量子力學課后習題答案

第一章緒論1.1．由黑體輻射公式導出維恩位移定律：。證明：由普朗克黑體輻射公式：，及、得，令，再由，得.所滿足的超越方程為用圖解法求得，即得，將數(shù)據(jù)代入求得1.2．在0K附近，鈉的價電子能量約為3eV,求deBroglie波長.解：#1.3.氦原子的動能為，求時氦原子的deBroglie波長。解：其中，#1.4利用玻爾—索末菲量子化條件，求：（1）一維諧振子的能量。（2）在均勻磁場中作圓周運動的電子的軌道半徑。已知外磁場，玻爾磁子，求動能的量子化間隔，并與及的熱運動能量相比較。解：（1）方法1：諧振子的能量可以化為的平面運動，軌道為橢圓，兩半軸分別為，相空間面積為所以，能量方法2：一維諧振子的運動方程為，其解為速度為，動量為，則相積分為，，（2）設磁場垂直于電子運動方向，受洛侖茲力作用作勻速圓周運動。由，得再由量子化條件，以分別表示廣義坐標和相應的廣義動量，所以相積分為，，由此得半徑為，。電子的動能為動能間隔為熱運動能量（因是平面運動，兩個自由度）為，所以當時，；當時，1.5兩個光子在一定條件下可以轉化為正負電子對，如果兩個光子的能量相等，問要實現(xiàn)這種轉化，光子波長最大是多少？解：轉化條件為，其中為電子的靜止質量，而，所以，即有（電子的康普頓波長）。第二章波函數(shù)和薛定諤方程2.1.證明在定態(tài)中，幾率流與時間無關。證：對于定態(tài)，可令可見無關。2.2由下列定態(tài)波函數(shù)計算幾率流密度：從所得結果說明表示向外傳播的球面波，表示向內(即向原點)傳播的球面波。解： 在球坐標中同向。表示向外傳播的球面波?？梢?，反向。表示向內(即向原點)傳播的球面波。補充：設，粒子的位置幾率分布如何？這個波函數(shù)能否歸一化？∴波函數(shù)不能按方式歸一化。其相對位置幾率分布函數(shù)為表示粒子在空間各處出現(xiàn)的幾率相同。2.3一粒子在一維勢場中運動，求粒子的能級和對應的波函數(shù)。解：無關，是定態(tài)問題。其定態(tài)S—方程在各區(qū)域的具體形式為Ⅰ：①Ⅱ：②Ⅲ：③由于(1)、(3)方程中，由于，要等式成立，必須即粒子不能運動到勢阱以外的地方去。方程(2)可變?yōu)榱睿闷浣鉃棰芨鶕?jù)波函數(shù)的標準條件確定系數(shù)A，B，由連續(xù)性條件，得⑤⑥⑤⑥∴由歸一化條件得由可見E是量子化的。對應于的歸一化的定態(tài)波函數(shù)為2.4.證明（2.6-14）式中的歸一化常數(shù)是證：由歸一化，得∴歸一化常數(shù)2.5求一維諧振子處在激發(fā)態(tài)時幾率最大的位置。解：令，得由的表達式可知，時，。顯然不是最大幾率的位置。，可見是所求幾率最大的位置。2.6在一維勢場中運動的粒子，勢能對原點對稱：，證明粒子的定態(tài)波函數(shù)具有確定的宇稱。證：在一維勢場中運動的粒子的定態(tài)S-方程為①將式中的代換，得②利用，得③比較①、③式可知，都是描寫在同一勢場作用下的粒子狀態(tài)的波函數(shù)。由于它們描寫的是同一個狀態(tài)，因此之間只能相差一個常數(shù)。方程①、③可相互進行空間反演而得其對方，由①經(jīng)反演，可得③，④由③再經(jīng)反演，可得①，反演步驟與上完全相同，即是完全等價的。