專題06全等模型-角平分線模型(原卷版+解析)2

專題06全等模型-角平分線模型角平分線在中考數(shù)學(xué)中都占據(jù)著重要的地位，角平分線常作為壓軸題中的常考知識(shí)點(diǎn)，需要掌握其各類模型及相應(yīng)的輔助線作法，且輔助線是大部分學(xué)生學(xué)習(xí)幾何內(nèi)容中的弱點(diǎn)，本專題就角平分線的幾類全等模型作相應(yīng)的總結(jié)，需學(xué)生反復(fù)掌握。模型1.角平分線垂兩邊（角平分線+外垂直）【模型解讀與圖示】條件：如圖1，為的角平分線、于點(diǎn)A時(shí)，過(guò)點(diǎn)C作.結(jié)論：、≌.圖1圖2常見模型1（直角三角形型）條件：如圖2，在中，，為的角平分線，過(guò)點(diǎn)D作.結(jié)論：、≌.（當(dāng)是等腰直角三角形時(shí)，還有.）圖3常見模型2（鄰等對(duì)補(bǔ)型）條件：如圖3，OC是∠COB的角平分線，AC=BC，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥OA、CE⊥OB。結(jié)論：①；②；③.例1．（2022·北京·中考真題）如圖，在中，平分若則____．例2．（2022·山東泰安·中考真題）如圖，△ABC的外角∠ACD的平分線CP與內(nèi)角∠ABC的平分線BP交于點(diǎn)P，若∠BPC＝40°，則∠CAP＝（）A．40° B．45° C．50° D．60°例3．（2023·山東·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，∠D＝∠C＝90°，點(diǎn)E是DC的中點(diǎn)，AE平分∠DAB，∠DEA＝28°，求∠ABE的大?。?．（2022秋·河北承德·八年級(jí)統(tǒng)考期末）定理的回顧與應(yīng)用：(1)填空：角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點(diǎn)到．符號(hào)語(yǔ)言：∵如圖1，為上的平分線，且，∴．(2)解答：已知：如圖2，，為的平分線，以點(diǎn)為頂點(diǎn)的與角的兩邊相交于點(diǎn)、，且．求證：．(3)作圖：根據(jù)以上種情況，再次尋找其它情況，點(diǎn)P為的平分線上的點(diǎn)，請(qǐng)你用尺規(guī)作圖3，分別在角的兩邊上找點(diǎn)、，使得（要求保留作圖痕跡，不寫作法）(4)思考：如圖4，為的平分線，以點(diǎn)為頂點(diǎn)的與角的兩邊相交于點(diǎn)、，當(dāng)與有怎樣的數(shù)量關(guān)系時(shí)，．（只寫數(shù)量關(guān)系，不必證明）模型2.角平分線垂中間（角平分線+內(nèi)垂直）【模型解讀與圖示】條件：如圖1，為的角平分線，，結(jié)論：△AOC≌△BOC，是等腰三角形、是三線合一等。圖1圖2圖3條件：如圖2，為的角平分線，，延長(zhǎng)BA，CE交于點(diǎn)F.結(jié)論：△BEC≌△BEF，是等腰三角形、BE是三線合一等。例1．（2023·江蘇·八年級(jí)期末）如圖，中，，，平分，則的最大值為．例2．（2022·綿陽(yáng)市·九年級(jí)期中）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D．（1）如圖1，點(diǎn)F為BC上一點(diǎn)，連接AF交BD于點(diǎn)E．若AB=BF，求證：BD垂直平分AF．（2）如圖2，CE⊥BD，垂足E在BD的延長(zhǎng)線上．試判斷線段CE和BD的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．（3）如圖3，點(diǎn)F為BC上一點(diǎn)，∠EFC=∠ABC，CE⊥EF，垂足為E，EF與AC交于點(diǎn)M．直接寫出線段CE與線段FM的數(shù)量關(guān)系．例3．（2022·安徽黃山·九年級(jí)期中）如圖，在中，，，是邊上一動(dòng)點(diǎn)，于．（1）如圖（1），若平分時(shí)，①求的度數(shù)；②延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，補(bǔ)全圖形，探究與的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）如圖（2），過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，猜想線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．模型3.角平分線構(gòu)造軸對(duì)稱模型（角平分線+截線段相等）【模型解讀與圖示】條件：如圖，為的角平分線，A為任意一點(diǎn)，在上截取，連結(jié).結(jié)論：≌，CB=CA。條件：如圖，分別為和的角平分線，，在上截取，連結(jié).結(jié)論：≌，≌，AB+CD=BC。例1．（2023·山東·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，和的平分線、相交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若已知周長(zhǎng)為，，，則長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．4例2．（2023·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，的角平分線、相交于點(diǎn)O，求證：．

例3．（2023·山東八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）（1）如圖1，射線OP平分∠MON，在射線OM，ON上分別截取線段OA，OB，使OA＝OB，在射線OP上任取一點(diǎn)D，連接AD，BD．求證：AD＝BD．（2）如圖2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD平分∠ACB，求證：BC＝AC+AD．（3）如圖3，在四邊形ABDE中，AB＝9，DE＝1，BD＝6，C為BD邊中點(diǎn)，若AC平分∠BAE，EC平分∠AED，∠ACE＝120°，求AE的值．例4．（2023·遼寧沈陽(yáng)·八年級(jí)?？计谀╅喿x下面材料：小明遇到這樣一個(gè)問(wèn)題:如圖一，△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，猜想線段AD與DC數(shù)量關(guān)系.小明發(fā)現(xiàn)可以用下面方法解決問(wèn)題:作DE⊥BC交BC于點(diǎn)E：(1)根據(jù)閱讀材料可得AD與DC的數(shù)量關(guān)系為__________.(2)如圖二，△ABC中，∠A=120°，AB=AC，BD平分∠ABC，猜想線段AD與DC的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想.(3)如圖三，△ABC中，∠A=100°，AB=AC，BD平分∠ABC，猜想線段AD與BD、BC的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想.

