《第一章 三角形的證明》試卷及答案-初中數(shù)學八年級下冊-北師大版-2024-2025學年

《第一章三角形的證明》試卷(答案在后面)一、選擇題（本大題有10小題，每小題3分，共30分）1、在三角形ABC中，已知∠A=45°，∠B=90°，則下列說法正確的是（）A.AB是三角形的最長邊B.AC是三角形的最長邊C.BC是三角形的最長邊D.AB=AC2、在三角形ABC中，已知AB=AC，下列結論中錯誤的是（）A.∠ABC=∠ACBB.BC=ABC.AB=ACD.∠BAC=∠BCA3、在三角形ABC中，已知∠A=60°，∠B=45°，則∠C的度數(shù)為：A.60°B.75°C.120°D.135°4、在下列哪個三角形中，存在兩個相等的角：A.等腰直角三角形B.等邊三角形C.鈍角三角形D.直角三角形5、在三角形ABC中，已知∠A=60°，∠B=45°，則∠C的度數(shù)是：A.75°B.90°C.105°D.135°6、在下列哪個條件下，可以判斷三角形ABC是等邊三角形？A.AB=BC，AC=BCB.AB=AC，∠A=∠CC.AB=AC，∠B=∠CD.∠A=∠B，AB=BC7、已知在三角形ABC中，AB=AC，點D在BC上，且AD垂直于BC。如果∠BAD=45°，那么∠BAC的度數(shù)是：A.45°B.90°C.135°D.180°8、在下列四個選項中，哪個選項不是三角形全等的判定條件？A.SAS（兩邊及夾角相等）B.ASA（兩角及夾邊相等）C.AAS（兩角及非夾邊相等）D.SSS（三邊相等）9、在下列三角形中，能判定為等腰三角形的是（）A.兩邊長度分別為3和5，第三邊長度為4的三角形B.三角形的三邊長度分別為2、3、4C.三角形的三個內角分別為40°、50°、90°D.兩邊長度分別為6和8，第三邊長度為7的三角形10、在下列關于三角形證明的命題中，正確的是（）A.如果一個三角形的兩邊之和等于第三邊，則這個三角形是直角三角形B.如果一個三角形的兩個內角相等，則這個三角形是等腰三角形C.如果一個三角形的兩個邊長分別為5和10，第三個邊長為7，則這個三角形是等邊三角形D.如果一個三角形的兩個內角分別為30°和60°，則這個三角形是等腰直角三角形二、計算題（本大題有3小題，每小題5分，共15分）第一題：在△ABC中，∠A=40°，∠B=60°，求∠C的度數(shù)。第二題：在三角形ABC中，已知∠BAC=45°，AB=AC，AD是BC邊上的高，且AD=4cm。求證：BD=DC。第三題：在△ABC中，AB=AC，點D是BC的中點，E是AC上的一點，且DE⊥AC。已知∠BAC=50°，求∠BDE的度數(shù)。三、解答題（本大題有7小題，第1小題7分，后面每小題8分，共55分）第一題：在三角形ABC中，已知∠BAC=45°，AB=AC，BC=4cm。求證：三角形ABC是等邊三角形。第二題：已知三角形ABC中，∠BAC=45°，AB=AC，點D在BC上，且AD垂直于BC。求證：三角形ABD與三角形ACD全等。第三題：已知：在三角形ABC中，點D是邊AB上的一個點，CD=2AD，∠ACD=30°，∠ABC=75°。求證：∠ADC=∠B。第四題：已知三角形ABC中，AB=AC，點D是邊BC的中點，E是AB上的一點，且BE=ED。求證：BE2=AD2。第五題：已知：在△ABC中，∠A=60°，AB=AC，AD為BC邊上的高，交BC于點D。求證：△ABD≌△ACD。第六題：已知三角形ABC中，∠BAC=45°，∠ABC=70°，AB=AC，且點D在BC邊上，使得AD是BC的中線。求證：三角形ABD是等腰三角形。第七題：已知在△ABC中，∠A=40°，∠B=60°，AB=10cm。