2025年高考數(shù)學二輪復習 專題二 三角函數(shù)與解三角形 第1講　三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)解析版

第1講三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)（新高考專用）目錄目錄【真題自測】 2【考點突破】 7【考點一】三角函數(shù)的運算 8【考點二】三角函數(shù)的圖象 11【考點三】三角函數(shù)的性質(zhì) 17【專題精練】 24考情分析：1.高考對此部分的命題主要集中于三角函數(shù)的定義、圖象與性質(zhì)，主要考查圖象的變換、函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性，常與三角恒等變換交匯命題.2.主要以選擇題、填空題的形式考查，難度為中等或偏下．真題自測真題自測一、單選題1．（2023·全國·高考真題）設甲：，乙：，則（

）A．甲是乙的充分條件但不是必要條件 B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件 D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件2．（2023·全國·高考真題）函數(shù)的圖象由函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得到，則的圖象與直線的交點個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．43．（2023·全國·高考真題）已知等差數(shù)列的公差為，集合，若，則（

）A．－1 B． C．0 D．4．（2023·全國·高考真題）已知函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，直線和為函數(shù)y=fx的圖像的兩條相鄰對稱軸，則（

）A． B． C． D．5．（2022·全國·高考真題）設函數(shù)在區(qū)間恰有三個極值點、兩個零點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題6．（2024·全國·高考真題）對于函數(shù)和，下列說法中正確的有（

）A．與有相同的零點 B．與有相同的最大值C．與有相同的最小正周期 D．與的圖象有相同的對稱軸7．（2022·全國·高考真題）已知函數(shù)的圖像關(guān)于點中心對稱，則（

）A．在區(qū)間單調(diào)遞減B．在區(qū)間有兩個極值點C．直線是曲線的對稱軸D．直線是曲線的切線三、填空題8．（2024·全國·高考真題）函數(shù)在上的最大值是．9．（2023·全國·高考真題）若為偶函數(shù)，則．參考答案：題號1234567答案BCBDCBCAD1．B【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的概念及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系得解.【詳解】當時，例如但，即推不出；當時，，即能推出.綜上可知，甲是乙的必要不充分條件.故選：B2．C【分析】先利用三角函數(shù)平移的性質(zhì)求得，再作出與的部分大致圖像，考慮特殊點處與的大小關(guān)系，從而精確圖像，由此得解.【詳解】因為向左平移個單位所得函數(shù)為，所以，而顯然過與兩點，作出與的部分大致圖像如下，

考慮，即處與的大小關(guān)系，當時，，；當時，，；當時，，；所以由圖可知，與的交點個數(shù)為.故選：C.3．B【分析】根據(jù)給定的等差數(shù)列，寫出通項公式，再結(jié)合余弦型函數(shù)的周期及集合只有兩個元素分析、推理作答.【詳解】依題意，等差數(shù)列中，，顯然函數(shù)的周期為3，而，即最多3個不同取值，又，則在中，或或于是有或，即有，解得；或者，解得；所以，或.故選：B4．D【分析】根據(jù)題意分別求出其周期，再根據(jù)其最小值求出初相，代入即可得到答案.【詳解】因為在區(qū)間單調(diào)遞增，所以，且，則，，當時，取得最小值，則，，則，，不妨取，則，則，故選：D.5．C【分析】由的取值范圍得到的取值范圍，再結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)得到不等式組，解得即可．【詳解】解：依題意可得，因為，所以，要使函數(shù)在區(qū)間恰有三個極值點、兩個零點，又，的圖象如下所示：