⑤④乘⑤，得，可見，，所以當時，，具有偶宇稱，當時，，具有奇宇稱，當勢場滿足時，粒子的定態(tài)波函數(shù)具有確定的宇稱。2.7一粒子在一維勢阱中運動，求束縛態(tài)()的能級所滿足的方程。解：粒子所滿足的S-方程為按勢能的形式分區(qū)域的具體形式為Ⅰ：①Ⅱ：②Ⅲ：③整理后，得Ⅰ：④Ⅱ：.⑤Ⅲ：⑥令則Ⅰ：⑦Ⅱ：.⑧Ⅲ：⑨各方程的解為由波函數(shù)的有限性，有因此由波函數(shù)的連續(xù)性，有整理(10)、(11)、(12)、(13)式，并合并成方程組，得 解此方程即可得出B、C、D、F，進而得出波函數(shù)的具體形式，要方程組有非零解，必須∵∴即為所求束縛態(tài)能級所滿足的方程。方法二：接（13）式另一解法：(11)-(13)(10)+(12)(11)+(13)(12)-(10)（（b）kactgkk)10()12()13()11(122令則合并：利用2-7一粒子在一維勢阱中運動，求束縛態(tài)的能級所滿足的方程。解：（最簡方法-平移坐標軸法）Ⅰ：（χ≤0）Ⅱ：（0＜χ＜2）Ⅲ：（χ≥2）束縛態(tài)＜＜因此由波函數(shù)的連續(xù)性，有(7)代入(6)利用(4)、(5)，得2.8分子間的范德瓦耳斯力所產(chǎn)生的勢能可以近似表示為求束縛態(tài)的能級所滿足的方程。解：勢能曲線如圖示，分成四個區(qū)域求解。定態(tài)S-方程為對各區(qū)域的具體形式為Ⅰ：Ⅱ：Ⅲ：Ⅳ：對于區(qū)域Ⅰ，，粒子不可能到達此區(qū)域，故而.①②③對于束縛態(tài)來說，有∴ ④ ⑤ ⑥各方程的解分別為由波函數(shù)的有限性，得∴由波函數(shù)及其一階導數(shù)的連續(xù)，得∴⑦⑧⑨⑩由⑦、⑧，得(11)由⑨、⑩得(12)令，則①式變?yōu)槁?lián)立(12)、(13)得，要此方程組有非零解，必須把代入即得此即為所要求的束縛態(tài)能級所滿足的方程。#附：從方程⑩之后也可以直接用行列式求解。見附頁。此即為所求方程。第三章力學量的算符表示3.1一維諧振子處在基態(tài)，求：(1)勢能的平均值；(2)動能的平均值；(3)動量的幾率分布函數(shù)。解：(1)

(2)或(3)動量幾率分布函數(shù)為#3.2.氫原子處在基態(tài)，求：(1)r的平均值；(2)勢能的平均值；(3)最可幾半徑；(4)動能的平均值；(5)動量的幾率分布函數(shù)。解：(1) (3)電子出現(xiàn)在r+dr球殼內出現(xiàn)的幾率為令當為幾率最小位置∴是最可幾半徑。(4)(5)動量幾率分布函數(shù)#3.3證明氫原子中電子運動所產(chǎn)生的電流密度在球極坐標中的分量是證：電子的電流密度為在球極坐標中為式中為單位矢量中的和部分是實數(shù)?！嗫梢?，3.4由上題可知，氫原子中的電流可以看作是由許多圓周電流組成的。(1)求一圓周電流的磁矩。(2)證明氫原子磁矩為原子磁矩與角動量之比為這個比值稱為回轉磁比率。解：(1)一圓周電流的磁矩為（為圓周電流，為圓周所圍面積）(2)氫原子的磁矩為在單位制中原子磁矩與角動量之比為3.5一剛性轉子轉動慣量為I，它的能量的經(jīng)典表示式是，L為角動量，求與此對應的量子體系在下列情況下的定態(tài)能量及波函數(shù)：轉子繞一固定軸轉動：轉子繞一固定點轉動：解：(1)設該固定軸沿Z軸方向，則有哈米頓算符,其本征方程為(無關，屬定態(tài)問題)令，則取其解為(可正可負可為零)由波函數(shù)的單值性，應有即,∴m=0，±1，±2，…轉子的定態(tài)能量為(m=0，±1，±2，…)可見能量只能取一系列分立值，構成分立譜。