03-線狀裂紋的虛擬裂紋閉合法

1HUST-XD-B-0111-2014線狀裂紋的虛擬裂紋閉合法233.1虛擬裂紋閉合法的數(shù)學(xué)解釋目前有兩種方式對(duì)虛擬裂紋閉合法進(jìn)行數(shù)學(xué)解釋：1Raju方法

基本假設(shè)：虛擬裂紋尖端后面的張開(kāi)位移和實(shí)際裂紋尖端后面的張開(kāi)位移近似相等。2Xie-Waas方法基本假設(shè)：虛擬子裂紋尖端前沿的應(yīng)力分布和實(shí)際主裂紋尖端前沿的應(yīng)力分布規(guī)律近似相同。43.1虛擬裂紋閉合法的數(shù)學(xué)解釋3.1.1Raju方法圖3.1顯示了一個(gè)長(zhǎng)度為a的主裂紋，虛擬擴(kuò)展了一個(gè)增量為

a的微小裂紋。Irwin的裂紋閉合積分可以寫(xiě)為：圖3.1虛擬裂紋閉合法示意圖5將裂紋從a擴(kuò)展到a+a所需要的功與將裂紋從a+a閉合到a所需的功是相等的。如圖3.2所示，考慮裂紋尖端附近的有限元網(wǎng)格，虛擬裂紋線上分布的應(yīng)力做的功等于節(jié)點(diǎn)力在節(jié)點(diǎn)位移上做的功。即：3.1.1Raju方法3.1虛擬裂紋閉合法的數(shù)學(xué)解釋分布于裂紋尖端前沿且趨近于裂紋尖端區(qū)域的應(yīng)力可以表示為：6對(duì)于線性四邊形單元，位移可以插值為：3.1.1Raju方法將公式3.4和3.3代入公式3.2中，并消去得：依據(jù)基本假設(shè)：虛擬裂紋尖端后面的張開(kāi)位移和初始裂紋尖端后面的張開(kāi)位移近似相等，公式3.1可重寫(xiě)為：公式3.6的優(yōu)點(diǎn)是它可以在一步有限元分析中計(jì)算出來(lái)。如圖3.1所示，裂紋尖端前面的應(yīng)力分布為：

基于內(nèi)插值，裂紋尖端后面的張開(kāi)位移為：

將公式3.7和公式3.8代入公式3.6中，得到：3.1虛擬裂紋閉合法的數(shù)學(xué)解釋73.1.1Raju方法3.1虛擬裂紋閉合法的數(shù)學(xué)解釋

公式3.9括號(hào)中部分簡(jiǎn)化為：

公式3.10中的極限表明裂紋尖端的單元需要很小，并且裂紋尖端處的單元越小，所得的GI就越精確，通過(guò)數(shù)值實(shí)驗(yàn)可以確定必要的網(wǎng)格細(xì)化程度。然而，大量的數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明公式3.10的值對(duì)有限元網(wǎng)格尺寸并不敏感。因此，公式3.10中的極限可以很好的近似的表達(dá)為：

類似的，可以得到II型的計(jì)算公式如下：83.1.2Xie-Waas方法3.1虛擬裂紋閉合法的數(shù)學(xué)解釋如圖3.3所示，一個(gè)主裂紋（parentcrack），其應(yīng)力強(qiáng)度因子為KI。主裂紋前端有一個(gè)虛擬的微小子裂紋（childcrack），其應(yīng)力強(qiáng)度因子為。根據(jù)線彈性斷裂力學(xué)：上述公式對(duì)于主裂紋和子裂紋都是成立的。圖3.3主裂紋和虛擬示意圖子裂紋93.1.2Xie-Waas方法3.1虛擬裂紋閉合法的數(shù)學(xué)解釋通過(guò)虛擬裂紋擴(kuò)展法（參看公式1.26a），并參考圖3.2，能量釋放率可用下式計(jì)算：第一步計(jì)算的節(jié)點(diǎn)力第二步計(jì)算的節(jié)點(diǎn)張開(kāi)位移對(duì)于主裂紋而言，上平面（）和下平面（）的垂直位移分別為：

