2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題四 立體幾何 第2講　空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系解析版

第2講空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系（新高考專用）目錄目錄【真題自測(cè)】 2【考點(diǎn)突破】 11【考點(diǎn)一】空間直線、平面位置關(guān)系的判定 11【考點(diǎn)二】空間平行、垂直關(guān)系 17【考點(diǎn)三】翻折問(wèn)題 27【專題精練】 34考情分析：高考對(duì)此部分的考查，一是空間線面關(guān)系的命題的真假判斷，以選擇題、填空題的形式考查，屬于基礎(chǔ)題；二是空間線線、線面、面面平行和垂直關(guān)系交匯綜合命題，一般以選擇題、填空題或解答題的第(1)問(wèn)的形式考查，屬中檔題．真題自測(cè)真題自測(cè)一、單選題1．（2024·上?！じ呖颊骖}）空間中有兩個(gè)不同的平面和兩條不同的直線，則下列說(shuō)法中正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則2．（2024·北京·高考真題）如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為4的正方形，，，該棱錐的高為（

）.A．1 B．2 C． D．3．（2024·全國(guó)·高考真題）設(shè)為兩個(gè)平面，為兩條直線，且.下述四個(gè)命題：①若，則或

②若，則或③若且，則

④若與,所成的角相等，則其中所有真命題的編號(hào)是（

）A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④4．（2023·北京·高考真題）坡屋頂是我國(guó)傳統(tǒng)建筑造型之一，蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)元素．安裝燈帶可以勾勒出建筑輪廓，展現(xiàn)造型之美．如圖，某坡屋頂可視為一個(gè)五面體，其中兩個(gè)面是全等的等腰梯形，兩個(gè)面是全等的等腰三角形．若，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面與平面的夾角的正切值均為，則該五面體的所有棱長(zhǎng)之和為（

）

A． B．C． D．5．（2023·全國(guó)·高考真題）在三棱錐中，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，，則該棱錐的體積為（

）A．1 B． C．2 D．36．（2023·天津·高考真題）在三棱錐中，點(diǎn)M,N分別在棱PC,PB上，且，，則三棱錐和三棱錐的體積之比為（

）A． B． C． D．7．（2022·全國(guó)·高考真題）在正方體中，E，F(xiàn)分別為的中點(diǎn)，則（

）A．平面平面 B．平面平面C．平面平面 D．平面平面二、解答題8．（2024·全國(guó)·高考真題）如圖，，，，,為的中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)求點(diǎn)到的距離.參考答案：題號(hào)1234567答案ADACABA1．A【分析】根據(jù)面面垂直的性質(zhì)結(jié)合線線以及線面的位置關(guān)系可判斷AB；根據(jù)面面平行的性質(zhì)結(jié)合線線以及線面的位置關(guān)系可判斷CD；【詳解】對(duì)于A，若，則或，又，當(dāng)時(shí)，在內(nèi)必存在直線l和m平行，則；當(dāng)時(shí)，顯然有，所以，故A正確；對(duì)于B，若，則或，由，則與斜交、垂直、平行均有可能，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，則或，由，則與相交、平行、異面均有可能，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，則或，又，則或，故D錯(cuò)誤.故選：A.2．D【分析】取點(diǎn)作輔助線，根據(jù)題意分析可知平面平面，可知平面，利用等體積法求點(diǎn)到面的距離.【詳解】如圖，底面為正方形，當(dāng)相鄰的棱長(zhǎng)相等時(shí)，不妨設(shè)，分別取的中點(diǎn)，連接，則，且，平面，可知平面，且平面，所以平面平面，過(guò)作的垂線，垂足為，即，由平面平面，平面，所以平面，由題意可得：，則，即，則，可得，所以四棱錐的高為.當(dāng)相對(duì)的棱長(zhǎng)相等時(shí)，不妨設(shè)，，因?yàn)?，此時(shí)不能形成三角形，與題意不符，這樣情況不存在.故選：D.3．A【分析】根據(jù)線面平行的判定定理即可判斷①；舉反例即可判斷②④；根據(jù)線面平行的性質(zhì)即可判斷③.【詳解】對(duì)①，當(dāng)，因?yàn)?，，則，當(dāng)，因?yàn)椋?，則，當(dāng)既不在也不在內(nèi)，因?yàn)?，，則且，故①正確；對(duì)②，若，則與不一定垂直，故②錯(cuò)誤；對(duì)③，過(guò)直線分別作兩平面與分別相交于直線和直線，因?yàn)椋^(guò)直線的平面與平面的交線為直線，則根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理知，同理可得，則，因?yàn)槠矫?，平面，則平面，因?yàn)槠矫?，，則，又因?yàn)?，則，故③正確；對(duì)④，若與和所成的角相等，如果，則，故④錯(cuò)誤；綜上只有①③正確，故選：A.4．C【分析】先根據(jù)線面角的定義求得，從而依次求，，，，再把所有棱長(zhǎng)相加即可得解.【詳解】如圖，過(guò)做平面，垂足為，過(guò)分別做，，垂足分別為，，連接，

由題意得等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面與底面夾角分別為和，所以.因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)?，平面，，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以?同理：，又，故四邊形是矩形，所以由得，所以，所以，所以在直角三角形中，在直角三角形中，，，又因?yàn)椋欣忾L(zhǎng)之和為.故選：C5．A【分析】證明平面，分割三棱錐為共底面兩個(gè)小三棱錐，其高之和為AB得解.【詳解】取中點(diǎn)，連接，如圖，

是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，，，又平面，，平面，又，，故，即，所以，故選：A6．B【分析】分別過(guò)作,垂足分別為.過(guò)作平面，垂足為，連接,過(guò)作,垂足為.先證平面，則可得到，再證.由三角形相似得到，，再由即可求出體積比.【詳解】如圖，分別過(guò)作,垂足分別為.過(guò)作平面，垂足為，連接,過(guò)作,垂足為.

