2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-8.8-雙曲線-第二課時(shí)-專項(xiàng)訓(xùn)練模擬練習(xí)【含解析】

2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-8.8-雙曲線-第二課時(shí)-專項(xiàng)訓(xùn)練模擬練習(xí)【A級(jí)基礎(chǔ)鞏固】一、單選題1．已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的一條漸近線方程是y＝eq\r(2)x，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線C的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F2且垂直于x軸的垂線在x軸上方交雙曲線C于點(diǎn)M，則tan∠MF1F2＝()A.eq\f(\r(2),2) B．eq\f(\r(2),3)C．eq\f(\r(3),2) D．eq\f(\r(3),3)2．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線E：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)為F，過F作雙曲線的一條漸近線的垂線，垂足為M，直線MF與另一漸近線交于點(diǎn)N，若M是FN的中點(diǎn)，則雙曲線的離心率為()A.eq\r(2) B．2C．eq\r(3) D．33．已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，F(xiàn)1、F2分別為左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上，PF1⊥PF2，P到左焦點(diǎn)F1的距離是P到右焦點(diǎn)F2的距離的3倍，則雙曲線的離心率是()A.eq\r(2) B．eq\f(\r(10),2)C．2 D．eq\r(10)4．已知F為雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F作x軸的垂線與雙曲線及它的漸近線在第一象限內(nèi)依次交于點(diǎn)A和點(diǎn)B.若|AB|＝|AF|，則雙曲線C的漸近線方程為()A.eq\r(3)x±y＝0 B．x±eq\r(3)y＝0C.eq\r(2)x±y＝0 D．x±eq\r(2)y＝05．設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，已知雙曲線C的離心率為eq\r(3)，過F2作C的一條漸近線的垂線，垂足為P，則eq\f(|PF1|,|OP|)＝()A.eq\r(6) B．2C．eq\r(3) D．eq\f(\r(6),2)6．已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)為F，以F為圓心，a為半徑的圓與雙曲線的一條漸近線的兩個(gè)交點(diǎn)為A，B.若∠AFB＝60°，則該雙曲線的離心率為()A.eq\f(\r(6),2) B．eq\f(\r(5),2)C．eq\f(\r(7),2) D．eq\f(4,3)7．已知F1，F(xiàn)2是雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，以F2為圓心，a為半徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|>eq\f(|F1F2|,3)，則雙曲線的離心率的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)，\f(3\r(5),5))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(5),5)，＋∞))C．(1，eq\r(3)) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3\r(5),5)))8．設(shè)直線y＝kx與雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)相交于A，B兩點(diǎn)，P為C上不同于A，B的一點(diǎn)，直線PA，PB的斜率分別為k1，k2，若C的離心率為eq\r(2)，則k1·k2＝()A．3 B．1C．2 D．eq\r(3)二、多選題9．已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,a2＋3)＝1(a>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，且|F1F2|＝2eq\r(5)，點(diǎn)P是C上一點(diǎn)，則()A．C的離心率為eq\r(5)B．若PF1⊥x軸，則|PF1|＝8C．若|PF1|＝2|PF2|，則|PO|＝eq\r(5)(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))D．點(diǎn)P到C的兩條漸近線的距離之積為eq\f(4,5)10．已知雙曲線C：eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1，過其右焦點(diǎn)F的直線l與雙曲線交于A，B兩個(gè)不同的點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的為()A．|AB|的最小值為eq\f(32,3)B．