第01講 函數(shù)及其性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性)(學(xué)生版)-2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)幫(新教材新高考)_第1頁
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文檔簡(jiǎn)介

第01講函數(shù)及其性質(zhì)

(單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性)

(核心考點(diǎn)精講精練)

考情探究

1.4年真題考點(diǎn)分布

4年考情

考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)

2023年新I卷,第4題,5分復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)值

2023年新I卷,第11題,5分函數(shù)奇偶性的定義與判斷函數(shù)極值點(diǎn)的辨析

2023年新II卷,第4題,5分函數(shù)奇偶性的應(yīng)用奇偶性求參數(shù)

抽象函數(shù)的奇偶性

2022年新I卷,第12題,5分函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖象之間的關(guān)系

函數(shù)對(duì)稱性的應(yīng)用

2022年新II卷,第8題,5分函數(shù)奇偶性的應(yīng)用抽象函數(shù)的周期性求函數(shù)值

2021年新I卷,第13題,5分由奇偶性求參數(shù)無

2021年新II卷,第8題,5分函數(shù)奇偶性的應(yīng)用函數(shù)的周期性的定義與求解

2021年新H卷,第14題,5分函數(shù)奇偶性的定義與判斷基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式

2020年新I卷,第8題,5分函數(shù)奇偶性的應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性解不等式

2020年新H卷,第7題,5分復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性

2020年新II卷,第8題,5分函數(shù)奇偶性的應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性解不等式

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容,設(shè)題穩(wěn)定,難度中等偏難,分值為5分

【備考策略】1.會(huì)用符號(hào)語言表達(dá)函數(shù)的單調(diào)性,掌握求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的基本方法

2.理解函數(shù)最大值、最小值的概念、作用和實(shí)際意義,會(huì)求簡(jiǎn)單函數(shù)的最值

3.能夠利用函數(shù)的單調(diào)性解決有關(guān)問題

4.了解奇偶性的概念和意義,會(huì)運(yùn)用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的奇偶性

5.了解周期性的概念和意義.會(huì)判斷、應(yīng)用簡(jiǎn)單函數(shù)的周期性解決問題

6.能綜合運(yùn)用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性、對(duì)稱性等解決相關(guān)問題.

【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容,一般會(huì)以抽象函數(shù)作為載體,考查函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、

周期性及對(duì)稱性,是新高考一輪復(fù)習(xí)的重點(diǎn)內(nèi)容.

考點(diǎn)梳理

知識(shí)講解

1.函數(shù)的單調(diào)性

(1)單調(diào)函數(shù)的定義

增函數(shù)減函數(shù)

一般地,設(shè)函數(shù)/(X)的定義域?yàn)?,如果對(duì)于定義域/內(nèi)某個(gè)區(qū)間。上的任意兩個(gè)自變量的值

Xl,X2

定義

當(dāng)即〈短時(shí),都有了(即)5也),那么就說函數(shù)/W當(dāng)即〈X2時(shí),都有了(即)?但),那么就說函數(shù)

在區(qū)間。上是增函數(shù)/(X)在區(qū)間。上是減函數(shù)

圖象描,為)|他)

01x

述Opi~~%.~~x

自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的

(2)單調(diào)區(qū)間的定義

如果函數(shù)y=/(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù),那么就說函數(shù)y=/(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性,

區(qū)間。叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.

(3)函數(shù)的最值

前提設(shè)函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)?,如果存在實(shí)數(shù)"滿足

(1)對(duì)于任意的無£/,都有/(%)WM;(3)對(duì)于任意的xGI,都有/(無)

條件

(2)存在沏£/,使得/(xo)=M⑷存在加e/,使得/(尤0)=M

結(jié)論M為最大值M為最小值

2.單調(diào)性的常見運(yùn)算

(1)單調(diào)性的運(yùn)算

①增函數(shù)(/)+增函數(shù)(/)=增函數(shù)/

②減函數(shù)(、)+減函數(shù)(')=減函數(shù),

③/(x)為/,則一/⑴為、,為、

/(x)

④增函數(shù)(/)—減函數(shù)(\)=增函數(shù)/

⑤減函數(shù)(、)一增函數(shù)(/)=減函數(shù)、

⑥增函數(shù)(/)+減函數(shù)(\)=未知(導(dǎo)數(shù))

(2)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

函數(shù)/1(x)=/z(g(x)),設(shè)"=g(x),叫做內(nèi)函數(shù),貝叭%)=力(4/)0可做外函數(shù),

'內(nèi)函數(shù)T,外函數(shù)復(fù)合函數(shù)T

內(nèi)函數(shù)J,外函數(shù)復(fù)合函數(shù)T任人閂+的日什

'內(nèi)函數(shù)T,外函數(shù)jq復(fù)合函數(shù)尸結(jié)論:同"減

、內(nèi)函數(shù)J,外函數(shù)T,二復(fù)合函數(shù)J

3.奇偶性

①具有奇偶性的函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(大前提)

②奇偶性的定義:

