2025屆吉林省長春市九臺(tái)區(qū)第四中學(xué)高三下學(xué)期聯(lián)考數(shù)學(xué)試題含解析

2025屆吉林省長春市九臺(tái)區(qū)第四中學(xué)高三下學(xué)期聯(lián)考數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．為計(jì)算，設(shè)計(jì)了如圖所示的程序框圖，則空白框中應(yīng)填入（）A． B． C． D．2．某幾何體的三視圖如圖所示，三視圖是腰長為1的等腰直角三角形和邊長為1的正方形，則該幾何體中最長的棱長為（）．A． B． C．1 D．3．1777年，法國科學(xué)家蒲豐在宴請(qǐng)客人時(shí)，在地上鋪了一張白紙，上面畫著一條條等距離的平行線，而他給每個(gè)客人發(fā)許多等質(zhì)量的，長度等于相鄰兩平行線距離的一半的針，讓他們隨意投放.事后，蒲豐對(duì)針落地的位置進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)共投針2212枚，與直線相交的有704枚.根據(jù)這次統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，若客人隨意向這張白紙上投放一根這樣的針，則針落地后與直線相交的概率約為（）A． B． C． D．4．已知拋物線：，點(diǎn)為上一點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，又知點(diǎn)，則的最小值為（）A． B． C．3 D．55．設(shè)復(fù)數(shù)滿足，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則不可能為（）A． B． C． D．6．已知實(shí)數(shù)集，集合，集合，則（）A． B． C． D．7．已知點(diǎn)，是函數(shù)的函數(shù)圖像上的任意兩點(diǎn)，且在點(diǎn)處的切線與直線AB平行，則()A．，b為任意非零實(shí)數(shù) B．，a為任意非零實(shí)數(shù)C．a(chǎn)、b均為任意實(shí)數(shù) D．不存在滿足條件的實(shí)數(shù)a，b8．已知雙曲線，點(diǎn)是直線上任意一點(diǎn)，若圓與雙曲線的右支沒有公共點(diǎn)，則雙曲線的離心率取值范圍是（）．A． B． C． D．9．已知曲線的一條對(duì)稱軸方程為，曲線向左平移個(gè)單位長度，得到曲線的一個(gè)對(duì)稱中心的坐標(biāo)為，則的最小值是（）A． B． C． D．10．在平面直角坐標(biāo)系中，若不等式組所表示的平面區(qū)域內(nèi)存在點(diǎn)，使不等式成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．11．函數(shù)的大致圖象為A． B．C． D．12．已知等邊△ABC內(nèi)接于圓：x2+y2=1，且P是圓τ上一點(diǎn)，則的最大值是（）A． B．1 C． D．2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．（5分）已知曲線的方程為，其圖象經(jīng)過點(diǎn)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程是____________．14．已知復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值是__．15．已知函數(shù)，若對(duì)于任意正實(shí)數(shù)，均存在以為三邊邊長的三角形，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_______.16．在的展開式中，的系數(shù)為________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，且.（1）求的解析式；（2）已知，若對(duì)任意的，總存在，使得成立，求的取值范圍.18．（12分）2019年入冬時(shí)節(jié)，長春市民為了迎接2022年北京冬奧會(huì)，增強(qiáng)身體素質(zhì)，積極開展冰上體育鍛煉.現(xiàn)從速滑項(xiàng)目中隨機(jī)選出100名參與者，并由專業(yè)的評(píng)估機(jī)構(gòu)對(duì)他們的鍛煉成果進(jìn)行評(píng)估打分（滿分為100分）并且認(rèn)為評(píng)分不低于80分的參與者擅長冰上運(yùn)動(dòng)，得到如圖所示的頻率分布直方圖：（1）求的值；（2）將選取的100名參與者的性別與是否擅長冰上運(yùn)動(dòng)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，請(qǐng)將下列列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率在不超過0.01的前提下認(rèn)為擅長冰上運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)系？擅長不擅長合計(jì)男性30女性50合計(jì)1000.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（，其中）19．（12分）在中，，是邊上一點(diǎn)，且，.（1）求的長；（2）若的面積為14，求的長.20．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，，，且滿足（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；（2）過，作直線交軌跡于，兩點(diǎn)，若的面積是面積的2倍，求直線的方程．21．（12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且點(diǎn)在函數(shù)的圖像上；（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列滿足：，，求的通項(xiàng)公式；（3）在第（2）問的條件下，若對(duì)于任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；22．（10分）求函數(shù)的最大值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

