，四邊形48CD為直角梯形，CDHAB,BC1AB,平面

0/。_1平面488，。4=8,點Af是4。的中點.

⑴證明：QM1BD.

⑵點N是C。的中點，AD=AB=2CD=2,當直線MN與平面”C所成角的正弦值為日

7

時，求四棱錐。-/3CD的體積.

4.如圖，四邊形/BCD是圓柱OE的軸截面，點尸在底面圓。上，圓。的半徑為1,

4尸=百，點G是線段段'的中點.

F

⑴證明：EG〃平面D4尸；

(2)若直線。廠與圓柱底面所成角為45。，求點G到平面OE尸的距離.

5.如圖，在三棱柱中，4在底面N3C上的射影為線段3c的中點，〃為線段

4G的中點，S.AAi=2AB=2AC=4,ABAC=90°.

⑴求三棱錐M-4BC的體積；

(2)求MC與平面MA[B所成角的正弦值.

6.如圖，已知三棱錐尸一23。,尸31平面融。,尸/，尸。,尸/=尸8=尸。，點。是點尸在平面

4BC內(nèi)的射影，點。在棱尸/上，且滿足|"0|=3|尸。].

(1)求證：BCVOQ.

(2)求。。與平面2C。所成角的正弦值.

7.如圖，在三棱臺ABC-44G中，AA11平面ABC,ZABC=90°,AA,=AlBl==1,

45=2.

(1)求證：平面ABBtAt1平面2CG瓦；

⑵求AC與平面BCC,B、所成角正弦值.

8.如圖，在多面體/8CDE/中，四邊形A8CD為平行四邊形，且

BD=~CD=\,BD1CDDE，平面ABCD,且DE=；BF=^,DE//BF.點〃,G分別為線段

DC,斯上的動點，滿足ZV/=EG=2(0<2<2).

(1)證明：直線G"〃平面

(2)是否存在X,使得直線GH與平面/￡尸所成角的正弦值為這？請說明理由.

面面夾角問題(兩大法)

向量法

結(jié)論：二面角的平面角＜=05。=自"ee（O，?））

?i-〃2

提示a是二面角的夾角，具體cos。取正取負完全用眼神法觀察，若為銳角則取

正，若為鈍角則取負.

幾何法

結(jié)論：任意二面角的平面角a滿足cosa=生絲如（M—Z3—Nncosa=P^絲）

Sk_ABS^AB

注意：N為原圖上的點，而分子_則是N點在面的投影點

模型演演

在如圖所示的幾何體中，四邊形48。是等腰梯形，AB//CD,4048=60°,/C,平

面ABCD,AE1BD,CB=CD=CF.

求二面角尸—BO-C的余弦值.

模型演煉

如圖，在三棱柱4SC-451G-中，NA4C=90°，AB=AC=2,AtA=4,4在底面

48c的射影為BC的中點，。為與。的中點.

G

D

求二面角4-BD-BI的平面角的余弦值.

模型演煉

四棱錐P/8CD中，尸/_L平面/8CO,四邊形/BCD為菱形，ZADC=60°,PA=AD=2,E

為AD的中點.

求二面角A-PD-C的正弦值.

B

05oNEFINEDAY"

專項滿分必刷

1.如圖，三棱臺/8C-4耳G中，“3C是邊長為2的等邊三角形，四邊形/CG4是等腰

梯形，且4￡=44=1,。為4。的中點.

(1)證明：ACJ.BD；

⑵若直線可與平面四”所成角的正弦值為?！蠖娼?-公-2的大小.

2.如圖，在三棱錐。一N2C中，AB=AD=BD=3,^/1,AC=1,BC=CD=5.

4行

B

(1)證明：平面NCD1.平面4BC；

(2)若E是線段CD上的點，且麗=4屈，求二面角E-/8-C的正切值.

3.如圖，在四棱錐尸-48C。中，底面48CD為直角梯形，/4BC=/3Cr>=90°,P/，平

面ABCD,PA=AB=BC=4,CD=3,M為側(cè)棱PC的中點.