因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面平?又因?yàn)槠矫嫫矫妫?，平面，所以平面，?在中，因?yàn)?，所以，所以，在中，因?yàn)?，所以，所?故選：B7．A【分析】證明平面，即可判斷A；如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，分別求出平面，，的法向量，根據(jù)法向量的位置關(guān)系，即可判斷BCD.【詳解】解：在正方體中，且平面，又平面，所以，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，所以，又，所以平面，又平面，所以平面平面，故A正確；選項(xiàng)BCD解法一：如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，則，，設(shè)平面的法向量為，則有，可取，同理可得平面的法向量為，平面的法向量為，平面的法向量為，則，所以平面與平面不垂直，故B錯(cuò)誤；因?yàn)榕c不平行，所以平面與平面不平行，故C錯(cuò)誤；因?yàn)榕c不平行，所以平面與平面不平行，故D錯(cuò)誤，故選：A.選項(xiàng)BCD解法二：解：對(duì)于選項(xiàng)B，如圖所示，設(shè)，，則為平面與平面的交線，在內(nèi)，作于點(diǎn)，在內(nèi)，作，交于點(diǎn)，連結(jié)，則或其補(bǔ)角為平面與平面所成二面角的平面角，由勾股定理可知：，，底面正方形中，為中點(diǎn)，則，由勾股定理可得，從而有：，據(jù)此可得，即，據(jù)此可得平面平面不成立，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，取的中點(diǎn)，則，由于與平面相交，故平面平面不成立，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，取的中點(diǎn)，很明顯四邊形為平行四邊形，則，由于與平面相交，故平面平面不成立，選項(xiàng)D錯(cuò)誤；故選：A.8．(1)證明見詳解；(2)【分析】（1）結(jié)合已知易證四邊形為平行四邊形，可證，進(jìn)而得證；（2）先證明平面，結(jié)合等體積法即可求解.【詳解】（1）由題意得，，且，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面平面，所以平面；（2）取的中點(diǎn)，連接，，因?yàn)?，且，所以四邊形是平行四邊形，所以，又，故是等腰三角形，同理是等腰三角形，可得，又，所以，?又平面，所以平面，易知.在中，，所以.設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由，得，得，故點(diǎn)到平面的距離為.考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破【考點(diǎn)一】空間直線、平面位置關(guān)系的判定核心梳理：判斷空間直線、平面位置關(guān)系的常用方法(1)根據(jù)空間線面平行、垂直的判定定理和性質(zhì)定理逐項(xiàng)判斷，解決問(wèn)題．(2)必要時(shí)可以借助空間幾何模型，如從長(zhǎng)方體、四面體等模型觀察線、面的位置關(guān)系，并結(jié)合有關(guān)定理進(jìn)行判斷．一、單選題1．（22-23高三上·浙江杭州·期中）如圖，在正方體中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱，的中點(diǎn)，點(diǎn)G是棱的中點(diǎn)，則過(guò)線段AG且平行于平面的截面圖形為（

）A．等腰梯形 B．三角形 C．正方形 D．矩形2．（2022·福建福州·三模）在底面半徑為1的圓柱中，過(guò)旋轉(zhuǎn)軸作圓柱的軸截面ABCD，其中母線AB=2，E是弧BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)，則（）A．AE=CF，AC與EF是共面直線B．，AC與EF是共面直線C．AE=CF，AC與EF是異面直線D．，AC與EF是異面直線二、多選題3．（2022·河北廊坊·模擬預(yù)測(cè)）我們知道，平面幾何中有些正確的結(jié)論在空間中不一定成立．下面給出的平面幾何中的四個(gè)真命題，在空間中仍然成立的有（

）A．平行于同一條直線的兩條直線必平行B．垂直于同一條直線的兩條直線必平行C．一個(gè)角的兩邊分別平行于另一個(gè)角的兩邊，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)D．一個(gè)角的兩邊分別垂直于另一個(gè)角的兩邊，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)4．（2022·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)是棱長(zhǎng)為的正方體中的側(cè)面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（包含邊界），則下列結(jié)論正確的是（