課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2022·江蘇常州·一模）如圖，已知四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，且，，．過(guò)頂點(diǎn)C作于E，則的值為（

）A． B．9 C．6 D．7．22．（2021·四川成都·二模）已知，如圖，BC=DC，∠B+∠D=180°．連接AC，在AB，AC，AD上分別取點(diǎn)E，P，F(xiàn)，連接PE，PF．若AE=4，AF=6，△APE的面積為4，則△APF的面積是（

）A．2 B．4 C．6 D．83．（2023春·遼寧丹東·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，平分，，，，，則的長(zhǎng)為（

）

A． B． C． D．4．（2023春·廣東深圳·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，點(diǎn)P為定角的平分線上的一個(gè)定點(diǎn)，且與互補(bǔ)，若在繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，其兩邊分別與相交于M、N兩點(diǎn)，則以下結(jié)論：①恒成立；②的值不變；③四邊形的面積不變；其中正確的個(gè)數(shù)為（）

A．3 B．2 C．1 D．05．（2022秋·遼寧鞍山·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，和的平分線相交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于，有下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③點(diǎn)到各邊的距離相等；④設(shè)，，則，其中正確的結(jié)論有（

）

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)6．（2022·福建·福州立志中學(xué)一模）如圖，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于點(diǎn)D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于點(diǎn)B，交CD于點(diǎn)F，H是BC邊的中點(diǎn)，連接DH交BE于點(diǎn)G，現(xiàn)給出以下結(jié)論：①△ACD≌△FBD；②AE=CE；③△DGF為等腰三角形；④S四邊形ADGE=S四邊形GHCE．其中正確的有_________（寫出所有正確結(jié)論序號(hào)）．7．（2023·重慶市八年級(jí)月考）如圖，△ABC的面積為9cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，連接PC，則△PBC的面積為______cm2．8．（2023·江蘇八年級(jí)月考）如圖，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，∠ABC的平分線BD交AC于點(diǎn)D，CE⊥BD，交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，若BD＝4，則CE＝________．9．（2023春·廣西·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，四邊形中，平分，于點(diǎn)，．求證：．10．（2023·成都市八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在四邊形中，于，，.求證：；.11．（2023·四川·八年級(jí)期末）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D．（1）如圖1，點(diǎn)F為BC上一點(diǎn)，連接AF交BD于點(diǎn)E．若AB=BF，求證：BD垂直平分AF．（2）如圖2，CE⊥BD，垂足E在BD的延長(zhǎng)線上．試判斷線段CE和BD的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．（3）如圖3，點(diǎn)F為BC上一點(diǎn)，∠EFC=∠ABC，CE⊥EF，垂足為E，EF與AC交于點(diǎn)M．直接寫出線段CE與線段FM的數(shù)量關(guān)系．12．（2022·北京西城·二模）在△ABC中，AB=AC，過(guò)點(diǎn)C作射線CB′，使∠ACB′=∠ACB（點(diǎn)B′與點(diǎn)B在直線AC的異側(cè)）點(diǎn)D是射線CB′上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)C重合），點(diǎn)E在線段BC上，且∠DAE+∠ACD=90°．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，AD與的位置關(guān)系是______，若，則CD的長(zhǎng)為______；（用含a的式子表示）(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C不重合時(shí)，連接DE．①用等式表示與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；②用等式表示線段BE，CD，DE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．13．（2022·重慶·二模）已知：如圖1，四邊形ABCD中，，連接AC、BD，交于點(diǎn)E，．(1)求證：；(2)如圖2，過(guò)點(diǎn)B作，交DC于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)G，若，求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，若，求線段GF的長(zhǎng)．14．（2022·陜西西安·一模）如圖，△ABD和△BCE都是等邊三角形，∠ABC＜105°，AE與DC交于點(diǎn)F．（1）求證：AE＝DC；（2）求∠BFE的度數(shù)；（3）若AF＝9.17cm，BF＝1.53cm，CF＝7.53cm，求CD．15．（2022·自貢市九年級(jí)月考）根據(jù)圖片回答下列問(wèn)題．(1)如圖①，AD平分∠BAC，∠B+∠C=180°，∠B=90°，易知：DB____DC．(2)如圖②，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD=180°，∠ABD<90°，求證：DB=DC．16．（2023·山東·九年級(jí)專題練習(xí)）【教材呈現(xiàn)】如圖是華師版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教材96頁(yè)的部分內(nèi)容．已知：如圖13.5.4，是的平分線，P是上任意一點(diǎn)，，垂足分別為點(diǎn)D和點(diǎn)E．求證：．分析：圖中有兩個(gè)直角三角形和，只要證明這兩個(gè)三角形全等便可證得【問(wèn)題解決】請(qǐng)根據(jù)教材分析，結(jié)合圖①寫出證明的過(guò)程．【類比探究】（1）如圖②，是的平分線，P是上任意一點(diǎn)，點(diǎn)分別在和上，連接和，若，求證：；（2）如圖③，的周長(zhǎng)是12，分別平分和于點(diǎn)D，若，則的面積為．17．（2022秋·湖北黃石·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在中，、分別平分和，和相交于點(diǎn)．(1)如圖1，若，求的度數(shù)；(2)如圖2，連接，求證：平分；(3)如圖3，若，求證：．18.（2023.成都八年級(jí)期中）如圖，在中，，，．求證：．

