數(shù)學(xué)知識(shí)導(dǎo)航獨(dú)立性檢驗(yàn)

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精1。1獨(dú)立性檢驗(yàn)知識(shí)梳理1。利用隨機(jī)變量來確定在多大程度上可以認(rèn)為“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”的方法稱為兩個(gè)隨機(jī)變量的______________，常用______________表示。2.用樣本估計(jì)總體時(shí)，由于抽樣的隨機(jī)性，結(jié)果并不唯一，因此，由某個(gè)樣本得到的推斷有可能正確，也有可能錯(cuò)誤.利用χ2進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以對(duì)推斷的正確性的概率作出估計(jì)，樣本量n越大，這個(gè)估計(jì)______________.3.一般地，對(duì)于兩個(gè)研究對(duì)象Ⅰ和Ⅱ，Ⅰ有兩類取值類A和類B,Ⅱ也有兩類取值類1和類2，可列聯(lián)表如下：Ⅱ合計(jì)類1類2Ⅰ類Aaa+b類Bdc+d合計(jì)a+ca+b+c+d則χ2=________________________________________________其中n=__________________________為樣本量.要推斷“Ⅰ與Ⅱ有關(guān)系”的步驟是__________________________（1）______________________________________________________________________（2）______________________________________________________________________（3）______________________________________________________________________知識(shí)導(dǎo)學(xué)可以利用獨(dú)立性檢驗(yàn)來考查兩個(gè)分類變量是否有關(guān)系,并且能夠較精確地給出這種判斷的可靠程度，x2的值越大，說明兩個(gè)變量有關(guān)系的可能性越大，當(dāng)數(shù)據(jù)a、b、c、d都不小于5時(shí),可用課本中的表1-1-4來判斷。疑難突破1.獨(dú)立性檢驗(yàn)與數(shù)學(xué)中的反證法的區(qū)別與聯(lián)系是什么呢？可以用反證法的思想解釋假設(shè)檢驗(yàn)原理，它們的對(duì)應(yīng)關(guān)系為：反證法：假設(shè)檢驗(yàn)要證明結(jié)論A備擇假設(shè)H1在A不成立的前提下進(jìn)行推理在H1不成立的條件下，即H0成立的條件下推理推出矛盾，意味著結(jié)論A成立推出有利于H1成立的小概率事件發(fā)生,意味著H1成立的可能性很大沒有找到矛盾，不能對(duì)A下任何結(jié)論,即反證法不成功推出有利于H1成立的小概率事件不發(fā)生，接受原假設(shè)從上述對(duì)比中可以看出,假設(shè)檢驗(yàn)的思想和反證法類似.不同之處：一是假設(shè)檢驗(yàn)中用有利于H1的小概率事件的發(fā)生代替了反證法中的矛盾；二是假設(shè)檢驗(yàn)中接受原假設(shè)的結(jié)論相當(dāng)于反證法中沒有找到矛盾.把假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想具體化到獨(dú)立性檢驗(yàn)中，就可以通過隨機(jī)變量χ2=當(dāng)χ2很大時(shí)，就認(rèn)為所涉及的兩個(gè)分類變量有關(guān)系;否則，就認(rèn)為沒有充分的證據(jù)顯示這兩個(gè)變量有關(guān)系.2。獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟為：（1）提出假設(shè)H0：Ⅰ與Ⅱ沒有關(guān)系；（2）根據(jù)2×2列聯(lián)表與公式χ2=計(jì)算χ2的值；(3）把χ2的值與臨界值比較，確定Ⅰ與Ⅱ有關(guān)的程序或無關(guān)系，具體比較時(shí)可參考以下標(biāo)準(zhǔn)；①如果χ2〉10。