則，解得，即．故選：C．6．BC【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的零點，最值，周期公式，對稱軸方程逐一分析每個選項即可.【詳解】A選項，令，解得，即為零點，令，解得，即為零點，顯然零點不同，A選項錯誤；B選項，顯然，B選項正確；C選項，根據(jù)周期公式，的周期均為，C選項正確；D選項，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)的對稱軸滿足，的對稱軸滿足，顯然圖像的對稱軸不同，D選項錯誤.故選：BC7．AD【分析】根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)逐個判斷各選項，即可解出．【詳解】由題意得：f2π3=sin即，又，所以時，，故．對A，當時，，由正弦函數(shù)圖象知在上是單調(diào)遞減；對B，當時，，由正弦函數(shù)圖象知只有1個極值點，由，解得，即為函數(shù)的唯一極值點；對C，當時，2x+2π3=3π，對D，由y'=2cos2x+2解得或,從而得：或,所以函數(shù)在點處的切線斜率為k=y'x=0=2切線方程為：y-32=-(x-0)故選：AD．8．2【分析】結(jié)合輔助角公式化簡成正弦型函數(shù)，再求給定區(qū)間最值即可.【詳解】，當時，，當時，即時，.故答案為：29．2【分析】利用偶函數(shù)的性質(zhì)得到，從而求得，再檢驗即可得解.【詳解】因為為偶函數(shù)，定義域為，所以，即，則，故，此時，所以，又定義域為，故為偶函數(shù)，所以.故答案為：2.考點突破考點突破【考點一】三角函數(shù)的運算一、單選題1．（2024·浙江寧波·二模）若為銳角，，則（

）A． B． C． D．2．（2024·湖南長沙·一模）若，則（

）A． B． C． D．二、多選題3．（23-24高三上·河南周口·階段練習）已知，則（

）A． B．C． D．4．（23-24高三上·廣東廣州·階段練習）已知函數(shù)，則（

）A．為奇函數(shù)B．的值域為C．的最小正周期為D．的圖象關(guān)于直線對稱三、填空題5．（2024·遼寧·模擬預測）已知，則.6．（2024·江蘇·一模）已知，且，，則．參考答案：題號1234答案ADABACD1．A【分析】根據(jù)同角關(guān)系得，即可由和差角公式求解.【詳解】為銳角，,故，所以，故選：A2．D【分析】根據(jù)三角函數(shù)同角關(guān)系結(jié)合誘導公式求得，然后結(jié)合二倍角余弦公式，利用1的代換化弦為切代入計算即可.【詳解】因為，所以，所以，所以.故選：D3．AB【分析】A選項由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式可解；B選項先結(jié)合誘導公式化簡，再利用兩角和與差的正切公式化簡求值；C選項將原式變形得，再代值求解；D選項活用“1”，再結(jié)合三角函數(shù)的基本關(guān)系式化簡求值.【詳解】對于A選項，，故A選項正確；對于B選項，，故B選項正確；對于C選項，，故C選項錯誤；對于D選項，，故D選項錯誤．故選：AB．4．ACD【分析】A.結(jié)合正弦函數(shù)的奇偶性，利用函數(shù)奇偶性的定義判斷；B.令，轉(zhuǎn)化為對勾函數(shù)求解判斷；C.結(jié)合誘導公式，利用周期函數(shù)的定義判斷；D.結(jié)合誘導公式，利用函數(shù)的對稱性判斷.【詳解】解：因為的定義域為，關(guān)于原點對稱，又，故是奇函數(shù)，故A正確；令，由對勾函數(shù)的性質(zhì)得，故B錯誤；因為，所以的最小正周期為，故C正確；因為，所以的圖象關(guān)于點直線對稱，故D正確；故選：ACD5．/【分析】利用誘導公式及二倍角的余弦公式可求得答案．【詳解】因為，則.故答案為：.6．/【分析】變形后得到，利用輔助角公式得到，得到，兩邊平方后得到，利用同角三角函數(shù)關(guān)系求出.【詳解】由題可知，所以，所以，因為，所以，又，所以，故，所以，兩邊平方后得，故，．故答案為：核心梳理：1．同角關(guān)系：sin2α＋cos2α＝1，eq\f(sinα,cosα)＝tanαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).2．誘導公式：在eq\f(kπ,2)＋α，k∈Z的誘導公式中“奇變偶不變，符號看象限”．2單+2多+2填+2解（有的加）0.85-0.65規(guī)律方法：(1)若α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，則sinα<α<tanα.(2)由(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα知，sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα三者知一可求二．【考點二】三角函數(shù)的圖象一、單選題1．（23-24高三上·浙江寧波·期末）將函數(shù)的圖象向右平移個單位后得到函數(shù)的圖象.若在上恰有三個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．2．（2024·全國·模擬預測）下列關(guān)于函數(shù)的四個結(jié)論中錯誤的是（