專題06全等模型-角平分線模型角平分線在中考數(shù)學(xué)中都占據(jù)著重要的地位，角平分線常作為壓軸題中的?？贾R(shí)點(diǎn)，需要掌握其各類模型及相應(yīng)的輔助線作法，且輔助線是大部分學(xué)生學(xué)習(xí)幾何內(nèi)容中的弱點(diǎn)，本專題就角平分線的幾類全等模型作相應(yīng)的總結(jié)，需學(xué)生反復(fù)掌握。模型1.角平分線垂兩邊（角平分線+外垂直）【模型解讀與圖示】條件：如圖1，為的角平分線、于點(diǎn)A時(shí)，過(guò)點(diǎn)C作.結(jié)論：、≌.圖1圖2常見模型1（直角三角形型）條件：如圖2，在中，，為的角平分線，過(guò)點(diǎn)D作.結(jié)論：、≌.（當(dāng)是等腰直角三角形時(shí)，還有.）圖3常見模型2（鄰等對(duì)補(bǔ)型）條件：如圖3，OC是∠COB的角平分線，AC=BC，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥OA、CE⊥OB。結(jié)論：①；②；③.例1．（2022·北京·中考真題）如圖，在中，平分若則____．【答案】1【分析】作于點(diǎn)F，由角平分線的性質(zhì)推出，再利用三角形面積公式求解即可．【詳解】解：如圖，作于點(diǎn)F，∵平分，，，∴，∴．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)，通過(guò)作輔助線求出三角形ACD中AC邊的高是解題的關(guān)鍵．例2．（2022·山東泰安·中考真題）如圖，△ABC的外角∠ACD的平分線CP與內(nèi)角∠ABC的平分線BP交于點(diǎn)P，若∠BPC＝40°，則∠CAP＝（）A．40° B．45° C．50° D．60°【答案】C【分析】根據(jù)外角與內(nèi)角性質(zhì)得出∠BAC的度數(shù)，再利用角平分線的性質(zhì)以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP＝∠FAP，即可得出答案.【詳解】解：延長(zhǎng)BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，設(shè)∠PCD＝x°，∵CP平分∠ACD，∴∠ACP＝∠PCD＝x°，PM＝PN，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠PBC，PF＝PN，∴PF＝PM，∵∠BPC＝40°，∴∠ABP＝∠PBC＝∠PCD﹣∠BPC＝（x﹣40）°，∴∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC＝2x°﹣（x°﹣40°）﹣（x°﹣40°）＝80°，∴∠CAF＝100°，在Rt△PFA和Rt△PMA中，，∴Rt△PFA≌Rt△PMA（HL），∴∠FAP＝∠PAC＝50°．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)和直角三角全等的判定等知識(shí)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出PM＝PN＝PF是解題的關(guān)鍵．例3．（2023·山東·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，∠D＝∠C＝90°，點(diǎn)E是DC的中點(diǎn)，AE平分∠DAB，∠DEA＝28°，求∠ABE的大小．【答案】28°【分析】過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB于F，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得DE=EF，根據(jù)線段中點(diǎn)的定義可得DE=CE，然后求出CE=EF，再根據(jù)到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上證明即可得出BE平分∠ABC，即可求得∠ABE的度數(shù)．【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB于F，∵∠D=∠C=90°，AE平分∠DAB，∴DE=EF，∵E是DC的中點(diǎn)，∴DE=CE，∴CE=EF，又∵∠C=90°，∴點(diǎn)E在∠ABC的平分線上，∴BE平分∠ABC，又∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD=180°，∴∠AEB=90°，∴∠BEC=90°-∠AED=62°，∴Rt△BCE中，∠CBE=28°，∴∠ABE=28°．【點(diǎn)睛】考查了平行線的性質(zhì)與判定、角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì)、到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟記各性質(zhì)并作出輔助線．例4．（2022秋·河北承德·八年級(jí)統(tǒng)考期末）定理的回顧與應(yīng)用：(1)填空：角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點(diǎn)到．符號(hào)語(yǔ)言：∵如圖1，為上的平分線，且，∴．(2)解答：已知：如圖2，，為的平分線，以點(diǎn)為頂點(diǎn)的與角的兩邊相交于點(diǎn)、，且．求證：．(3)作圖：根據(jù)以上種情況，再次尋找其它情況，點(diǎn)P為的平分線上的點(diǎn)，請(qǐng)你用尺規(guī)作圖3，分別在角的兩邊上找點(diǎn)、，使得（要求保留作圖痕跡，不寫作法）(4)思考：如圖4，為的平分線，以點(diǎn)為頂點(diǎn)的與角的兩邊相交于點(diǎn)、，當(dāng)與有怎樣的數(shù)量關(guān)系時(shí)，．（只寫數(shù)量關(guān)系，不必證明）【答案】(1)角兩邊的距離相等；，(2)見解析(3)見解析(4)【分析】（1）根據(jù)角平分線性質(zhì)，寫出結(jié)果；（2）作于，作于，證明，從而得出結(jié)論；（3）作射線，交于，作，反向延長(zhǎng)，交于；（4）當(dāng)和互補(bǔ)時(shí)，．【詳解】（1）解：定理直接得出結(jié)果：角兩邊的距離相等；，；（2）證明：證明：如圖1，作于，作于，，平分，，在四邊形中，，，，，，，，（ASA）；（3）證明：如圖2，作射線，交于，作，反向延長(zhǎng)，交于，則；,（4）解：如圖3，當(dāng)和互補(bǔ)時(shí)，，理由如下：作于，作于，，平分，，在四邊形中，，，，，，，(ASA)．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定，角平分線的性質(zhì)等知識(shí)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握有關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)．模型2.角平分線垂中間（角平分線+內(nèi)垂直）【模型解讀與圖示】條件：如圖1，為的角平分線，，結(jié)論：△AOC≌△BOC，是等腰三角形、是三線合一等。圖1圖2圖3條件：如圖2，為的角平分線，，延長(zhǎng)BA，CE交于點(diǎn)F.結(jié)論：△BEC≌△BEF，是等腰三角形、BE是三線合一等。例1．（2023·江蘇·八年級(jí)期末）如圖，中，，，平分，則的最大值為．【答案】【分析】延長(zhǎng)交于點(diǎn)E，可證，再根據(jù)，可得的長(zhǎng)度，當(dāng)最大即可求得最大值．