山東省青島三中2025屆高三下學(xué)期第五次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題含解析

山東省青島三中2025屆高三下學(xué)期第五次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知三棱錐的外接球半徑為2，且球心為線段的中點(diǎn)，則三棱錐的體積的最大值為（）A． B． C． D．2．已知是虛數(shù)單位，若，則（）A． B．2 C． D．103．若復(fù)數(shù)滿足，則對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面的（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．年初，湖北出現(xiàn)由新型冠狀病毒引發(fā)的肺炎.為防止病毒蔓延，各級(jí)政府相繼啟動(dòng)重大突發(fā)公共衛(wèi)生事件一級(jí)響應(yīng)，全國(guó)人心抗擊疫情.下圖表示月日至月日我國(guó)新型冠狀病毒肺炎單日新增治愈和新增確診病例數(shù)，則下列中表述錯(cuò)誤的是（）A．月下旬新增確診人數(shù)呈波動(dòng)下降趨勢(shì)B．隨著全國(guó)醫(yī)療救治力度逐漸加大，月下旬單日治愈人數(shù)超過(guò)確診人數(shù)C．月日至月日新增確診人數(shù)波動(dòng)最大D．我國(guó)新型冠狀病毒肺炎累計(jì)確診人數(shù)在月日左右達(dá)到峰值5．音樂(lè)，是用聲音來(lái)展現(xiàn)美，給人以聽(tīng)覺(jué)上的享受，熔鑄人們的美學(xué)趣味．著名數(shù)學(xué)家傅立葉研究了樂(lè)聲的本質(zhì)，他證明了所有的樂(lè)聲都能用數(shù)學(xué)表達(dá)式來(lái)描述，它們是一些形如的簡(jiǎn)單正弦函數(shù)的和，其中頻率最低的一項(xiàng)是基本音，其余的為泛音．由樂(lè)聲的數(shù)學(xué)表達(dá)式可知，所有泛音的頻率都是基本音頻率的整數(shù)倍，稱為基本音的諧波．下列函數(shù)中不能與函數(shù)構(gòu)成樂(lè)音的是（）A． B． C． D．6．將函數(shù)向左平移個(gè)單位，得到的圖象，則滿足（）A．圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，在區(qū)間上為增函數(shù)B．函數(shù)最大值為2，圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C．圖象關(guān)于直線對(duì)稱，在上的最小值為1D．最小正周期為，在有兩個(gè)根7．如圖1，《九章算術(shù)》中記載了一個(gè)“折竹抵地”問(wèn)題:今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺，問(wèn)折者高幾何?意思是:有一根竹子,原高一丈（1丈=10尺）,現(xiàn)被風(fēng)折斷，尖端落在地上，竹尖與竹根的距離三尺，問(wèn)折斷處離地面的高為（）尺.A． B． C． D．8．已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則公比的值為（）A． B．或 C． D．9．已知定義在上的函數(shù)，，，，則，，的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．10．?dāng)?shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，例如：四葉草曲線就是其中一種，其方程為.給出下列四個(gè)結(jié)論：①曲線有四條對(duì)稱軸；②曲線上的點(diǎn)到原點(diǎn)的最大距離為；③曲線第一象限上任意一點(diǎn)作兩坐標(biāo)軸的垂線與兩坐標(biāo)軸圍成的矩形面積最大值為；④四葉草面積小于.其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）A．①② B．①③ C．①③④ D．①②④11．已知函數(shù)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，且滿足，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）A．9 B．10 C．18 D．2012．已知數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，設(shè)，，則當(dāng)時(shí)，的最大值是（）A．8 B．9 C．10 D．11二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的一條直線與圓相交于兩點(diǎn)，若存在點(diǎn)，使得，則橢圓的離心率取值范圍為_(kāi)________.14．過(guò)拋物線C：（）的焦點(diǎn)F且傾斜角為銳角的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)線段的中點(diǎn)N且垂直于l的直線與C的準(zhǔn)線交于點(diǎn)M，若，則l的斜率為_(kāi)_____.15．已知集合U＝{1,3,5,9}，A＝{1,3,9}，B＝{1,9}，則?U(A∪B)＝________.16．平面向量與的夾角為，，，則__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）某百貨商店今年春節(jié)期間舉行促銷活動(dòng)，規(guī)定消費(fèi)達(dá)到一定標(biāo)準(zhǔn)的顧客可進(jìn)行一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)，隨著抽獎(jiǎng)活動(dòng)的有效開(kāi)展，參與抽獎(jiǎng)活動(dòng)的人數(shù)越來(lái)越多，該商店經(jīng)理對(duì)春節(jié)前天參加抽獎(jiǎng)活動(dòng)的人數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，表示第天參加抽獎(jiǎng)活動(dòng)的人數(shù)，得到統(tǒng)計(jì)表格如下：123456758810141517（1）經(jīng)過(guò)進(jìn)一步統(tǒng)計(jì)分析，發(fā)現(xiàn)與具有線性相關(guān)關(guān)系．請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出關(guān)于的線性回歸方程；（2）該商店規(guī)定：若抽中“一等獎(jiǎng)”，可領(lǐng)取600元購(gòu)物券；抽中“二等獎(jiǎng)”可領(lǐng)取300元購(gòu)物券；抽中“謝謝惠顧”，則沒(méi)有購(gòu)物券．已知一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)獲得“一等獎(jiǎng)”的概率為，獲得“二等獎(jiǎng)”的概率為．現(xiàn)有張、王兩位先生參與了本次活動(dòng)，且他們是否中獎(jiǎng)相互獨(dú)立，求此二人所獲購(gòu)物券總金額的分布列及數(shù)學(xué)期望．參考公式：，，，．18．（12分）如圖，三棱錐中，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，且平面平面．求證：平面；若，，求證：平面平面.19．（12分）如圖，已知四棱錐，底面為邊長(zhǎng)為2的菱形，平面，，是的中點(diǎn)，．（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）若為上的動(dòng)點(diǎn)，求與平面所成最大角的正切值．20．（12分）已知函數(shù)（I）當(dāng)時(shí)，解不等式.（II）若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍21．（12分）已知函數(shù).（1）若函數(shù)不存在單調(diào)遞減區(qū)間，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)為，，求的最小值.22．（10分）某企業(yè)為了了解該企業(yè)工人組裝某產(chǎn)品所用時(shí)間，對(duì)每個(gè)工人組裝一個(gè)該產(chǎn)品的用時(shí)作了記錄，得到大量統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)．從這些統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取了個(gè)數(shù)據(jù)作為樣本，得到如圖所示的莖葉圖（單位：分鐘）．若用時(shí)不超過(guò)（分鐘），則稱這個(gè)工人為優(yōu)秀員工．（1）求這個(gè)樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)；（2）以這個(gè)樣本數(shù)據(jù)中優(yōu)秀員工的頻率作為概率，任意調(diào)查名工人，求被調(diào)查的名工人中優(yōu)秀員工的數(shù)量分布列和數(shù)學(xué)期望．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