828，則有99.9%的把握認(rèn)為Ⅰ與Ⅱ有關(guān)系；②如果χ2〉7.879，則有99.5%的把握認(rèn)為Ⅰ與Ⅱ有關(guān)系；③如果χ2〉6。635，則有99％的把握認(rèn)為Ⅰ與Ⅱ有關(guān)系；④如果χ2>5。024,則有97.5％的把握認(rèn)為Ⅰ與Ⅱ有關(guān)系；⑤如果χ2>3。841，則有95%的把握認(rèn)為Ⅰ與Ⅱ有關(guān)系；⑥如果χ2>2。706，則有90％的把握認(rèn)為Ⅰ與Ⅱ有關(guān)系；⑦如果χ2≤2.706,就沒有充分證據(jù)顯示Ⅰ與Ⅱ有關(guān)系,這時(shí)就認(rèn)為Ⅰ與Ⅱ無關(guān)系成立,只要χ2≤2.706我們就認(rèn)為Ⅰ與Ⅱ有關(guān)系.典題精講【例1】對(duì)196個(gè)接受心臟搭橋手術(shù)的病人和196個(gè)接受血管清障手術(shù)的病人進(jìn)行了3年的跟蹤研究，調(diào)查他們是否又發(fā)作過心臟病，調(diào)查結(jié)果如下：又發(fā)作心臟病未發(fā)作過心臟病全計(jì)心臟搭橋手術(shù)39157196血管清障手術(shù)29167196合計(jì)68試根據(jù)上述數(shù)據(jù)比較這兩種手術(shù)對(duì)病人又發(fā)作過心臟病的影響有沒有差別.思路解析:從所給的列聯(lián)表中可知病人有兩種類型：做過心臟搭橋手術(shù)和做過血管清障手術(shù).每種類型又有兩種情況，又發(fā)作過心臟病，未發(fā)作過心臟病，問題是：用表中所給出的數(shù)據(jù)來檢驗(yàn)上述兩種狀態(tài)是否有關(guān)系.這是一個(gè)獨(dú)立性檢驗(yàn)問題，解決的方法是先計(jì)算χ2，用χ2的大小來決定是否又發(fā)作過心臟病與心臟搭橋手術(shù)有關(guān)還是無關(guān)。解:假設(shè)做過心臟搭橋手術(shù)與又發(fā)作心臟病沒有關(guān)系。由于a=39，b=157，c=29，d=167,a+b=196，c+d=196，a+c=68,b+d=324，n=392，由公式可得χ2的觀測(cè)值為：χ2===1。78因?yàn)棣?=1。78<2。706，所以我們沒有理由說心臟搭橋手術(shù)與又發(fā)作心臟病有關(guān)系。綠色通道：此類問題的一般解法是利用χ2=；求出χ2的值，再此利用χ2與臨界值的大小關(guān)系，來判斷假設(shè)是否成立.黑色陷阱：在解題時(shí)應(yīng)注意準(zhǔn)確代數(shù)與計(jì)算，有些同學(xué)常把數(shù)代錯(cuò)，或計(jì)算錯(cuò)誤，用錯(cuò)公式等，同時(shí)，準(zhǔn)確進(jìn)行比較與判斷也非常重要.【變式訓(xùn)練】在一次惡劣氣候的飛機(jī)航程中,調(diào)查了男女乘客在飛機(jī)上暈機(jī)的情況,如下表所示，請(qǐng)你根據(jù)所給的數(shù)據(jù)判定是否在惡劣氣候飛行中男人比女人更容易暈機(jī)？暈機(jī)不暈機(jī)合計(jì)男人243155女人82634合計(jì)325789解：由題意可知a=24,b=31，c=8，d=26，a+b=55，c+d=34,a+c=32,b+d=57，n=89,代入公式得，χ2===3.689，因?yàn)棣?=3。689＞2。706。因此，我們有90%的把握認(rèn)為男人比女人更容易暈機(jī)?！纠?】在某醫(yī)院，因?yàn)榛夹呐K病而住院的665名男性病人中，有214人禿頂；而另外772名不是因?yàn)樾呐K病而住院的男性病人中有175人禿頂，利用獨(dú)立性檢驗(yàn)方法判斷禿頂與患心臟病是否有關(guān)系?所得的結(jié)論在什么范圍內(nèi)有效？思路分析：把所給數(shù)據(jù)列出列聯(lián)表，被調(diào)查的人有兩種狀態(tài)：禿頂、不禿頂。每個(gè)狀態(tài)又有兩種情況：患心臟病、患其他病.這是一個(gè)2×2列聯(lián)表的獨(dú)立性檢驗(yàn)的問題，因而需求出χ2,用它的大小可以確定是否拒絕原來的假設(shè)，從而得出兩個(gè)量之間的關(guān)系。解：根據(jù)題目所給的數(shù)據(jù)得到如下列聯(lián)表:患心臟病患其他病合計(jì)禿頂214175389不禿頂4515971048合計(jì)6657721437假設(shè)禿頂與心臟病無關(guān)。