主裂紋后部的張開(kāi)位移很容易得到，為：

同樣地，對(duì)虛擬子裂紋而言，有15IVIIIIII34ΔaΔcXY1534XY1’IVIIIIII注意上標(biāo)不同！103.1虛擬裂紋閉合法的數(shù)學(xué)解釋3.1.2Xie-Waas方法

接下來(lái)建立和之間的關(guān)系：

對(duì)于主裂紋而言，沿x軸方向，裂紋前端應(yīng)力分布為：

依據(jù)基本假設(shè)：虛擬子裂紋尖端前沿的應(yīng)力分布和初始裂紋尖端前沿的應(yīng)力分布規(guī)律近似相同。式3.16所描述的應(yīng)力分布同樣適用于裂紋。因此，根據(jù)應(yīng)力強(qiáng)度因子的定義，有注意上標(biāo)不同！

當(dāng)裂紋尖端使用相同的網(wǎng)格尺寸時(shí)，即，公式3.19退化為：

由于F和v均只是在第一步中計(jì)算，因此可以省去上標(biāo)，這也是公式3.20的優(yōu)點(diǎn)！113.1虛擬裂紋閉合法的數(shù)學(xué)解釋3.1.3節(jié)點(diǎn)力的計(jì)算使用虛擬裂紋閉合法時(shí)涉及節(jié)點(diǎn)力和節(jié)點(diǎn)位移。由于節(jié)點(diǎn)位移是有限元分析中的基本變量，因而可以直接獲得，相對(duì)簡(jiǎn)單，但在計(jì)算節(jié)點(diǎn)力時(shí)則應(yīng)該注意。注意到計(jì)算中使用的節(jié)點(diǎn)力是內(nèi)力，內(nèi)力將裂紋尖端的單元共享節(jié)點(diǎn)約束在一起。因此，裂紋尖端周?chē)膯卧獙?duì)這些節(jié)點(diǎn)力都有貢獻(xiàn)。圖3.4顯示了在裂紋尖端周?chē)兴膫€(gè)單元的情況下的自由體受力圖。如果沒(méi)有外力作用在裂紋面上，節(jié)點(diǎn)力在每個(gè)坐標(biāo)方向上的合力為0，即：上標(biāo)代表圖中的單元編號(hào)。因此，節(jié)點(diǎn)力既可以通過(guò)上面的兩個(gè)單元（單元1和單元2）計(jì)算，也可以通過(guò)下面的兩個(gè)單元計(jì)算：IIVIIIII12*HEADINGABAQUSJOB=Chapter_03_example_3_1INT*PREPRINT,HISTORY=NO,MODEL=NO,CONTACT=NO,ECHO=YES*PARAMETERB=50.0YM=200E3XNU=0.3*NODE1,0.0,0.01001,1000.0,0.010011,0.0,10.011011,1000.0,10.020001,0.0,0.020500,499.0,0.021002,0.0,-1.022002,1000.0,-1.030011,0.0,-10.031011,1000.0,-10.0*NGEN,NSET=botup1,1001,1*NGEN,NSET=topup10011,11011,1*NGEN,NSET=botdn20001,20500,1*NGEN,NSET=middn21002,22002,1*NGEN,NSET=topdn30011,31011,1*NFILLbotup,topup,10,1001middn,topdn,9,1001*ELEMENT,TYPE=CPS4,ELSET=arm1,1,2,1003,100220001,20001,21002,21003,2000220500,20500,21501,21502,50120501,501,21502,21503,50221001,21002,22003,22004,21003*ELGEN,ELSET=arm1,1000,1,1,10,1001,100020001,499,1,120501,500,1,121001,1000,1,1,9,1001,1000*SOLIDSECTION,ELSET=arm,MATERIAL=st4340<B>*MATERIAL,NAME=st4340*ELASTIC<YM>,<XNU>*NSET,NSET=load5006,25006*ELSET,ELSET=cracktip500,501,20500,20501*NSET,NSET=open500,501,20500,20501*NSET,NSET=open500,20500*STEP*STATIC,DIRECT1.0,1.0*BOUNDARY5006,125006,15006,2,2,60.025006,2,2,-60.01001,2*ELPRINT,FREQ=0*NODEPRINT,FREQ=0*ELPRINT,ELSET=cracktipNFORC*NODEPRINT,NSET=openU*NODEPRINT,NSET=loadU,RF*OUTPUT,FIELD*NODEOUTPUTU*ENDSTEPNFORC:Forcesatthenodesofabeamelementfromboththehourglassandtheregulardeformationmodesofthatelement.3.1虛擬裂紋閉合法的數(shù)學(xué)解釋3.1.3節(jié)點(diǎn)力的計(jì)算133.1虛擬裂紋閉合法的數(shù)學(xué)解釋3.1.3節(jié)點(diǎn)力的計(jì)算ELEMENTFOOT-NODENFORC1NFORC2NOTE5005001.6253E+04-32.52500501-2.6590E+041.9915E+045001502-1.1234E+04-9578.50015012.1572E+04-1.0305E+045015012.6590E+042.0316E+04501502-1.9036E+046297.5011503-2.0021E+04-1.3851E+0450115021.2466E+04-1.2762E+0420500205001.6253E+0432.5220500215012.1572E+041.0305E+042050021502-1.1234E+049578.20500501-2.6590E+04-1.9915E+04205015012.6590E+04-2.0316E+0420501215021.2466E+041.2762E+042050121503-2.0021E+041.3851E+0420501502-1.9036E+04-6297.通過(guò)上面單元（500,501）通過(guò)下面單元（20500,20501）14注意，此時(shí)需要對(duì)裂紋尖端節(jié)點(diǎn)進(jìn)行處理！裂紋尖端兩個(gè)節(jié)點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)用彈簧單元連接！裂紋尖端一個(gè)節(jié)點(diǎn)！*ELEMENT,TYPE=SPRING2,ELSET=spx50001,501,20501*SPRING,ELSET=spx1,1<ST>*ELEMENT,TYPE=SPRING2,ELSET=spy50002,501,20501*SPRING,ELSET=spy2,2<ST>3.1虛擬裂紋閉合法的數(shù)學(xué)解釋3.1.3節(jié)點(diǎn)力的計(jì)算15THEFOLLOWINGTABLEISPRINTEDATTHEINTEGRATIONPOINTSFORELEMENTTYPESPRING2ANDELEMENTSETSPXELEMENTPTFOOT-S11NOTEALLVALUESINTHISTABLEAREZEROTHEFOLLOWINGTABLEISPRINTEDATTHEINTEGRATIONPOINTSFORELEMENTTYPESPRING2ANDELEMENTSETSPYELEMENTPTFOOT-S11NOTE5000214.0232E+043.1虛擬裂紋閉合法的數(shù)學(xué)解釋3.1.3節(jié)點(diǎn)力的計(jì)算163.2平面內(nèi)任意線狀裂紋的斷裂單元考慮圖3.6所示的位于（X,Y）平面內(nèi)的傾斜裂紋。虛擬裂紋擴(kuò)展量是主節(jié)點(diǎn)1和啞節(jié)點(diǎn)5之間的距離：式中，和分別為節(jié)點(diǎn)1和節(jié)點(diǎn)5在整體坐標(biāo)系（X,Y）下的坐標(biāo)。如果它們?cè)诿總€(gè)增量步中都通過(guò)位移來(lái)更新，那么裂紋的方向也將更新，這在分析大變形問(wèn)題時(shí)很有用。為分離斷裂模式（I型和II型），應(yīng)變能釋放率必須在裂紋尖端處的局部坐標(biāo)系下計(jì)算，如圖3.6.X軸和軸之間的夾角為：應(yīng)變能釋放率近似的表示為：173.2平面內(nèi)任意線狀裂紋的斷裂單元183.2平面內(nèi)任意線狀裂紋的斷裂單元193.2平面內(nèi)任意線狀裂紋的斷裂單元203.3經(jīng)典I型問(wèn)題上的應(yīng)用由于絕大多數(shù)的斷裂參數(shù)解析解都以應(yīng)力強(qiáng)度因子的形式給出，因此需要將虛擬裂紋法所計(jì)算的能量釋放率轉(zhuǎn)換成應(yīng)力強(qiáng)度因子來(lái)加以比較。對(duì)線彈性材料而言，兩者的關(guān)系如下：平面應(yīng)力狀態(tài)：平面應(yīng)變狀態(tài)：應(yīng)力強(qiáng)度因子準(zhǔn)則和能量準(zhǔn)則是從兩種不同觀點(diǎn)建立起來(lái)的準(zhǔn)則，它們之間有一定的關(guān)系。假設(shè)裂紋沿其延長(zhǎng)線擴(kuò)展時(shí)，計(jì)算裂紋尖端應(yīng)力松弛的功，可求得能量釋放率和應(yīng)力強(qiáng)度因子的關(guān)系。