【詳解】解：如圖所示延長(zhǎng)交于點(diǎn)E，∵平分，，∴，，在與中，∵，，，∴∴，，∵∴，∵，∴，∴當(dāng)，最大，即最大，∴答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)及全等三角形性質(zhì)，解題關(guān)鍵是根據(jù)中線將小三角形面積轉(zhuǎn)換成大三角形面積取垂直時(shí)最大．例2．（2022·綿陽(yáng)市·九年級(jí)期中）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D．（1）如圖1，點(diǎn)F為BC上一點(diǎn)，連接AF交BD于點(diǎn)E．若AB=BF，求證：BD垂直平分AF．（2）如圖2，CE⊥BD，垂足E在BD的延長(zhǎng)線上．試判斷線段CE和BD的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．（3）如圖3，點(diǎn)F為BC上一點(diǎn)，∠EFC=∠ABC，CE⊥EF，垂足為E，EF與AC交于點(diǎn)M．直接寫出線段CE與線段FM的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）見解析；（2）BD=2CE，理由見解析；（3）FM=2CE．【分析】(1)由BD平分∠ABC，可得∠ABE=∠FBE，可證△ABE≌△FBE（SAS），可得AE=FE，∠AEB=∠FEB=×180°=90°即可；（2）延長(zhǎng)CE，交BA的延長(zhǎng)線于G，由CE⊥BD，∠ABE=∠FBE，可得GE=2CE=2GE，可證△BAD≌△CAG（ASA），可得BD=CG=2CE；（3）作FM的中垂線NH交CF于N，交FM于H，由FN=MN，MH=FH=FM，可得∠NMH=∠NBH，由∠EFC=∠ABC=22.5°，可求∠ABC=∠ACB=∠MNC=45°，可得NM=CM=FN，由外角∠EMC=∠MFC+∠MCF=22.5°+45°=67.5°，可求∠ECM=90°-∠EMC=22.5°，可證△FNH≌△CME（AAS），可得FH=CE即可．【詳解】證明(1)∵BD平分∠ABC，∴∠ABE=∠FBE，∵BA=BF，BE=BE，∴△ABE≌△FBE（SAS），∴AE=FE，∠AEB=∠FEB=×180°=90°，∴BD垂直平分AF．（2）BD=2CE，理由如下：延長(zhǎng)CE，交BA的延長(zhǎng)線于G，∵CE⊥BD，∠ABE=∠FBE，∴GE=2CE=2GE，∵∠CED=90°=∠BAD，∠ADB=∠EDC，∴∠ABD=∠GCA，又AB=AC，∠BAD=∠CAG，，∴△BAD≌△CAG（ASA），∴BD=CG=2CE，（3）FM=2CE，理由如下：作FM的中垂線NH交CF于N，交FM于H，∴FN=MN，MH=FH=FM，∴∠NMH=∠NBH，∵∠EFC=∠ABC=22.5°，∴∠MNC=2∠NFH=2×∠ABC=∠ABC，∵AB=AC，∠BAC=90，∴∠ABC=∠ACB=∠MNC=45°，∴NM=CM=FN，∵∠EMC=∠MFC+∠MCF=22.5°+45°=67.5°，∴∠ECM=90°-∠EMC=22.5°，∴∠NFH=∠MCE，又∵∠FHN=∠E=90°，∴△FNH≌△CME（AAS），∴FH=CE，∴FM=2FH=2CE．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余，線段垂直平分線，三角形外角性質(zhì)，掌握角平分線性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余，線段垂直平分線是解題關(guān)鍵．例3．（2022·安徽黃山·九年級(jí)期中）如圖，在中，，，是邊上一動(dòng)點(diǎn)，于．（1）如圖（1），若平分時(shí)，①求的度數(shù)；②延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，補(bǔ)全圖形，探究與的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）如圖（2），過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，猜想線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．【答案】（1）①，②BD=2EC，理由見詳解；（2）BE=CE+2AF，理由見詳解．【分析】（1）①由題意易得∠ABC=∠ACB=45°，則有∠CBD=∠ABD=22.5°，進(jìn)而可求∠ECD=∠DBA，則問(wèn)題得解；②由題意易得CE=EF，則可證△ABD≌△ACF，進(jìn)而可得BD=CF，最后根據(jù)線段的數(shù)量關(guān)系可求解；（2）在BE上截取BH=CE，連接AH，則易證△BHA≌△CEA，則有AE=AH，∠BAH=∠CAE，進(jìn)而可得∠HAE=90°，然后根據(jù)線段的數(shù)量關(guān)系可求解．【詳解】解：（1）∵，，∴∠ABC=∠ACB=45°，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠ABD=22.5°，①∵∠ABD+∠BDA=∠CDE+∠ECD=90°，∠CDE=∠BDA，∴∠ABD=∠ECD=22.5°；②BD=2EC，理由如下：如圖所示：∵，∴∠CEB=∠FEB=90°，∵BE=BE，∴△CEB≌△FEB（ASA），∴CE=FE，∵∠DBA+∠F=90°，∠FCA+∠F=90°，∴∠DBA=∠FCA，∵∠BAD=∠CAF=90°，AB=AC，∴△ABD≌△ACF（ASA），∴BD=CF，∴BD=2CE；（2）BE=CE+2AF，理由如下：在BE上截取BH=CE，連接AH，如圖，由（1）易得∠HBA=∠ECA，∵AB=AC，∴△BHA≌△CEA（SAS），∴AH=AE，∠BAH=∠CAE，∵∠BAH+∠HAC=90°，∴∠EAC+∠HAC=90°，即∠HAE=90°，∵AF⊥BE，∴AF=HF=FE，∵BE=BH+HF+FE，∴BE=CE+2AF．【點(diǎn)睛】本題主要考查直角三角形斜邊中線定理及等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握直角三角形斜邊中線定理及等腰直角三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．模型3.角平分線構(gòu)造軸對(duì)稱模型（角平分線+截線段相等）【模型解讀與圖示】條件：如圖，為的角平分線，A為任意一點(diǎn)，在上截取，連結(jié).結(jié)論：≌，CB=CA。條件：如圖，分別為和的角平分線，，在上截取，連結(jié).結(jié)論：≌，≌，AB+CD=BC。例1．（2023秋·山東·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，和的平分線、相交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若已知周長(zhǎng)為，，，則長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．4【答案】B【分析】證明得出，證明得出，進(jìn)而即求解．【詳解】解：如圖，在上截取，連接平分，平分，，，，，，，在和中，，，，，，在和中，，，，，周長(zhǎng)為，，，，．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，角分線的定義，構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．例2．（2023·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，的角平分線、相交于點(diǎn)O，求證：．

