2025版一輪高考總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)第九章第三節(jié)　隨機事件的概率與古典概型

第三節(jié)隨機事件的概率與古典概型1.結(jié)合具體實例，理解樣本點和有限樣本空間的含義，理解隨機事件與樣本點的關(guān)系.了解隨機事件的并、交與互斥的含義，能結(jié)合實例進行隨機事件的并、交運算.2.結(jié)合具體實例，理解古典概型，能計算古典概型中簡單隨機事件的概率.3.通過實例，理解概率的性質(zhì)，掌握隨機事件概率的運算法則.4.結(jié)合實例，會用頻率估計概率.1.樣本空間和隨機事件關(guān)鍵詞含義樣本點隨機試驗E的的基本結(jié)果，常用ω表示樣本點樣本空間樣本點的集合，常用Ω表示樣本空間有限樣本空間如果一個隨機試驗有n個可能結(jié)果ω1，ω2，…，ωn，則稱樣本空間Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}為有限樣本空間隨機事件樣本空間Ω的，常用大寫字母A，B，C，…表示基本事件只包含一個樣本點的事件必然事件每次試驗的事件不可能事件每次試驗的事件2.兩個事件的關(guān)系和運算事件的關(guān)系和運算含義符號表示包含關(guān)系A(chǔ)發(fā)生導(dǎo)致B發(fā)生A?B相等關(guān)系B?A且A?BA＝B并事件（和事件）A與B至少有一個發(fā)生A∪B或A＋B交事件（積事件）A與B同時發(fā)生A∩B或AB互斥事件A與B不能同時發(fā)生A∩B＝?互為對立事件A與B有且僅有一個發(fā)生A∩B＝?，A∪B＝Ω3.古典概型（1）古典概型的特征①有限性：樣本空間的樣本點只有個；②等可能性：每個樣本點發(fā)生的可能性.（2）古典概型的概率公式：設(shè)試驗E是古典概型，樣本空間Ω包含n個樣本點，事件A包含其中的k個樣本點，則定義事件A的概率P（A）＝＝.其中，n（A）和n（Ω）分別表示事件A和樣本空間Ω包含的樣本點個數(shù).4.概率的基本性質(zhì)性質(zhì)1：對任意的事件A，都有P（A）≥0；性質(zhì)2：必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，即P（Ω）＝1，P（?）＝0；性質(zhì)3：如果事件A與事件B互斥，那么P（A∪B）＝；性質(zhì)4：如果事件A與事件B互為對立事件，那么P（B）＝1－P（A），P（A）＝；性質(zhì)5：如果A?B，那么P（A）≤P（B），由該性質(zhì)可得，對于任意事件A，因為??A?Ω，所以0≤P（A）≤1；性質(zhì)6：設(shè)A，B是一個隨機試驗中的兩個事件，我們有P（A∪B）＝.5.頻率和概率隨著試驗次數(shù)n的增大，頻率偏離概率的幅度會縮小，即事件A發(fā)生的概率fn（A）會逐漸事件A發(fā)生的概率P（A），我們稱頻率的這個性質(zhì)為頻率的穩(wěn)定性.因此可以用頻率fn（A）估計概率P（A）.1.判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）（1）事件發(fā)生的頻率與概率是相同的.（）（2）兩個事件的和事件是指兩個事件同時發(fā)生.（）（3）若A∪B是必然事件，則A與B是對立事件.（）（4）擲一枚硬幣兩次，出現(xiàn)“兩個正面”“一正一反”“兩個反面”，這三個結(jié)果是等可能事件.（）2.一個人打靶時連續(xù)射擊兩次，事件“至多有一次中靶”的互斥事件是（）A.至少有一次中靶 B.兩次都中靶C.只有一次中靶 D.兩次都不中靶3.把一枚質(zhì)地均勻的硬幣連續(xù)拋擲1000次，其中有496次正面朝上，504次反面朝上，則擲一次硬幣正面朝上的概率為（）A.0.496 B.0.504C.0.5 D.14.從集合{1，2，4}中隨機抽取一個數(shù)a，從集合{2，4，5}中隨機抽取一個數(shù)b，則向量m＝（a，b）與向量n＝（2，－1）垂直的概率為（）A.19 B.C.13 D.5.（2024·武漢模擬）拋擲一枚骰子，記A為事件“出現(xiàn)的點數(shù)是奇數(shù)”，B為事件“出現(xiàn)的點數(shù)是3的倍數(shù)”，則P（A∪B）＝，P（A∩B）＝.若事件A1，A2，…，An兩兩互斥，則P（A1∪A2∪…∪An）＝P（A1）＋P（A2）＋…＋P（An）.（2024·鄭州一模）某工廠有四條流水線生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，這四條流水線的產(chǎn)量分別占總產(chǎn)量的0.20，0.25，0.3，0.25，這四條流水線的合格率依次為0.95，0.96，0.97，0.98，現(xiàn)在從出廠產(chǎn)品中任取一件，則恰好抽到不合格產(chǎn)品的概率是（）A.0.014 B.0.024C.0.034 D.0.044隨機事件關(guān)系的判斷【例1】（1）口袋中裝有3個紅球和4個黑球，每個球編有不同的號碼，現(xiàn)從中取出3個球，則互斥而不對立的事件是（）A.至少有1個紅球與至少有1個黑球 B.至少有1個紅球與都是黑球C.至少有1個紅球與至多有1個黑球 D.恰有1個紅球與恰有2個紅球（2）（多選）對空中飛行的飛機連續(xù)射擊兩次，每次發(fā)射一枚炮彈，設(shè)事件A＝{兩彈都擊中飛機}，事件B＝{兩彈都沒擊中飛機}，事件C＝{恰有一彈擊中飛機}，事件D＝{至少有一彈擊中飛機}，則下列關(guān)系正確的是（）A.A∩D＝? B.B∩D＝?C.A∪C＝D D.A∪B＝B∪D聽課記錄解題技法事件關(guān)系判斷的策略（1）判斷事件的互斥、對立關(guān)系時一般用定義判斷，不可能同時發(fā)生的兩個事件為互斥事件；兩個事件，若有且僅有一個發(fā)生，則這兩個事件為對立事件，對立事件一定是互斥事件，反之不成立.