以F為焦點(diǎn)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝20xC．滿足|AB|＝2的直線有3條D．若A，B同在雙曲線的右支上，則直線l的斜率k∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(4,3)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，＋∞))三、填空題11．已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的焦距為10，點(diǎn)P(2,1)在其漸近線上，則雙曲線方程為.12．已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左焦點(diǎn)為F1(－c,0)，坐標(biāo)原點(diǎn)為O，若在雙曲線右支上存在一點(diǎn)P滿足|PF1|＝eq\r(3)c，且|PO|＝c，則雙曲線C的離心率為.13．記雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率為e，寫出滿足條件“直線y＝2x與C無公共點(diǎn)”的e的一個(gè)值.四、解答題14．已知過點(diǎn)P(2,0)的直線l1與雙曲線C：eq\f(x2,2)－y2＝1的左右兩支分別交于A、B兩點(diǎn)．求直線l1的斜率k的取值范圍．15．雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)經(jīng)過點(diǎn)(eq\r(3)，1)，且漸近線方程為y＝±x.(1)求a，b的值；(2)點(diǎn)A，B，D是雙曲線C上不同的三點(diǎn)，且B，D兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，△ABD的外接圓經(jīng)過原點(diǎn)O.求證：直線AB與圓x2＋y2＝1相切．INCLUDEPICTURE"B組.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大樣\\人教數(shù)學(xué)\\B組.TIF"INET【B級(jí)能力提升】1．過雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)F(c,0)作其漸近線的垂線，垂足為點(diǎn)T，交雙曲線C的左支于點(diǎn)P，若eq\o(FP,\s\up6(→))＝2eq\o(FT,\s\up6(→))，則雙曲線C的離心率為()A.eq\r(3) B．eq\r(5)C．3 D．52．(多選題)已知雙曲線C：x2－eq\f(y2,3)＝1，F(xiàn)1，F(xiàn)2為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若直線l過點(diǎn)F2，且與雙曲線的右支交于M，N兩點(diǎn)，下列說法正確的是()A．雙曲線C的離心率為eq\r(3)B．若l的斜率為2，則MN的中點(diǎn)為(8,12)C．若∠F1MF2＝eq\f(π,3)，則△MF1F2的面積為3eq\r(3)D．使△MNF1為等腰三角形的直線l有3條3.如圖，已知雙曲線M：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，正六邊形ABF2CDF1的一邊AF1的中點(diǎn)恰好在雙曲線M上，則雙曲線M的離心率是.5．已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的焦距為2eq\r(6)，且焦點(diǎn)到漸近線的距離為1.(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若動(dòng)直線l與雙曲線C恰有1個(gè)公共點(diǎn)，且與雙曲線C的兩條漸近線分別交于P，Q兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：△OPQ的面積為定值． 參考答案 【A級(jí)基礎(chǔ)鞏固】一、單選題1．(D)[解析]因?yàn)樵撾p曲線的一條漸近線方程是y＝eq\r(2)x，則eq\f(b,a)＝eq\r(2)，結(jié)合c2＝a2＋b2，可得eq\f(b,c)＝eq\r(\f(2,3)).又Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(b2,a)))，所以tan∠MF1F2＝eq\f(b2,2ac)＝eq\f(1,2)·eq\f(b,a)·eq\f(b,c)＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\r(\f(2,3))＝eq\f(\r(3),3).2．(B)[解析]如圖所示，由題意可知，∠AOF＝∠COF1，又因?yàn)槿鬗是FN的中點(diǎn)，OM⊥FN，所以∠AOF＝∠AOC，所以3∠AOF＝π，∠AOF＝eq\f(π,3)，根據(jù)雙曲線的性質(zhì)，雙曲線的漸近線方程為：y＝±eq\f(b,a)x，OF＝c，tan∠AOF＝eq\f(b,a)，所以eq\f(b,a)＝eq\r(3)，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝2.故選B.3．(B)[解析]設(shè)雙曲線C的半焦距為c>0，由題意可知：|PF1|＝3|PF2|，則|PF1|－|PF2|＝2|PF2|＝2a，可得|PF1|＝3|PF2|＝3a，因?yàn)镻F1⊥PF2，則|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，即9a2＋a2＝4c2，整理得eq\f(c2,a2)＝eq\f(5,2)，所以雙曲線的離心率是e＝eq\f(c,a)＝eq\r(\f(c2,a2))＝eq\f(\r(10),2).