）A．有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)滿足B．當(dāng)點(diǎn)在棱上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的最小值為C．若，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為D．在線段上存在點(diǎn)，使異面直線與所成的角是三、填空題5．（2022·山東濟(jì)南·二模）下列命題：①平行于同一條直線的兩條直線平行；②如果平面外的一條直線平行于平面內(nèi)的一條直線，那么該直線與這個(gè)平面平行；③如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行；④如果一條直線和平面內(nèi)的兩條直線垂直，那么該直線垂直于這個(gè)平面；⑤如果一條直線和平面的一條斜線在平面內(nèi)的射影垂直，那么直線也和斜線垂直．其中正確命題的序號(hào)為．6．（2022·四川綿陽(yáng)·三模）在棱長(zhǎng)為3的正方體中，已知點(diǎn)P為棱上靠近于點(diǎn)的三等分點(diǎn)，點(diǎn)Q為棱CD上一動(dòng)點(diǎn)．若M為平面與平面的公共點(diǎn)，N為平面與平面ABCD的公共點(diǎn)，且點(diǎn)M，N都在正方體的表面上，則由所有滿足條件的點(diǎn)M，N構(gòu)成的區(qū)域的面積之和為．參考答案：題號(hào)1234答案ADACAC1．A【分析】利用平行作出截面圖形，即可判斷形狀.【詳解】取BC中點(diǎn)H，連接AH，GH，，.如下圖所示：由題意得，.又平面，平面，平面，同理平面.又，平面，平面平面，故過(guò)線段且與平面平行的截面為四邊形，顯然四邊形為等腰梯形.故選：A2．D【分析】在圓柱中，利用勾股定理求解，再利用異面直線的定義進(jìn)行判斷得出結(jié)果.【詳解】如圖，在底面半徑為1的圓柱中，母線，，是的中點(diǎn)，則，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，又，則，，，，在中，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，，與是共面直線，若AC與EF是共面直線，則在同一平面，顯然矛盾，故AC與EF是異面直線故選：D．3．AC【分析】根據(jù)線線平行傳遞性和課本中的定理可判斷AC正確；垂直于同一條直線的兩條直線位置關(guān)系不確定，可判斷B，通過(guò)舉反例可判斷D.【詳解】根據(jù)線線平行具有傳遞性可知A正確；空間中垂直于同一條直線的兩條直線，位置關(guān)系可能是異面、相交、平行，故B錯(cuò)誤；根據(jù)定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)可知C正確；如圖，且，則但和的關(guān)系不確定，故D錯(cuò)誤.故選：AC4．AC【分析】對(duì)于A，根據(jù)線面垂直性質(zhì)定理以及判定定理，可得其正誤；對(duì)于B，利用“將軍飲馬”模型，旋轉(zhuǎn)平面化折為直，結(jié)合勾股定理，可得其正誤；對(duì)于C，利用直觀想象圓錐的模型，利用勾股定理，求得其底面軌跡，可得其正誤；對(duì)于D，根據(jù)異面直線夾角的定義，利用數(shù)形結(jié)合以及三角函數(shù)的定義，可得其正誤.【詳解】對(duì)于A，若M在上，則此時(shí)有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)M滿足，證明如下：由正方體的性質(zhì)得平面，因?yàn)槠矫?，所?又，，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，即此時(shí)有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)M滿足，故A正確；對(duì)于B，旋轉(zhuǎn)平面使之與平面共面，如圖中，連接交于點(diǎn)M，此時(shí)最短為，大小為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)點(diǎn)在平面內(nèi)時(shí)，面，面，則，所以，所以，所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半徑為的圓弧，從而動(dòng)點(diǎn)軌跡長(zhǎng)度為，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)椋灾本€與所成的角，即為直線與所成角，即或其補(bǔ)角，由在線段上存在點(diǎn)知，，由，得，即最小值大于，故D錯(cuò)誤.故選：AC.5．①②③【分析】根據(jù)線線、線面和面面位置關(guān)系有關(guān)知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】①，根據(jù)平行公理可知：平行于同一條直線的兩條直線平行.所以①正確，②，根據(jù)線面平行的判定定理可知：如果平面外的一條直線平行于平面內(nèi)的一條直線，那么該直線與這個(gè)平面平行，所以②正確.③，結(jié)合面面平行的判定定理可知：如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行.所以③正確.④，如果一條直線和平面內(nèi)的兩條直線垂直，那么該直線可能在這個(gè)平面內(nèi)，所以④錯(cuò)誤.⑤，如果一條直線和平面的一條斜線在平面內(nèi)的射影垂直，直線時(shí)，，但與不垂直.所以⑤錯(cuò)誤.故答案為：①②③6．【分析】利用面面平行性質(zhì)定理找到點(diǎn)、點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，然后各自計(jì)算其區(qū)域面積，然后加在一起即可.【詳解】由已知得：平面與平面的交線與平行，M軌跡為平面與平面的交線在矩形內(nèi)線段所構(gòu)成的圖形，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，M軌跡為線段，當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)沿往點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，M軌跡為以為一端點(diǎn),另一端點(diǎn)落在線段上的線段，其中為棱上靠近于點(diǎn)的三等分點(diǎn)，綜上，M軌跡為線段以及三角形及其內(nèi)部，所以點(diǎn)構(gòu)成區(qū)域的面積為，同理可得軌跡為平面與平面的交線在矩形內(nèi)線段所構(gòu)成的圖形，構(gòu)成區(qū)域?yàn)樘菪?面積為，所以M，N構(gòu)成的區(qū)域的面積之和為.故答案為：.規(guī)律方法：對(duì)于線面關(guān)系的存在性問(wèn)題，一般先假設(shè)存在，然后再在該假設(shè)條件下，利用線面位置關(guān)系的相關(guān)定理、性質(zhì)進(jìn)行推理論證，尋找假設(shè)滿足的條件，若滿足，則假設(shè)成立；若得出矛盾，則假設(shè)不成立．【考點(diǎn)二】空間平行、垂直關(guān)系核心梳理：平行關(guān)系及垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化一、單選題1．（2022·陜西榆林·模擬預(yù)測(cè)）已知、是兩條不同的直線，、是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則2．（2022·貴州貴陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知、表示兩條不同的直線，表示平面，則下面四個(gè)命題正確的是（

）①若，，則；

②若，，則；③若，，則；

④若，，則．A．①② B．②③ C．①③ D．③④二、多選題3．（22-23高三上·河北·階段練習(xí)）設(shè)m，n為不重合的直線，，，為不重合的平面，下列是成立的充分條件的有（

）A．，，B．，，，，C．，D．，4．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在三棱錐中，⊥，，D為AB的中點(diǎn)，且為等邊三角形，，，則下列判斷正確的是（

