2024-2025學年高一【數(shù)學(人教A版)】基本不等式(2)-教學設(shè)計

課程基本信息課例編號學科數(shù)學年級高一學期第一學期課題基本不等式（2）教科書教學人員姓名單位授課教師指導教師教學目標教學目標：1．使學生進一步理解基本不等式，能用基本不等式解決簡單的最值問題；2．通過運用基本不等式解決實際問題中的最值問題，使學生經(jīng)歷數(shù)學建模的過程，并體會基本不等式在解決實際問題中的作用；3．在運用基本不等式解決實際問題的過程中，提高學生分析問題和解決問題的能力，發(fā)展學生的數(shù)學建模素養(yǎng)．教學重點：運用基本不等式解決實際問題中最值問題的過程與步驟．教學難點：如何運用基本不等式解決實際問題中的最值問題．教學過程時間教學環(huán)節(jié)主要師生活動4分鐘復習引入教師與學生共同回顧基本不等式的基本內(nèi)容，以及運用基本不等式研究最值問題的兩個重要模型，為本節(jié)課的進一步學習做好鋪墊.1.基本不等式：如果a>0，b>0，那么，當且僅當a=b時，等號成立．2.已知x，y都是正數(shù)，（1）如果積xy等于定值P，那么當x=y時，和x+y有最小值．（2）如果和x+y等于定值S，那么當x=y時，積xy有最大值．教師追問：請同學們嘗試用自然語言，一句話表達出上述（1）和（2）這兩個基本問題．學生：當兩個正數(shù)變量的積或和為定值時，它們的和有最小值或積有最大值．10分鐘研究新知問題一（1）用籬笆圍一個面積為100m2的矩形菜園，當這個矩形的邊長為多少時，所用籬笆最短？最短籬笆的長度是多少？（2）用一段長為36m的籬笆圍成一個矩形菜園，當這個矩形的邊長為多少時，菜園的面積最大？最大面積是多少？在此環(huán)節(jié)中，教師從以下兩個方面引導學生對問題進行思考與分析：①教師引導學生回顧根據(jù)數(shù)學建模思想研究實際問題的一般過程．②通過審題，教師分別針對（1）和（2）兩個問題引導學生識別問題中的數(shù)量關(guān)系，判斷是否符合利用基本不等式解決最值問題的兩個基本模型的條件，即有兩個正數(shù)變量，且它們的積或和為定值．教師與學生共同完成問題一的解答過程如下．解：設(shè)矩形菜園的相鄰兩條邊的長分別為xm，ym，則籬笆的長度為2(x+y)m.（1）由已知，得xy=100，教師追問：當我們已知兩個正數(shù)的積為定值時，如何求它們的和的最小值呢？學生：運用基本不等式.根據(jù)基本不等式，可得，所以，2(x+y)≥40.當且僅當x=y=10時，上式等號成立.因此，當這個矩形菜園是邊長為10m的正方形時，所用籬笆最短，最短籬笆的長度為40m.（2）由已知，得2(x+y)=36，矩形菜園的面積為xym2.教師追問：當我們已知兩個正數(shù)的和為定值時，如何求它們的積的最大值呢？學生：仍然是運用基本不等式根據(jù)基本不等式可得，，所以，xy≤81.當且僅當x=y=9時，上式等號成立.因此，當這個矩形菜園是邊長為9m的正方形時，菜園面積最大，最大面積是81m2.【設(shè)計意圖】通過對上述兩個問題的研究，使學生體會如何運用基本不等式模型來理解和識別實際問題，從而利用基本不等式解決實際問題.特別地，在解決這兩個問題的過程中，分別有不同的側(cè)重點：對于問題（1）重點分析變量的個數(shù)、已知條件、是否符合基本不等式的模型等特征，以說明解決問題中每一步的必要性；對于問題（2）側(cè)重于運用基本不等式時判斷等號是否成立的必要性的再認識，從而對實際問題的結(jié)果的合理性作出解釋．8分鐘思維提升問題二某工廠要建造一個長方體形無蓋貯水池，其容積為4800m3，深為3m.如果池底每平方米的造價為150元，池壁每平方米的造價為120元，那么怎樣設(shè)計水池能使總造價最低？最低總造價是多少？在此環(huán)節(jié)中，首先由學生獨立思考與分析，教師可建議學生畫出幾何示意圖進行研究．然后，教師與學生共同進行分析，識別問題中的數(shù)量關(guān)系，結(jié)合已知條件，引入適當?shù)淖兞浚桓鶕?jù)題意可知，水池的總造價由池壁面積（也就是長方體的側(cè)面積）和池底面積（也就是長方體的底面積）及相應的單價來確定的，從而可以將水池的總造價轉(zhuǎn)化為關(guān)于池底邊長的解析式，進而可以考慮如何求出總造價的最小值．教師與學生共同完成問題二的解答過程如下．解：設(shè)貯水池池底的相鄰兩條邊的長分別為xm，ym，水池的總造價為z元.根據(jù)題意，得z=150xy+120(2×3x+2×3y)=150xy+720(x+y)由容積為4800m3，可得3xy=4800，因此xy=1600，根據(jù)基本不等式可得，，根據(jù)不等式的基本性質(zhì)可得，720(x+y)≥720×，所以，240000+720(x+y)≥240000+720×，則z=240000+720(x+y)≥240000+720×=240000+720×=297600.當且僅當x=y=40時，上式等號成立.所以，將貯水池的池底設(shè)計成邊長為40m的正方形時總造價最低，最低總造價是297600元.教師追問：同學們，你能自己設(shè)計一個有關(guān)最值問題的實際問題嗎？并解決它.你可以改變上述問題二中的某個條件或某些條件，或者另外設(shè)計一個問題.預案：①將問題二中的“容積為4800m3”改為“容積為6000m3”；②將問題二中的“深為3m”改為“深為4m”；③將問題二中的“池底每平方米的造價為150元”改為“池底每平方米的造價為180元”；……【設(shè)計意圖】通過對問題二中的實際問題的研究過程，使學生能夠根據(jù)數(shù)學建模的數(shù)學思想，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，再利用基本不等式模型進行求解，最后將數(shù)學問題回歸到實際問題中，得出實際問題的設(shè)計方案；最后通過一個開放性問題，可以給學生一個自由發(fā)揮的空間，有利于學生對問題的再認識.3分鐘歸納小結(jié)在此環(huán)節(jié)中，教師引導學生歸納知識、技能、方法的一般規(guī)律，深化對數(shù)學思想方法的認識，逐步提升數(shù)學學科的核心素養(yǎng).（1）基本不等式：如果a>0，b>0，那么，當且僅當a=b時，等號成立；