求證：△ABC是直角三角形?！兜谝徽氯切蔚淖C明》試卷及答案一、選擇題（本大題有10小題，每小題3分，共30分）1、在三角形ABC中，已知∠A=45°，∠B=90°，則下列說法正確的是（）A.AB是三角形的最長邊B.AC是三角形的最長邊C.BC是三角形的最長邊D.AB=AC答案：C解析：在直角三角形中，斜邊是最長的邊。由于∠B=90°，AB是斜邊，因此BC是三角形的最長邊。2、在三角形ABC中，已知AB=AC，下列結論中錯誤的是（）A.∠ABC=∠ACBB.BC=ABC.AB=ACD.∠BAC=∠BCA答案：B解析：在等腰三角形中，兩腰相等，即AB=AC。同時，底角相等，即∠ABC=∠ACB，頂角也相等，即∠BAC=∠BCA。因此，選項B中的“BC=AB”是錯誤的，因為在等腰三角形中，兩腰相等，而不是底邊等于腰。3、在三角形ABC中，已知∠A=60°，∠B=45°，則∠C的度數(shù)為：A.60°B.75°C.120°D.135°答案：B解析：根據(jù)三角形內角和定理，三角形內角和等于180°，所以∠C=180°-∠A-∠B=180°-60°-45°=75°。因此，正確答案為B。4、在下列哪個三角形中，存在兩個相等的角：A.等腰直角三角形B.等邊三角形C.鈍角三角形D.直角三角形答案：A解析：等腰直角三角形是指兩個底角相等的直角三角形。在等腰直角三角形中，除了直角外，兩個底角是相等的。所以，正確答案為A。其他選項中，等邊三角形的三個角都相等，鈍角三角形和直角三角形中只有直角三角形有一個直角，不滿足兩個角相等的條件。5、在三角形ABC中，已知∠A=60°，∠B=45°，則∠C的度數(shù)是：A.75°B.90°C.105°D.135°答案：B解析：三角形的內角和為180°，所以∠C=180°-∠A-∠B=180°-60°-45°=75°。6、在下列哪個條件下，可以判斷三角形ABC是等邊三角形？A.AB=BC，AC=BCB.AB=AC，∠A=∠CC.AB=AC，∠B=∠CD.∠A=∠B，AB=BC答案：C解析：等邊三角形的定義是三邊相等，且根據(jù)等腰三角形的性質，如果兩個底角相等，則該三角形為等腰三角形。所以，如果AB=AC，并且∠B=∠C，那么可以判斷三角形ABC是等邊三角形。7、已知在三角形ABC中，AB=AC，點D在BC上，且AD垂直于BC。如果∠BAD=45°，那么∠BAC的度數(shù)是：A.45°B.90°C.135°D.180°答案：B解析：由于AB=AC，三角形ABC是一個等腰三角形。在等腰三角形中，底角相等，頂角等于兩個底角之和。因為AD垂直于BC，所以∠BAD和∠CAD是直角三角形的銳角，它們的和為90°。已知∠BAD=45°，所以∠CAD也等于45°。因此，∠BAC=∠BAD+∠CAD=45°+45°=90°。所以正確答案是B。8、在下列四個選項中，哪個選項不是三角形全等的判定條件？A.SAS（兩邊及夾角相等）B.ASA（兩角及夾邊相等）C.AAS（兩角及非夾邊相等）D.SSS（三邊相等）答案：C解析：SAS、ASA和SSS都是三角形全等的判定條件。SAS是指兩個三角形有兩邊和它們夾角相等；ASA是指兩個三角形有兩角和它們的夾邊相等；SSS是指兩個三角形有三邊相等。而AAS是指兩個三角形有兩角和其中一個角的對邊相等，這不是一個有效的三角形全等判定條件。因此，正確答案是C。9、在下列三角形中，能判定為等腰三角形的是（）A.兩邊長度分別為3和5，第三邊長度為4的三角形B.三角形的三邊長度分別為2、3、4C.三角形的三個內角分別為40°、50°、90°D.