福建省十所名校2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期11月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題含答案

2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期中質(zhì)量檢測聯(lián)考數(shù)學(xué)試題滿分150分，考試時間120分鐘一、單選題:本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設(shè)全集是實數(shù)集，則陰影部分所表示的集合是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由陰影部分表示的集合求解.【詳解】解：陰影部分表示的集合為：，故選：A2.函數(shù)的圖象大致是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】首先判斷函數(shù)的奇偶性，即可判斷A、B，再根據(jù)時函數(shù)值的特征排除C.【詳解】函數(shù)的定義域為，且，所以為奇函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱，故排除A、B；又當(dāng)時，故排除C.故選：D3.下列不等式中，可以作為“”的一個必要不充分條件是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由必要不充分條件的概念逐項判斷即可.【詳解】對于A:為既不充分也不必要條件；對于B：為的必要不充分條件；對于C:為的充分不必要條件；對于D：為的充分不必要條件；故選：B4.若，則的取值范圍是（）A. B.C D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)基本不等式的應(yīng)用可得，即可求出.【詳解】易知，所以，即可得，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.故選：D5.冪函數(shù)在上是增函數(shù)，則實數(shù)的值為（）A.2或 B. C.2 D.或【答案】C【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義及冪函數(shù)的單調(diào)性，可得，進(jìn)而求解即可.【詳解】由題意得，，解得.故選：C.6.若命題“”是假命題，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】轉(zhuǎn)化為，為真命題,分類討論,結(jié)合判別式符號列不等式求解即可.【詳解】命題，為假命題，即，為真命題.當(dāng)時：恒成立；當(dāng)時：滿足，解得.綜上，實數(shù)的取值范圍是，故選：C7.已知函數(shù)在定義域上是單調(diào)遞減函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】分段函數(shù)是減函數(shù)，各個函數(shù)在對應(yīng)區(qū)間上單調(diào)遞減，且對應(yīng)函數(shù)右端點函數(shù)值大于或等于對應(yīng)函數(shù)的左端點函數(shù)值，建立不等式后解得的取值范圍.【詳解】由題意可知：在上單調(diào)遞減，又∵關(guān)于直線對稱，∴在上單調(diào)遞減，∴，∴；在上單調(diào)遞減，∴；且即，∴或，∴.故選：A.8.已知函數(shù)為定義在R上的偶函數(shù)，，且，且，求不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，由已知條件確定它的奇偶性與單調(diào)性，然后利用其性質(zhì)分類討論解不等式．【詳解】，且，則，，所以，設(shè)，則，，因此時，是增函數(shù)，又因為是偶函數(shù)，所以，所以是奇函數(shù)，因此在上也是增函數(shù)，，則，，，時，，即，所以，時，，即，所以0<x<2，綜上，不等式的解集為，故選：B．【點睛】方法點睛：本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性解不等式，解題時主要要構(gòu)造新函數(shù)，利用它的性質(zhì)求解．在題中出現(xiàn)時，構(gòu)造新函數(shù)需要通過提?。ɑ蚍肿臃帜竿曰虿坏仁絻蛇呁裕┑贸觯?dāng)然本題中不等式右邊不為0，因此需先移項變形，再確定構(gòu)造的函數(shù)．二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，選對但不全的得部分分，有選錯或不選的得0分.9.中國古代重要的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》下卷有題：“今有物，不知其數(shù).三三數(shù)之，剩二；五五數(shù)之，剩三；七七數(shù)之，剩二.問：物幾何？”現(xiàn)有如下表示：已知，，，若，則下列選項中符合題意的整數(shù)為（）A.23 B.68 C.128 D.233【答案】ACD【解析】【分析】依題意可知整數(shù)除以3余數(shù)為2，除以5余數(shù)為3，除以7余數(shù)為2；對選項逐一驗證即可得出結(jié)論.