故選B.4．(B)[解析]由題意得F(c,0)，雙曲線C的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x.設(shè)點(diǎn)A，B的縱坐標(biāo)依次為y1，y2，因?yàn)閑q\f(c2,a2)－eq\f(y\o\al(2,1),b2)＝1，所以y1＝eq\f(b2,a)，所以|AF|＝eq\f(b2,a).因?yàn)閥2＝eq\f(bc,a)，所以|BF|＝eq\f(bc,a).因?yàn)閨AB|＝|AF|，所以eq\f(bc,a)＝eq\f(2b2,a)，得c＝2b，所以a＝eq\r(c2－b2)＝eq\r(3)b，故eq\f(b,a)＝eq\f(1,\r(3))，雙曲線C的漸近線方程為y＝±eq\f(1,\r(3))x，即x±eq\r(3)y＝0，故選B.5．(A)[解析]不妨設(shè)a＝1，c＝eq\r(3)，b＝eq\r(2)，則|PF2|＝b＝eq\r(2)，|OP|＝a＝1，cos∠POF2＝eq\f(\r(3),3)，cos∠POF1＝－eq\f(\r(3),3).由余弦定理可得，|PF1|2＝|OF1|2＋|OP|2－2|OF1|·|OP|·cos∠F1OP＝3＋1－2×eq\r(3)×1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)))＝6，所以|PF1|＝eq\r(6)，所以eq\f(|PF1|,|OP|)＝eq\r(6).故選A.6．(C)[解析]由題意知F(c,0)到直線bx－ay＝0的距離為eq\f(\r(3)a,2)，所以eq\f(bc,\r(a2＋b2))＝eq\f(\r(3)a,2)，因?yàn)閍2＋b2＝c2，所以b＝eq\f(\r(3)a,2)，c2＝eq\f(7,4)a2，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(7),2).故選C.7．(D)[解析]焦點(diǎn)F2(c,0)到漸近線y＝±eq\f(b,a)x的距離為d＝eq\f(|cb|,\r(a2＋b2))＝b，所以|AB|＝2eq\r(a2－b2)，因?yàn)閨AB|>eq\f(2c,3)，即2eq\r(a2－b2)>eq\f(2c,3)，∴9(a2－b2)>c2.解得e2<eq\f(9,5).即e<eq\f(3\r(5),5).∵e>1，∴1<e<eq\f(3\r(5),5).故選D.8．(B)[解析]解法一：點(diǎn)A，B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，設(shè)A(x0，y0)，B(－x0，－y0)，P(x，y)，由點(diǎn)差法eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1①，eq\f(x\o\al(2,0),a2)－eq\f(y\o\al(2,0),b2)＝1②，①減②得eq\f(x2－x\o\al(2,0),a2)＝eq\f(y2－y\o\al(2,0),b2)，則eq\f(y2－y\o\al(2,0),x2－x\o\al(2,0))＝eq\f(b2,a2)，即k1·k2＝e2－1，又由e＝eq\r(2)，則k1·k2＝1，故選B.解法二：由題意可取C：x2－y2＝1，不妨取k＝0，P(2，eq\r(3))，則A(－1,0)，B(1,0)，k1k2＝eq\f(\r(3),2＋1)×eq\f(\r(3),2－1)＝1.故選B.二、多選題9．(ACD)[解析]因?yàn)閨F1F2|＝2eq\r(5)，所以a2＋a2＋3＝5，解得a2＝1，故雙曲線C：x2－eq\f(y2,4)＝1.雙曲線C的離心率e＝eq\r(5)，故A正確；由題可得F1(－eq\r(5)，0)，又PF1⊥x軸，所以xP＝－eq\r(5)，則5－eq\f(y\o\al(2,P),4)＝1，解得yP＝±4，所以|PF1|＝4，故B錯(cuò)誤；因?yàn)閨PF1|＝2|PF2|，且|PF1|－|PF2|＝2，所以|PF1|＝4，|PF2|＝2，所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，所以PF1⊥PF2，所以|PO|＝eq\f(1,2)|F1F2|＝eq\r(5)，故C正確；設(shè)P(x0，y0)，則xeq\o\al(2,0)－eq\f(y\o\al(2,0),4)＝1，因?yàn)殡p曲線C的漸近線方程為x－eq\f(y,2)＝0或x＋eq\f(y,2)＝0，所以點(diǎn)P到雙曲線C的兩條漸近線的距離之積為eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x0－\f(y0,2))),\r(1＋\f(1,4)))·eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x0＋\f(y0,2))),\r(1＋\f(1,4)))＝eq\f(4,5)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x\o\al(2,0)－\f(y\o\al(2,0),4)))＝eq\f(4,5)，故D正確．故選ACD.10．(BD)[解析]當(dāng)直線l的斜率為0時(shí)，于A，B兩點(diǎn)分別為雙曲線的頂點(diǎn)，則|AB|＝2a＝6，又6<eq\f(32,3)，故選項(xiàng)A不正確；F(5,0)，則以F為焦點(diǎn)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝20x，故選項(xiàng)B正確；當(dāng)A，B兩點(diǎn)同在雙曲線的右支時(shí)(通徑為最短弦)，則|AB|≥eq\f(2b2,a)＝eq\f(32,3)>2，此時(shí)無滿足條件的直線．