⑴求點D到平面PBC的距離;

⑵求二面角川-40-8的正切值.

4.如圖，在正四面體尸-N8C中，反尸是棱尸C的兩個三等分點.

(1)證明：ABIPC；

(2)求出二面角尸-/8-凡￡-/8-歹,尸-/8-。的平面角中最大角的余弦值.

5.如圖，已知平面480,。。=248=240=2,48//CD,40,CD,PC與底面N8CD

所成角為。，且tanO=".

2

(1)求證：。8_1_平面尸8￡)；

(2)求二面角尸-BC-。的大小.

6.如圖，在四棱錐尸-4BCZ)中，四邊形/BCD為梯形，其中4B〃C。，BCD=60°

AB=2BC=2CD=4,平面尸AD_L平面/BCD.

(1)證明：AD1PD；

(2)若且尸C與平面22C。所成角的正切值為2,求平面P8C與平面P4D所成二

面角的正弦值.

7.如圖，在三棱柱/8C-44。中，/4，平面四0,9_142,期=/。=2,/4=4,。是線

段24上的一個動點，E,F分別是線段BC,4C的中點,記平面DEF與平面44G的交線為I.

⑴求證：EFUh

(2)當二面角。-斯-C的大小為120。時，求BO.

271

8.如圖，在梯形48CD中，ABHCD,AB=BC=-CD=2,N48C=§.將△4DC沿對角

線AC折到"PC的位置，點P在平面ABC內(nèi)的射影H恰好落在直線AB上.

(1)求二面角尸-4C-B的正切值；

(2)點斤為棱PC上一點，滿足PF=2尸C,在棱上是否存在一點。，使得直線尸。與平面

月所成的角為J?若存在，求出岑的值；若不存在，請說明理由.

3

專題03五大類立體幾何題型-2024年高考數(shù)學大題

秒殺技巧及專項訓練（解析版）

c高考大題題型歸納②

【題型1線面平行問題（刻度尺平移大法）】

【題型2線面垂直問題（勾股定理妙解）】

【題型3點面距離（體積求算）問題】

【題型4線面夾角問題（兩大法）】

【題型5面面夾角問題（兩大法）】

基礎工具：法向量的求算

待定系數(shù)法：步驟如下：

①設出平面的法向量為）=（x,y,z）.

②找出（求出）平面內(nèi)的兩個不共線的向量a=（ai，A，q）,b=（a2,Z>2,c2）.

n-a=Q

③根據(jù)法向量的定義建立關于x,y,z的方程組1一1

n-b=Q

④解方程組，取其中的一個解，即得法向量.

注意：在利用上述步驟求解平面的法向量時，方程組1r有無數(shù)多個解，只需給

元?b=0

x,y,z中的一個變量賦于一個值，即可確定平面的一個法向量賦的值不同，所求平面的法

向量就不同，但它們是共線向量.

秒殺大法：口訣：求誰不看誰，積差很崩潰（求外用外減，求內(nèi)用內(nèi)減）

向量。=（占,%，4）,B=（X2，y2，Z2）是平面a內(nèi)的兩個不共線向量，則向量

ZXZ

n=-J2I，2I-X1Z2,X1J2-》2%）是平面a的一個法向量.

特別注意：空間點不容易表示出來時直接設空間點的坐標，然后利用距離列三個方程求解.

幾何法N:線面平行問題

線面平行：關鍵點n①必須將刻度尺與所證線重合，然后平移落在所證平面且留下痕跡②

眼神法：觀察采用哪一種技巧（五種方法）（記住六大圖像）

模型一中位線型

如圖⑴，在底面為平行四邊形的四棱錐尸-4BCD中，點￡是尸。的中點.求證：尸8〃平

面NEC.

分析:

模型二：構(gòu)造平行四邊形

如圖⑵，平行四邊形4BCD和梯形5EPC所在平面相交，BE//CF,求證：ZE〃平面

DCF.

