遼寧省瓦房店高級中學2025屆高考壓軸卷數(shù)學試卷含解析

遼寧省瓦房店高級中學2025屆高考壓軸卷數(shù)學試卷注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．2．已知復數(shù)滿足：，則的共軛復數(shù)為（）A． B． C． D．3．定義在上函數(shù)滿足，且對任意的不相等的實數(shù)有成立，若關(guān)于x的不等式在上恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是（）A． B． C． D．4．若直線經(jīng)過拋物線的焦點，則（）A． B． C．2 D．5．某幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的體積為（）A． B．1 C． D．6．已知函數(shù)，，若對任意的，存在實數(shù)滿足，使得，則的最大值是()A．3 B．2 C．4 D．57．如圖所示，直三棱柱的高為4，底面邊長分別是5，12，13，當球與上底面三條棱都相切時球心到下底面距離為8，則球的體積為()A．1605π3 B．6428．若滿足，且目標函數(shù)的最大值為2，則的最小值為()A．8 B．4 C． D．69．已知是橢圓和雙曲線的公共焦點，是它們的-一個公共點，且，設橢圓和雙曲線的離心率分別為，則的關(guān)系為（）A． B．C． D．10．盒中裝有形狀、大小完全相同的5張“刮刮卡”，其中只有2張“刮刮卡”有獎，現(xiàn)甲從盒中隨機取出2張，則至少有一張有獎的概率為()A． B． C． D．11．已知數(shù)列的通項公式為，將這個數(shù)列中的項擺放成如圖所示的數(shù)陣.記為數(shù)陣從左至右的列，從上到下的行共個數(shù)的和，則數(shù)列的前2020項和為（）A． B． C． D．12．設集合（為實數(shù)集），，，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．的展開式中，的系數(shù)為_______（用數(shù)字作答）.14．給出以下式子：①tan25°+tan35°tan25°tan35°；②2(sin35°cos25°+cos35°cos65°)；③其中，結(jié)果為的式子的序號是_____.15．已知函數(shù)，且，，使得，則實數(shù)m的取值范圍是______.16．在中，、的坐標分別為，，且滿足，為坐標原點，若點的坐標為，則的取值范圍為__________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在直角坐標系x0y中，把曲線α為參數(shù))上每個點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋?，縱坐標不變，得到曲線以坐標原點為極點，以x軸正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程（1）寫出的普通方程和的直角坐標方程；（2）設點M在上，點N在上，求|MN|的最小值以及此時M的直角坐標.18．（12分）已知.（1）若是上的增函數(shù)，求的取值范圍；（2）若函數(shù)有兩個極值點，判斷函數(shù)零點的個數(shù).19．（12分）已知，均為給定的大于1的自然數(shù)，設集合，．（Ⅰ）當，時，用列舉法表示集合；（Ⅱ）當時，，且集合滿足下列條件：①對任意，；②．證明：（?。┤?，則（集合為集合在集合中的補集）；（ⅱ）為一個定值（不必求出此定值）；（Ⅲ）設，，，其中，，若，則．20．（12分）已知函數(shù).（1）若在上是減函數(shù)，求實數(shù)的最大值；（2）若，求證：.21．（12分）已知是遞增的等差數(shù)列，，是方程的根.（1）求的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.22．（10分）已知點、分別在軸、軸上運動，，．（1）求點的軌跡的方程；（2）過點且斜率存在的直線與曲線交于、兩點，，求的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

利用已知條件畫出幾何體的直觀圖，然后求解幾何體的體積．【詳解】幾何體的三視圖的直觀圖如圖所示，則該幾何體的體積為：．故選：．【點睛】本題考查三視圖求解幾何體的體積，判斷幾何體的形狀是解題的關(guān)鍵．2、B【解析】

轉(zhuǎn)化，為，利用復數(shù)的除法化簡，即得解【詳解】復數(shù)滿足：所以故選：B【點睛】本題考查了復數(shù)的除法和復數(shù)的基本概念，考查了學生概念理解，數(shù)學運算的能力，屬于基礎題.3、B【解析】

結(jié)合題意可知是偶函數(shù),且在單調(diào)遞減,化簡題目所給式子,建立不等式,結(jié)合導函數(shù)與原函數(shù)的單調(diào)性關(guān)系,構(gòu)造新函數(shù),計算最值,即可.【詳解】結(jié)合題意可知為偶函數(shù),且在單調(diào)遞減,故可以轉(zhuǎn)換為對應于恒成立,即即對恒成立即對恒成立令,則上遞增,在上遞減,所以令,在上遞減所以.故,故選B.【點睛】本道題考查了函數(shù)的基本性質(zhì)和導函數(shù)與原函數(shù)單調(diào)性關(guān)系,計算范圍,可以轉(zhuǎn)化為函數(shù),結(jié)合導函數(shù),計算最值,即可得出答案.4、B【解析】