根據(jù)程序框圖輸出的S的值即可得到空白框中應(yīng)填入的內(nèi)容．【詳解】由程序框圖的運(yùn)行，可得：S＝0，i＝0滿足判斷框內(nèi)的條件，執(zhí)行循環(huán)體，a＝1，S＝1，i＝1滿足判斷框內(nèi)的條件，執(zhí)行循環(huán)體，a＝2×（﹣2），S＝1+2×（﹣2），i＝2滿足判斷框內(nèi)的條件，執(zhí)行循環(huán)體，a＝3×（﹣2）2，S＝1+2×（﹣2）+3×（﹣2）2，i＝3…觀察規(guī)律可知：滿足判斷框內(nèi)的條件，執(zhí)行循環(huán)體，a＝99×（﹣2）99，S＝1+2×（﹣2）+3×（﹣2）2+…+1×（﹣2）99，i＝1，此時(shí)，應(yīng)該不滿足判斷框內(nèi)的條件，退出循環(huán)，輸出S的值，所以判斷框中的條件應(yīng)是i＜1．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)，當(dāng)型循環(huán)是先判斷后執(zhí)行，滿足條件執(zhí)行循環(huán)，不滿足條件時(shí)算法結(jié)束，屬于基礎(chǔ)題．2、B【解析】

首先由三視圖還原幾何體，進(jìn)一步求出幾何體的棱長．【詳解】解：根據(jù)三視圖還原幾何體如圖所示，所以，該四棱錐體的最長的棱長為．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查由三視圖還原幾何體，考查運(yùn)算能力和推理能力，屬于基礎(chǔ)題．3、D【解析】

根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，求出頻率，用以估計(jì)概率.【詳解】.故選:D.【點(diǎn)睛】本題以數(shù)學(xué)文化為背景，考查利用頻率估計(jì)概率，屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】

由,再運(yùn)用三點(diǎn)共線時(shí)和最小，即可求解.【詳解】.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的定義，合理轉(zhuǎn)化是本題的關(guān)鍵，注意拋物線的性質(zhì)的靈活運(yùn)用，屬于中檔題．5、D【解析】

依題意，設(shè)，由，得，再一一驗(yàn)證.【詳解】設(shè)，因?yàn)?，所以，?jīng)驗(yàn)證不滿足，故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的幾何意義，還考查了推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題.6、A【解析】

可得集合,求出補(bǔ)集,再求出即可.【詳解】由,得,即,所以,所以.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了集合的補(bǔ)集和交集的混合運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.7、A【解析】

求得的導(dǎo)函數(shù)，結(jié)合兩點(diǎn)斜率公式和兩直線平行的條件：斜率相等，化簡可得，為任意非零實(shí)數(shù).【詳解】依題意，在點(diǎn)處的切線與直線AB平行，即有，所以，由于對(duì)任意上式都成立，可得，為非零實(shí)數(shù).故選：A【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用，求切線的斜率，考查兩點(diǎn)的斜率公式，以及化簡運(yùn)算能力，屬于中檔題．8、B【解析】