定態(tài)波函數(shù)為,A為歸一化常數(shù)，由歸一化條件∴轉子的歸一化波函數(shù)為綜上所述，除m=0外，能級是二重簡并的。(2)取固定點為坐標原點，則轉子的哈米頓算符為無關，屬定態(tài)問題，其本征方程為(式中設為的本征函數(shù)，為其本征值)令，則有此即為角動量的本征方程，其本征值為其波函數(shù)為球諧函數(shù)∴轉子的定態(tài)能量為可見，能量是分立的，且是重簡并的。3.6設t=0時，粒子的狀態(tài)為求此時粒子的平均動量和平均動能。解：可見，動量的可能值為動能的可能值為對應的幾率應為上述的A為歸一化常數(shù)，可由歸一化條件，得∴∴動量的平均值為3.7一維運動粒子的狀態(tài)是其中，求：(1)粒子動量的幾率分布函數(shù)；(2)粒子的平均動量。解：(1)先求歸一化常數(shù)，由∴動量幾率分布函數(shù)為(2)3.8.在一維無限深勢阱中運動的粒子，勢阱的寬度為，如果粒子的狀態(tài)由波函數(shù)描寫，A為歸一化常數(shù)，求粒子的幾率分布和能量的平均值。解：由波函數(shù)的形式可知一維無限深勢阱的分布如圖示。粒子能量的本征函數(shù)和本征值為動量的幾率分布函數(shù)為先把歸一化，由歸一化條件，∴∴∴3.9.設氫原子處于狀態(tài)求氫原子能量、角動量平方及角動量Z分量的可能值，這些可能值出現(xiàn)的幾率和這些力學量的平均值。解：在此能量中，氫原子能量有確定值角動量平方有確定值為角動量Z分量的可能值為其相應的幾率分別為，其平均值為3.10一粒子在硬壁球形空腔中運動，勢能為求粒子的能級和定態(tài)函數(shù)。解：據(jù)題意，在的區(qū)域，，所以粒子不可能運動到這一區(qū)域，即在這區(qū)域粒子的波函數(shù)()由于在的區(qū)域內，。只求角動量為零的情況，即，這時在各個方向發(fā)現(xiàn)粒子的幾率是相同的。即粒子的幾率分布與角度無關，是各向同性的，因此，粒子的波函數(shù)只與有關，而與無關。設為，則粒子的能量的本征方程為令，得其通解為波函數(shù)的有限性條件知，有限，則A=0∴由波函數(shù)的連續(xù)性條件，有∵∴∴其中B為歸一化，由歸一化條件得∴∴歸一化的波函數(shù)#3.11.求第3.6題中粒子位置和動量的測不準關系解：3.12.粒子處于狀態(tài)式中為常量。當粒子的動量平均值，并計算測不準關系解：①先把歸一化，由歸一化條件，得∴/∴是歸一化的②動量平均值為③（奇被積函數(shù)）第四章態(tài)和力學量的表象4.1.求在動量表象中角動量的矩陣元和的矩陣元。解：4.2求能量表象中，一維無限深勢阱的坐標與動量的矩陣元。解：基矢：能量：對角元：當時，4.3求在動量表象中線性諧振子的能量本征函數(shù)。解：定態(tài)薛定諤方程為即兩邊乘以，得令跟課本P.39(2.7-4)式比較可知，線性諧振子的能量本征值和本征函數(shù)為式中為歸一化因子，即4.4.4.4.