《2 從立體圖形到平面圖形》（同步訓(xùn)練）初中數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè)-北師大版-2024-2025學(xué)年

《2從立體圖形到平面圖形》同步訓(xùn)練(答案在后面)一、選擇題（本大題有10小題，每小題3分，共30分）1、下列哪一個(gè)圖形不是立體圖形？A.長(zhǎng)方體B.正方體C.圓D.球體2、將一個(gè)立方體沿某一直線切一刀，可能得到的截面形狀不包括以下哪種？A.正方形B.長(zhǎng)方形C.三角形D.圓3、一個(gè)正方體的每個(gè)面都是正方形，如果正方體的體積是64立方厘米，那么它的表面積是多少平方厘米？A.64B.96C.128D.2564、一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為3厘米、4厘米和5厘米，那么它的對(duì)角線長(zhǎng)度是多少厘米？A.5B.7C.9D.115、下列立體圖形中，哪一個(gè)的平面展開圖不可能是矩形？A.正方體B.圓柱C.三棱柱D.圓錐6、如果將一個(gè)立方體沿某些邊剪開并完全展開，以下哪種形狀不會(huì)出現(xiàn)？A.由六個(gè)正方形組成的一條直線B.由六個(gè)正方形組成的T字形C.由六個(gè)正方形組成的L字形D.由六個(gè)正方形組成的U字形7、一個(gè)正方體的每個(gè)面都是正方形，如果這個(gè)正方體的體積是64立方厘米，那么它的每個(gè)面的面積是多少平方厘米？A.8平方厘米B.16平方厘米C.32平方厘米D.64平方厘米8、一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別是3厘米、2厘米、1厘米，那么這個(gè)長(zhǎng)方體的表面積是多少平方厘米？A.22平方厘米B.24平方厘米C.26平方厘米D.28平方厘米9、在觀察一個(gè)正方體時(shí)，如果我們只考慮它的頂點(diǎn)和邊，下面哪一個(gè)圖形不可能是這個(gè)正方體的一個(gè)投影？A.正方形B.長(zhǎng)方形C.六邊形D.三角形10、如果一個(gè)圓柱體被一個(gè)垂直于其底面的平面切割，那么所得到的截面圖形是什么？A.圓B.橢圓C.矩形D.正方形二、計(jì)算題（本大題有3小題，每小題5分，共15分）第一題：一個(gè)正方體的棱長(zhǎng)為5cm，請(qǐng)計(jì)算：（1）這個(gè)正方體的體積；（2）一個(gè)對(duì)角面的面積；（3）從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，延伸到對(duì)面的頂點(diǎn)的對(duì)角線長(zhǎng)度。第二題：一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為3cm、2cm和4cm。請(qǐng)計(jì)算：（1）長(zhǎng)方體的表面積；（2）長(zhǎng)方體的體積。第三題：已知一個(gè)正方體的一個(gè)頂點(diǎn)為A，與之相鄰的三個(gè)頂點(diǎn)分別為B、C、D，若AB=3cm，AC=4cm，AD=5cm，求該正方體的體積。三、解答題（本大題有7小題，第1小題7分，后面每小題8分，共55分）第一題：已知長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是一個(gè)正方形，AB=BC=5cm，高AA1=12cm。求：（1）長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的體積V；（2）長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的表面積S。第二題：已知長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是矩形，且AB=6cm，BC=8cm，高AA1=10cm?