先求出雙曲線的漸近線方程，可得則直線與直線的距離，根據(jù)圓與雙曲線的右支沒有公共點(diǎn)，可得，解得即可．【詳解】由題意，雙曲線的一條漸近線方程為，即，∵是直線上任意一點(diǎn)，則直線與直線的距離，∵圓與雙曲線的右支沒有公共點(diǎn)，則，∴，即，又故的取值范圍為，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線和雙曲線的位置關(guān)系，以及兩平行線間的距離公式，其中解答中根據(jù)圓與雙曲線的右支沒有公共點(diǎn)得出是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．9、C【解析】

在對(duì)稱軸處取得最值有，結(jié)合，可得，易得曲線的解析式為，結(jié)合其對(duì)稱中心為可得即可得到的最小值.【詳解】∵直線是曲線的一條對(duì)稱軸.，又..∴平移后曲線為.曲線的一個(gè)對(duì)稱中心為..，注意到故的最小值為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查余弦型函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，涉及到函數(shù)的平移、函數(shù)的對(duì)稱性，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合、數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，是一道中檔題.10、B【解析】

依據(jù)線性約束條件畫出可行域，目標(biāo)函數(shù)恒過，再分別討論的正負(fù)進(jìn)一步確定目標(biāo)函數(shù)與可行域的基本關(guān)系，即可求解【詳解】作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，如圖所示：其中，直線過定點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，不等式表示直線及其左邊的區(qū)域，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，直線的斜率，不等式表示直線下方的區(qū)域，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，直線的斜率，不等式表示直線上方的區(qū)域，要使不等式組所表示的平面區(qū)域內(nèi)存在點(diǎn)，使不等式成立，只需直線的斜率，解得.綜上可得實(shí)數(shù)的取值范圍為，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查由目標(biāo)函數(shù)有解求解參數(shù)取值范圍問題，分類討論與數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題11、A【解析】

因?yàn)椋院瘮?shù)是偶函數(shù)，排除B、D，又，排除C，故選A．12、D【解析】

如圖所示建立直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，計(jì)算得到答案.【詳解】如圖所示建立直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)，則.當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了向量的計(jì)算，建立直角坐標(biāo)系利用坐標(biāo)計(jì)算是解題的關(guān)鍵.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

依題意，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入曲線的方程中，解得.由，得，則曲線在點(diǎn)處切線的斜率，所以在點(diǎn)處的切線方程是，即．14、2【解析】

由題，得，然后根據(jù)純虛數(shù)的定義，即可得到本題答案.【詳解】由題，得，又復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，所以，解得.故答案為：2【點(diǎn)睛】本題主要考查純虛數(shù)定義的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題.15、【解析】

根據(jù)三角形三邊關(guān)系可知對(duì)任意的恒成立,將的解析式用分離常數(shù)法變形,由均值不等式可得分母的取值范圍,則整個(gè)式子的取值范圍由的符號(hào)決定,故分為三類討論,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)值域,再討論,轉(zhuǎn)化為的最小值與的最大值的不等式,進(jìn)而求出的取值范圍.【詳解】因?yàn)閷?duì)任意正實(shí)數(shù),都存在以為三邊長的三角形,故對(duì)任意的恒成立,,令,則,當(dāng),即時(shí),該函數(shù)在上單調(diào)遞減,則；當(dāng),即時(shí),,當(dāng),即時(shí),該函數(shù)在上單調(diào)遞增,則,所以,當(dāng)時(shí),因?yàn)?,所以,解得；當(dāng)時(shí),,滿足條件；當(dāng)時(shí),,且,所以,解得,綜上,,故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)范圍,考查三角形的構(gòu)成條件,考查利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)值域,考查分類討論思想與轉(zhuǎn)化思想.16、【解析】

根據(jù)二項(xiàng)展開式定理，求出含的系數(shù)和含的系數(shù)，相乘即可.【詳解】的展開式中，所求項(xiàng)為：，的系數(shù)為.

