廣東省東莞市七校2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷【含答案解析】

東莞市2024-2025學(xué)年第一學(xué)期七校聯(lián)考試題高一數(shù)學(xué)命題人：凌勇軍審題人：揭烽一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出集合，再結(jié)合交集的定義求解即可.【詳解】因?yàn)?，所?故選：A.2.下列命題中，是全稱量詞命題且為真命題的是（）A.梯形四邊形 B.，C.， D.存在一個(gè)實(shí)數(shù)x，使【答案】A【解析】【分析】分別判斷各命題是否為全稱量詞命題，是否為真命題.【詳解】對(duì)于A，是全稱量詞命題且為真命題，A選項(xiàng)正確；對(duì)于B，是全稱量詞命題，當(dāng)時(shí)，，命題為假命題，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；CD選項(xiàng)都為存在量詞命題，不合題意.故選：A.3.“”成立的一個(gè)充分不必要條件是（）A.或 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，解出不等式，然后將充分不必要條件轉(zhuǎn)化為真子集關(guān)系，即可得到結(jié)果.【詳解】解不等式可得，解得或，所以不等式的解集為或，因此不等式成立的一個(gè)充分不必要條件，對(duì)應(yīng)的范圍是解集的真子集，即是或的真子集.故選：B4.函數(shù)的定義域是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】列出使解析式有意義的不等式組，求出解集即可.【詳解】由，解得，所以函數(shù)定義域是.故選：C.5.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞減的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分別判斷選項(xiàng)中函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性即可.【詳解】對(duì)A，函數(shù)是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，A選項(xiàng)不合題意；對(duì)B，函數(shù)的定義域?yàn)?，是非奇非偶函?shù)，B選項(xiàng)不合題意；對(duì)C，設(shè)，定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，則函數(shù)是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，C選項(xiàng)正確；對(duì)D，設(shè)，其定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，則函數(shù)，是奇函數(shù)，D選項(xiàng)不合題意.故選：C.6.設(shè)，，，則a、b、c的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，比較大小.【詳解】指數(shù)函數(shù)在R上單調(diào)遞減，對(duì)數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，則有，即，又，所以.故選：C.7.已知函數(shù)（且）在上具有單調(diào)性，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用分段函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合指數(shù)函數(shù)單調(diào)性，按單調(diào)遞減和單調(diào)遞增分類列式求解.【詳解】（且）在上具有單調(diào)性，當(dāng)在上單調(diào)遞減時(shí)，，解得；當(dāng)在上單調(diào)遞增時(shí)，，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：B.8.已知是定義在R上的奇函數(shù)，是定義在R上的偶函數(shù)，且，在上單調(diào)遞減，則（）A.是偶函數(shù) B.是奇函數(shù)C. D.【答案】D【解析】【分析】由函數(shù)奇偶性的定義判斷AB，由函數(shù)單調(diào)性判斷CD.【詳解】由，得是奇函數(shù)，且定義域（全體實(shí)數(shù)）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，由，且定義域（全體實(shí)數(shù)）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，得為偶函數(shù)，故A，B選項(xiàng)均錯(cuò)誤．由題易知函數(shù)在R上單調(diào)遞減，函數(shù)在上單調(diào)遞增，由，得，從而，即C選項(xiàng)錯(cuò)誤．由，得，從而，即D選項(xiàng)正確．故選：D二、多項(xiàng)選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得6分，選錯(cuò)或不選得0分，部分選對(duì)的得部分分．）9.下列各組函數(shù)中是同一函數(shù)的是（）A.與 B.與C.與 D.【答案】CD【解析】【分析】直接利用定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系、值域判斷函數(shù)是否是同一函數(shù)即可.【詳解】對(duì)于A，定義域?yàn)?，定義域?yàn)?