【詳解】根據(jù)題意可知，代表的是除以3余數(shù)為2，除以5余數(shù)為3，除以7余數(shù)為2的整數(shù)；對于A，可知，即A正確；對于B，可得，不合題意，即B錯誤；對于C，可得，即C正確；對于D，易知.可知D正確.故選：ACD10.若，則下列不等式對一切滿足條件的a，b恒成立的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】A選項，，利用基本不等式求出最大值；B選項，由基本不等式得，求出；C選項，，得到，C錯誤；D選項，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.【詳解】A選項，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故A正確；B選項，，故，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，B正確；C選項，，故，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，C錯誤；D選項，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，D正確.故選：ABD11.已知函數(shù)的定義域為，且滿足，則下列命題正確的是（）A.函數(shù)的圖像關(guān)于對稱 B.函數(shù)的圖像關(guān)于軸對稱C.函數(shù)的最小值2 D.【答案】BC【解析】【分析】依題意求出函數(shù)的解析式，可得其為偶函數(shù)，判斷出A錯誤，B正確；再由基本不等式可得C正確，利用奇偶性和單調(diào)性可得D錯誤.【詳解】由可得；兩式聯(lián)立可得，易知函數(shù)滿足，可知為偶函數(shù)，即可得A錯誤，B正確；易知，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，可得C正確；當(dāng)時，根據(jù)對勾函數(shù)以及偶函數(shù)性質(zhì)可得，為單調(diào)遞增；易知，且，所以，即D錯誤.故選：BC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.計算:___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪運(yùn)算法則計算可得結(jié)果.【詳解】易知原式；故答案為：13.定義運(yùn)算，已知函數(shù)，則的最大值為___________.【答案】9【解析】【分析】根據(jù)的含義及函數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性可得分段函數(shù)的解析式及單調(diào)性，可得最大值.【詳解】由題意得，表示與的最小值，∵在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且時，，∴當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴f(x)=3∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴.故答案為：9.14.若函數(shù)的值域是，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是________.【答案】【解析】【分析】令g(x)=ax2+2x+3，由f(x)的值域確定g(x)的值域，從而求出a值，利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)可得答案.【詳解】令g(x)=ax2+2x+3，由于f(x)的值域是，所以g(x)的值域是[2，+∞).因此有解得a=1，這時g(x)=x2+2x+3，，由于g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞，-1]，所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞，-1].故答案為：【點睛】本題考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，考查指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知集合，.（1）求;（2）若，且，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）[4，6]【解析】【分析】（1）先化簡集合A，B，再利用集合的并集和補(bǔ)集運(yùn)算求解；（2）由，得到求解.【小問1詳解】解：由，得.所以，由，得:.所以，.所以，；【小問2詳解】由，得，所以，解得即.所以實數(shù)的取值范圍[4，6].16.已知（1）若不等式的解集為，求a，b的值;（2）若b=2，且求關(guān)于的不等式的解集.【答案】（1）（2）答案見解析【解析】【分析】（1）由不等式的解集得相應(yīng)一元二次方程的解，結(jié)合韋達(dá)定理求解；（2）不等式變形為，再根據(jù)與1的大小分類討論得出不等式的解集．小問1詳解】因為的解集為，所以，且和3是方程的兩個實數(shù)根.，解得:.