）A．的圖象關(guān)于原點對稱 B．的圖象關(guān)于點對稱C．的圖象關(guān)于直線對稱 D．在區(qū)間上單調(diào)遞增二、多選題3．（23-24高三下·重慶·開學考試）已知函數(shù)，則下列關(guān)于函數(shù)的說法，正確的是（

）A．的一個周期為B．的圖象關(guān)于對稱C．在上單調(diào)遞增D．的值域為4．（22-23高一上·廣東肇慶·期末）已知函數(shù)，部分圖象如圖所示，下列說法不正確的是（

）A．的圖象關(guān)于直線對稱B．的圖象關(guān)于點對稱C．將函數(shù)的圖象向左平移個單位得到函數(shù)的圖象D．若方程在上有兩個不相等的實數(shù)根，則m的取值范圍是三、填空題5．（2024·重慶·模擬預測）已知，過函數(shù)與函數(shù)的公共點作的切線，若存在一條經(jīng)過原點，則．6．（23-24高三上·北京海淀·期末）已知函數(shù).給出下列四個結(jié)論：①任意，函數(shù)的最大值與最小值的差為2；②存在，使得對任意，；③當時，對任意非零實數(shù)，；④當時，存在，，使得對任意，都有.其中所有正確結(jié)論的序號是.參考答案：題號1234答案ADABDABC1．A【分析】根據(jù)平移變換得到，且，結(jié)合函數(shù)零點個數(shù)得到不等式，求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】，由題意得，故當時，，顯然當，即為y=gx的一個零點，要想y=gx在上恰有三個不同的零點，若，解得，若，無解，若，無解.故選：A2．D【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義判斷A；根據(jù)函數(shù)的周期判斷B；根據(jù)函數(shù)的對稱軸判斷C；根據(jù)復合函數(shù)的性質(zhì)或切化弦判斷D【詳解】由，得且，因為，所以函數(shù)為奇函數(shù)，所以的圖象關(guān)于原點對稱，所以選項A正確．因為，所以是函數(shù)的一個周期，由選項A知點是函數(shù)的圖象的對稱中心，則也是函數(shù)的圖象的對稱中心，所以選項B正確．因為，所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，所以選項C正確．方法一：因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)在上單調(diào)遞增，由復合函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以選項D錯誤．方法二：因為，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以選項D錯誤．故選：D．3．ABD【分析】利用函數(shù)的對稱性與周期性結(jié)合誘導公式可判定A、B，再根據(jù)A、B結(jié)論及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)可判定C、D.【詳解】對于A，根據(jù)誘導公式可知：，故的一個周期為，即A正確；對于B，根據(jù)誘導公式可知：，所以的圖象關(guān)于對稱，即B正確；對于C，易知，即為偶函數(shù)，當時，，顯然此時函數(shù)單調(diào)遞減，由偶函數(shù)的對稱性可知時函數(shù)單調(diào)遞增，故C錯誤；由B結(jié)論可知為的一個周期，此區(qū)間上，故D正確.故選：ABD4．ABC【分析】根據(jù)函數(shù)的部分圖象求出函數(shù)解析式，然后根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)一一判斷．【詳解】解:由函數(shù)的圖象可得，由，求得．再根據(jù)五點法作圖可得，又，求得，∴函數(shù)，當時，，不是最值，故A不成立；當時，，不等于零，故B不成立；將函數(shù)的圖象向左平移個單位得到函數(shù)的圖象，故C不成立；當時，，∵，，故方程在上有兩個不相等的實數(shù)根時，則的取值范圍是，故D成立．故選:ABC.【點睛】本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是由函數(shù)的部分圖象求出函數(shù)解析式，屬于基礎題．5．1【分析】設與的一個交點坐標為，且過作的切線過原點，得出，求出切線方程及切線過原點得出，結(jié)合得出，即可計算出．【詳解】設與的一個交點坐標為，且過作的切線過原點，則，即，，，則，所以過上一點的切線為，由該切線過原點及得，，所以，解得，因為，所以，又，所以，則，故答案為：1．6．②④【分析】取可判斷①，取化簡后可判斷②，先化簡，取可判斷③，取可判斷④.【詳解】對于①，當時，其最大值為1，最小值為0，的最大值與最小值的差為1，故①錯誤；對于②，當時，，，因此對任意，，故②正確；對于③，，，當時，故③錯誤；對于④，當時，取，，使得對任意，都有，故正確.故答案為：②④核心梳理：由函數(shù)y＝sinx的圖象變換得到y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)圖象的步驟2單+2多+2填+2解（有的加）0.85-0.65規(guī)律方法：由三角函數(shù)的圖象求解析式y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)中參數(shù)的值(1)最值定A，B：根據(jù)給定的函數(shù)圖象確定最值，設最大值為M，最小值為m，則M＝A＋B，m＝－A＋B，解得B＝eq\f(M＋m,2)，A＝eq\f(M－m,2).(2)T定ω：由周期的求解公式T＝eq\f(2π,ω)，可得ω＝eq\f(2π,T).(3)特殊點定φ：代入特殊點求φ，一般代入最高點或最低點，代入中心點時應注意是上升趨勢還是下降趨勢．【考點三】三角函數(shù)的性質(zhì)一、單選題1．（2024·山東淄博·一模）已知函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．函數(shù)的最小正周期B．函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對稱C．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱D．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增2．（23-24高一上·浙江溫州·階段練習）已知函數(shù)，則的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B． C．， D．，3．（23-24高一下·江西贛州·期中）函數(shù)的圖象經(jīng)過點和點，則的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B．C． D．二、多選題4．（2024·山東濟寧·一模）已知函數(shù)，則下列說法中正確的是（