）A．平面SBCB．平面⊥平面SACC．D．三、填空題5．（2022·四川廣安·二模）如圖，正方體的棱長(zhǎng)是2，S是的中點(diǎn)，P是的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在正方形及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，若平面，則點(diǎn)Q的軌跡的長(zhǎng)度是.6．（2022·河南·模擬預(yù)測(cè)）在四棱錐中，底面為矩形，平面平面，，，則四棱錐外接球的表面積為.四、解答題7．（2022·內(nèi)蒙古呼和浩特·一模）如圖，在四棱錐中，平面，，，，分別為的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求點(diǎn)到平面的距離.8．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐中，平面平面，底面ABCD為菱形，為等邊三角形，E為AD的中點(diǎn).(1)求證：；(2)若，求點(diǎn)A到平面PCD的距離.參考答案：題號(hào)1234答案ADBDABC1．A【分析】根據(jù)空間線面的位置關(guān)系的判定方法進(jìn)行判斷.【詳解】對(duì)A：因?yàn)榇怪庇谕黄矫娴膬蓷l直線一定平行，故A正確；對(duì)B：若，，則或，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：因?yàn)槠叫杏谕粋€(gè)平面的兩條直線的位置關(guān)系不能確定，所以C錯(cuò)誤；對(duì)D：若，，則或，故D錯(cuò)誤.故選：A2．D【分析】借助長(zhǎng)方體模型考察直線是否可在平面內(nèi)，可判斷①②；在平面內(nèi)取兩條相交直線m，n，根據(jù)線面垂直判定定理可判斷③；利用線面平行的性質(zhì)定理和異面直線夾角定義可判斷④.【詳解】長(zhǎng)方體中，平面為平面，直線BC為直線b，如圖，當(dāng)直線AD為直線a時(shí)，滿足，，而，①不正確；當(dāng)直線為直線a時(shí)，滿足，，而，②不正確；在平面內(nèi)取兩條相交直線m，n，如圖，因，則，而，則，又，m，n是相交直線，∴，③正確；因，過(guò)直線b作平面，如圖，則有，又，，于是得，從而得，④正確，∴給定命題正確的是③④.故選：D.3．BD【分析】通過(guò)舉反例判斷選項(xiàng)錯(cuò)誤或通過(guò)定理與證明得出選項(xiàng)正確.【詳解】對(duì)于A，如圖，有，，，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由平面與平面平行的判定定理，有，，，，，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C，如圖，有，，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由已知如圖，∵，∴設(shè)，過(guò)直線任作一平面，設(shè)，，∵，，∴，∵，，∴，∵，，均在平面內(nèi)，∴，又∵，，∴，同理，作另一平面，設(shè)，，可以證明，∵，，，∴.∴有，，故選項(xiàng)D正確.故選：BD.4．ABC【分析】A選項(xiàng)：先由三線合一得到，結(jié)合得到平面SBC，A正確；B選項(xiàng)：由選項(xiàng)A得到，結(jié)合⊥，得到⊥平面SAC，故平面平面ABC，故B正確；C選項(xiàng)：作出輔助線，得到，由勾股定理求出，故，得到平面CDE，所以，C正確；D選項(xiàng)：假設(shè)成立，證明出平面SAB．，．結(jié)合C選項(xiàng)推出矛盾，D不正確.【詳解】A選項(xiàng)：因?yàn)槭钦切危裕驗(yàn)镈是AB的中點(diǎn)，所以，所以．又，，平面SBC，平面SBC，所以平面SBC，所以A正確．B選項(xiàng)：由選項(xiàng)A知平面SBC，又平面SBC，所以．因?yàn)椤?，，平面SAC，平面SAC，所以⊥平面SAC．因?yàn)槠矫鍭BC，所以平面平面ABC，故B正確．C選項(xiàng)：如圖，取SB的中點(diǎn)E，連接CE，DE，因?yàn)闉榈冗吶切?，則．易知．在中，，所以．在中，，所以，所以，又，，平面CDE，平面CDE，所以平面CDE．而平面CDE，所以，所以C正確．D選項(xiàng)：假設(shè)成立，因?yàn)?，，平面SAB，平面SAB，所以平面SAB．因?yàn)槠矫鍿AB，所以，．而由選項(xiàng)C知，，所以，這與三角形內(nèi)角和定理矛盾，所以假設(shè)不成立，即不成立，所以D不正確．故選：ABC5．【分析】作交于E，連接，易證平面平面，設(shè)平面平面=EF，則在上求解.【詳解】解：如圖所示：要使平面，作交于E，則平面，因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)是2，所以，連接，取的中點(diǎn)，連接，則為平行四邊形，則，則平面，又，所以平面平面，設(shè)平面平面=EF，則，連接，則為平行四邊形，在上，所以，故答案為：6．【分析】先利用球的性質(zhì)推得底面，從而推得外接球球心是外接圓的圓心，在中利用正弦定理求得，由此即可求得所求.【詳解】記的中點(diǎn)為，四棱錐外接球球心為，連接，在中過(guò)作交于，如圖，因?yàn)榈酌鏋榫匦?，為的中點(diǎn)，所以是底面外接圓的圓心，所以底面，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，，平面，所以底面，所以，又，所以共線，因?yàn)槠矫?，所以平面，則在面內(nèi)，所以四棱錐外接球的球心是外接圓的圓心，設(shè)外接球的半徑為，在中，因?yàn)?，，所以，則由正弦定理得，得，所以四棱錐外接球的表面積為.故答案為：..7．(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理，轉(zhuǎn)化為證明平面平面，即可證明線面平行；（2）方法一，利用等體積轉(zhuǎn)化，即可求點(diǎn)到平面的距離；方法二，同樣利用等體積轉(zhuǎn)化，即可求解.【詳解】（1）證明連接，∵分別為的中點(diǎn)，∴，∵直線不在平面內(nèi)，平面，∴平面，∵，，∴，且.∴四邊形為平行四邊形，即，∵直線不在平面內(nèi)，平面，∴平面，∵平面，∴平面平面，平面，則平面.（2）方法1：設(shè)到平面的距離為，因?yàn)槠矫?，所以，由于，所以四邊形是平行四邊形，由于，所以，由于平面，所以平面，而平面，則，由得，即；方法2：∵，，又平面，∴，又，平面，∴平面，而平面，∴.設(shè)，則，，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由，得，則.∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離為.8．(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理證明線面垂直，再利用線面垂直的性質(zhì)定理證明線線垂直；（2）利用等體積法求解點(diǎn)面距離即可.【詳解】（1）如圖，

取的中點(diǎn)，連接，，，因?yàn)闉榈冗吶切?，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，是交線，平面，所以平面，所以.因?yàn)榈酌鏋榱庑?，所以，因?yàn)?，分別是，的中點(diǎn)，所以，所以，因?yàn)椋矫?，平面，所以平面，又平面，所?（2）如圖，連接，.