奇函數(shù):/(-%)=-/(%),圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

偶函數(shù):/(-x)=/(x),圖象關(guān)于y軸對(duì)稱

③奇偶性的運(yùn)算

/(工)g(z)/O)+g(z)/(?X)—g(z)/[g(Z)]

偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)

偶函數(shù)奇函數(shù)不能確定不能確定奇函數(shù)偶函數(shù)

奇函數(shù)偶函數(shù)不能確定不能確定奇函數(shù)偶函數(shù)

奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)

4.周期性(差為常數(shù)有周期)

①若/(x+a)=/(x),則/(x)的周期為:T=|?|

@^f(x+a)=f(x+b),則/(x)的周期為:T=\a-k\

③若/(x+a)=—/(x),則/(x)的周期為:T=\2a\(周期擴(kuò)倍問題)

④若/(x+a)=土上,則/(x)的周期為:T=|2a|(周期擴(kuò)倍問題)

/㈤

5.對(duì)稱性(和為常數(shù)有對(duì)稱軸)

軸對(duì)稱

①若f(x+a)=/(-x),則/(x)的對(duì)稱軸為》=■!

②若f(x+a)=f(-x+b),則f(x)的對(duì)稱軸為x=彳

點(diǎn)對(duì)稱

①若/(x+4)=—/(—x),則/(x)的對(duì)稱中心為o]

②若f(x+a)+/(-x+Z7)=c,則/(x)的對(duì)稱中心為|—

6.周期性對(duì)稱性綜合問題

①若/(a+x)=/(a—x),f{b+x)=f(b-x),其中awh,則/(x)的周期為:T=2|a—4

?^f[a+x)=-f(a-x),f[b+x)=-f{b-x),其中“工兒則/(x)的周期為:

T=2|a-Z?|

③若/(a+x)=/(a—x),f(b+x)=-f(b-x),其中則/(x)的周期為:

T=4\a-b\

7.奇偶性對(duì)稱性綜合問題

①已知/(x)為偶函數(shù),/(x+a)為奇函數(shù),則/(x)的周期為:T=4|a|

②已知了(X)為奇函數(shù),/(x+a)為偶函數(shù),則/(x)的周期為:T=4|a|

考點(diǎn)一、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)值

☆典例引領(lǐng)

1.(2023年新高考全國I卷數(shù)學(xué)真題)設(shè)函數(shù)〃%)=2心甸在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減,則。的取值范圍是()

A.3,-2]B.[-2,0)

C.(0,2]D.[2,+co)

【答案】D

【分析】利用指數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)性,判斷列式計(jì)算作答.

【詳解】函數(shù)>=2、在R上單調(diào)遞增,而函數(shù)/(?=2傘旬在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減,

2

則有函數(shù)了=*5-°)=(》-@)2-幺在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減,因此5對(duì),解得。22,

242

所以。的取值范圍是[2,+8).

故選:D

2.(2023?全國?高三專題練習(xí))若函數(shù)八%)=/_2%+1在區(qū)間(3,4)上單調(diào)遞減,則〃的取值范圍是.

【答案】卜鞏:

【分析】按。值對(duì)函數(shù)f(x)=ax2-2x+l進(jìn)行分類討論,再結(jié)合函數(shù)/(X)的性質(zhì)求解作答.

【詳解】由于函數(shù)〃彳)=依2-21+1在區(qū)間(3,4)上單調(diào)遞減,

①當(dāng)。=0時(shí),函數(shù)〃x)=-2x+l,在區(qū)間(3,4)上單調(diào)遞減,符合題意;

②當(dāng)a<0時(shí),開口向下,對(duì)稱軸為了=-9=,則±43,可得函數(shù)在區(qū)間(3,4)上單調(diào)遞減,符合題

2aaa

思;

__r)iii

③當(dāng)。>0時(shí),開口向上,對(duì)稱軸為x==L〃尤)在區(qū)間(3,4)上單調(diào)遞減需滿足上24,因此0<。4;

2aaa4

綜上所述,。的取值范圍是,鞏;,

故答案為:11Gon

即時(shí)檢測(cè)

1.(2023?全國?高三專題練習(xí))函數(shù)〃力=卜-同+1在[2,+8)上單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù)”的取值范圍是.

【答案】(-8,2].

【分析】先求得“X)的單調(diào)遞增區(qū)間為3,+8),根據(jù)題意得到[2,+8)口°,+8),即可求解.

【詳解】由函數(shù)"x)=|x-d+l,可得函數(shù)〃X)的單調(diào)遞增區(qū)間為出,+8),

因?yàn)椤癤)在[2,+8)上單調(diào)遞增,可得[2,+8)口圓+8),解得OW2,

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍為(-8,2].

故答案為:(3,2].

2.(2023?全國?高三專題練習(xí))若函數(shù)〃力=五二在上單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù)。的取值范圍為_______

X~1

【答案】口,2)

【分析】化簡(jiǎn)/尤=i+y,根據(jù)題意得到,,即可求解.

尤-1[<7>1

【詳解】由函數(shù)〃無)=葉一=土衛(wèi)^2=1+佇1,

x-1x-1x-1

—2<0

因?yàn)閒(X)在(。,收)上單調(diào)遞增,貝I」?jié)M足,解得14a<2,

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍為口,2).

