廣東省東莞市重點(diǎn)高中2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期11月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題含答案

2024~2025學(xué)年度第一學(xué)期期中聯(lián)合學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)考試高一數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．2．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫在答題卡的相應(yīng)位置．3．全部答案在答題卡上完成，答在本試題卷上無(wú)效．4．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．5．考試結(jié)束后，將本試題卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)條件，知兩集合中的元素是點(diǎn)，進(jìn)而求出公共點(diǎn)，再利用集合的運(yùn)算，即可求解.【詳解】因?yàn)?，，由，解得，所以，故選：B2.是有理數(shù)集，是實(shí)數(shù)集，命題，，則（）A.是真命題，，B.是真命題，，C.是假命題，，D.是假命題，，【答案】C【解析】【分析】根據(jù)特值可判斷命題的真假，再結(jié)合命題的否定的概念可得.【詳解】命題，，由，，則命題為假命題，且命題的否定為，，故選：C.3.“方程有實(shí)根”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】由得到有實(shí)數(shù)根滿足的條件，根據(jù)真包含關(guān)系得到答案.【詳解】有實(shí)數(shù)根，故，解得或，由于是的真子集，故“方程有實(shí)根”是“”的必要不充分條件.故選：B4.函數(shù)的定義域是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)特征得到不等式，求出定義域.【詳解】由題意得，解得且且，故定義域?yàn)?故選：D5.函數(shù)在上的最小值為（）A.2 B. C. D.3【答案】B【解析】【分析】由反比例函數(shù)的性質(zhì)判斷的單調(diào)性即可得出答案.【詳解】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)取最小值為.故選：B．6.設(shè)，，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用函數(shù)，和的單調(diào)性，結(jié)合條件，即可求解.【詳解】因?yàn)槭菧p函數(shù)，所以，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，又，所以，又是增函數(shù)，所以，則，故選：A.7.若在上是減函數(shù)，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)的定義及單調(diào)性列不等式組，解不等式即可.【詳解】由已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，則，即，又結(jié)合分段函數(shù)可知，綜上所述.故選：D.8.已知正實(shí)數(shù)a，b滿足，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用乘1法即得.【詳解】∵，∴，當(dāng)且僅當(dāng),即，時(shí)，取等號(hào).故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列“若，則”形式的命題中，是的充分不必要條件的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】BC【解析】【分析】利用充分條件和必要條件的判斷方法和不等式的性質(zhì)，對(duì)各個(gè)選項(xiàng)逐一分析判斷，即可求解.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，若，時(shí)，推不出，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)B，由，得到，又，所以，即，所以可以推出，由選項(xiàng)A知推不出，所以是充分不必要條件，故選項(xiàng)B正確，對(duì)于選項(xiàng)C，易知可以推出，取，顯然滿足，但不滿足，即推不出，所以是的充分不必要條件，故選項(xiàng)C正確，對(duì)于選項(xiàng)D，由選項(xiàng)C知，推不出，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選：BC.10.下列與函數(shù)有關(guān)的命題中，正確的是（）A.若，則B.若冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則C.若奇函數(shù)在有最小值，則在有最大值D.若偶函數(shù)在是減函數(shù)，則在是增函數(shù)【答案】CD【解析】【分析】利用換元法和待定系數(shù)法分別求得AB選項(xiàng)函數(shù)解析式，進(jìn)而可得函數(shù)值，再根據(jù)函數(shù)奇偶性可判斷CD選項(xiàng).【詳解】A選項(xiàng)：，設(shè)，則，，即，，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：設(shè)冪函數(shù)，過點(diǎn)，則，解得，所以，則，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：由已知為奇函數(shù)，則f-x=-f在0,+∞有最小值，即，，則時(shí)，，即，即在有最大值，C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)：由已知為偶函數(shù)，又在0,+∞是減函數(shù)，設(shè)，，，則，，，故，故即在是增函數(shù)，D選項(xiàng)正確；故選：CD.11.下列求最值的運(yùn)算中，運(yùn)算方法錯(cuò)誤的有（）A.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)取等，解得或，又由，所以，故時(shí)，的最大值是.B.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)取取等，解得或，又由，所以，故時(shí)，的最小值為.C.由于，當(dāng)且僅當(dāng)取等，故的最小值是.D.當(dāng)，且時(shí)，由于，，又，當(dāng)且僅當(dāng)，取等，故當(dāng)，且時(shí)，的最小值為.【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)基本不等式的應(yīng)用條件“一正，二定，三取等”分別判斷各選項(xiàng).