，F(xiàn)從點(diǎn)A出發(fā)，沿AA1方向切割長(zhǎng)方體，切割面與底面ABCD平行，且切割面與側(cè)棱BB1、CC1、DD1都相交于點(diǎn)E、F、G。（1）求切割面與底面ABCD的交線EF的長(zhǎng)度。（2）求切割面與長(zhǎng)方體側(cè)面的交線EG的長(zhǎng)度。第三題：已知一個(gè)正方體的棱長(zhǎng)為5cm，求這個(gè)正方體的表面積和體積。第四題：已知一個(gè)正方體的每個(gè)面的邊長(zhǎng)為a，請(qǐng)計(jì)算正方體的體積V以及它的表面積S。第五題：已知一個(gè)長(zhǎng)方體，長(zhǎng)為8cm，寬為6cm，高為5cm。求該長(zhǎng)方體的表面積。第六題：已知一個(gè)正方體的邊長(zhǎng)為3cm，現(xiàn)從正方體的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，沿相鄰的三條棱分別截取長(zhǎng)度為1cm的小正方體。（1）求截去的小正方體的個(gè)數(shù)；（2）求截去后剩余部分的體積。第七題：已知一個(gè)正方體的一個(gè)頂點(diǎn)A，其三個(gè)相鄰頂點(diǎn)分別為B、C、D。如果頂點(diǎn)A到平面BCD的距離為3cm，求正方體的棱長(zhǎng)?！?從立體圖形到平面圖形》同步訓(xùn)練及答案解析一、選擇題（本大題有10小題，每小題3分，共30分）1、下列哪一個(gè)圖形不是立體圖形？A.長(zhǎng)方體B.正方體C.圓D.球體答案：C解析：在選項(xiàng)中，長(zhǎng)方體、正方體和球體都是三維空間中的立體圖形，它們有長(zhǎng)度、寬度和高度。而圓是二維平面上的圖形，它只有長(zhǎng)度和寬度（或稱為直徑和半徑），因此不屬于立體圖形。2、將一個(gè)立方體沿某一直線切一刀，可能得到的截面形狀不包括以下哪種？A.正方形B.長(zhǎng)方形C.三角形D.圓答案：D解析：當(dāng)我們考慮切割一個(gè)立方體時(shí)，根據(jù)切割的角度和位置不同，可以得到不同的截面形狀。如果我們平行于其中一個(gè)面切割，可以得到正方形或長(zhǎng)方形；如果我們以一定角度斜切，則有可能得到三角形。但是，無(wú)論如何切割，由于立方體的所有邊都是直線段，所以不可能得到包含曲線的圓形作為截面。因此，正確答案為D.圓。3、一個(gè)正方體的每個(gè)面都是正方形，如果正方體的體積是64立方厘米，那么它的表面積是多少平方厘米？A.64B.96C.128D.256答案：C解析：正方體的體積公式是V=a3，其中a是正方體的棱長(zhǎng)。由題意知，體積V=64正方體的表面積公式是S=6a2，將a4、一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為3厘米、4厘米和5厘米，那么它的對(duì)角線長(zhǎng)度是多少厘米？A.5B.7C.9D.11答案：D解析：長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)度可以通過(guò)勾股定理來(lái)計(jì)算。設(shè)長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)度為d，那么根據(jù)勾股定理有：d2=3因此，d=50。由于50是一個(gè)無(wú)理數(shù)，我們可以用近似值來(lái)表示它，即d≈7.075、下列立體圖形中，哪一個(gè)的平面展開圖不可能是矩形？A.正方體B.圓柱C.三棱柱D.圓錐答案：D解析：A選項(xiàng)的正方體可以展開成由六個(gè)相同大小的正方形組成的平面圖形。B選項(xiàng)的圓柱可以展開成一個(gè)矩形（側(cè)面）加上兩個(gè)圓形底面，但如果我們只考慮側(cè)面，則它確實(shí)能形成一個(gè)矩形。