兩邊長度分別為6和8，第三邊長度為7的三角形答案：C解析：等腰三角形是指至少有兩邊相等的三角形。在選項A中，雖然有兩邊長度相等，但是不滿足三角形兩邊之和大于第三邊的條件。選項B中的三角形三邊長度各不相同，也不是等腰三角形。選項D中，雖然兩邊長度相等，但是同樣不滿足三角形兩邊之和大于第三邊的條件。選項C中，雖然三個內角之和不是180°，但是它是一個直角三角形，且兩個銳角相等，因此是等腰三角形。10、在下列關于三角形證明的命題中，正確的是（）A.如果一個三角形的兩邊之和等于第三邊，則這個三角形是直角三角形B.如果一個三角形的兩個內角相等，則這個三角形是等腰三角形C.如果一個三角形的兩個邊長分別為5和10，第三個邊長為7，則這個三角形是等邊三角形D.如果一個三角形的兩個內角分別為30°和60°，則這個三角形是等腰直角三角形答案：B解析：選項A錯誤，因為兩邊之和等于第三邊的條件是構成三角形的必要條件，但不是充分條件，不能保證是直角三角形。選項C錯誤，因為根據(jù)三角形的邊長關系，5和7的邊長不能構成一個三角形，更不可能是等邊三角形。選項D錯誤，因為30°和60°的角不能構成一個等腰直角三角形。選項B正確，因為在一個三角形中，如果兩個內角相等，那么這兩個角對應的兩邊也相等，從而可以證明這個三角形是等腰三角形。二、計算題（本大題有3小題，每小題5分，共15分）第一題：在△ABC中，∠A=40°，∠B=60°，求∠C的度數(shù)。答案：∠C=180°-∠A-∠B∠C=180°-40°-60°∠C=80°解析：根據(jù)三角形內角和定理，一個三角形的三個內角的和等于180°。因此，可以通過將已知的兩個角的度數(shù)相加，然后從180°中減去這個和來求出第三個角的度數(shù)。在本題中，∠A和∠B的度數(shù)已知，分別是40°和60°，所以可以通過計算得到∠C的度數(shù)。第二題：在三角形ABC中，已知∠BAC=45°，AB=AC，AD是BC邊上的高，且AD=4cm。求證：BD=DC。答案：BD=DC=4cm解析：證明：由于AB=AC，且AD是BC邊上的高，所以三角形ABC是一個等腰直角三角形。在等腰直角三角形中，兩腰相等，即AB=AC。又因為AD是高，所以AD垂直于BC，即∠ADB=∠ADC=90°。由于∠BAC=45°，在等腰直角三角形中，底角也等于45°，所以∠BAD=45°。在直角三角形ABD中，∠BAD=45°，∠ADB=90°，所以三角形ABD是一個45°-45°-90°的特殊直角三角形。在這種三角形中，兩條腰相等，即BD=AD。同理，在直角三角形ACD中，∠CAD=45°，∠ADC=90°，所以三角形ACD也是一個45°-45°-90°的特殊直角三角形。在這種三角形中，兩條腰相等，即CD=AD。因為AD=4cm，所以BD=AD=4cm，CD=AD=4cm。因此，BD=DC=4cm，證畢。第三題：在△ABC中，AB=AC，點D是BC的中點，E是AC上的一點，且DE⊥AC。已知∠BAC=50°，求∠BDE的度數(shù)。答案：80°解析：因為AB=AC，所以△ABC是等腰三角形，根據(jù)等腰三角形的性質，∠ABC=∠ACB。因為DE⊥AC，所以∠ADE=90°。由于點D是BC的中點，所以BD=DC。在△ABC中，根據(jù)三角形內角和定理，∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°。將已知條件代入上式，得到∠ABC+∠ABC+50°=180°?；喌?∠ABC=130°，所以∠ABC=65°。由于∠ABC=∠ACB，所以∠ACB=65°。在△ACD中，∠ACD=∠ACB+∠BAC=65°+50°=115°。