當(dāng)A，B兩點(diǎn)分別在雙曲線一支上時(shí)(實(shí)軸為最短弦)，則|AB|≥2a＝6>2，此時(shí)無滿足條件的直線．故選項(xiàng)C不正確；過右焦點(diǎn)F分別作兩漸近線的平行線l1，l2，如圖，將l1繞焦點(diǎn)F沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到與l2重合的過程中，直線與雙曲線的右支有兩個(gè)焦點(diǎn)．此時(shí)直線l的斜率k>eq\f(4,3)或k<－eq\f(4,3)，故選項(xiàng)D正確．故選BD.三、填空題11．[解析]由題意知c＝5，eq\f(b,a)＝eq\f(1,2)，又c2＝a2＋b2，解得a2＝20，b2＝5，故雙曲線方程為eq\f(x2,20)－eq\f(y2,5)＝1.12．[解析]如圖，因?yàn)閨PO|＝c＝|F1O|＝|F2O|，∴∠F1PF2＝eq\f(π,2)，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，∴3c2＋(eq\r(3)c－2a)2＝4c2,2c2－4eq\r(3)ac＋4a2＝0，e2－2eq\r(3)e＋2＝0，解得e＝eq\r(3)＋1.13．[解析]雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率為e，e＝eq\f(c,a)，雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x，直線y＝2x與C無公共點(diǎn)，可得eq\f(b,a)≤2，即eq\f(b2,a2)≤4，即eq\f(c2－a2,a2)≤4，可得1<e≤eq\r(5)，滿足條件“直線y＝2x與C無公共點(diǎn)”的e的一個(gè)值可以為2，故答案為：2(e∈(1，eq\r(5)]內(nèi)的任意一個(gè)值都滿足題意)．四、解答題14．[解析](1)當(dāng)k＝0時(shí)，顯然符合題意，當(dāng)k≠0時(shí)，設(shè)直線l1的方程為x＝ty＋2，其中t＝eq\f(1,k)，設(shè)A(x1，y1)、B(x2，y2)，與雙曲線方程聯(lián)立可得(t2－2)y2＋4ty＋2＝0，因?yàn)橹本€l1與雙曲線交于不同的兩支，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝8t2＋16>0，,t2－2≠0，,y1y2>0，))又eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y1＋y2＝\f(－4t,t2－2)，,y1y2＝\f(2,t2－2)，))所以eq\f(2,t2－2)>0，解得t2>2，即eq\f(1,k2)>2，所以k2<eq\f(1,2)且k≠0，解得－eq\f(\r(2),2)<k<0或0<k<eq\f(\r(2),2)，綜上可得－eq\f(\r(2),2)<k<eq\f(\r(2),2).15．[解析](1)由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(3,a2)－\f(1,b2)＝1，,a＝b，))解得a＝b＝eq\r(2).(2)證明：由(1)得雙曲線C的方程為x2－y2＝2.易知直線AB一定不為水平直線且不與漸近線y＝±x平行，所以可設(shè)直線AB的方程為x＝my＋n(m≠±1)，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1≠y2，D(－x2，y2)．聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－y2＝2，,x＝my＋n，))整理得(m2－1)y2＋2mny＋n2－2＝0，Δ＝4(n2＋2m2－2)＞0，則y1y2＝eq\f(n2－2,m2－1).由于△ABD的外接圓過原點(diǎn)，且B，D兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，所以可設(shè)△ABD外接圓的方程為x2＋y2＋Ey＝0.則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)＋Ey1＝0，,x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)＋Ey2＝0，))所以y2(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))＝y(tǒng)1(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2))，因?yàn)閤eq\o\al(2,1)＝2＋yeq\o\al(2,1)，xeq\o\al(2,2)＝2＋yeq\o\al(2,2)，所以y2(2yeq\o\al(2,1)＋2)＝y(tǒng)1(2yeq\o\al(2,2)＋2)，所以y1y2＝1，所以y1y2＝eq\f(n2－2,m2－1)＝1，所以n2＝m2＋1，則原點(diǎn)到直線AB的距離d＝eq\f(|n|,\r(m2＋1))＝1，所以直線AB與圓x2＋y2＝1相切．INCLUDEPICTURE"B組.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大樣\\人教數(shù)學(xué)\\B組.TIF"INET【B級(jí)能力提升】1．