分析：過點￡作EG〃/。交EC于G,DG就是平面ZEGD

與平面DC戶的交線，那么只要證明ZE〃DG即可。

如圖⑵

模型三:作輔助面使兩個平面是平行

如圖⑶，在四棱錐?！?BCD中，底面4BCD為菱形，M為CM的中點，N為5c的中

點，證明：直線跖V〃平面。CD

分析:：取08中點E,連接ME,NE,只需證平面"EN〃平面0CD。

模型四：利用平行線分線段成比例定理的逆定理證線線平行。

已知公共邊為Z6的兩個全等的矩形力靦和的'不在同一平面內(nèi)，P,0分別是對角線

劭上的點，且4—制（如圖）.求證：PQH平面CBE.

如圖⑸，已知三棱錐尸—48C,H、B'、。是AP5C,APC4,AP4B的重心.（1）求證:

如圖（6）

〃面48C；

向量法（向量法）所證直線與已知平面的法向量垂直，關鍵：建立空間坐標

系（或找空間一組基底）及平面的法向量。

如圖⑹，在四棱錐S—幺5。（中，底面Z3CD為正方形，側(cè)棱底面N5CD,E,F

分別為幺5,SC的中點.證明EE〃平面￡4。；

分析：因為側(cè)棱底面4BCD,底面48CD是正方形，所以很容易建立空間直角

坐標系及相應的點的坐標。

證明：如圖，建立空間直角坐標系。-町Z.

設Z(a,O,O),5(0,0,b),則B(a,a,0),C(0,a,0),

中,"|，0)/］吟。而［-a,O'j.

因為y軸垂直與平面故可設平面的法向量為五=(0,1,0)

則：EF-H=f-a,O,11-(0,1,0)=0因此而，萬，所以EF〃平面￡40.

模型演煉

如圖，三棱柱/8C-4耳G中，。為底面△4AG的重心，OeCG，CD:DG=l：2.

⑴求證：。。||平面44。；

(2)若AA,1底面4BG,且三棱柱ABC-4耳G的各棱長均為6,設直線ABX與平面43c所

成的角為。，求sin。的值.

破解：(1)連接G。交4用于￡點，連接CE.

因為。為底面△44G的重心，則￡。：。。=1：2,

又因為DeCG，CD:Z）G=1:2,貝!|￡。：OC]=CD:￡>G，可知。。IIEC,

因為＜z平面AlBlC,ECu平面4B[C,

所以。。II平面43c.

(2)取48的中點尸，連接EF.

因為JL底面44G，且三棱柱43C-/4a的各棱長均為6,

可知射線EB[,EC],EF兩兩垂直,

以EB、,EC、,EF所在直線分別為XJ,z軸建立空間直角坐標系,

則4（3,0,0）,/（-3,0,6）,C（0,36,6）E（0,0,0）,

所以葩=（6,0廠6）,明=（3,0,0）,皮=（0,36,6）,

設平面44c的法向量為〃=（無）,z）,則｛_.

n-EC=3y/3y+6z=0

令,=-2,可得x=0,z=百，可得萬=（。,-2,6）,

?—-I\n-AB65/3V42

所以sin。="s",=5產(chǎn)=l

1?同/用77x672-14

!模型演煉/

如圖，平行六面體中，E尸分別為N2、CG的中點，N在B、B上.

⑴求證：EF〃平面4￡>G；

971---._

⑵若DC=DDX=2AD=4,/DQC=—,ADl平面DCCXD?B}N=5NB,求平面EFN與平面

DCCR的夾角的余弦值.

破解：(1)證明：如圖，設的中點為。，連接。fNO.

：.0F"CD且OF==CD.

2

又為的中點，且四邊形43。是平行四邊形，

?-.AE//OF且AE=OF.

四邊形NOEE為平行四邊形.:./。IIEF.

又NOu平面ADCX，歷<Z平面ADC,一?.E/〃平面ADQ.

(2)解：在平面DCGA中，作。HLOC交C]〃于H.