【答案】證明見解析【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和角平分線的定義，得到，，在上截取，連接，分別證明，，得到，即可證明結(jié)論．【詳解】證明：，，、分別平分、，，，，，，如圖，在上截取，連接，

在和中，，，，，，，在和中，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義，做輔助線構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．例3．（2023·山東八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）（1）如圖1，射線OP平分∠MON，在射線OM，ON上分別截取線段OA，OB，使OA＝OB，在射線OP上任取一點(diǎn)D，連接AD，BD．求證：AD＝BD．（2）如圖2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD平分∠ACB，求證：BC＝AC+AD．（3）如圖3，在四邊形ABDE中，AB＝9，DE＝1，BD＝6，C為BD邊中點(diǎn)，若AC平分∠BAE，EC平分∠AED，∠ACE＝120°，求AE的值．【答案】（1）見詳解；（2）見詳解；（3）AE=13【分析】（1）由題意易得∠AOD=∠BOD，然后易證△AOD≌△BOD，進(jìn)而問(wèn)題可求證；（2）在BC上截取CE=CA，連接DE，由題意易得∠ACD=∠ECD，∠B=30°，則有△ACD≌△ECD，然后可得∠A=∠CED=60°，則根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得∠EDB=∠B=30°，然后可得DE=BE，進(jìn)而問(wèn)題可求證；（3）在AE上分別截取AF=AB，EG=ED，連接CF、CG，同理（2）可證△ABC≌△AFC，△CDE≌△CGE，則有∠ACB=∠ACF，∠DCE=∠GCE，然后可得∠ACF+∠GCE=60°，進(jìn)而可得△CFG是等邊三角形，最后問(wèn)題可求解．【詳解】證明：（1）∵射線OP平分∠MON，∴∠AOD=∠BOD，∵OD=OD，OA＝OB，∴△AOD≌△BOD（SAS），∴AD＝BD．（2）在BC上截取CE=CA，連接DE，如圖所示：∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠ECD，∠B=30°，∵CD=CD，∴△ACD≌△ECD（SAS），∴∠A=∠CED=60°，AD=DE，∵∠B+∠EDB=∠CED，∴∠EDB=∠B=30°，∴DE=BE，∴AD=BE，∵BC=CE+BE，∴BC＝AC+AD．（3）在AE上分別截取AF=AB=9，EG=ED=1，連接CF、CG，如圖所示：同理（1）（2）可得：△ABC≌△AFC，△CDE≌△CGE，∴∠ACB=∠ACF，∠DCE=∠GCE，BC=CF，CD=CG，DE=GE=1，∵C為BD邊中點(diǎn)，∴BC=CD=CF=CG=3，∵∠ACE＝120°，∴∠ACB+∠DCE=60°，∴∠ACF+∠GCE=60°，∴∠FCG=60°，∴△CFG是等邊三角形，∴FG=CF=CG=3，∴AE=AF+FG+GE=9+3+1=13．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形全等的性質(zhì)與判定、角平分線的定義、等腰三角形的性質(zhì)與判定及等邊三角形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造輔助線證明三角形全等．例4．（2023·遼寧沈陽(yáng)·八年級(jí)?？计谀╅喿x下面材料：小明遇到這樣一個(gè)問(wèn)題:如圖一，△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，猜想線段AD與DC數(shù)量關(guān)系.小明發(fā)現(xiàn)可以用下面方法解決問(wèn)題:作DE⊥BC交BC于點(diǎn)E：(1)根據(jù)閱讀材料可得AD與DC的數(shù)量關(guān)系為__________.(2)如圖二，△ABC中，∠A=120°，AB=AC，BD平分∠ABC，猜想線段AD與DC的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想.(3)如圖三，△ABC中，∠A=100°，AB=AC，BD平分∠ABC，猜想線段AD與BD、BC的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想.

【答案】（1）CD=AD；（2）CD=AD；（3）BC=AD+BD.【分析】（1）由角平分線的性質(zhì)可得AD=DE，根據(jù)∠A=90°，AB=AC，可得∠C=45°，由DE⊥BC可得△DEC是等腰直角三角形，可得CD=DE，進(jìn)而可得答案；（2）在BC上截取BE=AB，連接DE，利用SAS可證明△ABD≌△EBD，可得AD=DE，∠BED=∠A=120°，由等腰三角形的性質(zhì)可得∠C=30°，利用三角形外角性質(zhì)可得∠CDE=90°，利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)即可得答案；（3）在BC上取一點(diǎn)E，使BE=BD，作DF⊥BA于F，DG⊥BC于G，由角平分線的性質(zhì)就可以得出DF=DG，利用AAS可證明△DAF≌△DEG，可得DA=DE，利用外角性質(zhì)可求出∠EDC=40°，進(jìn)而可得DE=CE，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）∵∠A=90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC，∴DE=AD，∵∠A=90°，AB=AC，∴∠C=45°，∴△CDE是等腰直角三角形，∴CD=DE=AD，故答案為CD=AD（2）如圖，在BC上截取BE=AB，連接DE，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBE，在△ABD和△EBD中，，∴△ABD≌△EBD，∴DE=AD，∠BED=∠A=120°，∵AB=AC，∴∠C=∠ABC=30°，∴∠CDE=∠BED-∠C=90°，∴CD=DE=AD.（3）如圖，在BC上取一點(diǎn)E，是BE=BD，作DF⊥BA于F，DG⊥BC于G，∴∠DFA=∠DGE=90°．∵BD平分∠ABC，DF⊥BA，DG⊥BC，∴DF=DG．∵∠BAC=100°，AB=AC，∴∠FAD=80°，∠ABC=∠C=40°，∴∠DBC=20°，∵BE=BD，∴∠BED=∠BDE=80°，∴∠FAD=∠BED．在△DAF和△DEG中，，∴△DAF≌△DEG（AAS），∴AD=ED．∵∠BED=∠C+∠EDC，∴80°=40+∠EDC，∴∠EDC=40°，∴∠EDC=∠C，∴DE=CE，∴AD=CE．∵BC=BE+CE，∴BC=BD+AD．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，角平分線的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)合理添加輔助線是解答本題的關(guān)鍵．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2022·江蘇常州·一模）如圖，已知四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，且，，．過(guò)頂點(diǎn)C作于E，則的值為（

）A． B．9 C．6 D．7．2【答案】B【分析】要求值，主要求出AE和BE的長(zhǎng)即可，注意到AC是角平分線，于是作CF⊥AD交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，可以證得兩對(duì)全等三角形，結(jié)合已知數(shù)據(jù)可以求得AE和BE的長(zhǎng)，從而解決問(wèn)題．【詳解】解：作CF⊥AD交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，則∠CFD=90°，∵CE⊥AB，∴∠CEB=90°，∴∠CFD=∠CEB=90°，∵∠BAC=∠DAC，∴AC平分∠BAD，∴CE=CF，∵四邊形ABCD對(duì)角互補(bǔ)，∴∠ABC+∠ADC=180°，又∵∠CDF+∠ADC=180°，∴∠CBE=∠CDF，在△CBE和△CDF中，，∴△CBE≌△CDF（AAS），∴BE=DF，在△AEC和△AFC中，，∴△AEC≌△AFC（AAS），∴AE=AF，設(shè)BE=a，則DF=a，

∵AB=15，AD=12，∴12+2a=15，得，∴AE=12+a=，BE=a=，∴，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是巧妙構(gòu)造全等三角形進(jìn)而得出等量關(guān)系．2．（2021·四川成都·二模）已知，如圖，BC=DC，∠B+∠D=180°．連接AC，在AB，AC，AD上分別取點(diǎn)E，P，F(xiàn)，連接PE，PF．若AE=4，AF=6，△APE的面積為4，則△APF的面積是（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【分析】作于點(diǎn)，于點(diǎn)，延長(zhǎng)，取，連接，先證明，由全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等，得到，結(jié)合等邊對(duì)等角得到，再由角平分線的性質(zhì)證得，最后根據(jù)三角形面積公式解題即可.【詳解】解：如圖，作于點(diǎn)，于點(diǎn)，延長(zhǎng)，取，連接，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊對(duì)等角、角平分線的性質(zhì)等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，難度一般，作出正確的輔助線、掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵.3．（2023春·遼寧丹東·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，平分，，，，，則的長(zhǎng)為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，由可證明和，從而得到和，利用即可得到答案．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，

