高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題五概率與統(tǒng)計第4講概率與統(tǒng)計的創(chuàng)新題型含答案及解析

第4講概率與統(tǒng)計的創(chuàng)新題型（新高考專用）目錄目錄【真題自測】 2【考點突破】 2【考點一】概率和數(shù)列的綜合問題 2【考點二】概率和函數(shù)的綜合問題 4【專題精練】 6考情分析：概率與統(tǒng)計問題在近幾年的高考中背景取自現(xiàn)實，題型新穎，綜合性增強，難度加深，主要考查學(xué)生的閱讀理解能力和數(shù)據(jù)分析能力．要從已知數(shù)表、題干信息中經(jīng)過閱讀分析判斷獲取關(guān)鍵信息，搞清各數(shù)據(jù)、各事件間的關(guān)系，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型求解．真題自測真題自測一、解答題1．（2023·全國·高考真題）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若末命中則換為對方投籃．無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．(1)求第2次投籃的人是乙的概率；(2)求第次投籃的人是甲的概率；(3)已知：若隨機變量服從兩點分布，且，則．記前次（即從第1次到第次投籃）中甲投籃的次數(shù)為，求．2．（2021·全國·高考真題）一種微生物群體可以經(jīng)過自身繁殖不斷生存下來，設(shè)一個這種微生物為第0代，經(jīng)過一次繁殖后為第1代，再經(jīng)過一次繁殖后為第2代……，該微生物每代繁殖的個數(shù)是相互獨立的且有相同的分布列，設(shè)X表示1個微生物個體繁殖下一代的個數(shù)，．（1）已知，求；（2）設(shè)p表示該種微生物經(jīng)過多代繁殖后臨近滅絕的概率，p是關(guān)于x的方程：的一個最小正實根，求證：當時，，當時，；（3）根據(jù)你的理解說明（2）問結(jié)論的實際含義．考點突破考點突破【考點一】概率和數(shù)列的綜合問題一、單選題1．（2024·山東聊城·三模）設(shè)正項數(shù)列的前項和滿足表示從個不同元素中任取個元素的組合數(shù)，則（

）A．512 B．1024 C．5120 D．102402．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）已知數(shù)列共有9項，，，且滿足：（，），則符合條件的數(shù)列共有（

）個．A．16 B．40 C．70 D．80二、多選題3．（2024·河南信陽·模擬預(yù)測）甲乙兩個口袋中各裝有1個黑球和2個白球，現(xiàn)從甲、乙兩口袋中各任取一個球交換放入另一口袋，重復(fù)進行次這樣的操作，記甲口袋中黑球個數(shù)為，恰有1個黑球的概率為，下列說法正確的是（

）A． B．C．數(shù)列是等比數(shù)列 D．的數(shù)學(xué)期望4．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）已知隨機變量X的分布列如下：123…n…若數(shù)列是等差數(shù)列，則（

）A．若n為奇數(shù)，則 B．C．若數(shù)列單調(diào)遞增，則 D．三、填空題5．（2024·江西·一模）斐波那契數(shù)列，又稱黃金分割數(shù)列，因數(shù)學(xué)家萊昂納多·斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”，指的是這樣一個數(shù)列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、…，在數(shù)學(xué)上，斐波那契數(shù)列以如下遞推的方式定義：且中，則B中所有元素之和為奇數(shù)的概率為．四、解答題6．（2025·廣東廣州·模擬預(yù)測）已知有窮數(shù)列的通項公式為，將數(shù)列中各項重新排列構(gòu)成新數(shù)列，則稱數(shù)列是的“重排數(shù)列”；若數(shù)列各項均滿足，則稱數(shù)列是的“完全重排數(shù)列”，記項數(shù)為的數(shù)列的“完全重排數(shù)列”的個數(shù)為．(1)計算，，；(2)寫出和，之間的遞推關(guān)系，并證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(3)若從數(shù)列及其所有“重排數(shù)列”中隨機選取一個數(shù)列，記數(shù)列是的“完全重排數(shù)列”的概率為，證明：當無窮大時，趨近于．（參考公式：）規(guī)律方法：概率問題與數(shù)列的交匯，綜合性較強，主要有以下類型：(1)求通項公式：關(guān)鍵是找出概率Pn或均值E(Xn)的遞推關(guān)系式，然后根據(jù)構(gòu)造法(一般構(gòu)造等比數(shù)列)，求出通項公式．(2)求和：主要是數(shù)列中的倒序相加法求和、錯位相減法求和、裂項相消法求和．(3)利用等差、等比數(shù)列的性質(zhì)，研究單調(diào)性、最值或求極限．【考點二】概率和函數(shù)的綜合問題一、單選題1．（2024·浙江·三模）定義函數(shù)集．已知函數(shù)，，，．若函數(shù)，則在為奇函數(shù)的條件下，存在單調(diào)遞減區(qū)間的概率為（

）A． B． C． D．2．（2024·河南·三模）有以下6個函數(shù)：①；②；③；④；⑤；⑥.記事件：從中任取1個函數(shù)是奇函數(shù)；事件：從中任取1個函數(shù)是偶函數(shù)，事件的對立事件分別為，則（

）A．B．C．D．二、填空題3．（23-24高三上·河北邢臺·開學(xué)考試）歐拉是18世紀最優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家之一，幾乎每個數(shù)學(xué)領(lǐng)域都可以看到歐拉的名字，如著名的歐拉函數(shù).歐拉函數(shù)的函數(shù)值等于所有不超過正整數(shù)n，且與n互素(兩個數(shù)只有公約數(shù)1)的正整數(shù)的個數(shù).例如：，.現(xiàn)從中任選兩個數(shù)，則這兩個數(shù)相同的概率是.4．（23-24高二上·福建泉州·階段練習(xí)）高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，為了紀念他，人們把函數(shù)稱為高斯函數(shù)，其中表示不超過的最大整數(shù).設(shè)，則除以2023的余數(shù)是.三、解答題5．（2024·遼寧沈陽·模擬預(yù)測）已知某地居民某種疾病的發(fā)病率為0.02，現(xiàn)想通過對血清甲胎蛋白進行檢驗，篩查出該種疾病攜帶者.(1)若該檢測方法可能出錯，具體是：患病但檢測顯示正常的概率為0.01，未患病但檢測顯示患病的概率為0.05.①求檢測結(jié)果顯示患有該疾病的概率；②求檢測顯示患有該疾病的居民確實患病的概率.（保留四位有效數(shù)字）(2)若該檢測方法不可能出錯，采用混合化驗方法：隨機地按人一組分組，然后將個人的血樣混合再化驗，如果混合血樣呈陰性，說明這人全部陰性；如果混合血樣呈陽性，就需要對每個人再分別化驗一次（每一小組都要按要求獨立完成），取何值時，總化驗次數(shù)最少？說明：函數(shù)先減后增.0.88580.86810.85080.83376．（2024·廣東·一模）某工廠生產(chǎn)某種電子產(chǎn)品配件，關(guān)鍵環(huán)節(jié)是需要焊接“接線盒”，焊接是否成功直接導(dǎo)致產(chǎn)品“合格”與“不合格”，公司檢驗組經(jīng)過大量后期出廠檢測發(fā)現(xiàn)“不合格”產(chǎn)品和“合格”產(chǎn)品的性能指標有明顯差異，得到如下的“不合格”產(chǎn)品和“合格”產(chǎn)品該指標的頻率分布直方圖：

