5.3誘導(dǎo)公式【三大必考點+七大秒殺招+六大題型+分層訓(xùn)練】高一數(shù)學(xué)題型歸類

5.3誘導(dǎo)公式【三大必考點+七大秒殺招+六大題型+分層訓(xùn)練】知識精講知識精講知識點01角的對稱(1)角π＋α的終邊與角α的終邊關(guān)于原點對稱，如圖(a)；(2)角－α的終邊與角α的終邊關(guān)于x軸對稱，如圖(b)；(3)角π－α的終邊與角α的終邊關(guān)于y軸對稱，如圖(c)．知識點02誘導(dǎo)公式公式二sin(π＋α)＝－sinαcos(π＋α)＝－cosαtan(π＋α)＝tanα公式三sin(－α)＝－sinαcos(－α)＝cosαtan(－α)＝－tanα公式四sin(π－α)＝sinαcos(π－α)＝－cosαtan(π－α)＝－tanα(1)公式一、二、三、四都叫做誘導(dǎo)公式，它們可概括如下：①記憶方法：2kπ＋α(k∈Z)，－α，π±α的三角函數(shù)值，等于α的同名函數(shù)值，前面加上一個把α看成銳角時原函數(shù)值的符號，可以簡單地說成“函數(shù)名不變，符號看象限”．②解釋：“函數(shù)名不變”是指等式兩邊的三角函數(shù)同名；“符號”是指等號右邊是正號還是負(fù)號；“看象限”是指假設(shè)α是銳角，要看原三角函數(shù)是取正值還是負(fù)值，如sin(π＋α)，若把α看成銳角，則π＋α在第三象限，正弦在第三象限取負(fù)值，故sin(π＋α)＝－sinα.(2)利用誘導(dǎo)公式一和三，還可以得到如下公式：sin(2π－α)＝－sinα，cos(2π－α)＝cosα，tan(2π－α)＝－tanα.知識點03誘導(dǎo)公式五、六(1)公式五、六中的角α是任意角．(2)誘導(dǎo)公式一～六中的角可歸納為k·eq\f(π,2)±α的形式，可概括為“奇變偶不變，符號看象限”．①“變”與“不變”是針對互余關(guān)系的函數(shù)而言的．②“奇”“偶”是對誘導(dǎo)公式k·eq\f(π,2)±α中的整數(shù)k來講的．③“象限”指k·eq\f(π,2)±α中，將α看成銳角時，k·eq\f(π,2)±α所在的象限，根據(jù)“一全正，二正弦，三正切，四余弦”的符號規(guī)律確定原函數(shù)值的符號．(3)利用誘導(dǎo)公式五、六，結(jié)合誘導(dǎo)公式二，還可以推出如下公式：sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α))＝－cosα，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α))＝－sinα，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))＝－cosα，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))＝sinα.解題大招解題大招大招01利用誘導(dǎo)公式求任意角的三角函數(shù)值的步驟(1)“負(fù)化正”——用公式一或三來轉(zhuǎn)化；(2)“大化小”——用公式一將角化為0°到360°間的角；(3)“小化銳”——用公式二或四將大于90°的角轉(zhuǎn)化為銳角；(4)“銳求值”——得到銳角的三角函數(shù)后求值．大招02給式(值)求值1、解決條件求值問題的策略(1)解決條件求值問題，首先要仔細(xì)觀察條件與所求式之間的角、函數(shù)名稱及有關(guān)運算之間的差異及聯(lián)系．(2)可以將已知式進(jìn)行變形向所求式轉(zhuǎn)化，或?qū)⑺笫竭M(jìn)行變形向已知式轉(zhuǎn)化．2、解答此類題目的關(guān)鍵在于利用數(shù)學(xué)中化歸的思想來探究兩個角(或整體)之間的關(guān)系，當(dāng)尋找到角與角之間的聯(lián)系后，未知角這一整體的三角函數(shù)值可以通過已知角的三角函數(shù)值和有關(guān)的三角公式求得，這是三角函數(shù)解題技巧之一.大招03三角函數(shù)式化簡的常用方法(1)依據(jù)所給式子合理選用誘導(dǎo)公式將所給角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為另一個角的三角函數(shù)．(2)切化弦：一般需將表達(dá)式中的切函數(shù)轉(zhuǎn)化為弦函數(shù)．(3)注意“1”的應(yīng)用：1＝sin2α＋cos2α＝taneq\f(π,4).