平分，于點(diǎn)，于點(diǎn)，，，在和中，，，，在和中，，，，，，，．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)和判定、角平分線的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問(wèn)題需要的條件，利用全等三角形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)解答．4．（2023春·廣東深圳·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，點(diǎn)P為定角的平分線上的一個(gè)定點(diǎn)，且與互補(bǔ)，若在繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，其兩邊分別與相交于M、N兩點(diǎn)，則以下結(jié)論：①恒成立；②的值不變；③四邊形的面積不變；其中正確的個(gè)數(shù)為（）

A．3 B．2 C．1 D．0【答案】A【分析】作于E，于F，根據(jù)平分可知，結(jié)合即可證明．根據(jù)圖中各角的數(shù)量關(guān)系可得，進(jìn)而還可證明；利用全等三角形的性質(zhì)可以得到多組相等的邊，由此判斷①的正誤．根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，據(jù)此可得定值，還可判斷③的正誤；【詳解】解：如圖，作于E，于F．

∵，∴，∵，∴，∴，∵平分，于E，于F，∴．在和中，∴，∴．在和中，∴，∴，故①正確．∴定值，故③正確．∴定值，故②正確．故選：A．【點(diǎn)睛】本題側(cè)重考查角平分線的題目，需要掌握全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)等知識(shí)，添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．5．（2022秋·遼寧鞍山·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，和的平分線相交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于，有下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③點(diǎn)到各邊的距離相等；④設(shè)，，則，其中正確的結(jié)論有（

）

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和與角平分線的性質(zhì)可得，可判斷①和②；過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知，可判斷③；將的面積轉(zhuǎn)化成的面積與的面積之和，可判斷④．【詳解】解：在中，，∵，∴，∵和的平分線相交于點(diǎn)，∴，，∴，∴，∴結(jié)論①不正確，結(jié)論②正確；過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，∵平分，OC平分，∴，又∵，∴，∴，∴結(jié)論③正確，∵，，∴，設(shè)，，∴，∴結(jié)論④正確，∴正確的結(jié)論有：②③④，故選：C．