計算拋物線的交點為，代入計算得到答案.【詳解】可化為，焦點坐標為，故.故選：.【點睛】本題考查了拋物線的焦點，屬于簡單題.5、C【解析】該幾何體為三棱錐，其直觀圖如圖所示，體積．故選.6、A【解析】

根據(jù)條件將問題轉(zhuǎn)化為，對于恒成立，然后構(gòu)造函數(shù)，然后求出的范圍，進一步得到的最大值.【詳解】，，對任意的，存在實數(shù)滿足，使得，易得，即恒成立，，對于恒成立,設，則，令，在恒成立，，故存在，使得，即，當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增.,將代入得：，，且，故選：A【點睛】本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，零點存在定理和不等式恒成立問題，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于難題.7、A【解析】

設球心為O，三棱柱的上底面ΔA1B1C1的內(nèi)切圓的圓心為O1，該圓與邊B【詳解】如圖，設三棱柱為ABC-A1B1C所以底面ΔA1B1C1為斜邊是A1C1則圓O1的半徑為O設球心為O，則由球的幾何知識得ΔOO1M所以OM=2即球O的半徑為25所以球O的體積為43故選A．【點睛】本題考查與球有關(guān)的組合體的問題，解答本題的關(guān)鍵有兩個：（1）構(gòu)造以球半徑R、球心到小圓圓心的距離d和小圓半徑r為三邊的直角三角形，并在此三角形內(nèi)求出球的半徑，這是解決與球有關(guān)的問題時常用的方法．（2）若直角三角形的兩直角邊為a,b，斜邊為c，則該直角三角形內(nèi)切圓的半徑r=a+b-c8、A【解析】

作出可行域，由，可得.當直線過可行域內(nèi)的點時，最大，可得.再由基本不等式可求的最小值.【詳解】作出可行域，如圖所示由，可得.平移直線，當直線過可行域內(nèi)的點時，最大，即最大，最大值為2.解方程組，得..，當且僅當，即時，等號成立.的最小值為8.故選：.【點睛】本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查基本不等式，屬于中檔題.9、A【解析】

設橢圓的半長軸長為，雙曲線的半長軸長為，根據(jù)橢圓和雙曲線的定義得：，解得，然后在中，由余弦定理得：，化簡求解.【詳解】設橢圓的長半軸長為，雙曲線的長半軸長為，由橢圓和雙曲線的定義得：，解得，設，在中，由余弦定理得：，化簡得，即.故選：A【點睛】本題主要考查橢圓，雙曲線的定義和性質(zhì)以及余弦定理的應用，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.10、C【解析】

先計算出總的基本事件的個數(shù)，再計算出兩張都沒獲獎的個數(shù)，根據(jù)古典概型的概率，求出兩張都沒有獎的概率，由對立事件的概率關(guān)系，即可求解.【詳解】從5張“刮刮卡”中隨機取出2張，共有種情況，2張均沒有獎的情況有（種），故所求概率為.故選:C.【點睛】本題考查古典概型的概率、對立事件的概率關(guān)系，意在考查數(shù)學建模、數(shù)學計算能力，屬于基礎題.11、D【解析】

由題意，設每一行的和為，可得，繼而可求解，表示，裂項相消即可求解.【詳解】由題意，設每一行的和為故因此：故故選：D【點睛】本題考查了等差數(shù)列型數(shù)陣的求和，考查了學生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學運算的能力，屬于中檔題.12、A【解析】

根據(jù)集合交集與補集運算,即可求得.【詳解】集合,,所以所以故選:A【點睛】本題考查了集合交集與補集的混合運算,屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、60【解析】

根據(jù)二項式定理展開式通項，即可求得的系數(shù).【詳解】因為，所以，則所求項的系數(shù)為.故答案為：60【點睛】本題考查了二項展開式通項公式的應用，指定項系數(shù)的求法，屬于基礎題.14、①②③【解析】

由已知分別結(jié)合和差角的正切及正弦余弦公式進行化簡即可求解.【詳解】①∵tan60°＝tan（25°+35°），tan25°+tan35°tan25°tan35°；tan25°tan35°，，②2（sin35°cos25°+cos35°cos65°）＝2（sin35°cos25°+cos35°sin25°），＝2sin60°；③tan（45°+15°）＝tan60°；故答案為：①②③【點睛】本題主要考查了兩角和與差的三角公式在三角化簡求值中的應用，屬于中檔試題.15、【解析】