在△ACD中，∠ADC=180°-∠ACD=180°-115°=65°。在△ABD中，∠ADB=∠ABC+∠ACB=65°+65°=130°。在△ABD中，∠ADB=∠ABD+∠BAD。因為∠ABD=∠ABC=65°，所以∠BAD=130°-65°=65°。在△ABE中，∠ABE=∠ABC+∠BAD=65°+65°=130°。在△ABE中，∠ABE=∠AEB+∠BAE。因為∠AEB=90°（DE⊥AC），所以∠BAE=130°-90°=40°。在△ABD中，∠ABD=∠ADB+∠BAD。將已知條件代入上式，得到130°=65°+∠BAD?；喌谩螧AD=130°-65°=65°。在△ABD中，∠BDE=180°-∠BAD-∠ABD=180°-65°-130°=80°。所以，∠BDE的度數(shù)為80°。三、解答題（本大題有7小題，第1小題7分，后面每小題8分，共55分）第一題：在三角形ABC中，已知∠BAC=45°，AB=AC，BC=4cm。求證：三角形ABC是等邊三角形。答案：證明：由于AB=AC，所以三角形ABC是等腰三角形。在等腰三角形中，底角相等，即∠ABC=∠ACB。又因為∠BAC=45°，且三角形內角和為180°，所以∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°。將已知角度代入得：∠ABC+∠ACB+45°=180°。由于∠ABC=∠ACB，設∠ABC=∠ACB=x，則有2x+45°=180°。解得：2x=180°-45°，2x=135°，x=67.5°。所以∠ABC=∠ACB=67.5°。由于∠ABC=∠ACB，且AB=AC，根據(jù)等腰三角形的性質，三角形ABC的三個角都相等，即∠ABC=∠BAC=∠ACB=45°。因此，三角形ABC是等邊三角形。解析：本題主要考查等腰三角形的性質和三角形內角和定理。通過證明等腰三角形的底角相等，再結合三角形內角和定理，可以得出三個角都相等，從而證明三角形ABC是等邊三角形。在解題過程中，要注意角度的轉換和等式的解法。第二題：已知三角形ABC中，∠BAC=45°，AB=AC，點D在BC上，且AD垂直于BC。求證：三角形ABD與三角形ACD全等。答案：證明：由題意知，∠BAC=45°，AB=AC，AD垂直于BC。（1）因為AB=AC，所以∠ABC=∠ACB。（2）因為AD垂直于BC，所以∠ADB=∠ADC=90°。（3）因為∠BAC=45°，所以∠BAD=∠CAD=45°。綜上所述，根據(jù)AAS（兩角夾一邊相等）全等條件，可得三角形ABD與三角形ACD全等。解析：本題主要考察了全等三角形的判定方法。首先，根據(jù)題目條件，我們得到AB=AC，所以∠ABC=∠ACB；然后，因為AD垂直于BC，所以∠ADB=∠ADC=90°；最后，由于∠BAC=45°，所以∠BAD=∠CAD=45°。根據(jù)AAS全等條件，我們可以證明三角形ABD與三角形ACD全等。第三題：已知：在三角形ABC中，點D是邊AB上的一個點，CD=2AD，∠ACD=30°，∠ABC=75°。求證：∠ADC=∠B。答案：證明：因為∠ACD=30°，所以CD=2AD。由三角形內角和定理可得：∠ACB=180°-∠ABC-∠ACD=180°-75°-30°=75°。在三角形ACD中，∠ACD=30°，∠ACB=75°，所以∠ADC=180°-∠ACD-∠ACB=180°-30°-75°=75°。在三角形ABC中，∠ABC=75°，所以∠ADC=∠B。解析：本題考查了三角形的內角和定理和等腰三角形的性質。首先，根據(jù)三角形的內角和定理求出∠ACB的度數(shù)，然后利用等腰三角形的性質，即底角相等，證明出∠ADC=∠B。