(B)[解析]如圖所示，因?yàn)镕(c,0)到其一條漸近線：y＝eq\f(b,a)x的距離：|FT|＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(bc,a))),\r(1＋\f(b2,a2)))＝b，因?yàn)閑q\o(FP,\s\up6(→))＝2eq\o(FT,\s\up6(→))，所以點(diǎn)T為PF中點(diǎn)，且|eq\o(FP,\s\up6(→))|＝2|eq\o(FT,\s\up6(→))|＝2b，|OT|＝eq\r(|OF|2－|FT|2)＝eq\r(c2－b2)＝a，又原點(diǎn)O為FF1的中點(diǎn)，所以|PF1|＝2|OT|＝2a，由雙曲線的定義得：|PF|－|PF1|＝2b－2a＝2a，化簡(jiǎn)得：b＝2a，因?yàn)殡p曲線的離心率：e＝eq\f(c,a)＝eq\r(\f(c2,a2))＝eq\r(1＋\f(b2,a2))，所以得：e＝eq\r(5)，故B項(xiàng)正確．故選B.2．(BCD)[解析]由雙曲線方程得a＝1，b＝eq\r(3)，故c＝2，則離心率e＝2，故A錯(cuò)誤；由方程知F1(－2,0)，F(xiàn)2(2,0)，則直線l的方程為y＝2(x－2)，聯(lián)立雙曲線方程化簡(jiǎn)得x2－16x＋19＝0，設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則x1＋x2＝16，故eq\f(x1＋x2,2)＝8，而y1＋y2＝2x1－4＋2x2－4＝2(x1＋x2)－8＝24，則eq\f(y1＋y2,2)＝12，故MN的中點(diǎn)為(8,12)，故B正確，若∠F1MF2＝eq\f(π,3)，根據(jù)雙曲線定義得|MF1|－|MF2|＝2，由余弦定理可得cos∠F1MF2＝eq\f(|MF1|2＋|MF2|2－|F1F2|2,2|MF1|·|MF2|)，即eq\f(1,2)＝eq\f(|MF1|－|MF2|2＋2|MF1|×|MF2|－16,2|MF1|·|MF2|)，可得|MF1|·|MF2|＝12，所以△MF1F2的面積為eq\f(1,2)|MF1|·|MF2|·sineq\f(π,3)＝eq\f(1,2)×12×eq\f(\r(3),2)＝3eq\r(3)，故C正確；當(dāng)直線MN⊥x軸時(shí)，可得|MF1|＝|NF1|，△MNF1為等腰三角形；根據(jù)雙曲線定義得|MF1|－|MF2|＝2，|NF1|－|NF2|＝2，兩式相加得|MF1|＋|NF1|＝4＋|MF2|＋|NF2|＝4＋|MN|，不妨設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)(x1>0，y1>0，x2>0，y2<0)，若|MF1|＝|MN|，則|NF1|＝4，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋22＋y\o\al(2,2)＝16，,3x\o\al(2,2)－y\o\al(2,2)＝3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝\f(3,2)，,y2＝－\f(\r(15),2)，))可得Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－\f(\r(15),2)))，此時(shí)△MNF1為等腰三角形；由對(duì)稱性易知Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(\r(15),2)))時(shí)△MNF1也為等腰三角形，綜上使△MNF1為等腰三角形的直線l有3條，故D正確．3.[解析]設(shè)AF1的中點(diǎn)為P，連接OP，PF2，易得PO⊥AF1，∠PF1O＝60°，所以|OF1|＝c，|PF1|＝eq\f(1,2)c，在△PF1F2中，由余弦定理得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1|·|F1F2|·cos∠PF1F2＝eq\f(1,4)c2＋4c2－c2＝eq\f(13,4)c2，所以|PF2|＝eq\f(\r(13),2)c，所以2a＝|PF2|－|PF1|＝eq\f(\r(13),2)c－eq\f(1,2)c，所以雙曲線M的離心率e＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(2c,\f(\r(13),2)c－\f(1,2)c)＝eq\f(\r(13)＋1,3).4．[解析]設(shè)橢圓的長半軸長為a1，短半軸長為b1，半焦距為c，則c＝eq\r(a\o\al(2,1)－b\o\al(2,1))＝eq\r(16－12)＝2，故橢圓的離心率e1＝eq\f(c,a1)＝eq\f(1,2)，從而雙曲線的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2,a)＝2，可得a＝1，根據(jù)雙曲線的定義有|PF1|－|PF2|＝2a，即|PF1|＝|PF2|＋2，故eq\f(|PF1|2,|PF2|)＝eq\f(|PF2|＋22,|PF2|)＝eq\f(|PF2|2＋4|PF2|＋4,|PF2|)＝|PF2|＋eq\f(4,|PF2|)＋4，由雙曲線的范圍可得|PF2|≥c－a＝1，根據(jù)基本不等式可得|PF2|＋eq\f(4,|PF2|)＋4≥2eq\r(|PF2|×\f(4,|PF2|))＋4＝8，當(dāng)且僅當(dāng)|PF2|＝eq\f(4,|PF2|)，即|PF2|＝2時(shí)取“＝”，所以eq\f(|PF1|2,|PF2|)的最小值為8.5．[解析](1)依題意得2c＝2eq\r(6)，c＝eq\r(6)，一條漸近線為y＝eq\f(b,a)x，即bx－ay＝0，右