因?yàn)榈酌鏋榱庑?，，所以是等邊三角形，易?由（1）得，平面，平面，平面，所以，，所以.在中，由余弦定理可得，在中，，所以，即.設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由得，即，解得，即點(diǎn)到平面的距離為.規(guī)律方法：(1)證明線線平行的常用方法①三角形的中位線定理；②平行公理；③線面平行的性質(zhì)定理；④面面平行的性質(zhì)定理．(2)證明線線垂直的常用方法①等腰三角形三線合一；②勾股定理的逆定理；③利用線面垂直的性質(zhì)證線線垂直．【考點(diǎn)三】翻折問(wèn)題核心梳理：翻折問(wèn)題，關(guān)鍵是分清翻折前后圖形的位置和數(shù)量關(guān)系的變與不變，一般地，位于“折痕”同側(cè)的點(diǎn)、線、面之間的位置和數(shù)量關(guān)系不變，而位于“折痕”兩側(cè)的點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系會(huì)發(fā)生變化；對(duì)于不變的關(guān)系應(yīng)在平面圖形中處理，而對(duì)于變化的關(guān)系則要在立體圖形中解決．一、單選題1．（2022·浙江寧波·模擬預(yù)測(cè)）在等腰梯形中，，，AC交BD于O點(diǎn)，沿著直線BD翻折成，所成二面角的大小為，則下列選項(xiàng)中錯(cuò)誤的是（

）A． B．C． D．二、多選題2．（2022·重慶沙坪壩·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，已知，是的中點(diǎn)，沿直線將翻折成，設(shè)直線與面所成角為，二面角的平面角為，則（

）A． B． C． D．三、填空題3．（2022·四川德陽(yáng)·二模）如圖，矩形中，，為邊的中點(diǎn)，將沿翻折成，若為線段的中點(diǎn)，則在翻折過(guò)程中，下列說(shuō)法正確的是．①翻折到某個(gè)位置，使得②翻折到某個(gè)位置，使得平面③四棱錐體積的最大值為④點(diǎn)M在某個(gè)球面上運(yùn)動(dòng)四、解答題4．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖1，在等邊中，是邊上的高，、分別是和邊的中點(diǎn)，現(xiàn)將沿翻折成使得平面平面，如圖2.

(1)求證：平面；(2)在線段上是否存在一點(diǎn)，使？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.參考答案：題號(hào)12答案CBC1．C【分析】由翻折中的邊角變化，利用圖形特征以及余弦定理,以及特殊位置排除即可做出判斷.【詳解】等腰梯形中，，,可知：取中點(diǎn),中點(diǎn)連接,則，,所以為二面角的平面角，即設(shè)，則,,因?yàn)樵谏嫌嘞液瘮?shù)單調(diào)遞減，又，故A對(duì).當(dāng)時(shí),與重合,此時(shí),故C不對(duì).在翻折的過(guò)程中，角度從減少到在翻折的過(guò)程中，角度從減少到BD選項(xiàng)根據(jù)圖形特征及空間關(guān)系，可知正確..故選:C2．BC【分析】構(gòu)造出二面角和線面角之后，再比較大小即可【詳解】對(duì)于A，顯然錯(cuò)誤，而對(duì)于B，當(dāng)，時(shí)顯然成立當(dāng)且時(shí)，分類討論如下①若,則，則即為二面角的平面角,即又，，平面，平面，所以平面，又平面所以平面平面所以在平面上的射影即為所以即為與平面所成的角，即此時(shí)，②若與不垂直,過(guò)點(diǎn)作垂直直線于點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作垂直直線于點(diǎn),則可知分別在點(diǎn)的兩邊,如圖所示,將線段平移到線段處，過(guò)作垂直于點(diǎn)，連接因?yàn)?，，所以則即為二面角的平面角,即又，，平面，平面，所以平面，又平面所以平面平面又平面，平面平面，，所以平面所以即為與平面所成的角，即在中，在中，因?yàn)椋?，所以綜上，故B正確對(duì)于C，當(dāng)且時(shí)顯然成立當(dāng)，且時(shí)，由B選項(xiàng)的討論可知，成立故C正確對(duì)于D設(shè),則由題意知.在空間圖形中,連結(jié),設(shè).在中,在中,,.同理,,故.由題意平面,故.在中,在中,（當(dāng)時(shí)取等號(hào)）,,而在上為遞減函數(shù),故D錯(cuò)誤故選：BC3．①③④【分析】對(duì)于①，當(dāng)時(shí)，即時(shí)滿足條件；對(duì)于②，由于不成立，進(jìn)而可判斷；對(duì)于③，當(dāng)平面平面時(shí)，四棱錐體積的最大，再求解即可；對(duì)于④，取中點(diǎn)，連接，即可得在以點(diǎn)為球心的球面上．【詳解】解：對(duì)于①，由題知，若存在某個(gè)位置使得，由于，平面，所以平面，又平面，即，由于，故，由于在折疊過(guò)程中，，所以存在某個(gè)位置，使得，故存在某個(gè)位置，使得，故①正確；對(duì)于②，若存在某個(gè)位置，使得平面，因?yàn)槠矫?，所以，另一方面，在矩形中，，故不成立，所以②錯(cuò)誤；對(duì)于③，四棱錐體積的最大時(shí)，平面平面，由于是等腰直角三角形，所以此時(shí)點(diǎn)到平面的距離為，所以四棱錐體積的最大值為，故③正確；對(duì)于④，取中點(diǎn)，連接，由于為線段的中點(diǎn)，所以，所以在以點(diǎn)為球心的球面上，故④正確．故答案為：①③④．4．(1)證明見解析(2)存在，且【分析】（1）利用中位線的性質(zhì)可得出，再利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論成立；（2）在線段上取點(diǎn)，使，過(guò)點(diǎn)在平面內(nèi)作于點(diǎn)，連接，利用面面垂直的性質(zhì)推導(dǎo)出平面，可得出，可得出，推導(dǎo)出，可得出平面，再利用線面垂直的性質(zhì)可得出結(jié)論.【詳解】（1）證明：如圖1，在中，、分別是和邊的中點(diǎn)，所以，，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，平?（2）解：在線段上取點(diǎn)，使，過(guò)點(diǎn)在平面內(nèi)作于點(diǎn)，連接.

