2024-2025學年高一【數(shù)學(人教A版)】函數(shù)的應用-教學設計

課程基本信息課例編號學科數(shù)學年級高一學期第一學期課題函數(shù)的應用教科書教學人員姓名單位授課教師指導教師教學目標教學目標：1.初步體會應用一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)模型解決實際問題的過程和方法；2.在實際問題與數(shù)學問題的轉化過程中，提升數(shù)形結合的能力，發(fā)展數(shù)學抽象的素養(yǎng)；3.在建立數(shù)學模型解決實際問題的過程中，提升數(shù)學運算和數(shù)學建模的素養(yǎng)。教學重點：將實際問題中的量抽象成數(shù)學中的變量，并找到變量之間的關系。教學難點：利用給定的函數(shù)模型，寫出具體的函數(shù)解析式并解決實際問題。教學過程時間教學環(huán)節(jié)主要師生活動1分鐘引言我們學習過一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)等，這些函數(shù)都與現(xiàn)實世界緊密聯(lián)系。下面通過一些實例感受它們的廣泛應用，體會利用函數(shù)模型解決實際問題的過程與方法。16分鐘例題解析本節(jié)的例1是在教科書3.1.2函數(shù)的表示法例8的基礎上繼續(xù)研究個稅繳納問題，我們來看題目信息：例1：2019年1月1日起，公民依法繳納的個稅稅額根據(jù)應納稅所得額、稅率和速算扣除數(shù)確定，計算公式為：個稅稅額=應納稅所得額×稅率-速算扣除數(shù)①應納稅所得額的計算公式為：應納稅所得額=綜合所得收入額-基本減除費用-專項扣除-專項附加扣除-依法確定的其他扣除②其中，“基本減除費用”（免征額）為每年60000元。稅率與速算扣除數(shù)見表格。設小王繳納的基本養(yǎng)老保險、基本醫(yī)療保險、失業(yè)保險等社會保險費和住房公積金占綜合所得收入額的比例分別是8%，2%，1%，9%，專項附加扣除是52800元，依法確定其他扣除是4560元。全年綜合所得收入額為x（單位：元），應繳納綜合所得個稅稅額為y（單位：元）。（1）求y關于x的函數(shù)解析式；（2）如果小王全年的綜合所得由189600元增加到249600元，那么他全年應繳納多少綜合所得個稅？追問1：這一問題中存在哪些變量？它們的關系是什么？追問2：如何通過這些關系確定應繳納個稅與綜合所得的關系？師生活動：教師提出問題，學生獨立思考、討論回答，教師給與補充完善。設計意圖：1.通過學生的分析，理清這個問題中的變量之間的關系；2.引導學生寫出這些變量之間的函數(shù)關系.這里，一定要讓學生先回顧例題8的求解過程和結果，在例題8的基礎上處理本題，讓學生體會應繳納個稅與應納稅所得額之間的關系，以及應納稅所得額和綜合所得的關系。分析：實際上，在充分明確題目條件后，注意到本題的主干信息由表格和兩個重要公式表達出來：公式=1\*GB3①：個稅稅額=應納稅所得額×稅率-速算扣除數(shù)由表格信息可知，每個確定的應納稅所得額都有唯一的稅率和速算扣除數(shù)與之相對應，因此，這一公式中的變量個稅稅額y可以表示成變量應納稅所得額t的分段函數(shù)。我們在3.1.2例8中已經得到了這兩個變量的函數(shù)解析式。公式=2\*GB3②：應納稅所得額=綜合所得收入額-基本減除費用-專項扣除-專項附加扣除-依法確定的其他扣除可以看出，基本減除費用、專項扣除、專項附加扣除和依法確定的其他扣除為定值或由綜合所得收入額確定，因此，這一公式中的變量應納稅所得額t也是變量綜合所得收入額x的函數(shù)。因此，對于任一個綜合所得收入額都有唯一確定的應納稅所得額與之相對應，而任一個應納稅所得額也與唯一確定的個稅稅額相對應。