由題可推斷出和都是直角三角形，設(shè)球心為，要使三棱錐的體積最大，則需滿足，結(jié)合幾何關(guān)系和圖形即可求解【詳解】先畫(huà)出圖形，由球心到各點(diǎn)距離相等可得，，故是直角三角形，設(shè)，則有，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最大值4，要使三棱錐體積最大，則需使高，此時(shí)，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查由三棱錐外接球半徑，半徑與球心位置求解錐體體積最值問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題2、C【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)模的性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，所以，，故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)模的定義及復(fù)數(shù)模的性質(zhì)，屬于容易題.3、D【解析】

利用復(fù)數(shù)模的計(jì)算、復(fù)數(shù)的除法化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，即可得答案；【詳解】，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面的第四象限.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)模的計(jì)算、復(fù)數(shù)的除法、復(fù)數(shù)的幾何意義，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】

根據(jù)新增確診曲線的走勢(shì)可判斷A選項(xiàng)的正誤；根據(jù)新增確診曲線與新增治愈曲線的位置關(guān)系可判斷B選項(xiàng)的正誤；根據(jù)月日至月日新增確診曲線的走勢(shì)可判斷C選項(xiàng)的正誤；根據(jù)新增確診人數(shù)的變化可判斷D選項(xiàng)的正誤.綜合可得出結(jié)論.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，由圖象可知，月下旬新增確診人數(shù)呈波動(dòng)下降趨勢(shì)，A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，由圖象可知，隨著全國(guó)醫(yī)療救治力度逐漸加大，月下旬單日治愈人數(shù)超過(guò)確診人數(shù)，B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，由圖象可知，月日至月日新增確診人數(shù)波動(dòng)最大，C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，在月日及以前，我國(guó)新型冠狀病毒肺炎新增確診人數(shù)大于新增治愈人數(shù)，我國(guó)新型冠狀病毒肺炎累計(jì)確診人數(shù)不在月日左右達(dá)到峰值，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查統(tǒng)計(jì)圖表的應(yīng)用，考查數(shù)據(jù)處理能力，屬于基礎(chǔ)題.5、C【解析】