C選項(xiàng)的三棱柱可以展開成兩個(gè)三角形和三個(gè)矩形，其中這三個(gè)矩形可以排列成一個(gè)更大的矩形。D選項(xiàng)的圓錐，其側(cè)面展開后會(huì)形成一個(gè)扇形，而不是矩形。因此，正確答案為D。6、如果將一個(gè)立方體沿某些邊剪開并完全展開，以下哪種形狀不會(huì)出現(xiàn)？A.由六個(gè)正方形組成的一條直線B.由六個(gè)正方形組成的T字形C.由六個(gè)正方形組成的L字形D.由六個(gè)正方形組成的U字形答案：A解析：立方體的平面展開圖，也稱為網(wǎng)狀圖，有多種可能的形式，但所有形式都必須滿足一些基本條件：每個(gè)正方形至少與另一個(gè)正方形共享一條邊，并且整個(gè)圖形不能自我重疊。對(duì)于選項(xiàng)：A選項(xiàng)描述的情況實(shí)際上是不可能的。因?yàn)槿绻鶄€(gè)正方形排成一條直線，那么它們無(wú)法折疊回成立方體。為了形成一個(gè)立方體，至少需要有一個(gè)正方形與其他四個(gè)正方形中的每一個(gè)共享一條邊，這在一條直線上是不可能實(shí)現(xiàn)的。B.C和D選項(xiàng)都是立方體合法的展開方式。例如，T字形、L字形和U字形都可以通過(guò)適當(dāng)?shù)恼郫B過(guò)程變成立方體。因此，正確答案為A。7、一個(gè)正方體的每個(gè)面都是正方形，如果這個(gè)正方體的體積是64立方厘米，那么它的每個(gè)面的面積是多少平方厘米？A.8平方厘米B.16平方厘米C.32平方厘米D.64平方厘米答案：B解析：正方體的體積公式是邊長(zhǎng)的三次方，即V=a3。已知體積V=64立方厘米，所以a3=8、一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別是3厘米、2厘米、1厘米，那么這個(gè)長(zhǎng)方體的表面積是多少平方厘米？A.22平方厘米B.24平方厘米C.26平方厘米D.28平方厘米答案：A解析：長(zhǎng)方體的表面積公式是2lw+lh+wh，其中9、在觀察一個(gè)正方體時(shí)，如果我們只考慮它的頂點(diǎn)和邊，下面哪一個(gè)圖形不可能是這個(gè)正方體的一個(gè)投影？A.正方形B.長(zhǎng)方形C.六邊形D.三角形答案：D解析：正方體有六個(gè)面，每個(gè)面都是正方形。當(dāng)我們考慮正方體的投影時(shí)，我們可以得到以下幾種可能的形狀：如果我們正面或側(cè)面看正方體，我們會(huì)看到一個(gè)正方形（選項(xiàng)A）。如果我們以一定的角度觀看，使得正方體的一對(duì)相對(duì)的邊不平行于視線方向，那么我們可以看到一個(gè)長(zhǎng)方形（選項(xiàng)B）。如果我們的視線方向與正方體的一個(gè)頂點(diǎn)相切，并且穿過(guò)三個(gè)相鄰的面，則可以得到一個(gè)六邊形的投影（選項(xiàng)C）。然而，無(wú)論從哪個(gè)角度觀察，都不可能只通過(guò)正方體的頂點(diǎn)和邊形成一個(gè)三角形的投影（選項(xiàng)D）。因此，正確答案為D。10、如果一個(gè)圓柱體被一個(gè)垂直于其底面的平面切割，那么所得到的截面圖形是什么？A.圓B.橢圓C.矩形D.正方形答案：A解析：當(dāng)一個(gè)圓柱體被一個(gè)垂直于它底面的平面切割時(shí)，截面將會(huì)是一個(gè)圓形，這個(gè)圓形與圓柱體的底面是全等的。這是因?yàn)榍懈钇矫媾c底面平行，所以它會(huì)“復(fù)制”出底面的形狀（選項(xiàng)A）。其他選項(xiàng)如橢圓（選項(xiàng)B）、矩形（選項(xiàng)C）或正方形（選項(xiàng)D），只有在不同的切割方式下才可能出現(xiàn)，例如傾斜切割可能會(huì)產(chǎn)生橢圓，而沿側(cè)邊切割可能會(huì)產(chǎn)生矩形或正方形，但這些不是本題描述的垂直切割情況下的結(jié)果。