故答案為:口,2).

3.(2023?全國?高三專題練習(xí))函數(shù)”x)="口在(2,+8)上單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

x+a

【答案】[―2,—1?(1,+8)

【分析】先利用反比例函數(shù)的單調(diào)性得到y(tǒng)一在(-8,-〃)與(-。,”)上單調(diào)遞減,再利用參數(shù)分離法得

x+a

至|]〃彳)=。+匕且,從而得到關(guān)于。的不等式組,解之即可.

x+a

【詳解】因?yàn)閥=—匚在(9,-。)與(-。,”)上單調(diào)遞減,

x+a

而/(x)=竺擔(dān)=a+匕土在(2,+◎上單調(diào)遞增,

x+ax+a

所以<0,解得或。>1,

-a<2

所以。的取值范圍是(1,+8).

故答案為:[-2,-1)J(l,+8)

考點(diǎn)二、根據(jù)函數(shù)解析式判斷函數(shù)單調(diào)性

☆典例引領(lǐng)

1.(2023?北京?統(tǒng)考高考真題)下列函數(shù)中,在區(qū)間(。,口)上單調(diào)遞增的是()

A.f(x)=-ln尤B./(x)=L

2

C./?=--D./(X)=3M

【答案】C

【分析】利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性,結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷ABC,舉反例排除D即可.

【詳解】對(duì)于A,因?yàn)閥=inx在(0,+8)上單調(diào)遞增,y=-x在(0,+巧上單調(diào)遞減,

所以“x)=-lnx在(0,+8)上單調(diào)遞減,故A錯(cuò)誤;

對(duì)于B,因?yàn)閥=2,在(0,+。)上單調(diào)遞增,y=(在(0,+e)上單調(diào)遞減,

所以/(x)=g在(0,+e)上單調(diào)遞減,故B錯(cuò)誤;

對(duì)于c,因?yàn)?gt;=:在(0,+8)上單調(diào)遞減,丁=-%在(0,+8)上單調(diào)遞減,

所以〃無)=-工在(0,+8)上單調(diào)遞增,故C正確;

X

對(duì)于D,因?yàn)?(£|=3曰=3;=有,/⑴=3卜"=3°=1,〃2)=3研=3,

顯然〃x)=3月在(0,+“)上不單調(diào),D錯(cuò)誤.

故選:C.

2.(2021?全國?高考真題)下列函數(shù)中是增函數(shù)的為()

A.=fB./(x)=f|jC./(x)=x2

D.f(x)=也

【答案】D

【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷后可得正確的選項(xiàng).

【詳解】對(duì)于A,〃x)=f為R上的減函數(shù),不合題意,舍.

對(duì)于B,〃尤)=[|)為R上的減函數(shù),不合題意,舍.

對(duì)于C,/卜)=>在(-=0)為減函數(shù),不合題意,舍.

對(duì)于D,〃力=a為R上的增函數(shù),符合題意,

故選:D.

即時(shí)檢測(cè)

1.(2023?浙江?統(tǒng)考二模)下列函數(shù)在區(qū)間(0,2)上單調(diào)遞增的是()

21

A.)=(%—2)2B.y=--

x—2

C.y=sin(x-2)D.y=cos(x-2)

【答案】D

【分析】對(duì)于BCD,根據(jù)各個(gè)選項(xiàng)觀察均是AM向右平移兩個(gè)單位長度的形式,根據(jù)原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間可

以判斷平移后的單調(diào)區(qū)間,進(jìn)而判斷(。,2)上的單調(diào)性得到結(jié)論,而根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性可判斷A的正誤.

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng):y=(x-2)2開口向上,對(duì)稱軸x=2,所以在(一叫2)上單調(diào)遞減,故不符合題意.

對(duì)于B選項(xiàng):>=」=是丫=」向右平移了兩個(gè)單位長度,所以在在(一j2)上單調(diào)遞減,故不符合題意.

對(duì)于C選項(xiàng):>=sin-2)是y=sin%向右平移了兩個(gè)單位長度,

所以y=sin(x-2)在(-弓+2,-1+2)上單調(diào)遞減,在(一]+25+2)上單調(diào)遞增,

因?yàn)??!?£+2<2,所以不符合題意.

對(duì)于D選項(xiàng):y=cos(x-2)是>=8$》向右平移了兩個(gè)單位長度,

所以丫=0?(彳-2)在(-無+2,2)上單調(diào)遞增,則在(0,2)上單調(diào)遞增,符合題意.

故選D.

2.(2023?北京海淀???既?下列函數(shù)中,在區(qū)間(-8,0)上是減函數(shù)的是()

A.J=X3B.y=c.y=logj-x)D.y=/

【答案】D

【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的單調(diào)性及對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷即可.