【詳解】A選項(xiàng)：滿足基本不等式的應(yīng)用條件，正確；B選項(xiàng)：不滿足基本不等式的應(yīng)用條件中的定值，錯(cuò)誤；正確的為當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，解得或，又，所以，故當(dāng)時(shí)，的最小值為；C選項(xiàng)：不滿足基本不等式的應(yīng)用條件中的取等，錯(cuò)誤；正確的為，設(shè)，則，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)即時(shí)，取最小值為，即的最小值為；D選項(xiàng)：選項(xiàng)中運(yùn)用兩次基本不等式，且兩次的取等條件不一致，所以錯(cuò)誤；正確的為：當(dāng)，且時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，即的最小值為，故選：BCD.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．12.函數(shù)，則______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)的定義直接計(jì)算函數(shù)值.【詳解】由已知，則，所以，且，所以，故答案為：.13.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為______.【答案】【解析】【分析】先求函數(shù)的定義域，再由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】由題意可得，即，解得：，所以函數(shù)的定義域是，是由和復(fù)合而成，因?yàn)閷?duì)稱軸為，開口向下，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，而單調(diào)遞增，所以的單調(diào)遞增區(qū)間是，故答案：.14.表示與中的較大者，設(shè)，則函數(shù)的最小值是______.【答案】0【解析】【分析】畫出的圖象，數(shù)形結(jié)合得到hx的最小值.【詳解】令，解得或-1，令，解得或-1，畫出的圖象，如下：顯然hx的最小值為故答案為：0四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.集合，.（1）是實(shí)數(shù)集，若，求；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)條件，先求出集合，進(jìn)而求得，利用集合的運(yùn)算，即可求解；（2）根據(jù)條件得，再利用一元二次不等式的解法，對(duì)進(jìn)行分類討論，求出集合，再利用集合間的關(guān)系，即可求解.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，由，得到，所以，得到或，由，得到，所以，得到或,所以或.【小問2詳解】由，得到，又，當(dāng)時(shí)，，所以，得到，當(dāng)時(shí)，，滿足，所以滿足題意，當(dāng)時(shí)，，所以，得到，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.16.已知函數(shù)（1）用定義法證明函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)；（2）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，求?shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）證明見解析（2）或【解析】【分析】（1）根據(jù)條件，利用函數(shù)單調(diào)性的定義，即可證明結(jié)果；（2）根據(jù)條件和（1）結(jié)果，得到不等式組，即可求解.【小問1詳解】任取，且，則，又，，則，所以，得到，即，所以函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù).【小問2詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，且在區(qū)間上是增函數(shù)，由，得到，解得或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為或.17.冪函數(shù)的定義域是全體實(shí)數(shù).（1）求的解析式；（2）若不等式在區(qū)間0,4上恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)冪函數(shù)定義得到系數(shù)為1，故；（2）在區(qū)間0,4上恒成立，當(dāng)時(shí)，恒成立，當(dāng)時(shí)，參變分離，得到在恒成立，由基本不等式求出，從而得到，得到答案.【小問1詳解】由題意得，解得a=2或，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)定義域不是全體實(shí)數(shù)，故舍去；當(dāng)a=2時(shí)，，滿足題意；【小問2詳解】在區(qū)間0,4上恒成立，即在區(qū)間0,4上恒成立，當(dāng)時(shí)，恒成立，滿足要求，當(dāng)時(shí)，變形為在恒成立，其中，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故，解得，實(shí)數(shù)k的取值范圍是.18.如圖，是以為斜邊的等腰直角三角形，且.動(dòng)直線與的邊共有兩個(gè)公共點(diǎn)，即，在內(nèi)且位于直線右側(cè)的區(qū)域面積為.（1）求的解析式；（2）設(shè)，證明：是奇函數(shù).【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)分段函數(shù)的定義，分段討論即可求出函數(shù)的解析式；（2）由（1）中結(jié)果，結(jié)合條件得，再利用奇偶函數(shù)的判斷方法，即可證明結(jié)果.【小問1詳解】因?yàn)槭且詾樾边叺牡妊苯侨切?，且，得到，所以，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以.【小問2詳解】因?yàn)?，由?）知，所以，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，，所以，故，又的定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以是奇函數(shù).19.已知函數(shù)是上的奇函數(shù)，（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）求函數(shù)的值域.【答案】（1）（2）答案見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，可得，再利用條件，可求得，即可求解；（2）利用函數(shù)單調(diào)性定義得到在區(qū)間上單調(diào)遞減，從而得到，令，將問題轉(zhuǎn)化成求的值域，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)，