因此，正確答案為A。二、計(jì)算題（本大題有3小題，每小題5分，共15分）第一題：一個(gè)正方體的棱長(zhǎng)為5cm，請(qǐng)計(jì)算：（1）這個(gè)正方體的體積；（2）一個(gè)對(duì)角面的面積；（3）從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，延伸到對(duì)面的頂點(diǎn)的對(duì)角線長(zhǎng)度。答案：（1）正方體的體積V=a3=5cm×5cm×5cm=125cm3（2）正方體一個(gè)面的面積A=a2=5cm×5cm=25cm2（3）正方體的對(duì)角線長(zhǎng)度d=√(a2+a2+a2)=√(5cm2+5cm2+5cm2)=√(3×5cm2)=5√3cm解析：（1）正方體的體積計(jì)算公式為棱長(zhǎng)的三次方，即V=a3。將棱長(zhǎng)5cm代入公式，得到體積為125cm3。（2）正方體的一個(gè)面是一個(gè)正方形，面積計(jì)算公式為邊長(zhǎng)的平方，即A=a2。將棱長(zhǎng)5cm代入公式，得到面積為25cm2。（3）正方體的對(duì)角線長(zhǎng)度可以通過(guò)勾股定理計(jì)算，正方體的每個(gè)對(duì)角面是一個(gè)等腰直角三角形，其對(duì)角線長(zhǎng)度等于棱長(zhǎng)的√3倍。因此，對(duì)角線長(zhǎng)度d=a√3。將棱長(zhǎng)5cm代入公式，得到對(duì)角線長(zhǎng)度為5√3cm。第二題：一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為3cm、2cm和4cm。請(qǐng)計(jì)算：（1）長(zhǎng)方體的表面積；（2）長(zhǎng)方體的體積。答案：（1）長(zhǎng)方體的表面積=2×(長(zhǎng)×寬+長(zhǎng)×高+寬×高)

=2×(3cm×2cm+3cm×4cm+2cm×4cm)

=2×(6cm2+12cm2+8cm2)

=2×26cm2

=52cm2（2）長(zhǎng)方體的體積=長(zhǎng)×寬×高

=3cm×2cm×4cm

=24cm3解析：（1）長(zhǎng)方體的表面積由六個(gè)面組成，其中相對(duì)的面面積相等。因此，計(jì)算表面積時(shí)，只需計(jì)算三個(gè)不同面的面積，然后乘以2即可。在這個(gè)例子中，我們計(jì)算了長(zhǎng)×寬、長(zhǎng)×高和寬×高的面積，然后將它們相加并乘以2得到總表面積。（2）長(zhǎng)方體的體積是長(zhǎng)、寬和高的乘積。在這個(gè)題目中，我們直接將三個(gè)維度相乘得到體積。第三題：已知一個(gè)正方體的一個(gè)頂點(diǎn)為A，與之相鄰的三個(gè)頂點(diǎn)分別為B、C、D，若AB=3cm，AC=4cm，AD=5cm，求該正方體的體積。答案：該正方體的體積為60cm3。解析：首先，根據(jù)題意，AB=AC=AD，因此△ABD、△ABC、△ACD都是等腰直角三角形。由于AB=3cm，AC=4cm，AD=5cm，可以判斷出AB是直角邊，AD是斜邊，因此ABCD是一個(gè)直角三角形，且∠ABC=∠ACD=90°。由于△ABD、△ABC、△ACD都是等腰直角三角形，可以得出BC=BD=CD。因?yàn)锳BCD是直角三角形，所以BC=BD=CD=4cm（AC的長(zhǎng)度，因?yàn)锳C是斜邊，根據(jù)勾股定理，AC2=AB2+BC2，所以BC=√(AC2-AB2)=√(42-32)=√(16-9)=√7，但這里BC的長(zhǎng)度實(shí)際上是AC的長(zhǎng)度，即4cm）。因此，正方體的棱長(zhǎng)為4cm。正方體的體積V可以通過(guò)公式V=a3計(jì)算，其中a是棱長(zhǎng)。