【詳解】對(duì)于A:y=x3在定義域R上單調(diào)遞增,故A錯(cuò)誤;

對(duì)于B:、=[3],=2”在定義域口上單調(diào)遞增,故B錯(cuò)誤;

對(duì)于C:丫二垢8/一月定義域?yàn)榭诓泞?,因?yàn)閥=-%在(-8,0)上單調(diào)遞減且值域?yàn)椋?,+8),

2

又y=i°g:在定義域上單調(diào)遞減,所以〉=蜒¥川在(_8,0)上單調(diào)遞增,故c錯(cuò)誤;

對(duì)于D:y=函數(shù)在(-8,0)上單調(diào)遞減,故D正確;

故選:D

3.(2023?吉林?統(tǒng)考二模)下列四個(gè)函數(shù)中,在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增的是()

A.>=%B.y=tanxC.y=1D.y=

【答案】A

【分析】根據(jù)幕函數(shù)單調(diào)性即可判斷出A正確,C錯(cuò)誤,再根據(jù)正切函數(shù)和指數(shù)函數(shù)圖象即可得出BD錯(cuò)誤.

【詳解】由塞函數(shù)性質(zhì)可知,〉=1=石定義域?yàn)閇0,+8),且在定義域內(nèi)單調(diào)遞增;即A正確;

、=:=/在其定義域(0,+s),(-.0)上分別單調(diào)遞減,即C錯(cuò)誤;

由正切函數(shù)圖像可知,>=tan尤為周期函數(shù),在定義域內(nèi)不是單調(diào)遞增,B錯(cuò)誤;

由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)可知,>=在xeR上為單調(diào)遞減,所以D錯(cuò)誤.

故選:A

考點(diǎn)三、根據(jù)函數(shù)單調(diào)性解不等式

典例引領(lǐng)

1.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)〃—log2(x+2),若加一2)>3,則。的取值范圍是

【答案】(0,1)

【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式.

【詳解】解:因?yàn)椋?&)在R上遞減,y=logz(x+2)在(-2,+8)上遞增,

所以/'(尤)=—log](x+2)在定義域(一2,十8)上是減函數(shù),且/(—1)=3,

由加-2)>3,得加一2)切一1),

\a-2<-\

|—2>—2

解得0<a<l.

故答案為:(0,1)

Inx,x>1

2.(2023?黑龍江大慶?鐵人中學(xué)??级?已知函數(shù)〃X)=0,0Wx<l,若/(2a—l)—140,則實(shí)數(shù)。的取

x,x<0

值范圍是()

B.’應(yīng)一5口[°,-_

A.屋e+1,+8j)

e+1(e+1

D.

12J

【答案】D

【分析】討論2。一1與0、1的大小關(guān)系,寫出了(24-1)的解析式,解出不等式后,再求并集即為答案.

【詳解】因?yàn)?(2。一l)-lV0n/(2a—1”n.

①當(dāng)2“一121時(shí),/(2a-l)=ln(2fl-l)<l^l<a<—.

②當(dāng)042。-1<1時(shí),/(2a-l)=0<l^1<a<l.

③當(dāng)2a—1<0時(shí),/(2。-1)=2。一

綜上所述:〃工e詈+1,

故選:D.

/即時(shí)檢測(cè)

1.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/⑴是定義在區(qū)間[0,+◎上的函數(shù),且在該區(qū)間上單調(diào)遞增,則滿

足了(2xT)</]1的x的取值范圍是()

a-Q,t]b-[?t)c-Q4)。

【答案】D

【分析】由已知有0W2x—l<g,即可求取值范圍.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)/⑺是定義在區(qū)間[0,+8)上的增函數(shù),滿足/(2x-l)</(

112

所以。4—角筆得—<x<—.

323

故選:D

Q~X尤<(J

2.(2023春?山西太原?高二太原五中校考階段練習(xí))已知函數(shù)〃x)=2';八,若

[—X-2x+l,x>0

則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.(一/B.緊)C.1D.加

【答案】A

【分析】根據(jù)分段函數(shù)的表達(dá)式,判斷函數(shù)的單調(diào)性,利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.

【詳解】函數(shù)/(力=6一三(,),在(—,0]上為減函數(shù),

函數(shù)y=-%2-2x+l的圖像開口向下,對(duì)稱軸為x=-l,

所以函數(shù)〃切=-尤2-2尤+1在區(qū)間(0,+巧上為減函數(shù),

Me-0^-02-2x0+1.

所以函數(shù)“X)在(YO,??)上為減函數(shù).

由。)得a-lW-a.解得

故選:A.

考點(diǎn)四、根據(jù)函數(shù)單調(diào)性比較函數(shù)值大小關(guān)系

典例引領(lǐng)

■■■■■■■■■■■

25

1.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(0=2-工一4\a=0.3^,fo=log0250.3,c=log032.5,則()

A./(^)</(?)</(c)

B./(c)</(/j)</(a)

C./(c)</(a)</(Z?)

D./(a)</(^)</(c)

【答案】D

【分析】由函數(shù)解析式可知/(x)是R上的減函數(shù),可得出0.3?”>1,0<log0250.3<l,log032.5<0,然后即可

得出“,b,c的大小關(guān)系,進(jìn)而得出〃a),以〉,/(c)的大小關(guān)系.