由基本音的諧波的定義可得,利用可得,即可判斷選項(xiàng).【詳解】由題,所有泛音的頻率都是基本音頻率的整數(shù)倍,稱為基本音的諧波,由,可知若,則必有,故選:C【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的周期與頻率,考查理解分析能力.6、C【解析】

由輔助角公式化簡(jiǎn)三角函數(shù)式，結(jié)合三角函數(shù)圖象平移變換即可求得的解析式，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可判斷各選項(xiàng).【詳解】函數(shù)，則，將向左平移個(gè)單位，可得，由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，的對(duì)稱中心滿足，解得，所以A、B選項(xiàng)中的對(duì)稱中心錯(cuò)誤；對(duì)于C，的對(duì)稱軸滿足，解得，所以圖象關(guān)于直線對(duì)稱；當(dāng)時(shí)，，由正弦函數(shù)性質(zhì)可知，所以在上的最小值為1，所以C正確；對(duì)于D，最小正周期為，當(dāng)，，由正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)可知，時(shí)僅有一個(gè)解為，所以D錯(cuò)誤；綜上可知，正確的為C，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)，三角函數(shù)圖象平移變換，正弦函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.7、B【解析】如圖，已知，，

∴，解得

，∴，解得

.∴折斷后的竹干高為4.55尺故選B.8、C【解析】

由可得，故可求的值.【詳解】因?yàn)?，所以，故，因?yàn)檎?xiàng)等比數(shù)列，故，所以，故選C.【點(diǎn)睛】一般地，如果為等比數(shù)列，為其前項(xiàng)和，則有性質(zhì)：（1）若，則；（2）公比時(shí)，則有，其中為常數(shù)且；（3）為等比數(shù)列（）且公比為.9、D【解析】

先判斷函數(shù)在時(shí)的單調(diào)性，可以判斷出函數(shù)是奇函數(shù)，利用奇函數(shù)的性質(zhì)可以得到，比較三個(gè)數(shù)的大小，然后根據(jù)函數(shù)在時(shí)的單調(diào)性，比較出三個(gè)數(shù)的大小.【詳解】當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在時(shí)，是增函數(shù).因?yàn)椋院瘮?shù)是奇函數(shù)，所以有，因?yàn)?，函?shù)在時(shí)，是增函數(shù)，所以，故本題選D.【點(diǎn)睛】本題考查了利用函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)值大小問(wèn)題，判斷出函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性是解題的關(guān)鍵.10、C【解析】

①利用之間的代換判斷出對(duì)稱軸的條數(shù)；②利用基本不等式求解出到原點(diǎn)的距離最大值；③將面積轉(zhuǎn)化為的關(guān)系式，然后根據(jù)基本不等式求解出最大值；④根據(jù)滿足的不等式判斷出四葉草與對(duì)應(yīng)圓的關(guān)系，從而判斷出面積是否小于.【詳解】①：當(dāng)變?yōu)闀r(shí)，不變，所以四葉草圖象關(guān)于軸對(duì)稱；當(dāng)變?yōu)闀r(shí)，不變，所以四葉草圖象關(guān)于軸對(duì)稱；當(dāng)變?yōu)闀r(shí)，不變，所以四葉草圖象關(guān)于軸對(duì)稱；當(dāng)變?yōu)闀r(shí)，不變，所以四葉草圖象關(guān)于軸對(duì)稱；綜上可知：有四條對(duì)稱軸，故正確；②：因?yàn)?，所以，所以，所以，取等?hào)時(shí)，所以最大距離為，故錯(cuò)誤；③：設(shè)任意一點(diǎn)，所以圍成的矩形面積為，因?yàn)?，所以，所以，取等?hào)時(shí)，所以圍成矩形面積的最大值為，故正確；④：由②可知，所以四葉草包含在圓的內(nèi)部，因?yàn)閳A的面積為：，所以四葉草的面積小于，故正確.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查曲線與方程的綜合運(yùn)用，其中涉及到曲線的對(duì)稱性分析以及基本不等式的運(yùn)用，難度較難.分析方程所表示曲線的對(duì)稱性，可通過(guò)替換方程中去分析證明.11、B【解析】

由已知可得函數(shù)f（x）的周期與對(duì)稱軸，函數(shù)F（x）＝f（x）在區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)等價(jià)于函數(shù)f（x）與g（x）圖象在上交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，作出函數(shù)f（x）與g（x）的圖象如圖，數(shù)形結(jié)合即可得到答案.【詳解】函數(shù)F（x）＝f（x）在區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)等價(jià)于函數(shù)f（x）與g（x）圖象在上交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，由f（x）＝f（2﹣x），得函數(shù)f（x）圖象關(guān)于x＝1對(duì)稱，∵f（x）為偶函數(shù)，取x＝x+2，可得f（x+2）＝f（﹣x）＝f（x），得函數(shù)周期為2.又∵當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）＝x，且f（x）為偶函數(shù)，∴當(dāng)x∈[﹣1，0]時(shí)，f（x）＝﹣x，g（x），作出函數(shù)f（x）與g（x）的圖象如圖：由圖可知，兩函數(shù)圖象共10個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)F（x）＝f（x）在區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為10.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法與數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，屬于中檔題.12、B【解析】

根據(jù)題意計(jì)算，，，解不等式得到答案.【詳解】∵是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，∴.∵是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，∴.∴.∵，∴，解得.則當(dāng)時(shí)，的最大值是9.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列，等比數(shù)列，f分組求和，意在考查學(xué)生對(duì)于數(shù)列公式方法的靈活運(yùn)用.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

設(shè)，設(shè)出直線AB的參數(shù)方程，利用參數(shù)的幾何意義可得,由題意得到，據(jù)此求得離心率的取值范圍.【詳解】設(shè)，直線AB的參數(shù)方程為，(為參數(shù))代入圓，化簡(jiǎn)得：，，，，存在點(diǎn)，使得，，即，，，，故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓離心率取值范圍的求解，考查直線、圓與橢圓的綜合運(yùn)用，考查直線參數(shù)方程的運(yùn)用，屬于中檔題.14、【解析】

分別過(guò)A，B，N作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，，，根據(jù)拋物線定義和求得，從而求得直線l的傾斜角.【詳解】分別過(guò)A，B，N作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，，，由拋物線的定義知，，，因?yàn)椋?，所以，即直線的傾斜角為，又直線與直線l垂直且直線l的傾斜角為銳角，所以直線l的傾斜角為，.故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查拋物線的定義，根據(jù)已知條件做出輔助線利用拋物線定義和幾何關(guān)系即可求解，屬于較易題目.15、{5}【解析】易得A∪B＝A＝{1,3,9}，則?U(A∪B)＝{5}．16、【解析】

由平面向量模的計(jì)算公式，直接計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)槠矫嫦蛄颗c的夾角為，所以，所以;故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量模的計(jì)算，只需先求出向量的數(shù)量積，進(jìn)而即可求出結(jié)果，屬于基礎(chǔ)題型.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）見(jiàn)解析【解析】試題分析：（I）由題意可得，，則，，關(guān)于的線性回歸方程為．（II）由題意可知二人所獲購(gòu)物券總金額的可能取值有、、、、元，它們所對(duì)應(yīng)的概率分別為：，，，．據(jù)此可得分布列，計(jì)算相應(yīng)的數(shù)學(xué)期望為元．試題解析：（I）依題意：，，，，，，則關(guān)于的線性回歸方程為．（II）二人所獲購(gòu)物券總金額的可能取值有、、、、元，它們所對(duì)應(yīng)的概率分別為：，，，，．所以，總金額的分布列如下表：03006009001200總金額的數(shù)學(xué)期望為元．18、證明見(jiàn)解析；證明見(jiàn)解析.【解析】

利用線面平行的判定定理求證即可；為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，可得，，，可知，故為直角三角形，，利用面面垂直的判定定理求證即可.【詳解】解：證明：為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，，又平面，平面，平面；證明：為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，，又，，則，故為直角三角形，，平面平面，平面平面，，平面，平面，又∵平面，平面平面.【點(diǎn)睛】本題考查線面平行和面面垂直的判定定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.19、（Ⅰ）見(jiàn)解析；（Ⅱ）.【解析】試題分析：（Ⅰ）由底面為邊長(zhǎng)為2的菱形，平面，，易證平面，可得；（Ⅱ）連結(jié)，由（Ⅰ）易知為與平面所成的角，在中，可求得.試題解析：（Ⅰ）∵四邊形為菱形，且，∴為正三角形，又為中點(diǎn)，∴；又，∴，∵平面，又平面，∴，∴平面，又平面，∴；(Ⅱ)連結(jié)，由（Ⅰ）知平面，∴為與平面所成的角，在中，，最大當(dāng)且僅當(dāng)最短，即時(shí)最大，依題意，此時(shí)，在中，，∴，，∴與平面所成最大角的正切值為．考點(diǎn)：1.線線垂直證明；2.求線面角.20、（Ⅰ）;（Ⅱ）.【解析】試題分析：（1）根據(jù)零點(diǎn)分區(qū)間法，去掉絕對(duì)值解不等式；（2）根據(jù)絕對(duì)值不等式的性質(zhì)得，因此將問(wèn)