）A．若和為函數(shù)圖象的兩條相鄰的對稱軸，則B．若，則函數(shù)在上的值域為C．將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，若為奇函數(shù)，則的最小值為D．若函數(shù)在上恰有一個零點，則5．（2024·廣東·二模）下列函數(shù)中，是偶函數(shù)且在上單調(diào)遞增的是（

）A． B．C． D．6．（2024·浙江嘉興·二模）已知角的頂點與原點重合，它的始邊與軸的非負半軸重合，終邊過點，定義：.對于函數(shù)，則（

）A．函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱B．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增C．將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后得到一個偶函數(shù)的圖象D．方程在區(qū)間上有兩個不同的實數(shù)解三、填空題7．（2024·廣東深圳·一模）若函數(shù)的最小正周期為，其圖象關(guān)于點中心對稱，則．8．（23-24高三上·上海寶山·期末）若對于任意自然數(shù)，函數(shù)在每個閉區(qū)間上均有兩個零點，則正實數(shù)的最小值是.9．（2024·上海·三模）函數(shù)的最小正周期為．參考答案：題號123456答案DDDACDACAB1．D【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)逐項判斷即得.【詳解】對于A，函數(shù)的最小正周期，A錯誤；對于B，由，得函數(shù)f(x)的圖象不關(guān)于點對稱，B錯誤；對于C，由，得函數(shù)f(x)的圖象不關(guān)于直線對稱，C錯誤；對于D，當時，，而正弦函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，D正確.故選：D2．D【分析】利用余弦函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【詳解】，可化為，故單調(diào)增區(qū)間滿足：，，解得，.令，，令，，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間是，.故選：D3．D【分析】由條件列方程求，結(jié)合正切函數(shù)的性質(zhì)求的單調(diào)遞增區(qū)間.【詳解】依題意，，且，即且，因為，所以，則，所以，化簡得，因為，所以時，故，所以．由，得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間是．故選：D．4．ACD【分析】利用正弦型函數(shù)的周期公式可判斷A選項；利用正弦型函數(shù)的值域可判斷B選項；利用三角函數(shù)圖象變換以及正弦型函數(shù)的奇偶性可判斷C選項；利用正弦型函數(shù)的對稱性可判斷D選項.【詳解】對于A選項，若和為函數(shù)圖象的兩條相鄰的對稱軸，則函數(shù)的最小正周期為，則，所以，，此時，，合乎題意，A對；對于B選項，若，則，當時，則，所以，，故當時，則函數(shù)在上的值域為，B錯；對于C選項，將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，則為奇函數(shù)，所以，，解得，因為，當時，取最小值，C對；對于D選項，因為，當時，，因為函數(shù)在上恰有一個零點，則，解得，D對.故選：ACD.5．AC【分析】由偶函數(shù)的定義判斷奇偶性，由給定的區(qū)間，去掉絕對值，化簡選項中的函數(shù)式，在由正弦函數(shù)的單調(diào)性判斷區(qū)間是否符合函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，即可得到答案.