【詳解】解:y=2-'是&上的減函數(shù),>=-4、是R上的減函數(shù),

"(x)=2f-4,是R上的減函數(shù),

-025

O.3->0.3°=1,0=log0251<log0250.3<log0250.25=1,log032.5<log031=0,

:.a>b>c,

.-./(?)</(/?)</(c).

故選:D.

2.(2023?全國,高三專題練習(xí))已知函數(shù)y=在[。,+8)上單調(diào)遞增,記”/1J,b=/(log后2),

c=f(2),則6,c的大小關(guān)系為()

A.b>c>aB.b>a>cC.c>b>aD.a>b>c

【答案】C

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得[;["』og"2,2的大小,再利用y

II的單調(diào)性可得答案

【詳解】因?yàn)閥=是單調(diào)遞減函數(shù),所以

因?yàn)閥=logg_r是單調(diào)遞增函數(shù),

所以1=log有正<log有2<log由(君)=2,

所以出log有2<2

又函數(shù)y=/(x)在[0,+8)上單調(diào)遞增,所以c>b>a,

故選:C.

【點(diǎn)睛】比較大小的方法有:

(1)根據(jù)單調(diào)性比較大??;

(2)作差法比較大??;

(3)作商法比較大??;

(4)中間量法比較大小.

即時(shí)檢測(cè)

1.(2021?江蘇淮安?統(tǒng)考二模)已知函數(shù)/⑴/言,設(shè)a=/(4°)b=/((括r),C=/(25°2),則()

A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.c>a>b

【答案】c

【分析】由解析式可判斷了⑺的定義域及其對(duì)應(yīng)的單調(diào)區(qū)間,利用有理數(shù)指數(shù)幕的性質(zhì)判斷(括)3,25叱4°4

的大小關(guān)系,根據(jù)f(x)的區(qū)間單調(diào)性判斷函數(shù)值的大小.

【詳解】(W=5°-7\250-2=50-4,

0(</5)3>250,2>40-4>1,

2

由函數(shù)解析式知:(%—1)(%+1)>0,即兀6(—8,—1)。(1,+8),又/(九)=ln(l——;)在(1,+8)上單調(diào)遞增,

團(tuán)b>c>a.

故選:C.

2.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)=a=log23,b=log34,c=log58,貝ij()

A.f(a)<f(c)<f(b)B.f(a)</(Z?)</(c)

C./(c)</(6z)</(Z?)D.f(c)<f(b)<f(a)

【答案】A

3

【分析】由對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì),借助中間量:得匕<c<a,進(jìn)而在結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性比較大小即可.

2

【詳解】解:由就>0得(2—x)(3+x)>0,解得—3<x<2,

所以,函數(shù)〃x)=In就的定義域?yàn)?—3,2),

5-(x+3)

因?yàn)椤▁)=lnM=In=In5-1

3+xx+3

由于函數(shù)r=j-l在(-3,2)上單調(diào)遞減,函數(shù)y=lnt在定義域上單調(diào)遞增,

所以,根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性得"X)=In旨在(-3,2)上單調(diào)遞減,

因?yàn)?=k>g34=log2764=J^,c=log58=log2564=^^,Ig27>lg25>l,

lg27lg25

所以6<c,

3-Q3

2

|3>gc--=log58-log55=log5法<w=。所以。

3-33

2

因?yàn)椤?務(wù)=log23—log22=log2>log21=0所以

所以,log33=l<b<c<a<log24=2,

所以,由函數(shù)單調(diào)遞減的性質(zhì)得</(6).

故選:A

考點(diǎn)五、根據(jù)函數(shù)的奇偶性求參數(shù)值

■典■■例■■■引■■■領(lǐng)■■

1.(2023?全國?統(tǒng)考高考真題)若/⑺=(尤+a)ln7君Y-為1偶函數(shù),貝巾=().

A.-1B.0C.yD.1

【答案】B

【分析】根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì),利用特殊值法求出。值,再檢驗(yàn)即可.

【詳解】因?yàn)榘颂帪榕己瘮?shù),貝U/(I)=/(-I),(1+?)In1=(-1+a)In3,解得a=0,

當(dāng)a=0時(shí),=(2x-l)(2x+l)>0,解得x>上或尤<一;,

2x+122

則其定義域?yàn)椋踴|x?或關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

/(T)==/(x),

故此時(shí)了(無)為偶函數(shù).

故選:B.

2.(2023?全國?統(tǒng)考高考真題)已知了(乃=/—是偶函數(shù),則"=()

e—1

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義運(yùn)算求解.

【詳解】因?yàn)?(力=」^為偶函數(shù),則"尤)_八一)=-^_0/=止

e-1J\/J1一"一1e一如一]e?一1

又因?yàn)閄不恒為0,可得e—e(i)x=0,即e,=e("-小,

則無=(a—1)%,BP1=a—l,解得〃=2.

故選:D.

3.(2023?全國?統(tǒng)考高考真題)若〃無)=(x-l)2+ax+sin(x+Tj為偶函數(shù),貝巾=

【答案】2

【分析】利用偶函數(shù)的性質(zhì)得到=從而求得a=2,再檢驗(yàn)即可得解.