利用該指標制定一個檢測標準，需要確定臨界值，將該指標大于的產(chǎn)品判定為“不合格”，小于或等于的產(chǎn)品判定為“合格”．此檢測標準的漏檢率是將“不合格”產(chǎn)品判定為“合格”產(chǎn)品的概率，記為；錯檢率是將“合格”產(chǎn)品判定為“不合格”產(chǎn)品的概率，記為．假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率．(1)當漏檢率時，求臨界值和錯檢率；(2)設(shè)函數(shù)，當時，求的解析式，并求在區(qū)間的最小值．規(guī)律方法：構(gòu)造函數(shù)求最值時，要注意變量的選取，以及變量自身的隱含條件對變量范圍的限制．專題精練專題精練一、單選題1．（2024·福建三明·三模）隨機變量，函數(shù)沒有零點的概率是，則μ的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．42．（2024·湖南常德·一模）將三個分別標注有，x，的三個質(zhì)地均勻的小球放入一個不透明的小盒中.無放回的隨機取出2個小球（每次取一球），分別記錄下小球的標注為.若，則在上單調(diào)遞減的概率為（

）A． B． C． D．3．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）對數(shù)的發(fā)明是數(shù)學(xué)史上的重大事件，它可以改進數(shù)字的計算方法、提高計算速度和準確度.已知，，若從集合M，N中各任取一個數(shù)x，y，則為整數(shù)的概率為（

）A． B． C． D．4．（2024·安徽·模擬預(yù)測）科學(xué)家從由實際生活得出的大量統(tǒng)計數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)以1開頭的數(shù)出現(xiàn)的頻率較高，以1開頭的數(shù)出現(xiàn)的頻數(shù)約為總數(shù)的三成，并提出定律：在大量b進制隨機數(shù)據(jù)中，以n開頭的數(shù)出現(xiàn)的概率為，如裴波那契數(shù)、階乘數(shù)、素數(shù)等都比較符合該定律．后來常有數(shù)學(xué)愛好者用此定律來檢驗?zāi)承┙?jīng)濟數(shù)據(jù)、選舉數(shù)據(jù)等大數(shù)據(jù)的真實性．若（，），則k的值為（

）A．11 B．15 C．19 D．215．（2024·河南·二模）單調(diào)遞增數(shù)列滿足：.在的條件下，的概率為（

）A． B． C． D．6．（23-24高三下·云南·階段練習(xí)）隨著互聯(lián)網(wǎng)普及和技術(shù)的飛速發(fā)展，網(wǎng)絡(luò)游戲已成為當今社會的一種流行文化，也是青少年學(xué)習(xí)、娛樂和社交的重要方式.但隨著網(wǎng)絡(luò)游戲的推廣發(fā)展，一些青少年對其過度依賴，甚至對心理健康產(chǎn)生了不可忽視的影響.“預(yù)防網(wǎng)絡(luò)游戲沉迷，關(guān)愛青少年心理健康，已成為亟需破解的現(xiàn)實問題.”某款網(wǎng)絡(luò)游戲的規(guī)則如下：參與者每一局需投一枚游戲幣，每局通關(guān)的概率為50%，若該局通關(guān)，參與者可以贏得兩個游戲幣.遇到兩種情況會自動結(jié)束游戲：一種是手中沒有游戲幣；一種是手中游戲幣到預(yù)期的個.設(shè)當參與者手中有個（）游戲幣時，最終手中沒有游戲幣的概率為，下列說法錯誤的是（

）A．，B．記參與者通關(guān)的局數(shù)，在前13局中，，C．D．若參與者最初手中有20個游戲幣，他希望贏到100個，則他輸光的概率為7．（24-25高三上·福建·開學(xué)考試）某城市采用搖號買車的方式，有20萬人搖號，每個月?lián)u上的人退出搖號，沒有搖上的人繼續(xù)進入下月?lián)u號，每個月都有人補充進搖號隊伍，每個季度第一個月?lián)u上的概率為，第二個月為，第三個月為，則平均每個人搖上需要的時間為（

）個月.A．7 B．8 C．9 D．108．（23-24高二下·江蘇南京·階段練習(xí)）已知A細胞有0.4的概率會變異成細胞，0.6的概率死亡；細胞有0.5的概率變異成A細胞，0.5的概率死亡，細胞死亡前有可能變異數(shù)次．下列結(jié)論成立的是（

）A．一個細胞為A細胞，其死亡前是A細胞的概率為0.75B．一個細胞為A細胞，其死亡前是細胞的概率為0.2C．一個細胞為細胞，其死亡前是A細胞的概率為0.35D．一個細胞為細胞，其死亡前是細胞的概率為0.7二、多選題9．（2024·廣西來賓·一模）甲，乙，丙，丁等4人相互傳球，第一次由甲將球傳出，每次傳球時，傳球者將球等可能地傳給另外3人中的任何1人，經(jīng)過n次傳球后，球在甲手中的概率為Pnn=1,2,?，則下列結(jié)論正確的是（A．經(jīng)過一次傳球后，球在丙中概率為B．經(jīng)過兩次傳球后，球在乙手中概率為C．經(jīng)過三次傳球后，球在丙手中概率為D．經(jīng)過n次傳球后，10．（2024·全國·模擬預(yù)測）甲、乙、丙三人做足球傳球訓(xùn)練，規(guī)定：每次傳球時，傳球人將球傳給另兩人中的任何一人是等可能的．假設(shè)第1次由甲將球傳出，第k次傳球后，球回到甲處的概率為（），則（

）A． B． C． D．11．（22-23高二下·貴州貴陽·階段練習(xí)）甲?乙?丙?丁4人做傳接球訓(xùn)練，球從甲手中開始，等可能地隨機傳向另外3人中的1人，接球者接到球后再等可能地隨機傳向另外3人中的1人，如此不停地傳下去，假設(shè)傳出的球都能接住.記第次傳球之前球在甲手中的概率為，易知.下列選項正確的是（