由題意得，平面平面.因?yàn)?，平面平面，平面平面，平面，所以，平面，因?yàn)槠矫妫裕?在中，因?yàn)椋?，所以，，所以，，翻折前，為等邊三角形，則，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，，即，翻折后，仍有，所以，，故，在中，，因?yàn)?，則.又因?yàn)椋瑒t平分，因?yàn)槭切边吷系闹芯€，則，且，所以，是等邊三角形，則，又因?yàn)?，、平面，所以，平面，因?yàn)槠矫?，所以，，綜上，在線段上存在一點(diǎn)，且當(dāng)時(shí)，.規(guī)律方法：注意圖形翻折前后變與不變的量以及位置關(guān)系．對(duì)照前后圖形，弄清楚變與不變的元素后，再立足于不變的元素的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系去探求變化后的元素在空間中的位置與數(shù)量關(guān)系．專題精練專題精練一、單選題1．（2023·陜西榆林·二模）下列說(shuō)法中正確的是（

）A．平行于同一直線的兩個(gè)平面平行B．垂直于同一平面的兩個(gè)平面垂直C．一塊蛋糕3刀可以切成6塊D．一條直線上有兩個(gè)點(diǎn)到一平面的距離相等，則這條直線在平面內(nèi)2．（2024·安徽·模擬預(yù)測(cè)）如圖是正方體的平面展開圖，則在這個(gè)正方體中，①BM與平行；②與是異面直線；③與BM成角；④與垂直．以上四個(gè)結(jié)論中，正確結(jié)論的序號(hào)是（

）

A．①②③ B．②④ C．③④ D．①③④3．（2023·四川綿陽(yáng)·三模）下列說(shuō)法中正確的是?（

）A．命題“若?，則?”的逆命題是真命題B．命題“?或?"為真命題，則命題?和命題?均為真命題C．命題“?”的否定為：“?”D．直線?不在平面?內(nèi)，則“?上有兩個(gè)不同的點(diǎn)到?的距離相等”是“?”的充要條件4．（2024·四川·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)為兩條不同的直線，為兩個(gè)不同的平面，下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，，則B．若與所成的角相等，則C．若，，則D．若，則5．（2024·江西新余·模擬預(yù)測(cè)）已知是三個(gè)不同的平面，為兩條不同直線，則下列說(shuō)法正確的是：（

）.A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則6．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，四棱錐是棱長(zhǎng)均為2的正四棱錐，三棱錐是正四面體，G為的中點(diǎn)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．點(diǎn)共面 B．平面平面C． D．平面ACD7．（2024·四川樂(lè)山·三模）在三棱柱中，點(diǎn)在棱上，滿足，點(diǎn)在棱上，且，點(diǎn)在直線上，若平面，則（

）A．2 B．3 C．4 D．58．（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測(cè)）如圖，正三棱柱的底面邊長(zhǎng)是2，側(cè)棱長(zhǎng)是，為的中點(diǎn)，是側(cè)面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且平面，則點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度為（

）A． B．2 C． D．4二、多選題9．（24-25高三上·江西九江·開學(xué)考試）已知正方體的體積為8，線段的中點(diǎn)分別為，動(dòng)點(diǎn)在下底面內(nèi)（含邊界），動(dòng)點(diǎn)在直線上，且，則（

）A．三棱錐的體積為定值B．動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為C．不存在點(diǎn)，使得平面D．四面體DEFG體積的最大值為10．（2023·廣東韶關(guān)·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，正方體的棱長(zhǎng)為1，，分別是棱，的中點(diǎn)，過(guò)直線的平面分別與棱，交于點(diǎn)，，以下四個(gè)命題中正確的是（

）

A．四邊形一定為矩形 B．平面平面C．四棱錐體積為 D．四邊形的周長(zhǎng)最小值為11．（2022·廣東茂名·一模）如圖是一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方體的平面展開圖，M為棱AE的中點(diǎn)，點(diǎn)N為平面EFGH內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，若平面BDG，下列結(jié)論正確的為（

）A．點(diǎn)N的軌跡為正方形EFGH的內(nèi)切圓的一段圓弧B．存在唯一的點(diǎn)N，使得M，N，G，D四點(diǎn)共面C．無(wú)論點(diǎn)N在何位置．總有D．MN長(zhǎng)度的取值范圍為三、填空題12．（2024·黑龍江·三模）如圖所示，中，，分別是邊上的點(diǎn)，，將沿折起，點(diǎn)折起后的位置記為點(diǎn)，得到四棱錐，則四棱錐體積的最大值為.

13．（2024·四川德陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在棱長(zhǎng)都相等的正三棱柱中，若為棱的中點(diǎn)，則直線與直線所成的角為．14．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）三棱錐的所有棱長(zhǎng)均為2，E，F(xiàn)分別為線段BC與AD的中點(diǎn)，M，N分別為線段AE與CF上的動(dòng)點(diǎn)，若平面ABD，則線段MN長(zhǎng)度的最小值為．四、解答題15．（2023·四川攀枝花·一模）如圖，在四棱柱中，平面，，，，且，.(1)求證：平面；(2)求證：.16．（2024·北京海淀·模擬預(yù)測(cè)）如圖，矩形，，平面，，，，，平面與棱交于點(diǎn).再?gòu)臈l件①、條件②、條件③，這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知.(1)求證：；(2)求直線與平面夾角的正弦值；(3)求的值.條件①：；條件②：；條件③：.17．（2024·江蘇徐州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在斜三棱柱中，為邊長(zhǎng)為3的正三角形，側(cè)面為正方形，在底面內(nèi)的射影為點(diǎn)O．

(1)求證：；(2)若，求直線和平面的距離．18．（2024·湖南湘西·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐中，平面是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，，．