【詳解】因?yàn)椋?/(尤)=(x-l『+ax+sinx+曰=(x-l『+ax+cosx為偶函數(shù),定義域?yàn)镽,

則兀<2=[5+1)—[5―I=2兀,故a=2,

止匕時(shí)/(x)=(x-l)2+2x+COSX=X2+1+COSX,

所以/(-X)=(-x)2+l+cos(-x)=x2+l+cosx=/(x),

又定義域?yàn)镽,故/(%)為偶函數(shù),

所以。=2.

故答案為:2.

4.(2022?全國?統(tǒng)考高考真題)若=+----1■匕是奇函數(shù),則。=_____,b=______

1—x

【答案】-;;In2.

【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義即可求出.

【詳解】[方法一]:奇函數(shù)定義域的對(duì)稱性

若。=0,則〃幻的定義域?yàn)椴魂P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

若奇函數(shù)的/(%)=歷1。+J-I+。有意義,貝1J%W1且。+J-WO

1一41-x

「.XW1且"1+L

a

「函數(shù)/(X)為奇函數(shù),定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,

1H■—=-1,解得〃=一二

a2

由/(。)=。得,*+8=0,

:.b=ln2,

故答案為:-;;ln2.

[方法二]:函數(shù)的奇偶性求參

,/、71I77一奴+L7Iax-a-X7

/(x)=lna-\----\+b=ln\--------\+b7=ln\---------Fb

1-x1-x1-x

、jax+a+l7

/(-x)=ln------+b

1+x

函數(shù)〃%)為奇函數(shù)

//、//、7ax-a-l,ax+a+l八

/(x)+f(-x)=In--------\}+ln\[----------b2b=0

1-x\+x

,J〃2%2_(Q+])2

..In--------------F2/7=0

—=^fl+lr^>2a+l=0^fl=--

112

—2b=In—=—2ln2=>b=ln2

4

17c

a=——,7b=Ini

2

[方法三]:

因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=lna+J—+b為奇函數(shù),所以其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

1-X

由a+J—/0可得,(l-x)(a+l-or)^0,所以工=3=-1,解得:。=-3,即函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

1-xa2

(^-l)u(-l,l)u(l,^>),再由〃0)=0可得,b=]n2.即〃x)=ln-;+;+ln2=ln手,在定義域

/LX1,X

內(nèi)滿足/(T)=-〃X),符合題意.

故答案為:-萬;In2.

*即時(shí)檢測(cè)

___

I.(2023?湖南?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))已知/(元)=(x-2)(x+a)是偶函數(shù),貝巾=()

A.-1B.1C.-2D.2

【答案】D

【分析】方法一:由偶函數(shù)的性質(zhì)/(x)=/(-x),即可求得。的值;方法二:由偶函數(shù)圖像關(guān)于y軸對(duì)稱,求

出二次函數(shù)對(duì)稱軸,列出方程求解即可.

【詳解】方法一:因?yàn)椤▁)=f+(a—2)龍—2a,

所1以/(_x)—£__2)x_2a,

由f(—x)—f(x),彳導(dǎo)%2—(Q—2)%—2a—九2+(〃一2)%—2a,

解得a=2;

方法二:/(x)=x2+(tz-2)x-2<7,

因?yàn)?(尤)是偶函數(shù),

所以fM圖像關(guān)于直線x=0對(duì)稱,

所以一三二°'解得”=2'

故選:D.

2.(2023?廣東佛山?華南師大附中南海實(shí)驗(yàn)高中??寄M預(yù)測(cè))已知函數(shù)〃力=右(4>0)為偶函數(shù),則

/(2)的值為.

2

【答案】j/0.4

【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義即可求解解析式,代入即可求解.

【詳解】.函數(shù)〃力=工一(4>0)是偶函數(shù),

2+1

?心=?."2)=亙=2

,()2、+l')2?+l5

2X+12X+1a

故答案為:!2

3.(2023?湖北黃岡?滴水縣第一中學(xué)??寄M預(yù)測(cè))已知函數(shù)〃x)=號(hào)望為偶函數(shù),則”

【答案】1

【分析】根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)〃r)=/(x)即可得到(“-1乂4*-1)=0對(duì)VxeR均成立,從而求出參數(shù)的值.

【詳解】由題設(shè),〃_尤)=1^=2,(47+4=/(尤)=今當(dāng),

所以4,(4-工+力=4工+a,得1+夕4'=4,+。,得(。一1)(4'-1)=。對(duì),€11均成立.

所以a—1=0,解得a=l.

經(jīng)檢驗(yàn),。=1滿足要求.

故答案為:1

4.(2。23?河北?校聯(lián)考一模)若函數(shù)=的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,則實(shí)數(shù)”的值為

【答案】-2

【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)根據(jù)/(-x)=-/(x),即可求解.