【詳解】對于A：，為偶函數(shù)，當時，，，的單調(diào)遞減區(qū)間為，的遞增區(qū)間為，而，所以在上單調(diào)遞增，故A正確；對于B：，為偶函數(shù)，當時，，，的單調(diào)遞增區(qū)間為，的單調(diào)遞減區(qū)間為，而，所以在上單調(diào)遞減，故B錯誤；對于C：，為偶函數(shù)，當時，，的單調(diào)遞減區(qū)間為，則的單調(diào)遞增區(qū)間為，而，所以在上單調(diào)遞增，故C正確；對于D：，所以為非奇非偶函數(shù)，故D錯誤.故選：AC.6．AB【分析】由三角函數(shù)定義可得，根據(jù)題意，可得，利用正切函數(shù)的性質(zhì)依次判斷求解各個選項.【詳解】根據(jù)題意，，，對于A，由正切函數(shù)的性質(zhì)得，，解得，所以函數(shù)的對稱中心為，，故A正確；對于B，，，由正切函數(shù)的性質(zhì)可知在上單調(diào)遞增，故B正確；對于C，將的圖象向左平移個單位可得，為奇函數(shù)，故C錯誤；對于D，，，令，由正切函數(shù)的性質(zhì)可知在上單調(diào)遞增，且，在上單調(diào)遞增，且，所以方程在區(qū)間上只有一個實數(shù)解，故D錯誤.故選：AB.7．【分析】由三角函數(shù)的周期公式求出，再由正弦型函數(shù)的對稱中心即可求出.【詳解】由得，，所以，又的圖象關(guān)于點中心對稱，所以,解得，又，所以，.故答案為：8．【分析】根據(jù)整體法可得零點滿足，即可利用時，，求解符合條件的結(jié)合周期性驗證所求滿足其他區(qū)間即可.【詳解】令,則，函數(shù)的零點，當時，，此時符合條件的兩個零點為故，故，解得，當時，的零點為，因此零點為，結(jié)合三角函數(shù)的周期性可知：滿足每個閉區(qū)間上恰好有兩個零點。故答案為：9．【分析】利用函數(shù)的最小正周期計算公式即可求解.【詳解】因為的最小正周期為,所以函數(shù)的最小正周期為，所以函數(shù)的最小正周期為,故答案為：.核心梳理：函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性質(zhì)(1)單調(diào)性：由－eq\f(π,2)＋2kπ≤ωx＋φ≤eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)可得單調(diào)遞增區(qū)間，由eq\f(π,2)＋2kπ≤ωx＋φ≤eq\f(3π,2)＋2kπ(k∈Z)可得單調(diào)遞減區(qū)間．(2)對稱性：由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)可得對稱中心；由ωx＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)可得對稱軸．(3)奇偶性：當φ＝kπ(k∈Z)時，函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)為奇函數(shù)；當φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)時，函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)為偶函數(shù)．2單+2多+2填+2解（有的加）0.85-0.65規(guī)律方法：研究三角函數(shù)的性質(zhì)，首先化函數(shù)為f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋h的形式，然后結(jié)合正弦函數(shù)y＝sinx的性質(zhì)求f(x)的性質(zhì)，此時有兩種思路：一種是根據(jù)y＝sinx的性質(zhì)求出f(x)的性質(zhì)，然后判斷各選項；另一種是由x的值或范圍求得t＝ωx＋φ的范圍，然后由y＝sint的性質(zhì)判斷各選項．專題精練專題精練一、單選題1．（23-24高三上·江蘇揚州·期末）已知，則（