互斥事件是不可能同時發(fā)生的事件，但也可以同時不發(fā)生；對立事件是特殊的互斥事件，特殊在對立的兩個事件不可能都不發(fā)生，即有且僅有一個發(fā)生；（2）判斷事件的交、并關(guān)系時，一是要緊扣運算的定義，二是要全面考慮同一條件下的試驗可能出現(xiàn)的全部結(jié)果，必要時可列出全部的試驗結(jié)果進行分析.也可類比集合的關(guān)系和運用Venn圖分析事件.拋擲一顆質(zhì)地均勻的骰子，有如下隨機事件：Ci＝“點數(shù)為i”，其中i＝1，2，3，4，5，6；D1＝“點數(shù)不大于2”；D2＝“點數(shù)大于2”；D3＝“點數(shù)大于4”，則下列結(jié)論正確的個數(shù)為.（1）C1與C2互斥；（2）C2，C3為對立事件；（3）C3?D2；（4）D3?D2；（5）D1∪D2＝Ω，D1∩D2＝?；（6）D3＝C5∪C6.用頻率估計概率【例2】某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當(dāng)天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫（單位：℃）有關(guān).如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間[20，25），需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年的六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得到下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫[10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40]天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計最高氣溫位于該區(qū)間的概率.（1）估計六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率；（2）設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y（單位：元），當(dāng)六月份這種酸奶一天的進貨量為450瓶時，寫出Y的所有可能值，并估計Y大于零的概率.解題技法1.頻率反映了一個隨機事件出現(xiàn)的頻繁程度，頻率是隨機的，而概率是一個確定的值，通常用概率來反映隨機事件發(fā)生的可能性的大小，有時也用頻率來作為隨機事件概率的估計值.2.利用概率的統(tǒng)計定義求事件的概率，即通過大量的重復(fù)試驗，事件發(fā)生的頻率會逐步趨近于某一個常數(shù)，這個常數(shù)就是概率.某險種的基本保費為a（單位：元），繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人本年度的保費與其上年度出險次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下表：上年度出險次數(shù)01234≥5保費0.85aa1.25a1.5a1.75a2a隨機調(diào)查了該險種的200名續(xù)保人在上一年內(nèi)的出險情況，得到如下統(tǒng)計表：出險次數(shù)01234≥5頻數(shù)605030302010（1）記A為事件“續(xù)保人本年度的保費不高于基本保費”.求P（A）的估計值；（2）記B為事件“續(xù)保人本年度的保費高于基本保費但不高于基本保費的160%”.求P（B）的估計值；（3）求續(xù)保人本年度平均保費的估計值.隨機事件的概率考向1古典概型的概率【例3】（1）（2023·全國甲卷4題）某校文藝部有4名學(xué)生，其中高一、高二年級各2名.從這4名學(xué)生中隨機選2名組織校文藝匯演，則這2名學(xué)生來自不同年級的概率為（）A.16 B.C.12 D.（2）（2022·新高考Ⅰ卷5題）從2至8的7個整數(shù)中隨機取2個不同的數(shù)，則這2個數(shù)互質(zhì)的概率為（）A.16 B.C.12 D.聽課記錄解題技法1.古典概型的概率求解步驟（1）求出所有樣本點的個數(shù)n；（2）求出事件A包含的所有樣本點的個數(shù)m；（3）代入公式P（A）＝mn求解2.求樣本空間中樣本點個數(shù)的方法（1）枚舉法：適合于給定的樣本點個數(shù)較少且易一一列舉出的問題；（2）樹狀圖法：適用于需要分步完成的試驗結(jié)果.樹狀圖在解決求樣本點總數(shù)和事件A包含的樣本點個數(shù)的問題時直觀、方便，但畫樹狀圖時要注意按照一定的順序確定分枝，避免造成遺漏或重復(fù)；（3）排列、組合法：在求一些較復(fù)雜的樣本點個數(shù)時，可利用排列、組合的知識.考向2互斥事件與對立事件的概率【例4】某商場有獎銷售中，購滿100元商品得1張獎券，多購多得.1000張獎券為一個開獎單位，設(shè)特等獎1個，一等獎10個，二等獎50個.設(shè)1張獎券中特等獎、一等獎、二等獎的事件分別為A，B，C，求：（1）1張獎券的中獎概率；（2）1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率.解題技法互斥事件概率的兩種求法（1）將所求事件轉(zhuǎn)化成幾個彼此互斥事件的和事件，利用互斥事件概率的加法公式求解概率；（2）若將一個較復(fù)雜的事件轉(zhuǎn)化為幾個彼此互斥事件的和事件時分類太多，而其對立面的分類較少，可考慮先求其對立事件