(4)用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡時，若遇到kπ±α的形式，需對k進(jìn)行分類討論，然后再運用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡．大招04三角函數(shù)式的化簡注意:(1)利用誘導(dǎo)公式將任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù);(2)常用“切化弦”法，即通常將表達(dá)式中的切函數(shù)化為弦函數(shù);(3)注意“1”的變形應(yīng)用.大招05由已知角求未知角的三角函數(shù)值①觀察已知角與未知角之間的關(guān)系，運用誘導(dǎo)公式將會不同名的函數(shù)化為同名的函數(shù)，將不同的角化為相同的角是解決問題的關(guān)鍵;②對于有條件的三角函數(shù)求值題，求解的一般方法是從角的關(guān)系上尋求突破，找到所求角與已知角之間的關(guān)系，結(jié)合誘導(dǎo)公式，進(jìn)而把待求式轉(zhuǎn)化到已知式完成求值;③當(dāng)所給的角是復(fù)合角時，不易看出已知角與所求角的聯(lián)系，可將已知角看成一個整體，用這個整體去表示所求角，便可發(fā)現(xiàn)它們之間的關(guān)系.大招06解決條件求值問題的策略(1)解決條件求值問題，首先要仔細(xì)觀察條件與所求式之間的角、函數(shù)名稱及有關(guān)運算之間的差異及聯(lián)系．(2)可以將已知式進(jìn)行變形向所求式轉(zhuǎn)化，或?qū)⑺笫竭M(jìn)行變形向已知式轉(zhuǎn)化．大招07誘導(dǎo)公式綜合應(yīng)用要“三看”一看角：①化大為?。虎诳唇桥c角間的聯(lián)系，可通過相加、相減分析兩角的關(guān)系．二看函數(shù)名稱：一般是弦切互化．三看式子結(jié)構(gòu)：通過分析式子，選擇合適的方法，如分式可對分子分母同乘一個式子變形．題型分類題型分類題型01三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式【例1】已知sinα?3π4=A．223 B．?223 【解題思路】利用同角三角函數(shù)之間的基本關(guān)系和誘導(dǎo)公式計算可得結(jié)果.【解答過程】易知cosπ故選：D.【變式1-1】與sin(θ?π2A．sin(3πC．cos(2π?θ)【變式1-2】求值：sin300°+tan600°=A．32 B．?32 C．3題型02三角函數(shù)的化簡、求值——誘導(dǎo)公式【例2】求下列各三角值：(1)sin1320°(2)cos?(3)sin2【解題思路】（1）根據(jù)誘導(dǎo)公式即可求解；（2）根據(jù)誘導(dǎo)公式即可求解；（3）根據(jù)誘導(dǎo)公式即可求解；【解答過程】（1）sin（2）cos（3）sin2150°+sin【變式2-1】化簡：(1)cos?α(2)sin1400°+α【變式2-2】計算(1)tan(2)tan(3)cos題型03三角函數(shù)恒等式的證明——誘導(dǎo)公式【例3】證明：tan(2【解題思路】利用誘導(dǎo)公式化簡即可.【解答過程】左邊=?所以tan(2【變式3-1】（1）求證：tan(2π?α)（2）設(shè)tan(α+8π7【變式3-2】已知A、B、C為△ABC的三個內(nèi)角，求證：sin題型04誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用【例4】已知角α的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點1,?2，則sinα+3πA．10?55 B．10+55 C．【解題思路】先根據(jù)三角函數(shù)的定義，求出角α的三角函數(shù)值，再結(jié)合誘導(dǎo)公式求值.【解答過程】由題知，sinα=?25，cos所以sin=?1故選：B.【變式4-1】已知α角的始邊與x軸非負(fù)半軸重合，P?2,3是α角終邊上一點，則tan?πA．?4712 B．4712 C．31【變式4-2】已知α角的頂點在坐標(biāo)原點，始邊與x軸正半軸重合，終邊經(jīng)過點P(?4,3).(1)求sinα,(2)求f(α)=cos題型05誘導(dǎo)公式在三角形中的應(yīng)用【例5】已知A,B,C為△ABC的三個內(nèi)角，下列各式不成立的是（

