理論力學課件 第二章 質點運動3

理論力學ClassicalMechanics第二章質點運動描述現(xiàn)象：基于定量測量的運動學2.1解釋機制：基于因果關系的動力學2.2增加對象：多質點共同運動的情況2.3限定結果：當質點的運動受到約束2.422.3增加對象：多質點共同運動的情況

質點組：由許多（有限或無限）相互聯(lián)系著的質點所組成的系統(tǒng)。內(nèi)力：質點組中質點間的相互作用力。外力：質點組以外的物體對質點組內(nèi)質點的作用力。動量：動能：動量矩：2.3.1質心運動：集體運動的抽象代表

1、內(nèi)力的性質①質點組中所有內(nèi)力的矢量和等于零。②質點組中所有內(nèi)力對任一參考點的力矩的矢量和等于零。證明：2.3.1質心運動：集體運動的抽象代表2、質心（一個設想的質點）

直角坐標系中的坐標分量式質心速度質點組動量2.3.1質心運動：集體運動的抽象代表1、動量定理對i求和，得(i=1,2,3…n)

由n個質點組成的質點組中，任一質點Pi的質量為mi，對某慣性參照系坐標原點O的位矢為，作用在質點Pi上的外力為，內(nèi)力為。其運動微分方程為2.3.2守恒定律：質點之間的零和博弈微分形式積分形式2.3.2守恒定律：質點之間的零和博弈{

質點組的動量對時間的微商，等于作用在質點組上諸外力之矢量和?；蛸|點組動量的微分，等于作用在質點組上諸外力的元沖量的矢量和。直角坐標系中的坐標分量式

內(nèi)力可改變質點的動量，但不改變質點組的動量。2.3.2守恒定律：質點之間的零和博弈2、質心運動定理

（1）質點組受已知的外力作用時，每一質點如何運動雖然無法知道，但質心的運動，可以完全確定。（2）質心的運動只與外力的矢量和有關，與內(nèi)力無關。根據(jù)質心定義求導，得所以或2.3.2守恒定律：質點之間的零和博弈

3、動量守恒定律即=恒矢量恒矢量

（2）質心運動完全等價于質點組的平動部分。

（1）內(nèi)力雖然可使質點組中個別質點改變動量，但卻不能改變整個質點組動量的總和，也不能改變質點組質心的速度。

如果則有時雖然(常量)但(常量)而2.3.2守恒定律：質點之間的零和博弈

1、對固定點O的動量矩定理

由n個質點組成的質點組中，任一質點Pi的運動微分方程為(i=1,2,3…n)用左矢乘方程兩邊，并對i求和，得2.3.2守恒定律：質點之間的零和博弈微分形式積分形式

內(nèi)力可改變質點的動量矩，但不改變質點組的動量矩。2.3.2守恒定律：質點之間的零和博弈

2、動量矩守恒定律{即恒矢量如果則雖然有時而但(常量)2.3.2守恒定律：質點之間的零和博弈3、對質心的動量矩定理

由n個質點組成的質點組中，任一質點Pi在C系的運動微分方程為C系：隨著C相對于S系平動用左矢乘方程兩邊，并對i求和，得S系C系PiO2.3.2守恒定律：質點之間的零和博弈即：質點組對質心C的動量矩對時間的微商等于所有外力對質心的力矩之和。在C系中有2.3.2守恒定律：質點之間的零和博弈

1、質點組的動能定理

由n個質點組成的質點組中，任一質點Pi的動能定理為對i求和，得注意2.3.2守恒定律：質點之間的零和博弈2、機械能守恒律都是保守力，或只有保守力作功時，V是包含內(nèi)力、外力的總勢能注意：內(nèi)力作功不一定為零。

2.3.2守恒定律：質點之間的零和博弈3、柯尼希定理S系C系PiO或在C系中有2.3.2守恒定律：質點之間的零和博弈

質點組的動能等于質心的動能與各質點對質心動能之和。4、對質心的動能定理

任一質點Pi在C系的運動微分方程為或寫為2.3.2守恒定律：質點之間的零和博弈

質點組對質心動能的微分，等于質點組相對于質心系位移時外力及內(nèi)力所作元功之和。用標乘方程兩邊，并對i求和，得2.3.2守恒定律：質點之間的零和博弈}動力學量小結：總結：質點組的動量、動量矩、動能分別等于質心的動量、動量矩、動能與各質點對質心的動量、動量矩、動能之和。2.3.2守恒定律：質點之間的零和博弈{

內(nèi)力雖然可以改變各個質點的動量和動量矩，但不能改變整個質點組的動量和動量矩，而內(nèi)力可以改變質點組的動能。三大定理2.3.2守恒定律：質點之間的零和博弈{三大守恒定律2.3.2守恒定律：質點之間的零和博弈2.3.3兩體問題：雙質點的有心力運動太陽S的運動微分方程為地球P的運動微分方程為

