4.4-4.6 橢球面、雙曲面、拋物面

4.4橢球面1.范圍:|x|≤a,|y|≤b,|z|≤c.圖形在x=±a,y=±b,z=±c所圍成的長方體內(nèi).2.對稱性:圖形關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)、三個坐標(biāo)軸以及三個坐標(biāo)面都是對稱.（直角坐標(biāo)系下）2021/6/2713.截痕

橢球面與三個坐標(biāo)面的交線（稱為主截線或主橢圓）：2021/6/272橢圓截面的大小隨平面位置的變化而變化.橢球面與平面（）的交線為橢圓同理與平面

和的交線也是橢圓.2021/6/273abcyx

zo2021/6/274橢球面的兩種特殊情況：旋轉(zhuǎn)橢球面由橢圓

繞軸旋轉(zhuǎn)而成．球面方程可寫為2021/6/275例

已知橢球面的軸與三坐標(biāo)軸重合,且通過橢圓與點(diǎn)M,求橢球面方程.解由橢球面的軸與三坐標(biāo)軸重合，可設(shè)其方程為它與xOy面的交線是橢圓：2021/6/276與已知橢圓重合，比較得又因橢球面通過點(diǎn),故2021/6/277例

已知橢球面求過x軸且與橢球面的交線是圓的平面.解設(shè)所求平面方程為它與橢球面的交線是2021/6/278如果交線是圓，則圓心是橢球面的對稱中心(0,0,0)，

且圓通過橢球面的頂點(diǎn)(a,0,0)，(-a,0,0)，

故其方程為它與橢球面的交線是2021/6/279比較(1)與(2),得因此,所求平面為練習(xí)：習(xí)題4.43,4,5作業(yè)：習(xí)題4.422021/6/27101.單葉雙曲面(2)對稱性:

圖形關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)、三個坐標(biāo)軸以及三個坐標(biāo)面都對稱.(1)范圍:故曲面在橢圓柱面的外部；4.5雙曲面2021/6/2711(3)截痕用平面z=z0

截曲面所得截痕為橢圓：用平面y=y0

截曲面所得截痕為：這是一條雙曲線（或兩條直線）.xyoz2021/6/2712截痕用平面x=x

0截曲面所得截痕為：這是一條雙曲線（或兩條直線）xyoz2021/6/27132.雙葉雙曲面(2)對稱性:

圖形關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)、三個坐標(biāo)軸以及三個坐標(biāo)面都對稱.(1)范圍:故曲面在兩平行平面的外部；2021/6/2714xyo(3)截痕2021/6/2715例

用一組平行平面z=h(h為任意參數(shù))截割單葉雙曲面得一族橢圓,求這族橢圓焦點(diǎn)的軌跡.解這族橢圓的方程為2021/6/2716練習(xí)：習(xí)題4.53作業(yè)：習(xí)題4.52,4,52021/6/2717練習(xí)

已知a>b>c>0，討論k的不同取值時方程的圖像.答案

k<

c：

橢球面k=

c：

橢圓柱面k=

b：

雙曲柱面k>=

a：

空集c<k<

b：

單葉雙曲面b<k<

a：

雙葉雙曲面2021/6/2718（與

同號）(1)范圍:

若p>0且q>0,

則圖形在xOy

平面上方，否則在xO

y

平面下方.(2)對稱性:

圖形關(guān)于z

軸、yOz

平面、xOz

平面對稱.4.6拋物面1.橢圓拋物面2021/6/2719(3)截痕用坐標(biāo)面

xOy(z=0)

與曲面相截截得一點(diǎn)，即坐標(biāo)原點(diǎn)設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)也叫橢圓拋物面的頂點(diǎn).xyzo不相交.用平面去截2021/6/2720設(shè)用平面去截xyzo交線為橢圓.2021/6/2721用坐標(biāo)面與曲面相截截得拋物線設(shè)用平面去截xyzo交線為拋物線.2021/6/2722用坐標(biāo)面與曲面相截均可得拋物線.同理:當(dāng)時可類似討論.設(shè)xyzo2021/6/2723zxyoxyzo橢圓拋物面的圖形如下：2021/6/2724特殊地：當(dāng)時，方程變?yōu)樾D(zhuǎn)拋物面（由面上的拋物線繞z軸旋轉(zhuǎn)而成）2021/6/2725(1)范圍:

x,y,zR,曲面可向各方向無限延伸.(2)對稱性:

圖形關(guān)于z

軸、yOz

平面、xOz

平面對稱.2.雙曲拋物面（與

同號）2021/6/2726(3)截痕用平面z=z0

(z0

0)截曲面所得截痕為雙曲線（與

同號）xyzo2021/6/2727截痕

用平面x=x0與

y=y0

截曲面所得截痕為拋物線（與

同號）2021/6/2728解兩曲面的交線為例

求球面