所以，V=43=64cm3。但是，這里有一個(gè)錯(cuò)誤，因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)應(yīng)該是直角三角形ABD的斜邊長(zhǎng)度，即AD的長(zhǎng)度，所以棱長(zhǎng)a=5cm。因此，正方體的體積應(yīng)該是V=53=125cm3。所以，正確答案是125cm3。三、解答題（本大題有7小題，第1小題7分，后面每小題8分，共55分）第一題：已知長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是一個(gè)正方形，AB=BC=5cm，高AA1=12cm。求：（1）長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的體積V；（2）長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的表面積S。答案：（1）長(zhǎng)方體的體積V可以通過(guò)底面積乘以高來(lái)計(jì)算，即V=底面積×高。底面ABCD是正方形，所以底面積為AB×BC=5cm×5cm=25cm2。因此，體積V=25cm2×12cm=300cm3。（2）長(zhǎng)方體的表面積S由六個(gè)面的面積之和組成。其中，底面和頂面的面積各為25cm2，側(cè)面有四個(gè)，每個(gè)側(cè)面都是一個(gè)矩形，面積分別為AB×AA1和BC×AA1。所以，側(cè)面總面積為2×(AB×AA1+BC×AA1)=2×(5cm×12cm+5cm×12cm)=2×120cm2=240cm2。因此，表面積S=2×底面積+側(cè)面總面積=2×25cm2+240cm2=50cm2+240cm2=290cm2。解析：（1）首先，根據(jù)長(zhǎng)方體的體積公式V=底面積×高，代入已知的底面積和高計(jì)算出體積。（2）其次，根據(jù)長(zhǎng)方體的表面積公式S=2×底面積+側(cè)面總面積，分別計(jì)算底面積和四個(gè)側(cè)面的面積，然后將它們相加得到總的表面積。注意，這里要區(qū)分底面和側(cè)面，以及側(cè)面的面積計(jì)算要考慮長(zhǎng)和高的乘積。第二題：已知長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是矩形，且AB=6cm，BC=8cm，高AA1=10cm?，F(xiàn)從點(diǎn)A出發(fā)，沿AA1方向切割長(zhǎng)方體，切割面與底面ABCD平行，且切割面與側(cè)棱BB1、CC1、DD1都相交于點(diǎn)E、F、G。（1）求切割面與底面ABCD的交線EF的長(zhǎng)度。（2）求切割面與長(zhǎng)方體側(cè)面的交線EG的長(zhǎng)度。答案：（1）切割面與底面ABCD的交線EF是切割面與底面的平行線段，因此EF的長(zhǎng)度等于長(zhǎng)方體的高AA1，即EF=10cm。（2）由于切割面與側(cè)棱BB1、CC1、DD1相交于點(diǎn)E、F、G，且切割面與底面ABCD平行，因此EF、FG、GH、HE四條線段分別平行于底面的邊AB、BC、CD、DA。由于ABCD是矩形，所以AB平行于CD，BC平行于DA。在直角三角形AEG中，AE是切割面與側(cè)棱BB1的交線，由于切割面與底面平行，所以AE與AA1平行，因此AE=AA1=10cm。同理，AG=AA1=10cm。在直角三角形ABE中，AB=6cm，AE=10cm，根據(jù)勾股定理，可以求出BE的長(zhǎng)度：BE=√(AB^2-AE^2)=√(6^2-10^2)=√(36-100)=√(-64)（這里出現(xiàn)錯(cuò)誤，因?yàn)锳B^2-AE^2不可能為負(fù)數(shù)）這里出現(xiàn)了錯(cuò)誤，因?yàn)樵陂L(zhǎng)方體中，AB^2-AE^2不可能為負(fù)數(shù)，說(shuō)明題目中的數(shù)據(jù)可能存在問(wèn)題或者理解有誤。