AD±平面DCCR,DHu平面DCCR,DCu平面DCCR,

.-.AD±DH,AD±DC.

AD.DC.DH兩兩互相垂直.

分別以射線。4OCO”為x軸、》軸、z軸的非負半軸建立如圖所示的空間直角坐標系

D-xyz,

ZA

在平行六面體Z5C。-中，由力。，平面。CGA得平行四邊形Z3CD是矩形.

2兀

???DC=DD[=2AD=4,ZDXDC=—,

D.H=DDFin（/DiDC-/HDC）=4sin-=2,

6

h

DH=DD^cos（/D]DC-ZHDC）=4cos-=4x—=273

62

CiH=C[D[-DiH=2

根據(jù)已知可得。（0,0,0）,N（2,0,0）,8（2,4,0）,C（0,4,0）,G（0,2,26），

￡>1（0,-2,2V3）,￡（2,2,0）,F（0,3,V3）.

.?.25=（-2,0,0）,麗=卜2,1,@,方=（0,4,0）,西=（0,-2,2@.

——.—■—?--—■1—■1—■1—.1——■（5V3

B.N=5NB,EN=EB+BN=-AB+-BB.=-AB+-DD.=0,-,—

126126133

由ND，平面DCCQi得否是平面。C。。的法向量.

設”=（無j,z）是平面EFN的法向量，貝U3-3

n-EF=-2x+y+gz=0

取y=-5/3,得z=5,x=2A/3.

.?石=（2g,-6,5）是平面瓦W的法向量

萬.赤_2百*（-2）+（-向><0+5><0__V30

|?||20|-2所、2一10"

設平面EFN與平面。CCQi的夾角為巴則cos。=\cos(n,ADV30

lo-

，平面E/W與平面DCG2的夾角的余弦值為叵.

10

模型演煉

如圖，已知四棱臺"BCD-44GA的上、下底面分別是邊長為2和4的正方形，平面44QD

1平面4BCO,A\A=DQ=ym,點尸是棱D2的中點，點。在棱5c上.

(1)若2Q=30C,證明：P0〃平面N244；

(2)若二面角尸-紗-。的正弦值為旭，求2。的長.

26

破解：(1)證明：取44的中點M，連接MP，MB.

在四棱臺“BCD-/4G。中，四邊形440。是梯形，44=2,AD=4,

又點、M,P分別是棱DQ的中點，所以〃尸〃且〃尸=42『2=3.

在正方形/BCD中，BC//AD,BC=4,又BQ=3QC,所以20=3.

從而“尸〃20且〃尸=2。，所以四邊形8Mp0是平行四邊形，所以P?！ā胺?/p>

又因為Affiu平面尸0(z平面所以PQ〃平面/8烏4；

（2）在平面中，作4O_L/。于。.

因為平面44QQJ■平面N3CD，平面4QQc平面48C￡）=/。，A,01AD,NQu平面

AARD,所以，Q_L平面N3CD.

在正方形/BCD中，過。作AB的平行線交2C于點N,則ON_L0￡＞.

以｛函，歷，西｝為正交基底，建立空間直角坐標系0fz.

因為四邊形和QQ是等腰梯形，44=2,34,所以“。=1,又A1A=D、D=后,所

以4。=4.

易得8（4,-1,0）,Z＞（0,3,0）,C（4,3,0）,^（0,2,4）,尸［°］，2］,所以皮=（4,0,0）,

DP=（0,-1,2LC5=（O,-4,O）.

方法一：設函=2屈=（0,-4ZO）（O4XWl）,所以

DQ=DC+CQ=（4,-4A,0）.

m-DP=0—V+2z—0/-\

設平面的法向量為成=（x,y,z）,由＜一，得2,取應=（44,4,1）,

m?DO=04x-=0

另取平面DCQ的一個法向量為亢=（。,0,1）.