這樣，對于任一個綜合收入所得額都有唯一確定的個稅稅額與之相對應，由函數(shù)的定義，個稅稅額y是綜合收入所得額x的函數(shù)。通過“應納稅所得額”這個橋梁，我們就可以建立起個稅稅額y與綜合收入所得額x的函數(shù)解析式。師生活動：1.教師提示學生在例題8的基礎上研究這個問題.通過“應納稅所得額”這個中間變量t找到x和y之間的對應關系。2.由于t的取值的范圍不同，使得對應的稅率和速算扣除數(shù)也不同，那么該如何處理這樣的情況呢？3.寫出y關于x的函數(shù)表達式，并解決題目中的問題。設計意圖：1.引導學生通過例題8來研究這個問題；2.引導學生采用分類討論的方式來處理，用分段函數(shù)的形式來表達；3.在此基礎上，引導學生完成例題。我們可以通過以下步驟解決本例的兩個問題：第一步，根據(jù)例8中公式②，得出應納稅所得額t關于綜合所得收入額x的解析式t=g(x)；第二步，結合例8中已經得到的y=f(t)的解析式③，得出y關于x的函數(shù)解析式；第三步，根據(jù)所得解析式求出應繳納個稅稅額。解：（1）根據(jù)應納稅所得額計算公式得t=x-60000-x(8%+2%+1%+9%)-52800-4560=0.8x-117360令t=0，得x=146700，所以根據(jù)應納稅所得額的規(guī)定可知，個人應納稅所得額t關于綜合所得收入額x的函數(shù)解析式為：追問3：當x在什么范圍內時可以使t落到相應的區(qū)間，從而確定稅率和速算扣除數(shù)？設計意圖：引導學生通過解相應的不等式求得工資x的不同范圍，從而得到個稅稅額關于綜合收入所得額的分段函數(shù)。在教學過程中讓學生體驗上述數(shù)學抽象的過程。結合3.1.2例8的解析式③，可得：當0≤x≤146700時，t=0，所以y=0；令0<0.8x-117360≤36000，得146700<x≤191700此時y=t×3%=（0.8x-117360）×3%=0.024x-3520.8；令36000<0.8x-117360≤144000，得191700<x≤326700此時y=t×10%-2520=（0.8x-117360）×10%-2520=0.08x-14256；以此類推，通過解相應的不等式，我們就可以通過解析式③中t的范圍求出x的范圍。當191700<x≤326700時，36000<t≤144000，所以y=t×10%-2520=0.08x-14256；當326700<x≤521700時，144000<t≤300000，所以y=t×20%-16920=0.16x-40392；當521700<x≤671700時，300000<t≤420000，所以y=t×25%-31920=0.2x-61260；當671700<x≤971700時，420000<t≤660000，所以y=t×30%-52920=0.24x-88128；當971700<x≤1346700時，660000<t≤960000，所以y=t×35%-85920=0.28x-126996；當x>1346700時，t>960000，所以y=t×45%-181920=0.36x-234732；所以，函數(shù)解析式為當x=249600時，y=0.08×249600-14256=5712所以，小王全年需要繳納的綜合所得個稅稅額為5712元。本題小結：在例8中，給出小王的綜合所得收入額為189600元，我們需要先利用公式②求出應納稅所得額，再利用我們建立的個稅稅額y關于應納稅所得額t的函數(shù)解析式，求出他應繳納個稅稅額為1029.6元。而在本例中，我們將個稅稅額表示成了綜合收入所得額的函數(shù)，就可以直接由綜合收入所得額求出需要繳納的個稅稅額。由此可見，有了函數(shù)模型，就可以通過研究函數(shù)的性質而獲得實際問題中的變化規(guī)律，通過函數(shù)圖象也可以更直觀地看到這種整體的變化規(guī)律。