）A．B．為等比數(shù)列C．設(shè)第次傳球之前球在乙手中的概率為D．第4次傳球后，球落在乙手中的傳球方式有20種三、填空題12．（2024·北京海淀·二模）二維碼是一種利用黑?白方塊記錄數(shù)據(jù)符號信息的平面圖形.某公司計劃使用一款由個黑白方塊構(gòu)成的二維碼門禁，現(xiàn)用一款破譯器對其進行安全性測試，已知該破譯器每秒能隨機生成個不重復(fù)的二維碼，為確保一個二維碼在1分鐘內(nèi)被破譯的概率不高于，則的最小值為.13．（2024·江蘇連云港·模擬預(yù)測）已知某公司加工一種芯片的不合格率為p，其中，若加工后的30顆這種芯片中恰有6顆不合格的概率為，且各顆芯片是否為不合格品相互獨立，則當取最大值時，．14．（22-23高二下·北京豐臺·期末）投擲一枚質(zhì)地并不均勻的硬幣，結(jié)果只有正面和反面兩種情況，記每次投擲結(jié)果是正面的概率為p（）.現(xiàn)在連續(xù)投擲該枚硬幣10次，設(shè)這10次的結(jié)果恰有2次是正面的概率為，則；函數(shù)取最大值時，.四、解答題15．（2024·浙江·三模）為提高學(xué)生的思想政治覺悟，激發(fā)愛國熱情，增強國防觀念和國家安全意識，某校進行軍訓(xùn)打靶競賽．規(guī)則如下：每人共有3次機會，擊中靶心得1分，否則得0分、已知甲選手第一槍擊中靶心的概率為，且滿足：如果第n次射擊擊中靶心概率為p，那么當?shù)趎次擊中靶心時，第次擊中靶心的概率也為p，否則第次擊中靶心的概率為．(1)求甲選手得分X的分布列及其數(shù)學(xué)期望；(2)有如下定義：設(shè)X是一個隨機變量，x是任意實數(shù)，函數(shù)，稱為X的分布函數(shù)，對于任意實數(shù)，，有．因此，若已知X的分布函數(shù)，我們就知道X落在任一區(qū)間上的概率．（i）寫出（1）中甲選手得分X的分布函數(shù)（分段函數(shù)形式）；（ii）靶子是半徑為2的一個圓盤，設(shè)擊中靶上任一同心圓盤上的點的概率與該圓盤的面積成正比，假如選手射擊都能中靶，以Y表示彈著點與圓心的距離．試求隨機變量Y的分布函數(shù)．16．（2024·福建龍巖·三模）某企業(yè)對某品牌芯片開發(fā)了一條生產(chǎn)線進行試產(chǎn).其芯片質(zhì)量按等級劃分為五個層級，分別對應(yīng)如下五組質(zhì)量指標值：.根據(jù)長期檢測結(jié)果，得到芯片的質(zhì)量指標值服從正態(tài)分布，并把質(zhì)量指標值不小于80的產(chǎn)品稱為等品，其它產(chǎn)品稱為等品.現(xiàn)從該品牌芯片的生產(chǎn)線中隨機抽取100件作為樣本，統(tǒng)計得到如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)根據(jù)長期檢測結(jié)果，該芯片質(zhì)量指標值的標準差的近似值為11，用樣本平均數(shù)作為的近似值，用樣本標準差作為的估計值.若從生產(chǎn)線中任取一件芯片，試估計該芯片為等品的概率(保留小數(shù)點后面兩位有效數(shù)字)；(①同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表；②參考數(shù)據(jù):若隨機變量服從正態(tài)分布，則，.)(2)（i）從樣本的質(zhì)量指標值在和[85，95]的芯片中隨機抽取3件，記其中質(zhì)量指標值在[85，95]的芯片件數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（ii）該企業(yè)為節(jié)省檢測成本，采用隨機混裝的方式將所有的芯片按100件一箱包裝.已知一件等品芯片的利潤是元，一件等品芯片的利潤是元，根據(jù)(1)的計算結(jié)果，試求的值，使得每箱產(chǎn)品的利潤最大.17．（2024·貴州遵義·二模）商場對某種商品進行促銷，顧客只要在商場中購買該商品，就可以在商場中參加抽獎活動．規(guī)則如下：先賦予參加抽獎的顧客5分的原始分，然后從裝有4個紅球，2個白球，2個黑球的盒中有放回地隨機取球若干次，每次取出一個球，若為紅球，則加1分，否則扣1分，過程中若顧客持有分數(shù)變?yōu)?分，抽獎結(jié)束；若顧客持有分數(shù)達到15分，則獲得一等獎，抽獎結(jié)束．(1)求顧客3次取球后持有分數(shù)的數(shù)學(xué)期望；(2)設(shè)顧客在抽獎過程中持有分數(shù)為分最終獲得一等獎的概率為；①證明：是等差數(shù)列；②求顧客獲得一等獎的概率．18．（2024·四川南充·一模）今年立秋以后，川渝地區(qū)持續(xù)性高溫登上熱搜，引發(fā)關(guān)注討論.根據(jù)專家推測，主要是由于大陸高壓和西太平洋副熱帶高壓呈現(xiàn)非常強大，在高壓的控制下，川渝地區(qū)上空晴朗少云，在太陽輻射增溫和氣流下沉增溫的共同作用下，兩個地區(qū)的氣溫出現(xiàn)了直接攀升的狀態(tài).川東北某城市一室內(nèi)游泳館，為給顧客更好的體驗，推出了A和B兩個套餐服務(wù)，顧客可自由選擇A和B兩個套餐之一；該游泳館在App平臺上推出了優(yōu)惠券活動，下表是App平臺統(tǒng)計某周內(nèi)周一至周六銷售優(yōu)惠券情況.星期t123456銷售量y（張）21822423023223690經(jīng)計算可得：，，.(1)因為優(yōu)惠券銷售火爆，App平臺在周六時系統(tǒng)出現(xiàn)異常，導(dǎo)致當天顧客購買優(yōu)惠券數(shù)量大幅減少，現(xiàn)剔除周六數(shù)據(jù)，求y關(guān)于t的經(jīng)驗回歸方程；(2)若購買優(yōu)惠券的顧客選擇A套餐的概率為，選擇B套餐的概率為，并且A套餐包含兩張優(yōu)惠券，B套餐包含一張優(yōu)惠券，記App平臺累計銷售優(yōu)惠券為n張的概率為，求；(3)請依據(jù)下列定義，解決下列問題：定義：如果對于任意給定的正數(shù)，總存在正整數(shù)，使得當時，（a是一個確定的實數(shù)），則稱數(shù)列收斂于a.運用：記（2）中所得概率的值構(gòu)成數(shù)列.求的最值，并證明數(shù)列收斂.參考公式：，.