，A錯(cuò)；對(duì)于B，定義域?yàn)?，定義域?yàn)?，B錯(cuò)；對(duì)于C，和定義域都是，，C正確；選項(xiàng)D，兩函數(shù)定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系、值域相同，正確.故選：CD10.下列說法正確的是（）A.若，則B.若不等式的解集為，則C.當(dāng)時(shí)，的最小值是D.函數(shù)（，且）過定點(diǎn)【答案】BCD【解析】【分析】對(duì)于A，舉例判斷即可；對(duì)于B，由不等式解集可得為方程的根，代入即可；對(duì)于C，證明并給出取到等號(hào)的例子即可；對(duì)于D，代入驗(yàn)證即可判斷.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)，時(shí)，有，但，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)椴坏仁降慕饧癁?，所以為方程的根，從而，即，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，有；而當(dāng)時(shí)，有，所以的最小值是，故C正確；對(duì)于D，由于a>0，故恒有，所以函數(shù)過定點(diǎn)，故D正確.故選：BCD.11.下列說法正確的是（）A.若命題“，”為真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是B.已知，，則C.記表示x，y中最大的數(shù)，則的最小值為1D.函數(shù)，，其中表示不超過x的最大整數(shù)，則函數(shù)的最大值為1【答案】BC【解析】【分析】由二次不等式恒成立的條件判斷選項(xiàng)A；由，計(jì)算判斷選項(xiàng)B；由分段函數(shù)的單調(diào)性求最小值判斷選項(xiàng)C；利用取整函數(shù)的性質(zhì)判斷選項(xiàng)D.【詳解】對(duì)于A，，，則有，解得，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B，，，則，所以，B選項(xiàng)正確；對(duì)于C，時(shí)，有，則有，由一次函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)可知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，時(shí)，的最小值為1，C選項(xiàng)正確；對(duì)于D，，使得，從而恒成立，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC.三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分，其中第14題第一空3分，第二空2分．把答案填在答題卡中的橫線上．）12.計(jì)算的結(jié)果是______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)冪及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】.故答案為：.13.已知函數(shù)在上是減函數(shù)，則的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】分類討論結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性計(jì)算即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，在R上遞減，符合題意；當(dāng)時(shí)，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，且對(duì)稱軸，解之得.綜上：的取值范圍是.故答案為：14.若，且函數(shù)與的圖象若只有個(gè)交點(diǎn)，則寫出一個(gè)符合條件的集合______；若有兩個(gè)交點(diǎn)，則滿足條件的不同集合有______個(gè)．【答案】①.（答案不唯一）②.【解析】【分析】列舉出所有兩個(gè)不同函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，篩選出符合題意的函數(shù)即可得結(jié)果.【詳解】函數(shù)與的圖象分別有個(gè)，個(gè)，個(gè)交點(diǎn)；函數(shù)與的圖象都有個(gè)交點(diǎn)；函數(shù)與的圖象有個(gè)交點(diǎn)，所以函數(shù)與的圖象若只有個(gè)交點(diǎn)，則或；函數(shù)與的圖象若只有個(gè)交點(diǎn)，則或或或.故答案為：（答案不唯一）；.四、解答題（本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.已知全集為R，集合（1）當(dāng)時(shí)，求;（2）若“”是“”的充分不必要條件，求a的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）解不等式化簡(jiǎn)集合，，再利用補(bǔ)集、并集的定義求解即得.（2）根據(jù)給定條件，利用交集的結(jié)果，結(jié)合集合的包含關(guān)系求出的范圍【小問1詳解】解不等式，即，得，則，當(dāng)時(shí)，，所以.【小問2詳解】依題意，，，由存在實(shí)數(shù)使""是""的充分不必要條件，轉(zhuǎn)化為是A的真子集，因此，其中等號(hào)不能同時(shí)取到，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.16.已知函數(shù)是奇函數(shù)．（1）求實(shí)數(shù)a值；（2）證明在區(qū)間上單調(diào)遞減；（3）解不等式.