(1)證明：平面平面；(2)若平面與平面夾角的余弦值為，求的長(zhǎng)．19．（2024·湖南衡陽(yáng)·一模）如圖所示，在三棱柱中，，側(cè)面底面，，分別為棱和的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)若，且平面平面，求二面角的余弦值大小.參考答案：題號(hào)12345678910答案CCCDCDDBACDBC題號(hào)11答案BCD1．C【分析】對(duì)ABD舉出反例即可，對(duì)B畫出滿足題意的截面即可.【詳解】對(duì)A，平行于同一直線的兩個(gè)平面可以平行也可以相交，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，垂直同一個(gè)平面的兩個(gè)平面不一定互相垂直，也可以相交、平行，故B錯(cuò)誤.對(duì)C，作蛋糕截面如圖所示，一個(gè)蛋糕切3刀可以切成塊，故C正確；對(duì)D，一條直線上有兩個(gè)點(diǎn)到一平面的距離相等，則這條直線在平面內(nèi)或該直線與平面平行或直線與平面相交，故D錯(cuò)誤.故選：C.2．C【分析】由正方體的平面展開圖復(fù)原可以直接判斷.【詳解】由正方體的平面展開圖復(fù)原得空間正方體如圖所示:

由圖可知:①和是異面直線，故不對(duì)；②和是平行直線，故不對(duì)；③和平行，與的夾角是，故與所成的角也是，故正確；④與是異面垂直，正確；所以正確的序號(hào)為③④.故選：C.3．C【分析】對(duì)于A，求出命題“若?，則?”的逆命題，舉反例判斷；對(duì)于B，根據(jù)定義判斷；對(duì)于C，求出命題“存在?”的否定；對(duì)于D，根據(jù)定義判斷.【詳解】對(duì)于?，命題“若?，則?”的逆命題是“若?，則?”是假命題，如?時(shí)，?，故A錯(cuò)誤；對(duì)于?，命題“?或?”為真命題，則命題?和命題?中至少一個(gè)為真命題，故B錯(cuò)誤；對(duì)于?，命題“存在?”的否定為：“對(duì)?”，故C正確；對(duì)于?，直線?不在平面?內(nèi)，則由?，能得到?上有兩個(gè)不同的點(diǎn)到?的距離相等，反之，?上有兩個(gè)不同的點(diǎn)到?的距離相等，不一定有?，?直線?不在平面?內(nèi)，“?上有兩個(gè)不同的點(diǎn)到?的距離相等”是“?”的必要不充分條件，故D錯(cuò)誤．故選：?．4．D【分析】根據(jù)線線關(guān)系、線面關(guān)系、面面關(guān)系逐項(xiàng)判斷可得答案.【詳解】對(duì)于A，平行于同一平面的兩條直線可能平行，也可能異面，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，與所成的角相等，則可能異面，可能相交，也可能平行，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C，，，則可能垂直，但也可能平行或者相交或者異面，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，則，D正確.故選：D．5．C【分析】對(duì)于ABD：以正方體或正四棱錐為載體，舉反例說(shuō)明即可；對(duì)于C：根據(jù)線面平行、面面平行的性質(zhì)分析判斷.【詳解】在正方體中，對(duì)于選項(xiàng)A：例如平面為平面，平面為平面，平面為平面，則平面平面，即，取平面平面，滿足，但，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：例如平面為平面，平面為平面，平面為平面，則平面平面，即，取，滿足，但平面與平面不相互垂直，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)?，可知相交，設(shè)，又因?yàn)?，則，又因?yàn)?，，，則，所以，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：在正四棱錐中例如平面為平面，平面為平面，平面為平面，則平面平面，平面平面，即，滿足，但平面與平面不一定垂直，故D錯(cuò)誤；故選：C.6．D【分析】A.由題意轉(zhuǎn)化為證明平面和平面，即可證明；B.根據(jù)面面平行的判斷定理轉(zhuǎn)化為證明平面和平面，即可證明；C.由A選項(xiàng)的證明可證明線線垂直；D.利用反證法，說(shuō)明不成立.【詳解】選項(xiàng)A：如圖，取中點(diǎn)，連接,,,，因?yàn)槭钦睦忮F，是正四面體，為的中點(diǎn)，所以，,，因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)?，平面，所以平面，所以四點(diǎn)共面，由題意知，，所以四邊形是平行四邊形，所以，因?yàn)?，所以，所以四點(diǎn)共面，故A說(shuō)法正確；選項(xiàng)B：由選項(xiàng)A知，又平面，平面，所以平面，因?yàn)?，且平面，平面，所以平面，又平面，平面，且，所以平面平面，故B說(shuō)法正確；C選項(xiàng)：由選項(xiàng)A可得平面，又平面，所以，故C說(shuō)法正確；D選項(xiàng)：假設(shè)平面，因?yàn)槠矫?，則，由選項(xiàng)A知四邊形是平行四邊形，所以四邊形是菱形，與，矛盾，故D說(shuō)法錯(cuò)誤.故選：D7．D【分析】作出示意圖，根據(jù)體積關(guān)系可得為的靠近的三等分點(diǎn)，再根據(jù)面面平行的判定定理及性質(zhì)，可找到點(diǎn)位置，從而可求解.【詳解】如圖所示：因?yàn)椋?，所以所以，所以，則，設(shè)三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)為6，則，，又為的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，則。過(guò)作，且，連接，又，所以平面平面，又平面，所以平面，所以，所以，所以，則，故選：D8．B【分析】取的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，證明平面，再根據(jù)面面平行的性質(zhì)可得的軌跡為線段，即可得解.【詳解】如圖，取的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，則，又面，面，所以平面，又為的中點(diǎn)，所以，又面，面，所以平面，又，面，面，所以平面平面，又因?yàn)槭莻?cè)面上一點(diǎn)，且平面，所以的軌跡為線段，，所以點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度為.故選：B.9．ACD【分析】對(duì)于A，由題意可證平面，因此點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，其為定值，據(jù)此判斷A；對(duì)于B，根據(jù)題意求出正方體邊長(zhǎng)及的長(zhǎng)，由此可知點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡；對(duì)于C，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，假設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出的方向向量，假設(shè)平面，則平面的法向量和的方向向量共線，進(jìn)而求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再判斷點(diǎn)是否滿足B中的軌跡即可；對(duì)于D，利用空間直角坐標(biāo)系求出點(diǎn)到平面的距離，求出距離的最大值即可.【詳解】對(duì)于A，如圖，連接、，依題意，，而平面平面，故平面，所以點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，其為定值，所以點(diǎn)到平面的距離為定值，故三棱維的體積為定值，故正確；對(duì)于B，因?yàn)檎襟w的體積為8，故，則，而，故，故動(dòng)點(diǎn)的軌跡為以為圓心，為半徑的圓在底面內(nèi)的部分，即四分之一圓弧，故所求軌跡長(zhǎng)度為，故B錯(cuò)誤；以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，故，設(shè)n=x,y,z為平面的法向量，則故令，故為平面的一個(gè)法向量，設(shè)，故，若平面，則，則，解得，但，所以不存在點(diǎn)點(diǎn)，使得平面，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)闉榈妊切危?，而點(diǎn)到平面的距離，令，則，則，其中，則四面體體積的最大值為，故D正確.故選：ACD.10．BC【分析】對(duì)于A，由正方體的性質(zhì)得平面平面，從而，同理得，再由，得四邊形為菱形；對(duì)于B，連接，，，推導(dǎo)出，，從而得到平面平面；對(duì)于C，求出四棱錐的體積進(jìn)行判斷；對(duì)于D，四邊形是菱形，當(dāng)點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)時(shí)，四邊形的周長(zhǎng)最?。驹斀狻窟B接，，，，，顯然，且，所以為平行四邊形，所以，由題意得，平面，平面，所以，，平面，所以平面，則平面，平面，所以平面平面，故B正確；由正方體的性質(zhì)得平面平面，平面平面，平面平面，故，同理得，又平面，平面，，四邊形為菱形，故A錯(cuò)誤；對(duì)于C，四棱錐的體積為：，故C正確；對(duì)于D，四邊形是菱形，四邊形的周長(zhǎng)，當(dāng)點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)時(shí)，四邊形的周長(zhǎng)最小，此時(shí)，即周長(zhǎng)的最小值為4，故D錯(cuò)誤．故選：BC．