第四題：已知三角形ABC中，AB=AC，點D是邊BC的中點，E是AB上的一點，且BE=ED。求證：BE2=AD2。答案：證明：由于AB=AC，根據(jù)等腰三角形的性質，AD⊥BC。因為D是BC的中點，所以BD=DC。在ΔABE和ΔEDC中，∠ABE=∠EDC（對頂角相等）∠A=∠EDC（AB=AC，∠A和∠EDC為等腰三角形頂角）AD⊥BC，所以∠ADB=∠EDC=90°（AD是BC的垂線）根據(jù)AAS（角-角-邊）全等條件，ΔABE≌ΔEDC。全等三角形的對應邊相等，因此BE=EC。因為E是AB上的一點，且BE=ED，所以BE=BD。在ΔABD中，根據(jù)勾股定理，AD2=AB2-BD2。由于BE=BD，代入勾股定理公式得AD2=AB2-BE2。由于AB=AC，所以AD2=AC2-BE2。因為ΔABC是等腰三角形，AC=AB，所以AD2=AB2-BE2。因此，BE2=AD2。解析：本題通過利用等腰三角形的性質和全等三角形的判定條件，結合勾股定理進行證明。首先通過等腰三角形的性質得到AD⊥BC，然后利用點D是BC中點的性質和全等三角形的AAS判定條件，證明ΔABE≌ΔEDC，從而得到BE=EC。最后，利用勾股定理和等腰三角形的性質，證明了BE2=AD2。第五題：已知：在△ABC中，∠A=60°，AB=AC，AD為BC邊上的高，交BC于點D。求證：△ABD≌△ACD。答案：證明：因為AB=AC，所以∠ABC=∠ACB（等腰三角形的性質）?！螦=60°，所以∠ABD=∠ACD=（180°-∠A）/2=（180°-60°）/2=60°（三角形內角和定理）。AD為BC邊上的高，所以∠ADB=∠ADC=90°。由步驟1和步驟3可得，△ABD和△ACD中，∠ABD=∠ACD，∠ADB=∠ADC，AD=AD（公共邊）。根據(jù)SAS（邊角邊）全等條件，可以得出△ABD≌△ACD。解析：本題考查了等腰三角形的性質、三角形內角和定理以及SAS全等條件。首先，根據(jù)等腰三角形的性質，得到∠ABC=∠ACB。然后，利用三角形內角和定理求出∠ABD和∠ACD的度數(shù)。接著，由于AD是BC邊上的高，因此∠ADB和∠ADC都是直角。最后，根據(jù)SAS全等條件證明△ABD≌△ACD。第六題：已知三角形ABC中，∠BAC=45°，∠ABC=70°，AB=AC，且點D在BC邊上，使得AD是BC的中線。求證：三角形ABD是等腰三角形。答案：證明：因為AB=AC，所以三角形ABC是等腰三角形，根據(jù)等腰三角形的性質，∠ABC=∠ACB=70°。又因為AD是BC的中線，所以BD=CD。在三角形ABD和三角形ACD中，∠BAD=∠CAD（都是45°，因為它們是等腰三角形ABC的兩個底角），AB=AC（已知條件），BD=CD（AD是中線）。根據(jù)SAS（邊角邊）全等條件，三角形ABD≌三角形ACD。因此，AD=AD（公共邊），BD=CD（全等三角形的對應邊相等），所以三角形ABD是等腰三角形。解析：本題主要考察了等腰三角形的性質和中線定理。首先，根據(jù)等腰三角形的定義，得出AB=AC，進而得出∠ABC=∠ACB。然后，利用中線定理，得出BD=CD。最后，根據(jù)SAS全等條件，證明三角形ABD≌三角形ACD，從而得出AD=AD，BD=CD，證明了三角形ABD是等腰三角形。第七題：已知在△ABC中，∠A=40°，∠B=60°，AB=10cm。求證：△ABC是直角三角形。答案：證明：由三角形內角和定理，得∠C=180°-∠A-∠B

=180°-40°-60°

=80°因為∠C=80°，且∠A+