）A．0 B． C． D．12．（2024·廣東茂名·一模）若，，則（

）A． B． C． D．3．（2024·廣東江門·一模）已知角α的終邊上有一點，則=（

）A． B． C． D．4．（2024·黑龍江齊齊哈爾·一模）已知，則（

）A． B． C． D．5．（2024·四川瀘州·三模）已知函數(shù)（）在有且僅有三個零點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．（2023·江西九江·模擬預測）函數(shù)的部分圖象大致是（

）A． B．C． D．7．（2024·河南鄭州·一模）已知函數(shù)在上的值域為，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．8．（2024·河南·模擬預測）函數(shù)的圖象由函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得到，若函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，則的最小值為（

）A． B． C． D．二、多選題9．（23-24高三上·山東濱州·期末）已知函數(shù)，下列選項中正確的有（

）A．若的最小正周期，則B．當時，函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后得到的圖象C．若在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是D．若在區(qū)間上只有一個零點，則的取值范圍是10．（23-24高一上·四川宜賓·期末）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（

）A．的最小正周期為B．當時，的值域為C．將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度可得函數(shù)的圖象D．將函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標不變，得到的函數(shù)圖象關(guān)于點對稱11．（2024·山東濟南·一模）已知函數(shù)的圖象在y軸上的截距為，是該函數(shù)的最小正零點，則（

）A．B．恒成立C．在上單調(diào)遞減D．將的圖象向右平移個單位，得到的圖象關(guān)于軸對稱三、填空題12．（2024·湖南株洲·一模）已知函數(shù)（，），若為奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，則ω的最大值為.13．（2024·陜西西安·模擬預測）已知函數(shù)為偶函數(shù)，則．14．（2024·上海·一模）已知中，為其三個內(nèi)角，且都是整數(shù)，則．四、解答題15．（23-24高一下·廣東深圳·階段練習）函數(shù)的部分圖象如圖所示．