11．BCD【分析】把展開圖折疊成正方體，利用正方體中的線面位置關(guān)系對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷.【詳解】將展開圖折疊成正方體，如圖所示：連接，，，則，.取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，，，則，，所以，不在面內(nèi)，面，則面，同理有，不在面內(nèi)，面，則面，而相交且都在面內(nèi)，故平面平面.要使平面，則點(diǎn)在線段上，故點(diǎn)的軌跡為線段，故A錯(cuò)誤；當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，，又，所以四點(diǎn)共面，由圖可知，點(diǎn)與點(diǎn)不重合時(shí)，與異面，所以B正確；在正方體的結(jié)構(gòu)特征，易證平面，又平面平面，所以平面，又平面，所以，所以C正確；當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，的長(zhǎng)度最小，連接，則，，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)（或）重合時(shí)，的長(zhǎng)度最大，此時(shí)，所以長(zhǎng)度的取值范圍為：，故D正確.故選：BCD12．/【分析】根據(jù)題意，得到平面時(shí)，四棱錐的體積最大，設(shè)，利用錐體的體積公式，求得，令，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最大值，即可求解.【詳解】當(dāng)?shù)酌娴拿娣e一定時(shí)，且平面平面，因?yàn)榍?，可得，即，又因?yàn)槠矫嫫矫妫移矫?，所以平面，即平面時(shí)，四棱錐的體積最大，設(shè)，即，則，可得，令，則，令，解得或（舍），當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，即四棱錐的體積最大值為.故答案為：.13．90°/【分析】利用三角形的中位線定理及平行四邊形的性質(zhì)，結(jié)合異面直線所成角的定義及勾股定理和逆定理即可求解.【詳解】設(shè)分別為棱的中點(diǎn)，連接，,如圖所示，因?yàn)榉謩e為棱的中點(diǎn)，所以,又因?yàn)闉槔獾闹悬c(diǎn)，，為棱的中點(diǎn)，所以,且，所以四邊形為平行四邊形，所以,所以為直線與直線所成的角（或其補(bǔ)角）.設(shè)正三棱柱的棱長(zhǎng)為，則，，，,所以，即,所以，故直線與直線所成的角為.故答案為：.14．/【分析】延長(zhǎng)CM交AB于點(diǎn)I，設(shè)，由余弦定理得，根據(jù)角平分線定理以及平行線性質(zhì)可知，運(yùn)用換元法和二次函數(shù)性質(zhì)可得線段MN長(zhǎng)度的最小值．【詳解】延長(zhǎng)CM交AB于點(diǎn)I，因?yàn)槠矫鍭BD，由線面平行性質(zhì)定理可知，設(shè)，因?yàn)槿忮F的所有棱長(zhǎng)均為2，所以，且E為線段BC的中點(diǎn)，所以AE平分∠BAC，由角平分線定理可知，所以，因?yàn)镕為線段AD的中點(diǎn)，所以，由余弦定理可知，所以，令，，化簡(jiǎn)可得，因?yàn)?，所以，則在時(shí)取得最小值，所以，綜上當(dāng)，即時(shí)MN取得最小值．故答案為：．15．(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）利用線面平行的判定定理，由，證得平面；（2）由平面，證得，又，得證平面，由平面，得.【詳解】（1）因?yàn)?，平面，平面，所以平面；?）因?yàn)槠矫?，平面，所以，又因?yàn)?，，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所?16．(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）先證明平面平面，得平面，再證即可；（2