第4講概率與統(tǒng)計的創(chuàng)新題型（新高考專用）目錄目錄【真題自測】 2【考點突破】 5【考點一】概率和數(shù)列的綜合問題 5【考點二】概率和函數(shù)的綜合問題 12【專題精練】 18考情分析：概率與統(tǒng)計問題在近幾年的高考中背景取自現(xiàn)實，題型新穎，綜合性增強，難度加深，主要考查學(xué)生的閱讀理解能力和數(shù)據(jù)分析能力．要從已知數(shù)表、題干信息中經(jīng)過閱讀分析判斷獲取關(guān)鍵信息，搞清各數(shù)據(jù)、各事件間的關(guān)系，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型求解．真題自測真題自測一、解答題1．（2023·全國·高考真題）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若末命中則換為對方投籃．無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．(1)求第2次投籃的人是乙的概率；(2)求第次投籃的人是甲的概率；(3)已知：若隨機變量服從兩點分布，且，則．記前次（即從第1次到第次投籃）中甲投籃的次數(shù)為，求．2．（2021·全國·高考真題）一種微生物群體可以經(jīng)過自身繁殖不斷生存下來，設(shè)一個這種微生物為第0代，經(jīng)過一次繁殖后為第1代，再經(jīng)過一次繁殖后為第2代……，該微生物每代繁殖的個數(shù)是相互獨立的且有相同的分布列，設(shè)X表示1個微生物個體繁殖下一代的個數(shù)，．（1）已知，求；（2）設(shè)p表示該種微生物經(jīng)過多代繁殖后臨近滅絕的概率，p是關(guān)于x的方程：的一個最小正實根，求證：當時，，當時，；（3）根據(jù)你的理解說明（2）問結(jié)論的實際含義．參考答案：1．(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)全概率公式即可求出；（2）設(shè)，由題意可得，根據(jù)數(shù)列知識，構(gòu)造等比數(shù)列即可解出；（3）先求出兩點分布的期望，再根據(jù)題中的結(jié)論以及等比數(shù)列的求和公式即可求出．【詳解】（1）記“第次投籃的人是甲”為事件，“第次投籃的人是乙”為事件，所以，.（2）設(shè)，依題可知，，則，即，構(gòu)造等比數(shù)列，設(shè)，解得，則，又，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列，即．（3）因為，，所以當時，，故．【點睛】本題第一問直接考查全概率公式的應(yīng)用，后兩問的解題關(guān)鍵是根據(jù)題意找到遞推式，然后根據(jù)數(shù)列的基本知識求解．2．（1）1；（2）見解析；（3）見解析.【分析】（1）利用公式計算可得.（2）利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合及極值點的范圍可得的最小正零點.（3）利用期望的意義及根的范圍可得相應(yīng)的理解說明.【詳解】（1）.（2）設(shè)，因為，故，若，則，故.，因為，，故有兩個不同零點，且，且時，；時，；故在，上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，若，因為在為增函數(shù)且，而當時，因為在上為減函數(shù)，故，故為的一個最小正實根，若，因為且在上為減函數(shù)，故1為的一個最小正實根，綜上，若，則.若，則，故.此時，，故有兩個不同零點，且，且時，；時，；故在，上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，而，故，又，故在存在一個零點，且.所以為的一個最小正實根，此時，故當時，.（3）意義：每一個該種微生物繁殖后代的平均數(shù)不超過1，則若干代必然滅絕，若繁殖后代的平均數(shù)超過1，則若干代后被滅絕的概率小于1.考點突破考點突破【考點一】概率和數(shù)列的綜合問題一、單選題1．（2024·山東聊城·三模）設(shè)正項數(shù)列的前項和滿足表示從個不同元素中任取個元素的組合數(shù)，則（

）A．512 B．1024 C．5120 D．102402．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）已知數(shù)列共有9項，，，且滿足：（，），則符合條件的數(shù)列共有（

）個．A．16 B．40 C．70 D．80二、多選題3．（2024·河南信陽·模擬預(yù)測）甲乙兩個口袋中各裝有1個黑球和2個白球，現(xiàn)從甲、乙兩口袋中各任取一個球交換放入另一口袋，重復(fù)進行次這樣的操作，記甲口袋中黑球個數(shù)為，恰有1個黑球的概率為，下列說法正確的是（

）A． B．C．數(shù)列是等比數(shù)列 D．的數(shù)學(xué)期望4．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）已知隨機變量X的分布列如下：123…n…若數(shù)列是等差數(shù)列，則（

）A．若n為奇數(shù)，則 B．C．若數(shù)列單調(diào)遞增，則 D．三、填空題5．（2024·江西·一模）斐波那契數(shù)列，又稱黃金分割數(shù)列，因數(shù)學(xué)家萊昂納多·斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”，指的是這樣一個數(shù)列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、…，在數(shù)學(xué)上，斐波那契數(shù)列以如下遞推的方式定義：且中，則B中所有元素之和為奇數(shù)的概率為．四、解答題6．（2025·廣東廣州·模擬預(yù)測）已知有窮數(shù)列的通項公式為，將數(shù)列中各項重新排列構(gòu)成新數(shù)列，則稱數(shù)列是的“重排數(shù)列”；若數(shù)列各項均滿足，則稱數(shù)列是的“完全重排數(shù)列”，記項數(shù)為的數(shù)列的“完全重排數(shù)列”的個數(shù)為．(1)計算，，；(2)寫出和，之間的遞推關(guān)系，并證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(3)若從數(shù)列及其所有“重排數(shù)列”中隨機選取一個數(shù)列，記數(shù)列是的“完全重排數(shù)列”的概率為，證明：當無窮大時，趨近于．（參考公式：）參考答案：題號1234答案CCACDACD1．C【分析】根據(jù)，利用數(shù)列通項和前n項和的關(guān)系求解得，結(jié)合組合數(shù)性質(zhì)及二項式系數(shù)和性質(zhì)即可求解.【詳解】由，當時，，解得，當時，，則，整理，又數(shù)列an為正項數(shù)列，則，所以，即，所以數(shù)列an是以為首項，為公差的等差數(shù)列，所以.因為，所以.故選：C2．C【分析】對于用分組分解解出或，根據(jù)數(shù)列的項的規(guī)律結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)求解即可.【詳解】因為，即，所以或，①時，與的取法均只有1種；②時，與的取法有種；③時，與的取法有種；④時，與的取法有種；⑤時，與的取法有1種．所以滿足條件的數(shù)列an共有個．故選：C.3．ACD【分析】先求出各自的概率為，然后利用數(shù)學(xué)期望的定義證明，再逐一驗證選項即可.【詳解】只可能取，記分別表示事件，它們發(fā)生的概率分別為，這里是非負整數(shù).（事實上，）則，，且；；.故，，.由于，而，故，即.而,所以，而，故，即.又因為，，故.這就得到了，所以.從而有，而，故.綜上，我們得到了如下結(jié)論：①；②；③.回到原題.對于A，由①知，故A正確；對于B，由②知，故B錯誤；對于C，由①知，故是等比數(shù)列，故C正確；對于D，由③知，故D正確.故選：ACD.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵點在于對數(shù)列bn4．ACD【分析】根據(jù)分布列的性質(zhì)可得，結(jié)合等差數(shù)列的前項和公式，可得.結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，可判斷A的真假；由可判斷B的真假；結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性，可判斷C的真假；結(jié)合數(shù)列求和，可判斷D的真假.【詳解】由數(shù)列是等差數(shù)列且，得，所以，對于A，當n為奇數(shù)時，，故A正確；對于B，由得，故選項B錯誤；對于C，若數(shù)列單調(diào)遞增，則可得，故，故選項C正確；對于D：由，其中，所以，因為，，所以，故選項D正確.故選：ACD【點睛】關(guān)鍵點點睛：在D的判斷過程中，利用這一結(jié)論，作為選擇題，該結(jié)論可以熟記，直接應(yīng)用.5．【分析】記A中所有偶數(shù)組成的集合為C，所有奇數(shù)組成的集合為D，集合C的子集為E，集合D中含有奇數(shù)個元素的子集為F，則所有元素之和為奇數(shù)的集合B可看成，然后可解.【詳解】由斐波那契數(shù)列規(guī)律可知，集合中的元素有675個偶數(shù)，1349個奇數(shù)，記A中所有偶數(shù)組成的集合為C，所有奇數(shù)組成的集合為D，集合C的子集為E，集合D中含有奇數(shù)個元素的子集為F，則所有元素之和為奇數(shù)的集合B可看成，顯然集合E共有個，集合F共有個，所以所有元素之和為奇數(shù)的集合B共有個，又集合A的非空子集共有個，所以B中所有元素之和為奇數(shù)的概率為.故答案為：【點睛】關(guān)鍵點睛：解決本題的關(guān)鍵是將集合分拆成所有偶數(shù)組成的集合及所有奇數(shù)組成的集合，利用二項式系數(shù)的性質(zhì)求出含有奇數(shù)個奇數(shù)組成的集合個數(shù).6．(1)；；.(2)，；證明見解析.(3)證明見解析.【分析】（1）根據(jù)“完全重排數(shù)列”的概念求，，；（2）根據(jù)“完全重排數(shù)列”的概念，結(jié)合乘法原理列出遞推公式，再利用等比數(shù)列的定義證明所給數(shù)列是等比數(shù)列；（3）根據(jù)第二問的結(jié)果，推導(dǎo)的通項公式，結(jié)合，可得當無窮大時，趨近于．【詳解】（1）當時，，所以；當時，，，則其完全重排數(shù)列必為：，，故；當時，數(shù)列的完全重排數(shù)列可以為：或，故；當時，為得到數(shù)列的完全重排數(shù)列，可先排1，有3種排法，比如1排到2的位置，那就再排2，也有3種排法，剩下的兩個數(shù)字只有1種排法，由乘法原理可得：.（2）當數(shù)列an有項時，其“完全重排數(shù)列”的排法可以分為兩個步驟：第一步：重排第項，有種排法；第二步：重排其余項，根據(jù)第一步的排法，可以分為兩類：第一類：若第項排在第項的位置，但第項不排在第項的位置，這樣的排法有種；第二類：若若第項排在第項的位置，第項排在第項的位置，這樣的排法有種.所以，，又，所以.所以數(shù)列，是等比數(shù)列，且，公比為.（3）由（2）可得：.所以：，，，，，以上各式相加，可得：，所以.又數(shù)列an的重排數(shù)列的個數(shù)為：，所以，當無窮大時，【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題在總結(jié)出數(shù)列是等比數(shù)列以后，得到，需在公式兩邊同除以，再用累加法求通項公式.規(guī)律方法：概率問題與數(shù)列的交匯，綜合性較強，主要有以下類型：(1)求通項公式：關(guān)鍵是找出概率Pn或均值E(Xn)的遞推關(guān)系式，然后根據(jù)構(gòu)造法(一般構(gòu)造等比數(shù)列)，求出通項公式．(2)求和：主要是數(shù)列中的倒序相加法求和、錯位相減法求和、裂項相消法求和．(3)利用等差、等比數(shù)列的性質(zhì)，研究單調(diào)性、最值或求極限．【考點二】概率和函數(shù)的綜合問題一、單選題1．（2024·浙江·三模）定義函數(shù)集．已知函數(shù)，，，．若函數(shù)，則在為奇函數(shù)的條件下，存在單調(diào)遞減區(qū)間的概率為（