故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)展開式定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】

（1）由,可求出的值,進(jìn)而可求得的解析式;（2）分別求得和的值域,再結(jié)合兩個(gè)函數(shù)的值域間的關(guān)系可求出的取值范圍.【詳解】（1）因?yàn)?所以,解得,故.（2）因?yàn)?所以,所以，則,圖象的對(duì)稱軸是.因?yàn)?所以,則,解得,故的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的恒等變換,考查了二次函數(shù)及三角函數(shù)值域的求法,考查了學(xué)生的計(jì)算求解能力,屬于中檔題.18、（1）（2）填表見解析；不能在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為擅長冰上運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)系【解析】

（1）利用頻率分布直方圖小長方形的面積和為列方程，解方程求得的值.（2）根據(jù)表格數(shù)據(jù)填寫列聯(lián)表，計(jì)算出的值，由此判斷不能在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為擅長冰上運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)系.【詳解】（1）由題意，解得.（2）由頻率分布直方圖可得不擅長冰上運(yùn)動(dòng)的人數(shù)為.完善列聯(lián)表如下：擅長不擅長合計(jì)男性203050女性104050合計(jì)3070100，對(duì)照表格可知，，不能在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為擅長冰上運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)系.【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算小長方形的高，考查列聯(lián)表獨(dú)立性檢驗(yàn)，屬于基礎(chǔ)題.19、（1）1；（2）5.【解析】

（1）由同角三角函數(shù)關(guān)系求得，再由兩角差的正弦公式求得，最后由正弦定理構(gòu)建方程，求得答案.（2）在中，由正弦定理構(gòu)建方程求得AB，再由任意三角形的面積公式構(gòu)建方程求得BC，最后由余弦定理構(gòu)建方程求得AC.【詳解】（1）據(jù)題意，，且，所以.所以.在中，據(jù)正弦定理可知，，所以.（2）在中，據(jù)正弦定理可知，所以.因?yàn)榈拿娣e為14，所以，即，得.在中，據(jù)余弦定理可知，，所以.【點(diǎn)睛】本題考查由正弦定理與余弦定理解三角形，還考查了由同角三角函數(shù)關(guān)系和兩角差的正弦公式化簡求值，屬于簡單題.20、（1）．（2）的方程為．【解析】

（1）令，則，由此能求出點(diǎn)C的軌跡方程．（2）令，令直線，聯(lián)立，得，由此利用根的判別式，韋達(dá)定理，三角形面積公式，結(jié)合已知條件能求出直線的方程?！驹斀狻拷猓海?）因?yàn)椋粗本€的斜率分別為且，設(shè)點(diǎn)，則，整理得.（2）令，易知直線不與軸重合，令直線，與聯(lián)立得，所以有，由，故，即，從而，解得，即。所以直線的方程為?！军c(diǎn)睛】本題考查橢圓方程、直線方程的求法，考查橢圓方程、橢圓與直線的位置關(guān)系，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題。21、（1）（2）當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，.（3）【解析】

（1）根據(jù),討論與兩種情況,即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式;（2）由（1）利用遞推公式及累加法,即可求得當(dāng)n為奇數(shù)或偶數(shù)時(shí)的通項(xiàng)公式.也可利用數(shù)學(xué)歸納法,先猜想出通項(xiàng)公式,再用數(shù)學(xué)歸納法證明.（3）分類討論,當(dāng)n為奇數(shù)或偶數(shù)時(shí),分別求得的最大值,即可求得的取值范圍.【詳解】（1）由題意可知,.當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),也滿足上式.所以.（2）解法一：由（1）可知,即.當(dāng)時(shí),,①當(dāng)時(shí),,所以,②當(dāng)時(shí),,③當(dāng)時(shí),,所以,④……當(dāng)時(shí),n為偶數(shù)當(dāng)時(shí),n為偶數(shù)所以以上個(gè)式子相加,得.又,所以當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),.同理,當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),,所以,當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),.解法二：猜測：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),.猜測：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),.以下用數(shù)學(xué)歸納法證明：,命題成立；假設(shè)當(dāng)時(shí),命題成立；當(dāng)n為奇