根據(jù)條件轉(zhuǎn)化為函數(shù)在上的值域是函數(shù)在上的值域的子集；分別求值域即可得到結(jié)論.【詳解】解：依題意，，即函數(shù)在上的值域是函數(shù)在上的值域的子集.因為在上的值域為（）或（），在上的值域為，故或，解得故答案為：.【點睛】本題考查了分段函數(shù)的值域求參數(shù)的取值范圍，屬于中檔題.16、【解析】

由正弦定理可得點在曲線上，設，則，將代入可得，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得范圍.【詳解】解：由正弦定理得，則點在曲線上，設，則，，又，，因為，則，即的取值范圍為.故答案為：.【點睛】本題考查雙曲線的定義，考查向量數(shù)量積的坐標運算，考查學生計算能力，有一定的綜合性，但難度不大.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）的普通方程為，的直角坐標方程為.（2）最小值為，此時【解析】

（1）由的參數(shù)方程消去求得的普通方程，利用極坐標和直角坐標轉(zhuǎn)化公式，求得的直角坐標方程.（2）設出點的坐標，利用點到直線的距離公式求得最小值的表達式，結(jié)合三角函數(shù)的指數(shù)求得的最小值以及此時點的坐標.【詳解】（1）由題意知的參數(shù)方程為（為參數(shù)）所以的普通方程為.由得，所以的直角坐標方程為.（2）由題意，可設點的直角坐標為，因為是直線，所以的最小值即為到的距離，因為．當且僅當時，取得最小值為，此時的直角坐標為即．【點睛】本小題主要考查參數(shù)方程化為普通方程，考查極坐標方程化為直角坐標方程，考查利用曲線參數(shù)方程求解點到直線距離的最小值問題，屬于中檔題.18、(1)(2)三個零點【解析】

(1)由題意知恒成立,構(gòu)造函數(shù)，對函數(shù)求導，求得函數(shù)最值，進而得到結(jié)果；（2）當時先對函數(shù)求導研究函數(shù)的單調(diào)性可得到函數(shù)有兩個極值點，再證，.【詳解】（1）由得，由題意知恒成立，即，設，，時，遞減，時，，遞增；故，即，故的取值范圍是.（2）當時，單調(diào)，無極值；當時，，一方面，，且在遞減，所以在區(qū)間有一個零點.另一方面，，設，則，從而在遞增，則，即，又在遞增，所以在區(qū)間有一個零點.因此，當時在和各有一個零點，將這兩個零點記為，，當時，即；當時，即；當時，即：從而在遞增，在遞減，在遞增；于是是函數(shù)的極大值點，是函數(shù)的極小值點.下面證明：，由得，即，由得，令，則，①當時，遞減，則，而，故；②當時，遞減，則，而，故；一方面，因為，又，且在遞增，所以在上有一個零點，即在上有一個零點.另一方面，根據(jù)得，則有：，又，且在遞增，故在上有一個零點，故在上有一個零點.又，故有三個零點.【點睛】本題考查函數(shù)的零點，導數(shù)的綜合應用．在研究函數(shù)零點時，有一種方法是把函數(shù)的零點轉(zhuǎn)化為方程的解，再把方程的解轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點，特別是利用分離參數(shù)法轉(zhuǎn)化為動直線與函數(shù)圖象交點問題，這樣就可利用導數(shù)研究新函數(shù)的單調(diào)性與極值，從而得出函數(shù)的變化趨勢，得出結(jié)論．19、（Ⅰ）；（Ⅱ）（?。┰斠娊馕觯áⅲ┰斠娊馕?（Ⅲ）詳見解析.【解析】

（Ⅰ）當，時，，，，，，．即可得出．（Ⅱ）（i）當時，，2，3，，，又，，，，，，必然有，否則得出矛盾．（ii）由．可得．又，即可得出為定值．（iii）由設，，，，其中，，，2，，．，可得，通過求和即可證明結(jié)論．【詳解】（Ⅰ）解：當，時，，，，，．．（Ⅱ）證明：（i）當時，，2，3，，，又，，，，，，必然有，否則，而，與已知對任意，矛盾．因此有．（ii）．．，為定值．（iii）由設，，，，其中，，，2，，．，．．【點睛】本題主要考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．20、（1）（2）詳見解析【解析】

（1），在上，因為是減函數(shù)，所以恒成立，即恒成立，只需.令，，則，因為，所以.所以在上是增函數(shù)，所以，所以，解得.所以實數(shù)的最大值為.（2），.令，則，根據(jù)題意知，所以在上是增函數(shù).又因為，當從正方向趨近于0時，趨近于，趨近于1，所以，所以存在，使，即，，所以對任意，，即，所以在上是減函數(shù)；對任意，，即，所以在上是增函數(shù)，所以當時，取得最小值，最小值為.由