）A． B． C． D．2．（2024·河南·三模）有以下6個函數(shù)：①；②；③；④；⑤；⑥.記事件：從中任取1個函數(shù)是奇函數(shù)；事件：從中任取1個函數(shù)是偶函數(shù)，事件的對立事件分別為，則（

）A．B．C．D．二、填空題3．（23-24高三上·河北邢臺·開學(xué)考試）歐拉是18世紀最優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家之一，幾乎每個數(shù)學(xué)領(lǐng)域都可以看到歐拉的名字，如著名的歐拉函數(shù).歐拉函數(shù)的函數(shù)值等于所有不超過正整數(shù)n，且與n互素(兩個數(shù)只有公約數(shù)1)的正整數(shù)的個數(shù).例如：，.現(xiàn)從中任選兩個數(shù)，則這兩個數(shù)相同的概率是.4．（23-24高二上·福建泉州·階段練習(xí)）高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，為了紀念他，人們把函數(shù)稱為高斯函數(shù)，其中表示不超過的最大整數(shù).設(shè)，則除以2023的余數(shù)是.三、解答題5．（2024·遼寧沈陽·模擬預(yù)測）已知某地居民某種疾病的發(fā)病率為0.02，現(xiàn)想通過對血清甲胎蛋白進行檢驗，篩查出該種疾病攜帶者.(1)若該檢測方法可能出錯，具體是：患病但檢測顯示正常的概率為0.01，未患病但檢測顯示患病的概率為0.05.①求檢測結(jié)果顯示患有該疾病的概率；②求檢測顯示患有該疾病的居民確實患病的概率.（保留四位有效數(shù)字）(2)若該檢測方法不可能出錯，采用混合化驗方法：隨機地按人一組分組，然后將個人的血樣混合再化驗，如果混合血樣呈陰性，說明這人全部陰性；如果混合血樣呈陽性，就需要對每個人再分別化驗一次（每一小組都要按要求獨立完成），取何值時，總化驗次數(shù)最少？說明：函數(shù)先減后增.0.88580.86810.85080.83376．（2024·廣東·一模）某工廠生產(chǎn)某種電子產(chǎn)品配件，關(guān)鍵環(huán)節(jié)是需要焊接“接線盒”，焊接是否成功直接導(dǎo)致產(chǎn)品“合格”與“不合格”，公司檢驗組經(jīng)過大量后期出廠檢測發(fā)現(xiàn)“不合格”產(chǎn)品和“合格”產(chǎn)品的性能指標有明顯差異，得到如下的“不合格”產(chǎn)品和“合格”產(chǎn)品該指標的頻率分布直方圖：