“、“、口”.4-mx,4+mx,4+mx4-2%-,,,?,

【詳解】依題意,ATM即lnw=ln,‘所以不丁匚前'解倚吁±2,當(dāng)加=2時(shí),

/(x)=ln|5||.定義域卜|尤*2}不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,故舍去,

當(dāng)m=-2時(shí),/(x)=ln1±||,定義域?yàn)楹?2<x<2},符合要求,故加=-2,

故答案為:-2

考點(diǎn)六、抽象函數(shù)奇偶性的綜合應(yīng)用

典例引領(lǐng)

^4■■■■■■■■■■■

1.(2023?全國?統(tǒng)考高考真題)(多選)已知函數(shù)外力的定義域?yàn)镽,/(xy)=//(x)+x7(y),則().

A."0)=0B./(1)=0

C.〃x)是偶函數(shù)D.尤=0為了⑺的極小值點(diǎn)

【答案】ABC

【分析】方法一:利用賦值法,結(jié)合函數(shù)奇遇性的判斷方法可判斷選項(xiàng)ABC,舉反例/(x)=0即可排除選項(xiàng)

D.

方法二:選項(xiàng)ABC的判斷與方法一同,對(duì)于D,可構(gòu)造特殊函數(shù)/(%)='進(jìn)行判斷即可.

[0,x=0

【詳解】方法一:

因?yàn)?(孫)=//(%)+X2/(J),

對(duì)于A,令x=y=0,/(0)=0/(0)+Of(0)=0,故A正確.

對(duì)于B,令x=y=l,/(1)=1/(1)+1/(1),則/⑴=0,故B正確.

對(duì)于C,令x=y=-l,/(1)=/(-1)+/(-1)=2/(-1),則/(-1)=0,

令y==/(x)+x2/(-l)=/(尤),

又函數(shù)/(X)的定義域?yàn)镽,所以“X)為偶函數(shù),故C正確,

對(duì)于D,不妨令了。)=0,顯然符合題設(shè)條件,此時(shí)Ax)無極值,故D錯(cuò)誤.

方法二:

因?yàn)閒(xy)=y2f(x)+尤干(y),

對(duì)于A,令x=y=0,/(0)=0/(0)+Of(0)=0,故A正確.

對(duì)于B,令x=y=l,/(I)=1/(1)+1/(1),則/⑴=0,故B正確.

對(duì)于C,令元=y=-l,/(I)=/(-I)+/(-I)=2/(-1),則/(_l)=0,

令y==/(x)+x2/(-l)=/(x),

又函數(shù)的定義域?yàn)镽,所以f(x)為偶函數(shù),故C正確,

對(duì)于D,當(dāng)一好力。時(shí),對(duì)/(沖)=y2/(x)+x"(y)兩邊同時(shí)除以得到號(hào)?=’,+;£,

當(dāng)x>0月寸,f(x)=x2In%,則/''(%)=Zxlnx+f.J_=;v(21nx+1),

x

令r(%)<。,得0℃彳;4/^x)>0,得》>N;

故/(x)在1o,e2上單調(diào)遞減,在e2,+GO上單調(diào)遞增,

(」、(

因?yàn)?(X)為偶函數(shù),所以f(x)在-e-5,0上單調(diào)遞增,在-8,e-a上單調(diào)遞減,

V)<)

顯然,此時(shí)x=0是/(無)的極大值,故D錯(cuò)誤.

故選:ABC.

2.(2021.全國?統(tǒng)考高考真題)寫出一個(gè)同時(shí)具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)“X):

①“不巧)=/&)F(W);②當(dāng)xe(0,+oo)時(shí),f\x)>0;③/'(x)是奇函數(shù).

【答案】〃x)=Y(答案不唯一,”x)=/(〃eN*)均滿足)

【分析】根據(jù)幕函數(shù)的性質(zhì)可得所求的/(x).

【詳解】取/(0=/,貝I"中2)=(中2)4=%:工;,滿足①,

r(x)=4x3,尤>0時(shí)有^^)>。,滿足②,

-(X)=4d的定義域?yàn)镽,

又/X)=TX3=—『'(X),故((無)是奇函數(shù),滿足③.

故答案為:/(%)=/(答案不唯一,〃尤)=/(〃eN*)均滿足)

即時(shí)檢測(cè)

1.(2023?云南?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))(多選)已知〃力,g(x)都是定義在R上且不恒為0的函數(shù),則()

A.y=〃x)"(—x)為偶函數(shù)

B.y=g(x)+g(—x)為奇函數(shù)

c.若g(元)為奇函數(shù),/(〈為偶函數(shù),則y=〃g(x))為奇函數(shù)

D.若“X)為奇函數(shù),g(x)為偶函數(shù),則y=/(x)-g(x)為非奇非偶函數(shù)

【答案】AD

【分析】根據(jù)奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義判斷即可.