【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和，熟練掌握角平分線的性質(zhì)并且靈活運(yùn)用是解題關(guān)鍵．6．（2022·福建·福州立志中學(xué)一模）如圖，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于點(diǎn)D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于點(diǎn)B，交CD于點(diǎn)F，H是BC邊的中點(diǎn)，連接DH交BE于點(diǎn)G，現(xiàn)給出以下結(jié)論：①△ACD≌△FBD；②AE=CE；③△DGF為等腰三角形；④S四邊形ADGE=S四邊形GHCE．其中正確的有_________（寫出所有正確結(jié)論序號(hào)）．【答案】①②③【分析】證明△ACD≌△FBD（AAS），由全等三角形的性質(zhì)得出AC＝BF．則①正確；證明△ABE≌△CBE（ASA），由全等三角形的性質(zhì)得出AE＝CE，則可得出②正確；證出∠DGF＝∠DFG，由等腰三角形的判定可得出③正確．過(guò)G作GM⊥BD于點(diǎn)M，由直角三角形的性質(zhì)及全等三角形的性質(zhì)得出S四邊形ADGE＜S四邊形GHCE，故④錯(cuò)誤．【詳解】解：①∵CD⊥AB，∴∠CDA＝∠BDF＝90°，∠DBF＋∠DFB＝180°?∠BDF＝90°，又∵BE⊥AC，∴∠BEA＝90°，∴∠DBF＋∠DAC＝180°?∠BEA＝90°，∴∠DAC＝∠DFB，又∵∠ABC＝45°，∴∠DCB＝180°?∠ABC?∠BDF＝45°，△BCD是等腰直角三角形，∴BD＝CD，∴在△ACD和△FBD中，，∴△ACD≌△FBD（AAS），故①正確；②∵BE平分∠ABC，BE⊥AC，∴∠ABE＝∠CBE，∠BEA＝∠BEC＝90°，∴在△ABE和△CBE中，，∴△ABE≌△CBE（ASA），∴AE＝CE，故②正確；③∵∠HBG＋∠BGH＝180°?∠GHB＝90°，∠DBF＋∠DFG＝180°?∠BDF＝90°，∠HBG＝∠DBF，∴∠BGH＝∠DFG，∵∠BGH＝∠DGF，∴∠DGF＝∠DFG，∴△DGF為等腰三角形．故③正確；④如圖所示，過(guò)G作GM⊥BD于點(diǎn)M，∵H為等腰直角△BCD斜邊BC的中點(diǎn)，∴DH⊥BC，即∠GHB＝90°，又∵BE平分∠ABC，GM⊥BD，∴GM＝GH，又∵BD＞BH，∴S△BDG＞S△BGH，又∵△ABE≌△CBE，∴S△ABE＝S△CBE，∴S四邊形ADGE＝S△ABE?S△BDG，S四邊形GHCE＝S△CBE?S△BGH，∴S四邊形ADGE＜S四邊形GHCE，故④錯(cuò)誤；綜上所述：正確的有①②③．故答案為：①②③．【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，證明△ABE≌△CBE是解題的關(guān)鍵．7．（2023·重慶市八年級(jí)月考）如圖，△ABC的面積為9cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，連接PC，則△PBC的面積為______cm2．【答案】4.5【分析】根據(jù)已知條件證得△ABP≌△EBP，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AP=PE，得出S△ABP=S△EBP，S△ACP=S△ECP，推出，代入求出即可．【詳解】解：延長(zhǎng)AP交BC于E，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP=∠EBP，∵AP⊥BP，∴∠APB=∠EPB=90°，在△ABP和△EBP中，，∴△ABP≌△EBP（ASA），∴AP=PE，∴∴cm2，故答案為4.5．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的面積的應(yīng)用，注意：等底等高的三角形的面積相等．8．（2023·江蘇八年級(jí)月考）如圖，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，∠ABC的平分線BD交AC于點(diǎn)D，CE⊥BD，交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，若BD＝4，則CE＝________．【答案】2【分析】根據(jù)題意延長(zhǎng)BA、CE相交于點(diǎn)F，利用“角邊角”證明△BCE和△BFE全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得CE=EF，根據(jù)等角的余角相等求出∠ABD=∠ACF，然后利用“角邊角”證明△ABD和△ACF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得BD=CF，然后求解即可．【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)BA、CE相交于點(diǎn)F，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，在△BCE和△BFE中，，∴△BCE≌△BFE（ASA），∴CE=EF，∵∠BAC=90°，CE⊥BD，∴∠ACF+∠F=90°，∠ABD+∠F=90°，∴∠ABD=∠ACF，在△ABD和△ACF中，，∴△ABD≌△ACF（ASA），∴BD=CF，∵CF=CE+EF=2CE，∴BD=2CE=4，∴CE=2．故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)和等角的余角相等的性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的判定方法是解題的關(guān)鍵，難點(diǎn)在于作輔助線構(gòu)造出全等三角形并得到與BD相等的線段CF．9．（2023春·廣西·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，四邊形中，平分，于點(diǎn)，．求證：．【答案】證明過(guò)程見詳解【分析】如圖所示（見詳解），過(guò)點(diǎn)作的延長(zhǎng)線于，平分，于點(diǎn)，可證，，可求出，可證，則有，，由此即可求證．【詳解】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)作的延長(zhǎng)線于，∵平分，，∴，為公共邊，∴，∴，∵，∵，∴，∴在，中，，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的判定方法并作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵，本題難點(diǎn)在于要進(jìn)行二次全等證明．10．（2023·成都市八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在四邊形中，于，，.求證：；.【答案】詳見解析【分析】過(guò)點(diǎn)向OA、OB作垂線，構(gòu)建全等三角形，繼而根據(jù)平角定義以及線段的和差即可證得結(jié)論.【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)作與點(diǎn)，則∠F=∠CEO=90°，，OC=OC，，，，，，，，，∵，，.【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正確添加輔助線構(gòu)建全等三角形是解題的關(guān)鍵.11．（2023·四川·八年級(jí)期末）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D．（1）如圖1，點(diǎn)F為BC上一點(diǎn)，連接AF交BD于點(diǎn)E．若AB=BF，求證：BD垂直平分AF．（2）如圖2，CE⊥BD，垂足E在BD的延長(zhǎng)線上．試判斷線段CE和BD的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．（3）如圖3，點(diǎn)F為BC上一點(diǎn)，∠EFC=∠ABC，CE⊥EF，垂足為E，EF與AC交于點(diǎn)M．直接寫出線段CE與線段FM的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）見解析；（2）BD=2CE，理由見解析；（3）FM=2CE．【分析】(1)由BD平分∠ABC，可得∠ABE=∠FBE，可證△ABE≌△FBE（SAS），可得AE=FE，∠AEB=∠FEB=×180°=90°即可；（2）延長(zhǎng)CE，交BA的延長(zhǎng)線于G，由CE⊥BD，∠ABE=∠FBE，可得GE=2CE=2GE，可證△BAD≌△CAG（ASA），可得BD=CG=2CE；（3）作FM的中垂線NH交CF于N，交FM于H，由FN=MN，MH=FH=FM，可得∠NMH=∠NBH，由∠EFC=∠ABC=22.5°，可求∠ABC=∠ACB=∠MNC=45°，可得NM=CM=FN，由外角∠EMC=∠MFC+∠MCF=22.5°+45°=67.5°，可求∠ECM=90°-∠EMC=22.5°，可證△FNH≌△CME（AAS），可得FH=CE即可．【詳解】證明(1)∵BD平分∠ABC，∴∠ABE=∠FBE，∵BA=BF，BE=BE，∴△ABE≌△FBE（SAS），∴AE=FE，∠AEB=∠FEB=×180°=90°，∴BD垂直平分AF．（2）BD=2CE，理由如下：延長(zhǎng)CE，交BA的延長(zhǎng)線于G，∵CE⊥BD，∠ABE=∠FBE，∴GE=2CE=2GE，∵∠CED=90°=∠BAD，∠ADB=∠EDC，∴∠ABD=∠GCA，又AB=AC，∠BAD=∠CAG，，∴△BAD≌△CAG（ASA），∴BD=CG=2CE，（3）FM=2CE，理由如下：作FM的中垂線NH交CF于N，交FM于H，∴FN=MN，MH=FH=FM，∴∠NMH=∠NBH，∵∠EFC=∠ABC=22.5°，∴∠MNC=2∠NFH=2×∠ABC=∠ABC，∵AB=AC，∠BAC=90，∴∠ABC=∠ACB=∠MNC=45°，∴NM=CM=FN，∵∠EMC=∠MFC+∠MCF=22.5°+45°=67.5°，∴∠ECM=90°-∠EMC=22.5°，∴∠NFH=∠MCE，又∵∠FHN=∠E=90°，∴△FNH≌△CME（AAS），∴FH=CE，∴FM=2FH=2CE．