利用該指標制定一個檢測標準，需要確定臨界值，將該指標大于的產(chǎn)品判定為“不合格”，小于或等于的產(chǎn)品判定為“合格”．此檢測標準的漏檢率是將“不合格”產(chǎn)品判定為“合格”產(chǎn)品的概率，記為；錯檢率是將“合格”產(chǎn)品判定為“不合格”產(chǎn)品的概率，記為．假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率．(1)當漏檢率時，求臨界值和錯檢率；(2)設(shè)函數(shù)，當時，求的解析式，并求在區(qū)間的最小值．參考答案：題號12答案AD1．A【分析】首先根據(jù)奇偶性的知識找出符合條件的所有函數(shù)，然后在這些函數(shù)中找出存在單調(diào)遞減區(qū)間的函數(shù)，得出答案.【詳解】解析：集合A中的函數(shù)為奇函數(shù)的有，，，而有單調(diào)遞減區(qū)間的函數(shù)有和，所以概率為.故選：A．2．D【分析】首先判斷各函數(shù)的奇偶性，再由古典概型的概率公式一一判斷即可.【詳解】對于①：，則，解得，所以，故為偶函數(shù)且為奇函數(shù)；對于②為奇函數(shù)；對于③為奇函數(shù)；對于④為偶函數(shù)；對于⑤：定義域為，為非奇非偶函數(shù)；對于⑥為非奇非偶函數(shù)；則事件為：①，②，③；事件為：④，⑤，⑥；事件為：①，④；事件為：②，③，⑤，⑥；事件為：①，②，③，④；為：⑤，⑥；所以，，，，，，所以，，故A、C錯誤；又為：①；所以為：②，③，④，⑤，⑥，所以，則，故B錯誤；又，，所以，故D正確.故選：D3．【分析】根據(jù)函數(shù)新定義求出的值，然后結(jié)合組合知識利用古典概型概率公式求解即可.【詳解】根據(jù)歐拉函數(shù)的定義知，，，，，，，，，，，從中任選兩個數(shù)有種結(jié)果，其中這兩個數(shù)相同的有共8種結(jié)果，所以根據(jù)古典概率公式得所求的概率為.故答案為：4．1011【分析】先求得每項除以2023的余數(shù)，求每項除以2023的余數(shù)時，分奇偶項進行討論，余數(shù)求和后再求除以2023的余數(shù)即可.【詳解】，又，則，又，所以，所以當，，其除以2023的余數(shù)為，當時，，其除以2023的余數(shù)2022和3，當且時，，其除以2023的余數(shù)為，當時，，其除以2023的余數(shù)為，除以2023的余數(shù)為除以2023的余數(shù)，即除以2023的余數(shù)，又其除以2023的余數(shù)為1011，故答案為：1011.【點睛】本題的關(guān)鍵一是分奇偶項進行討論，特別是偶數(shù)項時，最后兩項求得結(jié)果與前面項，求得結(jié)果不同，要分開討論；二是余數(shù)求和后要再除以2023二次求余.5．(1)①0.0688；②0.2878(2)【分析】（1）①用全概率公式即可求出概率，②結(jié)合①的結(jié)果，用條件概率公式即可求解；（2）設(shè)每小組檢驗次數(shù)為X，根據(jù)題意求出期望，總化驗次數(shù)為，根據(jù)表格即可求出使得化驗次數(shù)最少的k.【詳解】（1）設(shè)A表示患病，B表示檢測結(jié)果顯示患病，則，（2）設(shè)總居民人數(shù)為M，每小組檢驗次數(shù)為X，X的可能取值為1，，，則，總化驗次數(shù)為，根據(jù)附表計算，時，化驗次數(shù)最少.6．(1)；(2)；【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合頻率分布直方圖求得，進而可求容錯率；（2）分、兩種情況，根據(jù)題意求，即可得的解析式，并根據(jù)解析式求最值.【詳解】（1）由題意可知：第一個圖中第一個矩形面積為，可知，可得，解得，所以錯檢率.（2）當時，則，，可得；當時，則，，可得；所以，當且僅當時，取到最小值.規(guī)律方法：構(gòu)造函數(shù)求最值時，要注意變量的選取，以及變量自身的隱含條件對變量范圍的限制．專題精練專題精練一、單選題1．（2024·福建三明·三模）隨機變量，函數(shù)沒有零點的概率是，則μ的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．42．（2024·湖南常德·一模）將三個分別標注有，x，的三個質(zhì)地均勻的小球放入一個不透明的小盒中.無放回的隨機取出2個小球（每次取一球），分別記錄下小球的標注為.若，則在上單調(diào)遞減的概率為（

）A． B． C． D．3．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）對數(shù)的發(fā)明是數(shù)學(xué)史上的重大事件，它可以改進數(shù)字的計算方法、提高計算速度和準確度.已知，，若從集合M，N中各任取一個數(shù)x，y，則為整數(shù)的概率為（

）A． B． C． D．4．（2024·安徽·模擬預(yù)測）科學(xué)家從由實際生活得出的大量統(tǒng)計數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)以1開頭的數(shù)出現(xiàn)的頻率較高，以1開頭的數(shù)出現(xiàn)的頻數(shù)約為總數(shù)的三成，并提出定律：在大量b進制隨機數(shù)據(jù)中，以n開頭的數(shù)出現(xiàn)的概率為，如裴波那契數(shù)、階乘數(shù)、素數(shù)等都比較符合該定律．后來常有數(shù)學(xué)愛好者用此定律來檢驗?zāi)承┙?jīng)濟數(shù)據(jù)、選舉數(shù)據(jù)等大數(shù)據(jù)的真實性．若（，），則k的值為（

）A．11 B．15 C．19 D．215．（2024·河南·二模）單調(diào)遞增數(shù)列滿足：.在的條件下，的概率為（

）A． B． C． D．6．（23-24高三下·云南·階段練習(xí)）隨著互聯(lián)網(wǎng)普及和技術(shù)的飛速發(fā)展，網(wǎng)絡(luò)游戲已成為當今社會的一種流行文化，也是青少年學(xué)習(xí)、娛樂和社交的重要方式.但隨著網(wǎng)絡(luò)游戲的推廣發(fā)展，一些青少年對其過度依賴，甚至對心理健康產(chǎn)生了不可忽視的影響.“預(yù)防網(wǎng)絡(luò)游戲沉迷，關(guān)愛青少年心理健康，已成為亟需破解的現(xiàn)實問題.”某款網(wǎng)絡(luò)游戲的規(guī)則如下：參與者每一局需投一枚游戲幣，每局通關(guān)的概率為50%，若該局通關(guān)，參與者可以贏得兩個游戲幣.遇到兩種情況會自動結(jié)束游戲：一種是手中沒有游戲幣；一種是手中游戲幣到預(yù)期的個.設(shè)當參與者手中有個（）游戲幣時，最終手中沒有游戲幣的概率為，下列說法錯誤的是（

）A．，B．記參與者通關(guān)的局數(shù)，在前13局中，，C．D．若參與者最初手中有20個游戲幣，他希望贏到100個，則他輸光的概率為7．（24-25高三上·福建·開學(xué)考試）某城市采用搖號買車的方式，有20萬人搖號，每個月?lián)u上的人退出搖號，沒有搖上的人繼續(xù)進入下月?lián)u號，每個月都有人補充進搖號隊伍，每個季度第一個月?lián)u上的概率為，第二個月為，第三個月為，則平均每個人搖上需要的時間為（

）個月.A．7 B．8 C．9 D．108．（23-24高二下·江蘇南京·階段練習(xí)）已知A細胞有0.4的概率會變異成細胞，0.6的概率死亡；細胞有0.5的概率變異成A細胞，0.5的概率死亡，細胞死亡前有可能變異數(shù)次．下列結(jié)論成立的是（

