2024-2025學(xué)年高一【數(shù)學(xué)(人教A版)】正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用-教學(xué)設(shè)計(jì)

教學(xué)設(shè)計(jì)

課程基本信息課例編號(hào)學(xué)科數(shù)學(xué)年級(jí)高一學(xué)期第一學(xué)期課題正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用教科書教學(xué)人員姓名單位授課教師指導(dǎo)教師教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)：1.利用正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖象及性質(zhì)解決相關(guān)的問(wèn)題；2.在利用正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖象及性質(zhì)解決相關(guān)問(wèn)題的過(guò)程中體會(huì)換元的方法;3.通過(guò)解決相關(guān)應(yīng)用問(wèn)題，提升代數(shù)推理的能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)推理的素養(yǎng).教學(xué)重點(diǎn)：正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用.教學(xué)難點(diǎn)：理解正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的性質(zhì).教學(xué)過(guò)程時(shí)間教學(xué)環(huán)節(jié)主要師生活動(dòng)5分鐘引入前面我們學(xué)習(xí)了正弦函數(shù)，余弦函數(shù)的圖象及性質(zhì)，具體研究了函數(shù)的周期性、單調(diào)性、最值，本節(jié)課我們將利用正余弦函數(shù)的圖象及性質(zhì)解決相關(guān)的應(yīng)用問(wèn)題.15分鐘（一）例題例1求下列函數(shù)的周期：(1)；（2）；（3）解：（1），有由周期函數(shù)的定義可知，原函數(shù)的周期為.（2）令，由得，且的周期為，即于是所以由周期函數(shù)的定義可知，原函數(shù)的周期為.（3）令，由得，且的周期為，即于是所以由周期函數(shù)的定義可知，原函數(shù)的周期為.追問(wèn)：解答完成之后思考，求解的依據(jù)是什么？據(jù)此求解的步驟是什么？這些函數(shù)的周期與解析式中哪些量有關(guān)？師生活動(dòng)：對(duì)于這些問(wèn)題，學(xué)生能夠求出周期，但是不清楚如何規(guī)范地表達(dá)，這是本例的難點(diǎn)所在，教師要基于學(xué)生課堂上的生成，給出分析求解的思路和程序，并加以示范，幫助學(xué)生理解.對(duì)于周期問(wèn)題,求解的步驟如下：第一步，先用換元法轉(zhuǎn)換.比如對(duì)于“（2）”，令2x=t，所以；第二步，利用已知三角函數(shù)的周期找關(guān)系.有，代入可得；第三步，根據(jù)定義變形.變形可得，于是就有；第四步，確定結(jié)論.根據(jù)定義可知其周期為π.周期與自變量的系數(shù)有關(guān).仿照上述分析過(guò)程可得函數(shù)的周期為.一般地，如果函數(shù)的周期是，那么函數(shù)的周期是.設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)例題深化對(duì)周期和最小正周期概念的理解，形成求解的具體步驟，進(jìn)而幫助學(xué)生理解函數(shù)的周期，為后續(xù)學(xué)習(xí)做準(zhǔn)備.例2下列函數(shù)有最大值、最小值嗎？如果有，請(qǐng)寫出取最大值、最小值時(shí)自變量x的集合，并求出最大值、最小值.（1）;（2）.解：容易知道，這兩個(gè)函數(shù)都有最大值、最小值.（1）使函數(shù)取得最大值的x的集合，就是使函數(shù)取得最大值的x的集合；使函數(shù)取得最小值的x的集合，就是使函數(shù)取得最小值的x的集合.函數(shù)的最大值是1+1=2；最小值是-1+1=0.（2）令，使函數(shù)取得最大值的z的集合，就是使取得最小值的z的集合.由得所以，使函數(shù)，取得最大值的x的集合是.同理，使函數(shù)取得最小值的x的集合是.函數(shù)的最大值是3，最小值是-3.師生活動(dòng)：學(xué)生先獨(dú)立完成，然后展示交流解題思路和結(jié)果，學(xué)生點(diǎn)明換元法及其重要作用.本例中，對(duì)于（1），因?yàn)?是確定值，因此問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求的最值；對(duì)于（2）令，轉(zhuǎn)化為求的最值.設(shè)計(jì)意圖：鞏固對(duì)最值概念的理解，初步感受換元法在求解三角函數(shù)問(wèn)題中的作用.例3不通過(guò)求值，比較下列各組數(shù)的大?。海?）與；（2）與.解：（1）因?yàn)檎液瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以（2）因?yàn)榍液瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以即師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立完成，教師進(jìn)行指導(dǎo).本例中，對(duì)于（1），可直接應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性求解；對(duì)于（2），首先要將所給的角化簡(jiǎn)，使之位于同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)，即轉(zhuǎn)化為第（1）題之后求解.設(shè)計(jì)意圖：初步應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性解決比較大小的問(wèn)題例4求函數(shù)，的單調(diào)遞增區(qū)間.分析：令，，當(dāng)自變量x的值增大時(shí)，z的值也隨之增大，因此若函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增，則函數(shù)在相應(yīng)的區(qū)間上也一定單調(diào)遞增.解：令，，則.因?yàn)椋膯握{(diào)遞增區(qū)間是，且由，得.所以，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為.師生活動(dòng)：師生共同分析此問(wèn)題，然后共同完成求解.本題中，令，，當(dāng)自變量x的值增大時(shí)，z的值也隨之增大，因此若函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的單調(diào)遞增，則函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上也一定單調(diào)遞增.在解題完成后，教師可進(jìn)一步提出此問(wèn)題的變式問(wèn)題：求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.此辨識(shí)問(wèn)題讓學(xué)生獨(dú)立完成，可能會(huì)有一部分學(xué)生出錯(cuò)，教師要引導(dǎo)學(xué)生將正確和錯(cuò)誤解答進(jìn)行對(duì)比分析.設(shè)計(jì)意圖：類比例3求解，進(jìn)一步熟悉換元轉(zhuǎn)化的思想方法；通過(guò)變換自變量系數(shù)的符號(hào)，提高學(xué)生思維的