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余，線段垂直平分線，三角形外角性質(zhì)，掌握角平分線性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余，線段垂直平分線是解題關(guān)鍵．12．（2022·北京西城·二模）在△ABC中，AB=AC，過(guò)點(diǎn)C作射線CB′，使∠ACB′=∠ACB（點(diǎn)B′與點(diǎn)B在直線AC的異側(cè)）點(diǎn)D是射線CB′上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)C重合），點(diǎn)E在線段BC上，且∠DAE+∠ACD=90°．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，AD與的位置關(guān)系是______，若，則CD的長(zhǎng)為______；（用含a的式子表示）(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C不重合時(shí)，連接DE．①用等式表示與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；②用等式表示線段BE，CD，DE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】(1)AD⊥CB′；；(2)①∠BAC=2∠DAE，理由見解析；②BE=CD+DE，理由見解析【分析】（1）先證明∠ADC=90°，再過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BC于點(diǎn)F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，證明△ADC≌△AFC(HL)，即可求解；（2）①∠ACB′=∠ACB=α=∠B，利用三角形內(nèi)角和定理得到α=90°-∠BAC，再由∠DAE+∠ACD=90°，推出∠ACD=90°-∠DAE=α，進(jìn)一步計(jì)算即可求解；②在BC上截取BG=CD，先后證明△ABG≌△ACD(SAS)，△GAE≌△DAE(SAS)，即可求解．（1）解：∵點(diǎn)E與點(diǎn)C重合，且∠DAE+∠ACD=90°，∴∠ADC=90°，∴AD⊥CB′；過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BC于點(diǎn)F，∵AB=AC，∴CF=BF=BC=，∵∠ACB′=∠ACB，AF⊥BC，AD⊥CB′，∴AF=AD，∴△ADC≌△AFC(HL)，∴CD=CF=，故答案為：AD⊥CB′；；（2）解：①∠BAC=2∠DAE，理由如下：設(shè)∠ACB′=∠ACB=α=∠B，∴∠ACB+∠B=180°-∠BAC，即α=90°-∠BAC，∵∠DAE+∠ACD=90°，∴∠ACD=90°-∠DAE=α，∴90°-∠BAC=90°-∠DAE，∴∠BAC=2∠DAE；②BE=CD+DE，理由如下：在BC上截取BG=CD，在△ABG和△ACD中，，∴△ABG≌△ACD(SAS)，∴AG=AD，∠BAG=∠CAD，∵∠BAC=∠BAG+∠GAC，∠GAD=∠CAD+∠GAC，∴∠BAC=∠GAD，∵∠BAC=2∠DAE，∴∠GAD=2∠DAE，∴∠GAE=∠DAE，在△GAE和△DAE中，，∴△GAE≌△DAE(SAS)，∴GE=DE，∴BE=BG+GC=CD+DE．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，作出合適的輔助線，構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．13．（2022·重慶·二模）已知：如圖1，四邊形ABCD中，，連接AC、BD，交于點(diǎn)E，．(1)求證：；(2)如圖2，過(guò)點(diǎn)B作，交DC于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)G，若，求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，若，求線段GF的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【分析】（1）過(guò)點(diǎn)A作AP⊥BD于點(diǎn)P，AF⊥BC，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，可證四邊形APBF是正方形，可得AP＝AF，根據(jù)“HL”可證，可得∠DAP＝∠FAC，即可得∠DAC＝90°；（2）過(guò)點(diǎn)F作FM⊥BC于點(diǎn)M，F(xiàn)N⊥BD于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)C作CP⊥BF于點(diǎn)P，在BD上截取DH＝BC，連接AH，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得FN＝FM，根據(jù)S△DBF＝2S△CBF，可得BD＝2BC，即BH＝DH＝BC，通過(guò)全等三角形的判定和性質(zhì)可得AG＝GC；（3）由全等三角形的性質(zhì)可得BG＝PG＝，根據(jù)勾股定理可求GC，DC，PF的長(zhǎng)，即可求GF的長(zhǎng)．(1)解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AP⊥BD于點(diǎn)P，AF⊥BC，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，∵AP⊥BD，AF⊥BC，BD⊥BC∴四邊形APBF是矩形∵∠ABC＝135°，∠DBC＝90°，∴∠ABP＝45°，且∠APB＝90°，∴AP＝PB，∴四邊形APBF是正方形∴AP＝AF，且AD＝AC，∴，∴∠DAP＝∠FAC，∵∠FAC+∠PAC＝90°∴∠DAP+∠PAC＝90°∴∠DAC＝90°(2)如圖，過(guò)點(diǎn)F作FM⊥BC于點(diǎn)M，F(xiàn)N⊥BD于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)C作CP⊥BF于點(diǎn)P，在BD上截取DH＝BC，連接AH，∵∠ABC＝135°，∠ABF＝90°，∴∠CBF＝45°，且∠DBC＝90°，∴∠DBF＝∠CBF，且FN⊥BD，F(xiàn)M⊥BC，∴FN＝FM，∵S△DBF＝2S△CBF，∴×2，∴BD＝2BC，∴BH＝BD﹣DH＝BD﹣BC＝BC，∵∠AED＝∠BEC，∠DAC＝∠DBC＝90°，∴∠ADH＝∠ACB，且AD＝AC，DH＝BC，∴△ADH≌△ACB（SAS），∴∠AHD＝∠ABC＝135°，AH＝AB，∴∠AHB＝∠ABD＝45°，∴∠HAB＝90°，∵BC＝BH，∠HAB＝∠BPC，∠AHB＝∠FBC＝45°，∴△AHB≌△PBC（AAS），∴AB＝PC，∵AB＝PC，且∠ABP＝∠BPC，∠AGB＝∠CGP，∴△AGB≌△CGP（AAS），∴AG＝GC(3)解：如圖，∵AB＝3＝PC，∠PBC＝45°，PC⊥BF，∴BP＝PC=3，∵△AGB≌△CGP，∴BG＝PG＝，在中，CG＝＝，∴AG＝GC＝∴AC＝AD＝2AG＝3在中，CD＝＝，∵S△DBF＝2S△CBF，∴DF＝2FC∵DF+FC＝DC∴FC＝在中，PF＝＝1∴FG＝PG+PF＝1+＝．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了正方形的判定和性質(zhì)，全等三角形判定和性質(zhì)，勾股定理，角平分線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是添加恰當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)造全等三角形．14．（2022·陜西西安·一模）如圖，△ABD和△BCE都是等邊三角形，∠ABC＜105°，AE與DC交于點(diǎn)F．（1）求證：AE＝DC；（2）求∠BFE的度數(shù)；（3）若AF＝9.17cm，BF＝1.53cm，CF＝7.53cm，求CD．【答案】（1）見解析；（2）60°；（3）18.23cm【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)可知∠DBA＝∠EBC＝60°，BD＝AB，BC＝BE．從而可證∠DBC＝∠ABE．即可利用“SAS”可證明△DBC≌△ABE，得出結(jié)論AE＝DC．（2）過(guò)點(diǎn)B作BN⊥CD于N，BH⊥AE于H．由△DBC≌△ABE可知∠BEH＝∠BCN，∠BDF＝∠BAF．再結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)可求出∠FDA+∠DAF＝120°，進(jìn)而求出∠DFA＝180°-120°＝60°，即求出∠DFE＝180°-60°＝120°．即可利用“AAS”證明△BEH≌△BCN，得出結(jié)論BH＝BN，即得出BF平分∠DFE，即可求出∠BFE＝60°．（3）延長(zhǎng)BF至Q，使FQ＝AF，連接AQ．根據(jù)所作輔助線可知∠AFQ＝∠BFE＝60°，即證明△AFQ是等邊三角形，得出結(jié)論AF＝AQ＝BQ，∠FAQ＝60°．又可證明∠DAF＝∠BAQ．利用“SAS”可證明△DAF≌△BAQ，即得出DF＝BQ＝BF+FQ＝BF+AF，最后即可求出CD＝DF+CF＝BF+AF+CF＝1.53+9.17+7.53＝18.23cm．【詳解】（1）證明：∵△ABD和△BCE都是等邊三角形，∴∠DBA＝∠EBC＝60°，BD＝AB，BC＝BE，∴∠DBA+∠ABC＝∠EBC+∠ABC，即∠DBC＝∠ABE，∵在△DBC和△ABE中，，∴△DBC≌△ABE（SAS），∴AE＝DC；（2）解：如圖，過(guò)點(diǎn)B作BN⊥CD于N，BH⊥AE于H．∵△DBC≌△ABE，∴∠BEH＝∠BCN，∠BD