正確的做法是，由于切割面與底面平行，切割面與側(cè)棱的交點(diǎn)到對(duì)應(yīng)底面頂點(diǎn)的距離與底面頂點(diǎn)到側(cè)棱頂點(diǎn)的距離相等，因此BE=AB=6cm。同理，由于切割面與底面平行，F(xiàn)G=BC=8cm。因此，EG=EF+FG=10cm+8cm=18cm。解析：（1）通過(guò)分析切割面與底面的平行關(guān)系，直接得出EF的長(zhǎng)度等于長(zhǎng)方體的高AA1。（2）通過(guò)分析切割面與側(cè)棱的交點(diǎn)關(guān)系，確定AE=AG=AA1，然后利用勾股定理求出BE的長(zhǎng)度，最后通過(guò)切割面與底面的平行關(guān)系得出FG的長(zhǎng)度，從而得出EG的長(zhǎng)度。第三題：已知一個(gè)正方體的棱長(zhǎng)為5cm，求這個(gè)正方體的表面積和體積。答案：表面積：150cm2體積：125cm3解析：首先，我們知道正方體的表面積公式為：S=6a2，其中a為正方體的棱長(zhǎng)。代入題目中給定的棱長(zhǎng)a=5cm，我們可以計(jì)算出正方體的表面積：S=6×52=6×25=150cm2接著，正方體的體積公式為：V=a3，同樣代入棱長(zhǎng)a=5cm，我們可以計(jì)算出正方體的體積：V=53=5×5×5=125cm3因此，這個(gè)正方體的表面積為150cm2，體積為125cm3。第四題：已知一個(gè)正方體的每個(gè)面的邊長(zhǎng)為a，請(qǐng)計(jì)算正方體的體積V以及它的表面積S。答案：V=a3S=6a2解析：首先，正方體的體積V可以通過(guò)計(jì)算它的一個(gè)面的面積a2乘以它的高度（即邊長(zhǎng)a）得到，因此體積公式為V=a2*a=a3。其次，正方體的表面積S由它的六個(gè)面組成，每個(gè)面的面積都是a2。由于正方體有六個(gè)面，所以總表面積S為6個(gè)面的面積之和，即S=6*a2。綜上所述，正方體的體積是a的三次方，表面積是a的平方乘以6。第五題：已知一個(gè)長(zhǎng)方體，長(zhǎng)為8cm，寬為6cm，高為5cm。求該長(zhǎng)方體的表面積。答案：長(zhǎng)方體的表面積計(jì)算公式為：表面積=2×(長(zhǎng)×寬+長(zhǎng)×高+寬×高)。代入已知數(shù)據(jù)得：表面積=2×(8cm×6cm+8cm×5cm+6cm×5cm)

=2×(48cm2+40cm2+30cm2)

=2×118cm2

=236cm2所以，該長(zhǎng)方體的表面積為236cm2。解析：本題考查的是長(zhǎng)方體表面積的計(jì)算。根據(jù)長(zhǎng)方體表面積的公式，我們需要分別計(jì)算長(zhǎng)方體的三個(gè)不同面的面積，然后將這三個(gè)面積相加，并乘以2，得到長(zhǎng)方體的總表面積。在本題中，長(zhǎng)方體的三個(gè)不同面的面積分別為長(zhǎng)×寬、長(zhǎng)×高和寬×高，分別代入公式進(jìn)行計(jì)算即可得到最終答案。注意，計(jì)算過(guò)程中單位要保持一致，本題中單位為平方厘米。第六題：已知一個(gè)正方體的邊長(zhǎng)為3cm，現(xiàn)從正方體的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，沿相鄰的三條棱分別截取長(zhǎng)度為1cm的小正方體。（1）求截去的小正方體的個(gè)數(shù)；（2）求截去后剩余部分的體積。答案：（1）截去的小正方體的個(gè)數(shù)是3個(gè)。解析：從正方體的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，沿相鄰的三條棱分別截取長(zhǎng)度為1cm的小正方體，每