2.2高等數(shù)學(xué)矩陣的運(yùn)算

§2.2矩陣的運(yùn)算一、矩陣的加法定義:設(shè)兩個(gè)同型的mn矩陣A=(aij)與B=(bij),那末矩陣A與B的和定義為(aij+bij),記作A+B,即例如:2021/6/271

說明:

只有當(dāng)兩個(gè)矩陣是同型矩陣時(shí),才能進(jìn)行加法運(yùn)算.矩陣加法的運(yùn)算規(guī)律(1)交換律:A+B

=

B+A.(2)結(jié)合律:(A+B)+C

=

A+(B+C).(3)稱為矩陣A的負(fù)矩陣.(4)A+(–A)

=

O,A–B

=

A+(–B).2021/6/272二、數(shù)與矩陣相乘

定義:

數(shù)

與矩陣A=(aij)的乘積定義為(

aij),記作

A或A

,簡稱為數(shù)乘.即設(shè)A,B為同型的m

n

矩陣,

,

為數(shù):(1)(

)A=

(

A).(2)(

+

)A=

A+

A.(3)

(A+B)=

A+

B.數(shù)乘矩陣的運(yùn)算規(guī)律矩陣的加法與數(shù)乘運(yùn)算,統(tǒng)稱為矩陣的線性運(yùn)算.2021/6/273

定義:

設(shè)A

=

(

aij)是一個(gè)m

s矩陣,B

=

(

bij)是一個(gè)s

n

矩陣,定義矩陣A與矩陣B的乘積C

=

(

cij)是一個(gè)m

n矩陣,其中三、矩陣與矩陣相乘(i=1,2,···,m;j=1,2,···,n).并把此乘積記作C=AB.例1:例2:2021/6/274例3:

求AB,其中

注意:只有當(dāng)?shù)谝粋€(gè)矩陣的列數(shù)等于第二個(gè)矩陣的行數(shù)時(shí),兩個(gè)矩陣才能相乘.例如:不存在.2021/6/275矩陣乘法的運(yùn)算規(guī)律(1)結(jié)合律:(AB)C

=

A(BC);(2)分配律:A(B+C)

=

AB+AC,(B+C)A

=BA+CA;(3)

(AB)

=

(

A)B

=

A(

B),其中

為數(shù);(4)Am

nEn=EmAm

n=A;并且滿足冪運(yùn)算律:AkAm=Ak+m,(Am)k=Amk,其中k,m為正整數(shù).注意:矩陣乘法不滿足交換律,即:

AB

AB,(5)若A是n階方陣,則Ak為A的k次冪,即例如:

設(shè)則(AB)k

AkBk,因此,2021/6/276故,AB

BA.例4:

計(jì)算下列矩陣乘積:(1)(2)解(1):解(2):=(）a11x1+a21x2+a31x3a12x1+a22x2+a32x3a13x1+a23x2+a33x32021/6/277當(dāng)矩陣為對稱矩陣時(shí),結(jié)果為=(a11x1+a21x2+a31x3)x1+(a12x1+a22x2+a32x3)x2+(a13x1+a23x2+a33x3)x3解:例5:2021/6/278由此歸納出用數(shù)學(xué)歸納法證明.當(dāng)k=2時(shí),顯然成立.假設(shè),當(dāng)k=n時(shí)結(jié)論成立,對k=n+1時(shí),2021/6/279所以對于任意的k

都有:2021/6/2710四、矩陣的其它運(yùn)算

定義:

把矩陣A的行列互換,所得到的新矩陣,叫做矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣,記作AT.例如:１、轉(zhuǎn)置矩陣(1)(AT)T=A;(2)(A+B)T=AT+BT;(3)(

A)T=

AT;(4)(AB)T=BTAT;轉(zhuǎn)置矩陣的運(yùn)算性質(zhì)2021/6/2711解法1:因?yàn)槔?:

已知求(AB)T.所以解法2:(AB)T=BTAT2021/6/2712由矩陣轉(zhuǎn)置和對稱矩陣的定義可得:方陣A為對稱矩陣的充分必要條件是:A=AT.方陣A為反對稱矩陣的充分必要條件是:–A=AT.證明:因?yàn)?/p>

例7:

設(shè)列矩陣X

=

(x1

x2···xn)T,滿足XTX=1,E為n階單位矩陣,H

=

E

–

2XXT,證明:H為對稱矩陣,且HHT=

E.HT

=

(E

–

2XXT)T=

ET–

2(XXT)T=

E

–

2XXT=

H.所以,H為對稱矩陣.HHT=

H2=(E

–

2XXT)2=E2–

E(2XXT)

–

(2XXT)E

+

(2XXT)(2XXT)=E

–

4XXT

+

4(XXT)(XXT)=E

–

4XXT

+

4X(XTX)XT=E

–

4XXT

+

4XXT=E

2021/6/2713

例7:

證明任一n

階方陣A

都可表示成對稱陣與反對稱陣之和.證明:設(shè)C

=

A

+

AT,所以,C為對稱矩陣.從而,命題得證.則CT

=

(

A

+

AT)T=

AT+

A

=

C,設(shè)B

=

A

–

AT,則BT

=

(

A

–

AT)T=

AT–

A

=

–B,所以,B為反對稱矩陣.2、方陣的行列式

定義:

由n

階方陣A的元素所構(gòu)成的行列式叫做方陣A的行列式,記作|A|或detA.例如:則2021/6/2714方陣行列式的運(yùn)算性質(zhì)(1)|AT|=|A

|;(2)|

A|=

n|A

|;(3)|AB|=|A||B|=|B||A|=|BA|.

定義:行列式|

A

|的各個(gè)元素的代數(shù)余子式Aij

所構(gòu)成的如下矩陣3、伴隨矩陣稱為矩陣A的伴隨矩陣.性質(zhì):AA*

=A*A=|

A

|E.證明:設(shè)A=(aij),AA*=(bij).2021/6/2715則故同理可得AA*=(|

A

|

ij)

=|

A

|(

ij)

=

|

A

|

E.=(|

A

|

ij)

=

|

A

|(

ij)

=

|

A

|

E.A*A

=4、共軛矩陣

定義:

當(dāng)A

=

(aij)為復(fù)矩陣時(shí),用表示aij的共軛復(fù)數(shù),記,稱為A

的共軛矩陣.運(yùn)算性質(zhì)設(shè)A,B為復(fù)矩陣,

為復(fù)數(shù),且運(yùn)算都是可行的,則:2021/6/2716矩陣運(yùn)算加法數(shù)與矩陣相乘矩陣與矩陣相乘轉(zhuǎn)置矩陣對稱陣與伴隨矩陣方陣的行列式共軛矩陣五、小結(jié)(1)只有當(dāng)兩個(gè)矩陣是同型矩陣時(shí),才能進(jìn)行加法運(yùn)算.(2)只有當(dāng)?shù)谝粋€(gè)矩陣的列數(shù)等于第二個(gè)矩陣的行數(shù)時(shí),兩個(gè)矩陣才能相乘,且矩陣相乘不滿足交換律.(3)矩陣的數(shù)乘運(yùn)算與行列式的數(shù)乘運(yùn)算不同.注意2021/6/2717思考題思考題解答

設(shè)A與B為n階方陣,等式A2–