求線性諧振子哈密頓量在動量表象中的矩陣元。解：4.5設已知在的共同表象中，算符的矩陣分別為求它們的本征值和歸一化的本征函數(shù)。最后將矩陣對角化。解：的久期方程為∴的本征值為的本征方程其中設為的本征函數(shù)共同表象中的矩陣當時，有∴由歸一化條件取對應于的本征值0。當時，有∴由歸一化條件取∴歸一化的對應于的本征值當時，有∴由歸一化條件取∴歸一化的對應于的本征值由以上結果可知，從的共同表象變到表象的變換矩陣為∴對角化的矩陣為按照與上同樣的方法可得的本征值為的歸一化的本征函數(shù)為從的共同表象變到表象的變換矩陣為利用S可使對角化4.6.求連續(xù)性方程的矩陣表示解：連續(xù)性方程為∴而∴ 寫成矩陣形式為第五章微擾理論5.1如果類氫原子的核不是點電荷，而是半徑為、電荷均勻分布的小球，計算這種效應對類氫原子基態(tài)能量的一級修正。解：這種分布只對的區(qū)域有影響，對的區(qū)域無影響。據(jù)題意知其中是不考慮這種效應的勢能分布，即為考慮這種效應后的勢能分布，在區(qū)域，在區(qū)域，可由下式得出，由于很小，所以，可視為一種微擾，由它引起的一級修正為（基態(tài)）∴，故。∴5.2轉動慣量為I、電偶極矩為的空間轉子處在均勻電場在中，如果電場較小，用微擾法求轉子基態(tài)能量的二級修正。解：取的正方向為Z軸正方向建立坐標系，則轉子的哈米頓算符為取，則由于電場較小，又把視為微擾，用微擾法求得此問題。的本征值為本征函數(shù)為的基態(tài)能量為，為非簡并情況。根據(jù)定態(tài)非簡并微擾論可知其中取電子電離后的動量方向為Z方向，取、所在平面為面，則有5.3設一體系未受微擾作用時有兩個能級：，現(xiàn)在受到微擾的作用，微擾矩陣元為；都是實數(shù)。用微擾公式求能量至二級修正值。解：由微擾公式得得∴能量的二級修正值為5.4設在時，氫原子處于基態(tài)，以后受到單色光的照射而電離。設單色光的電場可以近似地表示為，及均為零；電離電子的波函數(shù)近似地以平面波表示。求這單色光的最小頻率和在時刻躍遷到電離態(tài)的幾率。解：①當電離后的電子動能為零時，這時對應的單色光的頻率最小，其值為②時，氫原子處于基態(tài)，其波函數(shù)為在時刻，微擾其中在時刻躍遷到電離態(tài)的幾率為對于吸收躍遷情況，上式起主要作用的第二項，故不考慮第一項，OθαOθαxyz（）其中取電子電離后的動量方向為Z方向，取、所在平面為面，則有∴∴5.5基態(tài)氫原子處于平行板電場中，若電場是均勻的且隨時間按指數(shù)下降，即求經(jīng)過長時間后氫原子處在2p態(tài)的幾率。解：對于2p態(tài)，，可取三值，其相應的狀態(tài)為氫原子處在2p態(tài)的幾率也就是從躍遷到的幾率之和。由(取方向為Z軸方向)=0=0由上述結果可知，，∴當時，其中5.6計算氫原子由第一激發(fā)態(tài)到基態(tài)的自發(fā)發(fā)射幾率。解：由選擇定則，知是禁戒的故只需計算的幾率而2p有三個狀態(tài)，即(1)先計算z的矩陣元(2)計算x的矩陣元(3)計算的矩陣元(4)計算5.7計算氫原子由2p態(tài)躍遷到1s態(tài)時所發(fā)出的光譜線強度。解：若，則5.8求線性諧振子偶極躍遷的選擇