）A．一個細胞為A細胞，其死亡前是A細胞的概率為0.75B．一個細胞為A細胞，其死亡前是細胞的概率為0.2C．一個細胞為細胞，其死亡前是A細胞的概率為0.35D．一個細胞為細胞，其死亡前是細胞的概率為0.7二、多選題9．（2024·廣西來賓·一模）甲，乙，丙，丁等4人相互傳球，第一次由甲將球傳出，每次傳球時，傳球者將球等可能地傳給另外3人中的任何1人，經(jīng)過n次傳球后，球在甲手中的概率為Pnn=1,2,?，則下列結(jié)論正確的是（A．經(jīng)過一次傳球后，球在丙中概率為B．經(jīng)過兩次傳球后，球在乙手中概率為C．經(jīng)過三次傳球后，球在丙手中概率為D．經(jīng)過n次傳球后，10．（2024·全國·模擬預(yù)測）甲、乙、丙三人做足球傳球訓(xùn)練，規(guī)定：每次傳球時，傳球人將球傳給另兩人中的任何一人是等可能的．假設(shè)第1次由甲將球傳出，第k次傳球后，球回到甲處的概率為（），則（

）A． B． C． D．11．（22-23高二下·貴州貴陽·階段練習(xí)）甲?乙?丙?丁4人做傳接球訓(xùn)練，球從甲手中開始，等可能地隨機傳向另外3人中的1人，接球者接到球后再等可能地隨機傳向另外3人中的1人，如此不停地傳下去，假設(shè)傳出的球都能接住.記第次傳球之前球在甲手中的概率為，易知.下列選項正確的是（