）A．sinA=sinB+CC．sinA2=【解題思路】利用三角函數(shù)誘導(dǎo)公式，結(jié)合三角形的內(nèi)角和為π，逐個去分析即可選出答案．【解答過程】由題意知，在△ABC中，A+B+C=π對A選項，sinC+B對B選項，cosA+C對C選項，cosC+B對D選項，sinA+C故選：D.【變式5-1】已知角A,B,C為△ABC的三個內(nèi)角，若sinA+B?C2=sinA?B+CA．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．鈍角三角形【變式5-2】在△ABC中，試判斷下列關(guān)系是否成立，并說明理由.（1）cos(A+B)=（2）sin(A+B)=（3）sinA+B（4）cosA+B題型06同角基本關(guān)系式和誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用【例6】已知角α∈?π2,0，且tan2A．154 B．14 C．?3【解題思路】切化弦，然后可得cosα【解答過程】因為tan2所以sin2因為α∈?π2所以1cos2α?3因為α∈?π2,0，可得所以得1cosα=4，可得cos所以sinα+2023故選：A．【變式6-1】在平面直角坐標(biāo)系中，角θ的頂點與原點重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊落在直線y=?3x上，則sin(A．2+3 B．2?3 C．3 【變式6-2】已知函數(shù)f(1)化簡fα(2)若fα=?15，求(3)若α∈?π6分層分層訓(xùn)練【基礎(chǔ)過關(guān)】1．若，則（

）A． B．1 C． D．或2．已知，（

）A． B．C． D．3．若，則（

）A． B． C． D．4．求值：（

）A． B． C． D．5．若是任意實數(shù)，則（）A． B． C． D．6．“”是“為第一象限角”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件7．若，則（

）A． B． C． D．8．若，則=（

）A． B． C． D．9．已知，則的值為（

）A． B． C． D．10．已知角以為始邊，它的終邊與單位圓相交于點，則的值為（）A． B． C． D．11．（多選）已知角的終邊經(jīng)過，則（

）A． B．C． D．12．（多選）在△ABC中，下列關(guān)系式恒成立的有（

）A． B．C． D．13．（多選）給出下列四個結(jié)論，其中正確的結(jié)論是（

）A．，成立的條件是是銳角B．若，則．C．若，則D．若，則，14．已知.(1)求的值；(2)若，是方程的兩個根，求的值.15．已知．(1)化簡,并求的值;(2)若,且,求的值．

【能力提升】1．函數(shù)的部分圖象大致為（

）A． B． C． D．2．已知，則“(k∈Z)，是“”的（

）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分又非必要條件3．已知函數(shù)，若，，則（

）A． B．C． D．4．已知角，且，則等于（

）A． B． C． D．5．若，則（

）A． B． C． D．6．在△ABC中，設(shè)甲：，乙：，則以下判斷正確的是（

）．A．甲是乙的充分條件但不是必要條件 B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件 D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件7．已知，，則“”是“存在使得”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件8．已知是第四象限角，終邊與單位圓O交于點，若，則（

）A． B． C． D．9．已知，關(guān)于等式，以下兩個命題：①對任意的，總存在，使得等式成立；②對任意的，總存在，使得等式成立.則下列判斷正確的是（

）A．①與②都正確 B．①正確，②不正確C．①不正確，②正確 D．①與②都不正確10．函數(shù)的圖象大致是（

）A．