設(shè)I型裂紋尖端處于平面應(yīng)變狀態(tài)，在固定施力點(diǎn)的情況下裂紋沿其延長(zhǎng)線擴(kuò)展，裂紋尺寸從a增加到a+da，如圖所示。此時(shí)，裂紋擴(kuò)展段da上的應(yīng)消失，新表面在法線方向產(chǎn)生位移。比較裂紋長(zhǎng)度為a+da和裂紋長(zhǎng)度為a時(shí)板的能量差異就可以求出能量釋放率。先把裂紋長(zhǎng)度看做a+da，計(jì)算張開(kāi)位移（x的原點(diǎn)在裂紋尖端）：21正負(fù)號(hào)分別對(duì)應(yīng)于上下表面。下角標(biāo)a+da表示裂紋長(zhǎng)度為a+da時(shí)的應(yīng)力強(qiáng)度因子。在da段裂紋表面上加載，載荷的分布和大小按照表面的應(yīng)力大小取值：加載值由0增加到上式的最終值，da段裂紋逐漸靠攏知道完全閉合，恢復(fù)到裂紋為a的狀態(tài)。因此從a+da狀態(tài)恢復(fù)到a狀態(tài)的加載過(guò)程中，外力對(duì)彈性體做了功，提高了應(yīng)變能。由于任意x處的和之間存在線性關(guān)系，做功為：式中，B為物體的厚度。反之，從a狀態(tài)變?yōu)閍+da狀態(tài)，應(yīng)力從松弛到零，位移從零變化到，松弛過(guò)程中釋放的應(yīng)變能dV=-dW。所以：3.3經(jīng)典I型問(wèn)題上的應(yīng)用223.3經(jīng)典I型問(wèn)題上的應(yīng)用233.3經(jīng)典I型問(wèn)題上的應(yīng)用24ELEMENTPTFOOT-SDV1SDV2SDV3SDV4SDV5SDV6SDV7NOTE5000112.9000.0002.4000.0001.0000.0000.2000a=2.4ELEMENTPTFOOT-SDV1SDV2SDV3SDV4SDV5SDV6SDVNOTE

5000114.4470.0003.4000.0001.0000.0000.2000a=3.4ELEMENTPTFOOT-SDV1SDV2SDV3SDV4SDV5SDV6SDVNOTE

5000116.4310.0004.4000.0001.0000.0000.2000a=4.4ELEMENTPTFOOT-SDV1SDV2SDV3SDV4SDV5SDV6SDVNOTE

5000119.2030.0005.4000.0001.0000.0000.2000a=5.4ELEMENTPTFOOT-SDV1SDV2SDV3SDV4SDV5SDV6SDVNOTE

50001113.500.0006.4000.0001.0000.0000.2000a=6.4ELEMENTPTFOOT-SDV1SDV2SDV3SDV4SDV5SDV6SDVNOTE

50001121.190.0007.4000.0001.0000.0000.2000a=7.4ELEMENTPTFOOT-SDV1SDV2SDV3SDV4SDV5SDV6SDVNOTE

50001138.740.0008.4000.0001.0000.0000.2000a=8.4ELEMENTPTFOOT-SDV1SDV2SDV3SDV4SDV5SDV6SDVNOTE

500011113.50.0009.4000.0001.0000.0000.2000a=9.43.3經(jīng)典I型問(wèn)題上的應(yīng)用25clcclear%Units(Nmm)E=200E3v=0.3sig=0.4E3a=2.4:1:9.4;W=10;x=a/W;

k1=sqrt(sec(pi/2.*x)).*(1-0.25.*x.^2+0.06.*x.^4)k2=sqrt(sec(pi/2.*x))k3=sqrt((2./pi./x).*tan(pi/2.*x))plot(x,k1,'ro');holdonplot(x,k2,'bo');holdonplot(x,k3,'ko');holdon

%aSDV1SDV2kkk=[2.42.9000.000

3.44.4470.000

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5.49.2030.000

6.4