由于a=214，b=175，c=451，d=597,則a+b=389,c+d=1048,a+c=665，b+d=772,n=1437。因此,χ2==≈16.373>10。828.因而我們有99.9%的把握認(rèn)為禿頂與患心臟病有關(guān)系。綠色通道：正確判斷出列聯(lián)表,比較易于觀察，因此對(duì)結(jié)論的判斷才不會(huì)出現(xiàn)偏差?！咀兪接?xùn)練】在研究某種新措施對(duì)豬白痢的防治效果問題時(shí)，得到以下數(shù)據(jù):存活數(shù)死亡數(shù)合計(jì)未采取新措施11436150采取新措施13218150合計(jì)24654300試問新措施對(duì)防治豬白癡是否有效？解：由題意可知：a=114,b=36,c=132,d=18∴a+b=150,c+d=150，a+c=246，b+d=54,n=300，代入公式可得,χ2===7。317因?yàn)棣?=7。317＞6。635因此我們有99%的把握認(rèn)為新措施對(duì)防治豬白痢是有效果的.【例3】(2006年全國(guó)高考卷Ⅱ,文19）某批產(chǎn)品成箱包裝,每箱5件，一用戶在購(gòu)進(jìn)該批產(chǎn)品前先取出3箱，再?gòu)拿肯渲腥我獬槿?件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)。設(shè)取出的第一、二、三箱中分別有0件,1件，2件二等品，其余為一等品。（1）求抽檢的6件產(chǎn)品中恰有1件二等品的概率；（2）若抽檢的6件產(chǎn)品中有2件或2件以上二等品，用戶就拒絕購(gòu)買這批產(chǎn)品，求這批產(chǎn)品被用戶拒絕購(gòu)買的概率.思路分析：本題是相互獨(dú)立事件概率公式的應(yīng)用類問題，要求會(huì)用公式P(A·B）=P（A）·P(B)來解決實(shí)際問題.解:設(shè)Ai表示事件“第二箱中取出i件二等品”，i=0,1;Bi表示事件“第三箱中取出i件二等品"，i=0，1,2。（1）由題意可知，所求的概率為P1=P（A1·B0）+P（A0·B1)=P(A1）P（B0）+P(A0）P（B1）=.（2）解法1：所求的概率為P2=1—P（A0·B0)-P1=解法2:所求的概率為P2=P(A1·B1）+P（A0·B2）+P（A1·B2）=P（A1）P（B1）+P(A0)P（B2)+P（A1）P（B2）=。綠色通道：本題考查互斥事件的概率及相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算，考查運(yùn)用所學(xué)知識(shí)與方法解決實(shí)際問題的能力和合理推理的能力?！咀兪接?xùn)練】袋子A和B中各裝有若干個(gè)均勻的紅球和白球，從A中摸出一個(gè)紅球的概率為，從B中摸出一個(gè)紅球的概率為P。（1）從A袋中有放回地摸球，每次摸出一個(gè)球，共摸5次.求：①恰好有3次摸出紅球的概率；②第一次，第三次，第五次均摸出紅球的概率；（2）若A、B兩個(gè)袋子中的球數(shù)之比為1∶2，將兩個(gè)袋子中的球混裝在一起后，從中摸出一個(gè)紅球的概率為,求P的值。解：（1）①②P=。（2）設(shè)A袋中有m個(gè)球，則B袋中有2m個(gè)球，由,可求得p=.問題探究問題:把一顆質(zhì)地均勻的骰子任意投擲一次，設(shè)事件A為“擲出偶數(shù)點(diǎn)”，B為“擲出3的倍數(shù)點(diǎn)”.求（1）事件A，B，，的概率，以及事件A∩B,∩B，A∩,∩的概率，(2）判斷P(A∩）與P（A）·P(）,P（A∩B）與P（A)·P（B），P（∩B）與P（）·P（B），P（∩）與P()·P（）的大小關(guān)系。導(dǎo)思：要判斷P(A∩）與P(A）·P（)，P（A∩B）與P(A）·P（B)，P（∩）與P（）·P（B），P(∩）與P(）·P()的大小關(guān)系，首先要知道P（A∩B）是指A、B同時(shí)交事件的概率.即A、B同時(shí)發(fā)生的概率，然后再計(jì)算P（A∩B）的值。在處理此類問題時(shí),要分清楚是相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，即交事件還是和事件的概率。探究：（1)P（A)=,P（B）=所以P（）=1—，P（）=1-.P（A∩B）=P（擲出6點(diǎn)）=·=.P（∩B）=P（擲出3點(diǎn)