高中數(shù)學第一章空間向量與立體幾何1.4空間向量的應(yīng)用1.4.1用空間向量研究直線平面的位置關(guān)系第1課

第1課時空間中點、直線和平面的向量表示

及空間中直線、平面的平行第一章課標要求1.能用向量語言描述直線和平面,理解直線的方向向量與平面的法向量.2.能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行關(guān)系.3.能用向量方法證明必修內(nèi)容中有關(guān)直線、平面平行關(guān)系的判定定理.4.能用向量方法證明空間中直線、平面的平行關(guān)系.內(nèi)容索引0102基礎(chǔ)落實?必備知識全過關(guān)重難探究?能力素養(yǎng)全提升03學以致用?隨堂檢測全達標基礎(chǔ)落實?必備知識全過關(guān)知識點1

空間中點、直線和平面的向量表示1.點的位置向量在空間中,我們?nèi)∫欢cO作為基點,那么空間中任意一點P就可以用向量

來表示.我們把向量

稱為點P的位置向量.如圖.既包含方向,也包含距離

2.空間直線的向量表示式

①式和②式都稱為空間直線的向量表示式.由此可知,空間任意直線由直線上一點及直線的方向向量唯一確定.3.空間平面的向量表示式如圖,取定空間任意一點O,空間一點P位于平面ABC內(nèi)的充要條件是存在實數(shù)x,y,使

我們把這個式子稱為空間平面ABC的向量表示式.由此可知,空間中任意平面由空間一點及兩個不共線向量唯一確定.4.平面的法向量如圖,直線l⊥α,取直線l的方向向量a,我們稱向量a為平面α的法向量.給定一個點A和一個向量a,那么過點A,且以向量a為法向量的平面完全確定,可以表示為集合{P|a·=0}.一個平面的法向量不唯一

名師點睛

過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)直線的方向向量是唯一的.(

)(2)與一個平面的法向量共線的非零向量都是該平面的法向量.(

)(3)直線的方向向量有兩個.(

)(4)平面的法向量是唯一的.(

)√×××2.直線的方向向量如何確定?3.如何確定平面的法向量?提示

l是空間一直線,A,B是l上任意兩點,則

及與

平行的非零向量均為直線l的方向向量.提示

設(shè)a,b是平面α內(nèi)兩不共線向量,n為平面α的法向量,則求法向量的方程組為知識點2

空間中直線、平面平行的向量表示

位置關(guān)系向量表示線線平行設(shè)μ1,μ2分別是直線l1,l2的方向向量,則l1∥l2?μ1∥μ2??λ∈R,使得μ1=λμ2線面平行設(shè)μ是直線l的方向向量,n是平面α的法向量,l?α,則l∥α?μ⊥n?μ·n=0面面平行設(shè)n1,n2分別是平面α,β的法向量,則α∥β?n1∥n2??λ∈R,使得n1=λn2名師點睛1.空間平行關(guān)系的本質(zhì)是線線平行,根據(jù)共線向量的定義,只需證明直線的方向向量μ1∥μ2.此外,證明線面平行也可用共面向量的性質(zhì),即只要證明這條直線的方向向量能夠用平面內(nèi)兩個不共線向量線性表示即可.2.利用直線的方向向量證明直線與直線平行、直線與平面平行時,要注意向量所在的直線與所證直線或平面無公共點,證明平面與平面平行時也要注意兩平面沒有公共點.過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)若兩條直線平行,則它們的方向向量的方向相同或相反.(

)(2)若向量n1,n2為平面的法向量,則以這兩個向量為方向向量的直線一定平行.(

)(3)若直線l1,l2的方向向量分別為a=(1,2,-2),b=(-2,3,2),則l1⊥l2.(

)√×√2.若已知平面外一直線的方向向量和平面的法向量,則這兩向量滿足哪些條件可說明直線與平面平行?提示

可探究直線的方向向量與平面的法向量是否垂直,進而確定線面是否平行.重難探究?能力素養(yǎng)全提升探究點一平面的法向量及其求法【例1】

如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是正方形,側(cè)棱PD⊥底面ABCD,PD=DC=1,E是PC的中點,求平面EDB的一個法向量.解

如圖所示建立空間直角坐標系.依題意可得D(0,0,0),P(0,0,1),取x=1,則y=-1,z=1,故平面EDB的一個法向量為n=(1,-1,1).規(guī)律方法

利用待定系數(shù)法求平面的法向量的解題步驟

變式探究本例條件不變,你能分別求出平面PAD與平面PCD的一個法向量嗎?它們之間的關(guān)系如何?解

如同例題建系方法,易知平面PAD的一個法向量為n1=(0,1,0),平面PCD的一個法向量為n2=(1,0,0),因為n1·n2=0,所以n1⊥n2.變式訓練1如圖所示,已知四邊形ABCD是直角梯形,AD∥BC,∠ABC=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=,試建立適當?shù)淖鴺讼?(1)求平面ABCD的一個法向量;(2)求平面SAB的一個法向量;(3)求平面SCD的一個法向量.解