）A．B．為等比數(shù)列C．設(shè)第次傳球之前球在乙手中的概率為D．第4次傳球后，球落在乙手中的傳球方式有20種三、填空題12．（2024·北京海淀·二模）二維碼是一種利用黑?白方塊記錄數(shù)據(jù)符號信息的平面圖形.某公司計劃使用一款由個黑白方塊構(gòu)成的二維碼門禁，現(xiàn)用一款破譯器對其進行安全性測試，已知該破譯器每秒能隨機生成個不重復(fù)的二維碼，為確保一個二維碼在1分鐘內(nèi)被破譯的概率不高于，則的最小值為.13．（2024·江蘇連云港·模擬預(yù)測）已知某公司加工一種芯片的不合格率為p，其中，若加工后的30顆這種芯片中恰有6顆不合格的概率為，且各顆芯片是否為不合格品相互獨立，則當取最大值時，．14．（22-23高二下·北京豐臺·期末）投擲一枚質(zhì)地并不均勻的硬幣，結(jié)果只有正面和反面兩種情況，記每次投擲結(jié)果是正面的概率為p（）.現(xiàn)在連續(xù)投擲該枚硬幣10次，設(shè)這10次的結(jié)果恰有2次是正面的概率為，則；函數(shù)取最大值時，.四、解答題15．（2024·浙江·三模）為提高學(xué)生的思想政治覺悟，激發(fā)愛國熱情，增強國防觀念和國家安全意識，某校進行軍訓(xùn)打靶競賽．規(guī)則如下：每人共有3次機會，擊中靶心得1分，否則得0分、已知甲選手第一槍擊中靶心的概率為，且滿足：如果第n次射擊擊中靶心概率為p，那么當?shù)趎次擊中靶心時，第次擊中靶心的概率也為p，否則第次擊中靶心的概率為．(1)求甲選手得分X的分布列及其數(shù)學(xué)期望；(2)有如下定義：設(shè)X是一個隨機變量，x是任意實數(shù)，函數(shù)，稱為X的分布函數(shù)，對于任意實數(shù)，，有．因此，若已知X的分布函數(shù)，我們就知道X落在任一區(qū)間上的概率．（i）寫出（1）中甲選手得分X的分布函數(shù)（分段函數(shù)形式）；（ii）靶子是半徑為2的一個圓盤，設(shè)擊中靶上任一同心圓盤上的點的概率與該圓盤的面積成正比，假如選手射擊都能中靶，以Y表示彈著點與圓心的距離．試求隨機變量Y的分布函數(shù)．16．（2024·福建龍巖·三模）某企業(yè)對某品牌芯片開發(fā)了一條生產(chǎn)線進行試產(chǎn).其芯片質(zhì)量按等級劃分為五個層級，分別對應(yīng)如下五組質(zhì)量指標值：.根據(jù)長期檢測結(jié)果，得到芯片的質(zhì)量指標值服從正態(tài)分布，并把質(zhì)量指標值不小于80的產(chǎn)品稱為等品，其它產(chǎn)品稱為等品.現(xiàn)從該品牌芯片的生產(chǎn)線中隨機抽取100件作為樣本，統(tǒng)計得到如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)根據(jù)長期檢測結(jié)果，該芯片質(zhì)量指標值的標準差的近似值為11，用樣本平均數(shù)作為的近似值，用樣本標準差作為的估計值.若從生產(chǎn)線中任取一件芯片，試估計該芯片為等品的概率(保留小數(shù)點后面兩位有效數(shù)字)；(①同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表；②參考數(shù)據(jù):若隨機變量服從正態(tài)分布，則，.)(2)（i）從樣本的質(zhì)量指標值在和[85，95]的芯片中隨機抽取3件，記其中質(zhì)量指標值在[85，95]的芯片件數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（ii）該企業(yè)為節(jié)省檢測成本，采用隨機混裝的方式將所有的芯片按100件一箱包裝.已知一件等品芯片的利潤是元，一件等品芯片的利潤是元，根據(jù)(1)的計算結(jié)果，試求的值，使得每箱產(chǎn)品的利潤最大.17．（2024·貴州遵義·二模）商場對某種商品進行促銷，顧客只要在商場中購買該商品，就可以在商場中參加抽獎活動．規(guī)則如下：先賦予參加抽獎的顧客5分的原始分，然后從裝有4個紅球，2個白球，2個黑球的盒中有放回地隨機取球若干次，每次取出一個球，若為紅球，則加1分，否則扣1分，過程中若顧客持有分數(shù)變?yōu)?分，抽獎結(jié)束；若顧客持有分數(shù)達到15分，則獲得一等獎，抽獎結(jié)束．(1)求顧客3次取球后持有分數(shù)的數(shù)學(xué)期望；(2)設(shè)顧客在抽獎過程中持有分數(shù)為分最終獲得一等獎的概率為；①證明：是等差數(shù)列；②求顧客獲得一等獎的概率．18．（2024·四川南充·一模）今年立秋以后，川渝地區(qū)持續(xù)性高溫登上熱搜，引發(fā)關(guān)注討論.根據(jù)專家推測，主要是由于大陸高壓和西太平洋副熱帶高壓呈現(xiàn)非常強大，在高壓的控制下，川渝地區(qū)上空晴朗少云，在太陽輻射增溫和氣流下沉增溫的共同作用下，兩個地區(qū)的氣溫出現(xiàn)了直接攀升的狀態(tài).川東北某城市一室內(nèi)游泳館，為給顧客更好的體驗，推出了A和B兩個套餐服務(wù)，顧客可自由選擇A和B兩個套餐之一；該游泳館在App平臺上推出了優(yōu)惠券活動，下表是App平臺統(tǒng)計某周內(nèi)周一至周六銷售優(yōu)惠券情況.星期t123456銷售量y（張）21822423023223690經(jīng)計算可得：，，.(1)因為優(yōu)惠券銷售火爆，App平臺在周六時系統(tǒng)出現(xiàn)異常，導(dǎo)致當天顧客購買優(yōu)惠券數(shù)量大幅減少，現(xiàn)剔除周六數(shù)據(jù)，求y關(guān)于t的經(jīng)驗回歸方程；(2)若購買優(yōu)惠券的顧客選擇A套餐的概率為，選擇B套餐的概率為，并且A套餐包含兩張優(yōu)惠券，B套餐包含一張優(yōu)惠券，記App平臺累計銷售優(yōu)惠券為n張的概率為，求；(3)請依據(jù)下列定義，解決下列問題：定義：如果對于任意給定的正數(shù)，總存在正整數(shù)，使得當時，（a是一個確定的實數(shù)），則稱數(shù)列收斂于a.運用：記（2）中所得概率的值構(gòu)成數(shù)列.求的最值，并證明數(shù)列收斂.參考公式：，.參考答案：題號12345678910答案DDCABCCABCDAC題號11答案BCD1．D【分析】根據(jù)函數(shù)沒有零點，求得，結(jié)合題意可得出，繼而由正態(tài)分布的對稱性，可得答案.【詳解】由函數(shù)沒有零點，得，函數(shù)沒有零點的概率是，即,結(jié)合，可知，故選：D2．D【分析】利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性，即可由古典概型概率公式求解.【詳解】若，由均為0,1上的單調(diào)遞增函數(shù)，且為正，故?x為0,1上的單調(diào)遞增函數(shù)，若，則x∈0,1時，，故?x為0,1上的單調(diào)遞減函數(shù)，若，則x∈0,1時，，故?x為0,1上的單調(diào)遞減函數(shù)，故?x在x∈0,1上單調(diào)遞減的概率為故選：D3．C【分析】基本事件總數(shù)，利用列舉法求出為整數(shù)包含的基本事件有4個，再利用古典概型的概率計算公式即可求解.【詳解】，，從集合M，N中各任取一個數(shù)x，y，基本事件總數(shù).為整數(shù)包含的基本事件有，，，，共4個為整數(shù)的概率為.故選：C.4．A【分析】根據(jù)條件中的概率公式，結(jié)合求和公式，以及對數(shù)運算，即可求解.【詳解】，即，則，得.故選：A5．B【分析】縮小樣本空間，從這6個數(shù)字中任取3個共有種不同的結(jié)果，列出滿足的共有6種結(jié)果，求得相應(yīng)概率.【詳解】縮小樣本空間，當時，從這6個數(shù)字中任取3個，并按照從小到大的順序?qū)?yīng)，共有種不同的結(jié)果.因為，所以構(gòu)成等差數(shù)列，滿足條件有，，共計6種，所以概率為，故選：B.6．C【分析】根據(jù)游戲規(guī)則可直接判定A；根據(jù)，可計算，，判斷B；由全概率公式判斷C；由選項C可得為等差數(shù)列，結(jié)合1數(shù)列通項公式可判斷D.【詳解】對于A，當時，游戲幣已經(jīng)輸光了，因此，當時，參與者已經(jīng)到了終止游戲的條件，因此輸光的概率，故A正確；對于B，由題意可得，，所以，故B正確；對于C，參與者有n個游戲幣的狀態(tài)，可能來源于有個游戲幣再贏一局，也可能來源于有個游戲幣再輸一局，由全概率公式，，故C錯誤；對于D，由C得，所以為等差數(shù)列，其中首項，設(shè)公差為，則，即，，所以，當時，，故D正確.故選：C．7．C【分析】表示每個人搖上需要的時間及其對應(yīng)概率后，借助期望公式與錯位相減法計算即可得.【詳解】設(shè)表示搖上需要的時間，則可能取、、、、、，則，，，，，，，故，則，故即，當時，，故平均每個人搖上需要的時間為9個月.故選：C.8．A【分析】設(shè)n次為（A或B）細胞的概率為，可知次為細胞概率，設(shè)n次為A細胞的概率為，為B細胞的概率為，則n次細胞死亡的概率，對于AB：可知，結(jié)合等比數(shù)列求相應(yīng)概率，代入條件概率公式分析求解；對于CD：可知，結(jié)合等比數(shù)列求相應(yīng)概率，代入條件概率公式分析求解.【詳解】設(shè)n次為（A或B）細胞的概率為，則一次變異不為細胞，兩次變異為細胞，可知次為細胞概率，設(shè)n次為A細胞的概率為，為B細胞的概率為，則n次細胞死亡的概率，對選項AB：若一個細胞為A細胞，可知奇數(shù)次為A細胞，偶數(shù)次為B細胞，則，可得，，則A細胞死亡的概率為，B細胞死亡的概率為，可得細胞死亡的概率為，所以其死亡前是A細胞的概率為，其死亡前是細胞的概率為，故A正確，B錯誤；對選項CD：若一個細胞為B細胞，可知奇數(shù)次為B細胞，偶數(shù)次為A細胞，則，可得，，則A細胞死亡的概率為，B細胞死亡的概率為，可得細胞死亡的概率為，所以其死亡前是A細胞的概率為，其死亡前是細胞的概率為，故CD錯誤；故選：A.9．BCD【分析】依據(jù)題意根據(jù)古典概型公式及相互獨立事件乘法公式逐項計算即可判斷A,B,C;對于D,根據(jù)題意得到Pn+1【詳解】對于A，依題可知經(jīng)過一次傳球后，球在丙中概率為，故A錯誤；對于B，過兩次傳球后，球在乙手中概率為，故B正確；對于C,經(jīng)過三次傳球后，球在丙手中的事件包括兩種情況，①第1次傳球在丙手中，第2次傳球不在丙手中，第3次傳球在丙手中，概率為；②第1次傳球不在丙手中，第2次傳球不在丙手中，第3次傳球在丙手中，其概率為所以經(jīng)過三次傳球后，球在丙手中概率為19故C正確；對于D，經(jīng)過次傳球后，球在甲手中的概率為Pnn=1,2,?則Pn+1=整理得Pn+1即Pn+1?1所以Pn?14是以公比為則PnPn故D正確，故選：BCD.10．AC【分析】由傳球規(guī)則得，判斷各選項的正誤.【詳解】因為，A正確；因為，，所以，B錯誤；因為，即，C正確；因為，所以，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，所以，所以，D錯誤．故選：AC．【點睛】第次傳球后，球回到甲處等價于第次傳球后，球不在甲處且下一次傳球給甲.11．BCD【分析】對于A，求得，可判斷A錯誤；對于B，依題意可得，從而可證明，即可判斷B選項；對于C，由B選項求得，從而可判斷；對于D，列舉法可判斷.【詳解】對于A，因為第2次傳球之前球不在甲手中，所以，A錯誤；對于B，因為第次傳球之前球在甲手中的概率為，則當時，第次傳球之前球在甲手中的概率為，第次傳球之前