【答案】（1）（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，由奇函數(shù)的性質(zhì)可得，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，由定義法即可證明函數(shù)的單調(diào)性；（3）根據(jù)題意，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，即可求解不等式.【小問1詳解】∵是奇函數(shù)，∴，則，經(jīng)驗(yàn)證此時(shí)為奇函數(shù).【小問2詳解】∵，∴，設(shè)，則，，∵，∴，，則，則，則，即y=fx在區(qū)間1,+【小問3詳解】，∵y=fx在區(qū)間1,+∴不等式等價(jià)為，即，解得或，即不等式的解集為.17.某公司打算在2023年度建設(shè)某型手機(jī)芯片的生產(chǎn)線，建設(shè)該生產(chǎn)線的成本為300萬元，若該型芯片生產(chǎn)線在2024年產(chǎn)出x萬枚芯片，還需要投入物料及人工等成本V（x）（單位：萬元），已知當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，已知生產(chǎn)的該型芯片都能以每枚80元的價(jià)格售出．（1）設(shè)2024年該型芯片生產(chǎn)線的利潤為（單位：萬元），試求出的函數(shù)解析式；（2）請(qǐng)你為該型芯片的生產(chǎn)線的產(chǎn)量做一個(gè)計(jì)劃，要產(chǎn)出多少萬枚芯片才能使得2024年該型芯片的生產(chǎn)線所獲利潤最大，并預(yù)測(cè)最大利潤．【答案】（1）；（2）當(dāng)2024年該型芯片產(chǎn)量為40萬枚時(shí)利潤最大，最大利潤為220萬元.【解析】【分析】（1）根據(jù)利潤等于售價(jià)減成本可求利潤的表達(dá)式；（2）根據(jù)的表達(dá)式分別求出每段函數(shù)的最大值即可【小問1詳解】由題意可得，，所以，即.【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，；當(dāng)時(shí)，由基本不等式有，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí).綜上，當(dāng)2024年該型芯片產(chǎn)量為40萬枚時(shí)利潤最大，最大利潤為220萬元.18.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．（1）求函數(shù)的解析式；（2）在給定的直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出的圖象，并指出的單調(diào)區(qū)間（不必說明理由）；（3）求在上的最大值和最小值（不必說明理由）；（4）求不等式的解集．【答案】（1）（2）圖象見解析，單調(diào)區(qū)間見解析（3）最大值為，最小值為（4）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，由函數(shù)的奇偶性代入計(jì)算，即可得到結(jié)果；（2）由分段函數(shù)的畫法即可得到函數(shù)圖象，結(jié)合圖像即可得到單調(diào)區(qū)間；（3）由二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)果；（4）分，兩種情況解不等式求解即可.【小問1詳解】函數(shù)是定義在的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，可得時(shí)，，即有，即有，綜上可得.【小問2詳解】函數(shù)的圖象如圖，由圖可知，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.【小問3詳解】由圖可知，，.【小問4詳解】當(dāng)時(shí)，，由，得，解得；當(dāng)時(shí)，，由，得，解得.綜上所述，不等式的解集為．19.我們知道，函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱的充要條件是為奇函數(shù)，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)的圖象關(guān)于中心對(duì)稱的充要條件是為奇函數(shù).（1）類比上述推廣結(jié)論，寫出“函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱的充要條件是為偶函數(shù)”的一個(gè)推廣結(jié)論；（2）直接寫出函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心，并證明你的結(jié)論；（3）已知函數(shù)，函數(shù)滿足為奇函數(shù)，若函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)為其中為正整數(shù)，求(結(jié)果用表示)【答案】（1）答案見解析（2）函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心為，證明見解析（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性等知識(shí)寫成推廣結(jié)論；（2）依題意可得，結(jié)合反比例函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)的平移得到函數(shù)的對(duì)稱中心；（3）首先得到y(tǒng)=gx與均關(guān)于1,0對(duì)稱，結(jié)合對(duì)稱性計(jì)