【小問2詳解】當(dāng)時，等價于因為，得當(dāng)，即時，不等式為，得，當(dāng)，即時，解不等式得或，當(dāng)，即時，解不等式得或，綜上，當(dāng)時，不等式的解集為.當(dāng)時，不等式的解集為.當(dāng)時，不等式的解集為.17.漳州市是中國重要的食用菌生產(chǎn)基地之一，食用菌產(chǎn)業(yè)得益于得天獨(dú)厚的氣候環(huán)境和土壤條件.某鄉(xiāng)鎮(zhèn)企業(yè)于2025年準(zhǔn)備投資種植一批目前市場上較受歡迎的雞樅菌.根據(jù)研究發(fā)現(xiàn)：種植雞樅菌，一年需投入固定成本55萬元，第一年最大產(chǎn)量50萬斤，每生產(chǎn)萬斤，需投入其他成本萬元，，根據(jù)市場調(diào)查，雞樅菌的市場售價每萬斤20萬元，且全年所有產(chǎn)量都能全部售出.（利潤=收入固定成本其它成本)（1）寫出2025年利潤（萬元）與產(chǎn)量x（萬斤）的函數(shù)解析式；（2）求2025年雞樅菌產(chǎn)量x為多少萬斤時，該企業(yè)所獲利潤最大，求出利潤最大值.【答案】（1）（2）2025年產(chǎn)量為40萬斤時，該企業(yè)所獲利潤最大，利潤最大值為150萬元【解析】【分析】（1）由利潤=收入固定成本其它成本，根據(jù)題意求解；（2）由（1）結(jié)論，利用二次函數(shù)的性質(zhì)和基本不等式求解.【小問1詳解】解：由題意可知：當(dāng)時，，當(dāng)時，.【小問2詳解】由，①當(dāng)時，當(dāng)時，取得大值，最大值為85，②當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)即時，取得最大值50，由①②可得:當(dāng)時，取得最大值150，綜上所述，2025年產(chǎn)量為40萬斤時，該企業(yè)所獲利潤最大，利潤最大值為150萬元.18.設(shè)函數(shù)（且，若是定義在上的奇函數(shù)且.（1）求和值;（2）判斷的單調(diào)性（無需證明），并求關(guān)于的不等式成立時實數(shù)的取值范圍;（3）已知函數(shù)，求的值域.【答案】（1）（2）在R上單調(diào)遞增，（3）【解析】【分析】（1）利用函數(shù)奇偶性以及函數(shù)值即可解得和的值;（2）由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可判斷在R上單調(diào)遞增，利用單調(diào)性以及奇偶性解不等式可得實數(shù)的取值范圍;（3）利用換元法將函數(shù)整理成二次函數(shù)形式，判斷出其單調(diào)性，再由二次函數(shù)性質(zhì)可得結(jié)果.【小問1詳解】因為是R上奇函數(shù)，所以，即，整理得:所以.所以，檢驗可知符合題意；又，即，解得或（舍）所以.【小問2詳解】由（1）可知，易知指數(shù)函數(shù)為單調(diào)遞增，函數(shù)為單調(diào)遞減，利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可得在R上單調(diào)遞增,又因為為R上的奇函數(shù)，所以所以，即，解得或.所以在R上單調(diào)遞增，的取值范圍是-∞,-2【小問3詳解】所以令，由（2）易知在0,1上單調(diào)遞增，所以記當(dāng)時；當(dāng)時，.所以的值域是.19.我們知道，函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù).給定函數(shù).（1）寫出函數(shù)圖象的對稱中心（只寫出結(jié)論即可，不需證明）;（2）當(dāng)時，①判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并用定義證明;②已知函數(shù)是奇函數(shù)，且當(dāng)時，，若對任意，總存在，使得，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）①函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，證明見解析；②[0，1].【解析】【分析】（1）由函數(shù)成中心對稱的充要條件可得為奇函數(shù)，可得對稱中心；（2）①根據(jù)單調(diào)性定義按照步驟即可證明函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；②依題意并根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)得出兩函數(shù)的值域之間的包含關(guān)系，限定出最值之間的不等關(guān)系，解不等式即可求得結(jié)果.【小問1詳解】根據(jù)題意可知，函數(shù)是由函數(shù)向左平移個單位，向上平移1個單位得到的；所以為奇函數(shù)，可得函數(shù)圖象對稱中心是.【小問2詳解】當(dāng)時，.①函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；證明如下:，且，，因為，所以，所以，所以，即.所以在單調(diào)遞增，②因為是奇函數(shù)，所以關(guān)于點對稱，設(shè)在上的值域為在上的值域為B.因為對任意，總存在，使得，所以，由①可知在上單調(diào)遞增，又，