【詳解】選項(xiàng)A:

因?yàn)閒(x)是定義在R上的函數(shù),所以〃(力的定義域?yàn)镽,

/2(-X)=/(-%)-/(x)=/z(x),所以網(wǎng)力為偶函數(shù),故A正確;

選項(xiàng)B:

r(x)=g(x)+g(-x),

因?yàn)間(x)是定義在R上的函數(shù),所以f(x)的定義域?yàn)镽,/(-x)=g(-x)+g⑺=r(x),所以f(x)為偶函數(shù),

故B錯(cuò)誤;

選項(xiàng)C:

設(shè)〃z(x)=/(g(x)),

因?yàn)?(X),g(x)都是定義在R上的函數(shù),所以加(X)的定義域?yàn)镽,

因?yàn)間(x)為奇函數(shù),"X)為偶函數(shù),所以制-x)=〃g(-x))=y(—g(x))=〃g(x))="2(x),

所以〃7(X)為偶函數(shù),故C錯(cuò)誤;

選項(xiàng)D:

設(shè)”(x)=〃x)-g(x),

因?yàn)椤╔),g(x)都是定義在R上的函數(shù),所以“(X)的定義域?yàn)镽,

“(X)+"(f)="X)-g(X)+/m)="X)-g(X)-“X)-g⑺=-2g(X),

因?yàn)間(x)是不恒為0的函數(shù),

所以"(x)+”(-x)=0不恒成立,所以“(X)不是奇函數(shù),

Z7(X)-M(-X)=/(x)-g(X)-[/(-X)-g(-尤)]=/(尤)一g(x)+f(x)+g(尤)=2/(x),

因?yàn)椤癤)是不恒為0的函數(shù),所以〃(X)=〃(T)不恒成立,

所以“(X)不是偶函數(shù),所以“(X)是非奇非偶函數(shù),故D正確,

故選:AD.

2.(2023?湖南長沙?雅禮中學(xué)??家荒?(多選)已知不恒為0的函數(shù)/(X),滿足Vx,yeR都有

〃x)+"y)=2,寧三].則()

A."0)=0B."0)=1

C.為奇函數(shù)D.〃x)為偶函數(shù)

【答案】BD

【分析】令x=y=0和y=x,即可判斷選項(xiàng)AB;令丁=一%即可判斷選項(xiàng)CD.

【詳解】令x=y=o,則/(0)+/(0)=2/(0)./(0),回〃0)=0或1.

令…,貝U/")+/(尤)=2/(尤)?〃()),若"0)=0,則〃尤)=0,與"X)不恒為0矛盾,回〃0)=1,0

選項(xiàng)B正確選項(xiàng)A錯(cuò)誤;

令》=一%,貝i]/(x)+〃-x)=2〃0)"(x)=2〃x),0/(x)=/,(-x),回〃x)為偶函數(shù),團(tuán)選項(xiàng)D正確選項(xiàng)C

錯(cuò)誤.

故選:BD.

3.(2023?江蘇南通?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))(多選)已知偶函數(shù)>=/(無)與奇函數(shù)y=g(x)的定義域均為R,且滿足

/(x)-g(x+l)=l,g(x)+〃5-尤)=3,則下列關(guān)系式一定成立的是()

A./(尤+2)-g(無+3)=1B.f(1)=3

C.g(x)=-g(x+3)D./(x+8)=/(x)

【答案】AD

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性及所給抽象函數(shù)的性質(zhì),利用尤換為x+2可判斷A,利用賦值可判斷B,推理得

出g(x)+g(6-x)=2后賦值可判斷C,由條件推理可得〃x+4)+〃x)=4,即可判斷D.

【詳解】由〃x)—g(x+l)=l,將x換為x+2知/(x+2)—g(x+3)=l,故A對(duì);

/(x)-g(x+l)=l,奇函數(shù)y=g(x)中g(shù)(0)=。,

則〃T)—g(o)=l,,〃T)=1,由y=F(x)為偶函數(shù),..."1)=1,故B錯(cuò);

"(x)=g(x+l)+l,;"(5-x)=g(6-x)+l,

又g(x)+〃5-x)=3,.?.g(x)+g(6-x)+l=3,

;.g(x)+g(6-x)=2,g(3)=1,g(0)=0,g(0)-g(3),故C錯(cuò),

.?f(x)-g(x+l)=l,則/(x-l)-g(x)=l,即=

g(x)+/(5-x)=3,/./(x-l)-l+/(5-x)=3,

.-./(x-l)+/(5-x)=4,即/(x)+/(4-x)=4,

為偶函數(shù),.?"(T)+〃-x+4)=4,

.?"(x+4)+/(x)=4①,二/(x+8)+/(x+4)=4②

由①②知f(x+8)=〃x),故D對(duì).

故選:AD.

4.(2023?云南昆明?云南省昆明市第十中學(xué)??寄M預(yù)測(cè))(多選)定義在R上的函數(shù)/⑺滿足

了(尤+y)=f(x)+f(y),當(dāng)x<o時(shí),〃尤)>0,則函數(shù)/a)滿足()

A./(0)=0B.y=/(x)是奇函數(shù)

C./(X)在[山,網(wǎng)上有最大值fgD./(尤T)>0的解集為

【答案】AB

【分析】由抽象函數(shù)滿足f(x+y)=/(尤)+/"),令x=y=o可得A。),利用奇偶性,單調(diào)性的定義可推導(dǎo)

函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性,可

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