以點A為原點,AD,AB,AS所在的直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,探究點二利用向量方法證明線線平行【例2】

在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,AD=3,AA1=2,P,Q,R,S分別是AA1,D1C1,AB,CC1的中點.求證:PQ∥RS.證明

(方法1)以點D為原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系Dxyz.規(guī)律方法

向量法證明兩條直線平行的方法兩直線的方向向量共線時,兩直線平行或重合;否則兩直線相交或異面.變式訓練2在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點P在線段A1D上,點Q在線段AC上,線段PQ與直線A1D和AC都垂直,求證:PQ∥BD1.證明

以點D為坐標原點,建立如圖所示的空間直角坐標系,設(shè)正方體的棱長為1,則D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),A1(1,0,1),D1(0,0,1),探究點三利用向量方法證明線面平行【例3】

如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別是C1C,B1C1的中點.求證:MN∥平面A1BD.又MN?平面A1BD,∴MN∥平面A1BD.(方法3)以D為原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系,如圖.取x=1,得y=-1,z=-1,∴n=(1,-1,-1).又MN?平面A1BD,∴MN∥平面A1BD.規(guī)律方法

利用空間向量證明線面平行的方法(1)利用共面向量法:證明直線的方向向量p與平面內(nèi)的兩個不共線向量a,b是共面向量,即滿足p=xa+yb(x,y∈R),則p,a,b共面,從而可證直線與平面平行.(2)利用共線向量法:證明直線的方向向量p與該平面內(nèi)的某一向量共線,再結(jié)合線面平行的判定定理即可證明線面平行.(3)利用法向量法:求出直線的方向向量與平面的法向量,證明方向向量與法向量垂直,從而證明直線與平面平行.變式訓練3如圖,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=,AF=1,M是線段EF的中點.求證:AM∥平面BDE.證明

建立如圖所示的空間直角坐標系.設(shè)AC∩BD=N,連接NE,又因為NE?平面BDE,AM?平面BDE,所以AM∥平面BDE.探究點四利用向量方法證明面面平行【例4】

如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,O為底面ABCD的中心,P是DD1的中點,設(shè)Q是CC1上的點,問:當點Q在什么位置時,平面D1BQ∥平面PAO?解

如圖所示,分別以DA,DC,DD1所在直線為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標系,在CC1上任取一點Q,連接BQ,D1Q.設(shè)正方體的棱長為1,規(guī)律方法

利用空間向量證明面面平行的方法(1)轉(zhuǎn)化為線面平行、線線平行,然后借助向量共線進行證明;(2)通過證明兩個平面的法向量平行證明.變式訓練4在長方體ABCD-A1B1C1D1中,DA=2,DC=3,DD1=4,M,N,E,F分別為棱A1D1,A1B1,D1C1,B1C1的中點.求證:平面AMN∥平面EFBD.證明

建立如圖所示的空間直角坐標系,則A(2,0,0),B(2,3,0),∴MN∥平面EFBD,AM∥平面EFBD.又MN∩AM=M,∴平面AMN∥平面EFBD.本節(jié)要點歸納1.知識清單:(1)空間點、直線、平面的向量表示;(2)直線的方向向量,平面的法向量;(3)線線平行、線面平行、面面平行的向量表示.2.方法歸納:待定系數(shù)法、坐標法、轉(zhuǎn)化化歸.3.常見誤區(qū):(1)不理解直線的方向向量和平面法向量的作用和不唯一性;(2)通過向量和平面平行直接得到線面平行,忽略直線不在平面內(nèi)的條件.學以致用?隨堂檢測全達標1.(多選題)若直線l的方向向量為a,平面α的法向量為n,則可能使l∥α的是(

)A.a=(1,0,0),n=(0,-2,0)B.a=(1,3,5),n=(1,0,1)C.a=(0,2,1),n=(-1,0,-1)D.a=(1,-1,3),n=(0,3,1)答案

AD

解析

若l∥α,則a·n=0.而A中a·n=0,B中a·n=1+5=6,C中a·n=-1,D中a·n=-3+3=0.2.已知線段AB的兩端點坐標為A(9,-3,4),B(9,2,1),則直線AB(

)A.與坐標平面xOy平行B.與坐標平面yOz平行C.與坐標平面xOz平行D.與坐標平面yOz相交答案B

解析

因為A(9,-3,4),B(9,2,1),所以

=(0,5,-3),而坐標平面yOz的法向量為(1,0,0),顯然(0,5,-3)·(1,0,0)=0,故直線AB與坐標平面yOz平行.3.若平面α∥β,則下面可能是這兩個平面的法向量的是(

)A.n1=(1,2,3),n2=(-3,2,1)B.n1=(1,2,2),n2