(1)求函數(shù)的解析式；(2)將函數(shù)的圖象先向右平移個單位，再將所有點的橫坐標縮短為原來的（縱坐標不變），得到函數(shù)的圖象，求在上的最大值和最小值；(3)若關(guān)于的方程在上有兩個不等實根，求實數(shù)的取值范圍．16．（2024·黑龍江哈爾濱·一模）已知函數(shù)．(1)當時，求函數(shù)在上的值域；(2)在中，內(nèi)角的對邊分別為為的平分線，若的最小正周期是，求的面積．17．（23-24高三上·山東濰坊·階段練習）已知函數(shù)的最小正周期為.(1)求在上的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)在銳角三角形中，內(nèi)角的對邊分別為且求的取值范圍.18．（2024·山東臨沂·一模）已知向量，，函數(shù).(1)若，且，求的值；(2)將圖象上所有的點向右平移個單位，然后再向下平移1個單位，最后使所有點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼?，得到函?shù)的圖象，當時，解不等式.19．（2024·江蘇鹽城·模擬預測）已知函數(shù)．(1)若方程在上有2個不同的實數(shù)根，求實數(shù)m的取值范圍；(2)在中，若，內(nèi)角A的角平分線，，求AC的長度．參考答案：題號12345678910答案ACAABCBDACDAD題號11答案AC1．A【分析】由兩角和與差的三角函數(shù)，結(jié)合求解.【詳解】已知，則，，，，則，，則.故選：A.2．C【分析】合理換元，求出關(guān)鍵數(shù)值，結(jié)合誘導公式處理即可.【詳解】令，，得，則，即，整理得，且，那么，則.故選：C.3．A【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義可求得的值，再利用誘導公式，即可求得答案.【詳解】由題意知角α的終邊上有一點，則，故，則，故選：A4．A【分析】利用換元法，結(jié)合誘導公式、二倍角公式等知識求得正確答案.【詳解】設，則.故選：A5．B【分析】當時，，依題意有，解出即可.【詳解】因為，所以，因為函數(shù)（）在有且僅有三個零點，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象可知，解得，故選：B.6．C【分析】判斷函數(shù)的奇偶性，并判斷時，函數(shù)值的正負，即可判斷選項.【詳解】，定義域為，關(guān)于原點對稱，由，所以為奇函數(shù)，排除BD；當時，，因為為上減函數(shù)，為上的增函數(shù)，則為上的減函數(shù)，且當，，則當，，故，排除A.故選：C.7．B【分析】根據(jù)題意可得，再利用值域可限定，解得的取值范圍為.【詳解】由及可得，根據(jù)其值域為，且，由正弦函數(shù)圖象性質(zhì)可得，即可得，解得.故選：B8．D【分析】首先利用平移規(guī)律求函數(shù)的解析式，再根據(jù)函數(shù)是奇函數(shù)的性質(zhì)，即可求解的值.【詳解】由題意可知，，因為函數(shù)關(guān)于原點對稱，所以，則，,得，且，所以.故選：D9．ACD【分析】利用最小正周期公式可得，可判斷A；利用三角函數(shù)圖象的平移可得，可判斷B；利用余弦函數(shù)的減區(qū)間列不等式組求的取值范圍，可判斷C；結(jié)合在區(qū)間0,π上只有一個零點，列不等式組可求的取值范圍，可判斷D.【詳解】對于A：由的最小正周期可得，又，解得，故A正確；對于B：當時，，將其圖象向右平移個單位長度后，得的圖象，故B錯誤；對于C：由x∈0,π得，令，則在區(qū)間上單調(diào)遞減，于是，解得，即，故C正確；對于D：因為在區(qū)間0,π上只有一個零點，所以在區(qū)間只有一個零點，于是，解得，即，故D正確.故選：ACD.10．AD【分析】利用圖象求函數(shù)解析式，根據(jù)解析式求函數(shù)最小正周期和區(qū)間內(nèi)的值域，求出函數(shù)圖象變換后的解析式，判斷新圖象的對稱中心.【詳解】由函數(shù)圖象可知，，的最小正周期為，A選項正確；，，，則，由，得，所以.當時，，，的值域為，B選項錯誤；將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度可得函數(shù)的圖象，C選項錯誤；將函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標不變，得到的函數(shù)的圖象，，函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，D選項正確.故選：AD11．AC【分析】由題意求出，然后由余弦型函數(shù)的性質(zhì)判斷即可.【詳解】函數(shù)的圖象在y軸上的截距為，所以，因為，所以.故A正確；又因為是該函數(shù)的最小正零點，所以，所以，解得，所以，，所以，故B錯誤；當時，，故C正確；將的圖象向右平移個單位，得到，是非奇非偶函數(shù)，圖象不關(guān)于軸對稱，故D錯誤.故選：AC.12．32/【分析】根據(jù)奇偶性先求解出的值，然后化簡，采用整體代換法得到所滿足的不等式組，由此分析并求解出的最大值.【詳解】因為為奇函數(shù)，所以，又因為，所以，所以，因為在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，因為，所以，所以，所以，當且僅當時能成立，所以，所以的最大值為，故答案為：.13．【分析】根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)得恒成立，利用兩角和與差的正弦公式化簡得恒成立，根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)可得結(jié)果.【詳解】函數(shù)為偶函數(shù)，所以恒成立，即，所以，即恒成立，又不恒成立，所以恒成立，即，又，所以，故答案為：.14．6【分析】不妨令，利用正切函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合已知求出，再利用和角的正切公式分析求解即得.【詳解】在中，不妨令，顯然為銳角，而是整數(shù)，若，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，此時與矛盾，因此，，，整理得，又都是整數(shù)，且，因此，所以.故答案為：615．(1)；(2)，；(3)．【分析】（1）利用函數(shù)圖象的頂點求出，利用周期求出，由特殊點求出，即可求出解析式；（2）利用三角函數(shù)