設二面角尸--C的平面角為仇由題意得|cosq=Vl-sin20=￡

A/26

\m.n1

又|cos0\=|cosm,n\=麗二河石’所以

33

解得2=±彳（舍負），因此C0=：x4=3,BQ=1.

44

所以當二面角尸-。D-C的正弦值為名遠時，20的長為1.

26

方法二、\:設。（4,/,0）（T4Y3）,所以麗=（4J-3,O）.

c—?（1

/、m?DP=0—y+2z=0

設平面POQ的法向量為成=（x,y,z）,由1—.，得?2，取

（m-DQ=0[4x+（f-3）y=0

m=（3-Z,4,l）,

另取平面DCQ的一個法向量為萬=（0,0,1）.

設二面角尸-0。-C的平面角為仇由題意得|cos⑼=Vl-sin20=￡.

V26

又向成同=";而木才所以而入二總’

解得/=0或6（舍）,因此砥=1.

所以當二面角P-QO-C的正弦值為出時，8。的長為1.

方法三、：在平面中，作垂足為X.

因為平面AlADDl_L平面ABCD,平面A.ADD,A平面ABCD=AD,PH1AD,PHu平面

AlADDl,

所以P〃_L平面48CD,又。0u平面48CD,所以

在平面/BCD中，作〃G_L。。，垂足為G,連接PG.

因為尸HGYDQ,PHCHG=H,PH,HGu平面尸HG,

所以。0，平面尸HG,又尸Gu平面PHG,所以。。，尸G.

因為HG，。。，PG1DQ,所以/PG"是二面角尸一。。一/的平面角.

在四棱臺ABCD-44GA中，四邊形AADD,是梯形，

4cl=2,AD=4,//=口。=而，點尸是棱。2的中點，

所以尸〃=2,DH=；.

設BQ=x(OVxV4),則CQ=4-x,00=5+(4-步=&-8x+32,

在△0/7D中，—X—x4=—xA/X2-8x+32xHG,從而HG=-/2..

-222VX2-8X+32

因為二面角P-QD-C的平面角與二面角尸-。。-N的平面角互補，

且二面角尸-8-C的正弦值為二型，所以sinNPG〃=二羽，從而tan/PG〃=5.

2626

所以在RtZXPHG中，生=6-8尤+32=5,解得x=l或x=7(舍).

HG

所以當二面角P-QO-C的正弦值為色區(qū)時，80的長為1.

26

n1

“上ONEFINEDAY

專項滿分必刷)

1.如圖，在直三棱柱/2C-4耳G中，AB1BC,AB=BC=BBl=2,M,N,P分別為

4名，AC,2C的中點.

B\MA

C

求證：兒W〃平面8CC4；

【詳解】???直三棱柱ABC-中，M為44的中點,

所以BXM=54瓦=5N8,且B.M//AB,

???因為尸，N分別8C,/C的中點,

PN//AB,PN=-AB,

PN//B.M,PN=B、M,

.?.四邊形甲為平行四邊形，.?.MN〃耳P,

又MNU平面BgCB,為Pu平面B￡CB,

故MTV〃平面4GC8.

BiM4

2.如圖，在四棱錐尸一/BCD中，尸N_L平面48。，ABLAD,AD//BC,BC=-AD,

2

PA=AB=2,E為棱的中點.

p

求證：EC//平面尸48；

【詳解】取PN中點為"，連接ME,MS,如下所示:

在△取￡＞中，因為分別為的中點，&ME〃AD,ME=gAD；

又ADUBC,BC=；AD,故MEHBC,ME=BC,則四邊形AffiCE為平行四邊形，EC//MB；

又Affiu面P/3,ECcz面p/3,故EC//面P/8.

3.如圖，在四棱錐尸一/BCD中，PAL^ABCD,PA=AD=CD=2,BC=3,

PC=2也.

(1)求證：CD_L平面尸工。；

(2)再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為己知，求平面P8C與平面P4D所成銳

二面角的大小.

條件①：AB=曲;

條件②：8c〃平面HO.

注：如果選擇的條件不符合要求，第