同時注意到，當綜合所得收入額增加到249600元時，個稅稅額也相應增加到了5712元，這體現(xiàn)了依法納稅是每個公民的責任與義務！有興趣的同學可以在課下畫出函數(shù)對應的圖象，直觀地觀察個稅稅額隨綜合所得收入額的變化情況。例題2：一輛汽車在某段路程中行駛的平均速率v（單位：km/h）與時間t（單位：h）的關系如圖所示。(1)求圖中陰影部分的面積，并說明所求面積的實際含義；(2)假設這輛汽車的里程表在汽車行駛這段路程前的讀數(shù)為2004km，試建立汽車行駛這段路程時汽車里程表讀數(shù)s（單位：km）與時間t的函數(shù)解析式，并畫出相應的圖象。追問1：此題是研究汽車行駛路程的相關問題，與例1通過文字、表格呈現(xiàn)信息不同，此題通過圖象體現(xiàn)了變量間的關系，請同學們找到題目中涉及的變量，并分析說明圖中的信息。師生活動：教師提出第一個問題，學生思考、討論，并回答問題。設計意圖：這個例題需要利用圖形中的信息及問題中的數(shù)據(jù)建立分段函數(shù)的數(shù)學模型.教學中仍然要讓學生從分析題意入手，分析清楚問題中涉及的變量，它們之間是什么關系，通過這些關系是如何確定里程表讀數(shù)與時間之間的關系的等。分析：本題涉及時間t、平均速率v、行駛路程S、里程表讀數(shù)s等變量；時間t和平均速率v的關系由圖給出，圖形中拋開陰影不看，是一些平行于x軸的小線段，而這些小線段實際上就是平均速率關于時間變化的函數(shù)圖象，是一個分段函數(shù)。讀圖時，請注意邊界點的開閉情況，當t在[0,1)內時，對應的平均速率為50km/h；當t在[1,2)內時，對應的平均速率為80km/h等。每一個陰影矩形的面積應由長乘以寬得到，即時間與對應的平均速率的乘積，因此每一個陰影矩形的面積表示每個時間段內行駛的路程，進而整個陰影面積的意義就是汽車5小時內行駛的總路程。解:（1）陰影部分的面積為所以陰影部分的面積表示汽車在這5小時內行駛的路程為360km。分析：由圖可知，當時間t在[0,5]內變化時，對于任意的時刻t都有唯一確定的行駛路程與之相對應.x=t這條直線左邊的陰影面積就是經過t時間的路程。每個時間段內對應的平均速率不同，因此在每個時間段內，行駛路程與時間的關系也不一樣，需要分段表述。由S=vt，s=2004+S等關系，通過逐步抽象，我們就不難得到里程表讀數(shù)s與時間t的函數(shù)關系。當時，里程表讀數(shù)s應在2004的基礎上加上經過t時間行駛的路程50t；當時，里程表讀數(shù)s應在2004的基礎上加上第一小時內行駛的路程50，再加上1到t時間行駛的路程80（t-1），以此類推。（2）根據(jù)圖1,有分段表示時，注意t取值區(qū)間的開閉情況與圖象對應。注意到各段均為一次函數(shù)，易得函數(shù)圖象如圖，本題小結：本題的解答過程表明，函數(shù)圖象對分析和理解題意很有幫助。因此，我們要注意提高讀圖能力。另外，本題用到了分段函數(shù)，解決現(xiàn)實問題時經常會用到此類函數(shù)。3分鐘練習鞏固若用模型y=ax2描述汽車緊急剎車后滑行的距離y（單位：m）與剎車時的速率x（單位：km/h）的關系，而某種型號的汽車在速率為60km/h時，緊急剎車后滑行的距離為20m.在限速為100km/h的高速公路上，一輛這種型號的車緊急剎車后滑行的距離為50m，那么這輛車是否超速行駛？設計意圖：讓學生鞏固在已知函數(shù)模型的基礎上，運用函數(shù)的知識和思想解決實際的能力。解：3分鐘總結回顧師：通過本節(jié)課的學習，談談你對用函數(shù)解決實際問題的感受。生：思考、作答設計意圖：讓學生初步體會用函數(shù)的方法解決實際問題的過程。分析：在研究這兩個例題的過程中，我們經歷了以下步