兩個質點組成的孤立系統(tǒng)。兩體系統(tǒng)是孤立的，即不受第三者的作用。PSCOxzy①兩體的質心作慣性運動

動量守恒，兩體的質心作慣性運動。②太陽、行星繞質心作圓錐曲線運動地球P對質心C的運動微分方程為(1)+(2)式，得：質心系中而質心：PSCOxzy2.3.3兩體問題：雙質點的有心力運動同理，太陽S對質心C的運動微分方程為:

由此可知，在質心系中，太陽、行星所受的力都與距離的平方成反比，故太陽、行星都繞系統(tǒng)的質心作圓錐曲線運動。故：2.3.3兩體問題：雙質點的有心力運動③地球對太陽的相對運動方程(3)PSCOxzy2.3.3兩體問題：雙質點的有心力運動(4)是與行星有關的量而是與行星無關的量

即如果認為太陽不動，行星的慣性質量與引力質量都為m，那么，太陽的引力質量應由原來的M修正（增大）為現(xiàn)在的（M+m），這樣，兩體問題中行星的動力學方程就與單質點的情況完全一樣了。兩體問題等效為單體問題的一種方法：2.3.3兩體問題：雙質點的有心力運動定義：折合質量(3)式又可寫作：

即如果認為太陽不動，太陽的慣性質量與引力質量都為M，行星的引力質量仍為m，行星的慣性質量應由原來的m修正（減?。楝F(xiàn)在的μ，這樣，兩體問題中行星的動力學方程就與單質點的情況完全一樣了。兩體問題等效為單體問題的另一種方法：則2.3.3兩體問題：雙質點的有心力運動④例題2.7開普勒第三定理的修正⑤多體問題：用微擾法求解。行星公轉的周期對行星P1:對行星P2:2.3.3兩體問題：雙質點的有心力運動散射角（計算值）質心坐標系（C系）：散射角（觀測值）實驗室坐標系（L系）：散射角：被散射的質點散射后的速度方向與散射前的速度方向之間的夾角。靜止坐標系。隨質心C平動的坐標系。散射和碰撞問題2.3.3兩體問題：雙質點的有心力運動1、兩質點相對質心（慣性系）的速度

設質量為m1、速度為的質點，被質量為m2的靜止質點散射。散射前，兩質點的動量質心的速度

根據(jù)動量守恒定律，兩質點的質心在散射前后都將沿方向以速度運動。質心平動系是慣性系2.3.3兩體問題：雙質點的有心力運動兩質點相對質心的速度：

在質心系中，根據(jù)動量守恒定律，兩質點散射前、后必將沿相反方向運動。得故2.3.3兩體問題：雙質點的有心力運動由相對運動的關系知

則

解得{質心的速度（2）（1）2、和的關系

2.3.3兩體問題：雙質點的有心力運動

12COyx質心系中而

所以求導數(shù)得得

2.3.3兩體問題：雙質點的有心力運動將式（2）、（3）代入式（1），可得到（4）

兩體系統(tǒng)是保守的，系統(tǒng)的動量守恒、機械能守恒，散射前后兩質點遠離無引力場時相對速度的量值相等。（3）2.3.3兩體問題：雙質點的有心力運動

討論：

2、還可求得：m1粒子將把所有能量轉移給m2粒子。

1、當時，時（重靶），盧瑟福散射（粒子）。時，中子-質子散射。

2.3.3兩體問題：雙質點的有心力運動一、運動方程

忽略二階小量，除以Dt，并使Dt

0，得變質量物體動力學方程：由動量定理，得t時刻

主體：質量m，速度微元：質量△m，速度t+△t時刻

△m與m合并，速度為△t時間內(nèi)作用在m與△m的合外力為2.3.4動態(tài)增減：質量變化體系的運動討論:(3)坐標分量式成立其中:(1)如，

是與m合并以前或從m分出后一剎那的速度則(4)并入時，分出時2.3.4動態(tài)增減：質量變化體系的運動

人和重物組成的質點組，水平方向不受外力作用，水平方向動量守恒。

拋物前，人和物體的水平速度；設拋物后，人的水平速度為v。解法一靜止坐標系中[例題]重為W的人，手里拿著一個重為w的物體。此人用與地平線成角的速度向前跳去。當他達到最高點時，將物體以相對速度u水平向后拋出。問由于物體的拋出，跳的距離增加了多少？2.3.4動態(tài)增減：質量變化體系的運動則即所以，人拋物后增加的速度故，人拋物后增加的距離為人從最高點到落地所需要的時間(1)(2)(3)(4)2.3.4動態(tài)增減：質量變化體系的運動解法二質心坐標系中

人和重物組成的質點組，水平方向動量守恒，質心在水平方向作速度為的慣性運動。