2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題四 立體幾何 第4講　空間向量與距離、探究性問題原卷版

第4講空間向量與距離、探究性問題（新高考專用）目錄目錄【真題自測(cè)】 2【考點(diǎn)突破】 2【考點(diǎn)一】空間距離 2【考點(diǎn)二】空間中的探究性問題 4【專題精練】 7考情分析：1.以空間幾何體為載體，考查利用向量方法求空間中點(diǎn)到直線以及點(diǎn)到平面的距離，屬于中等難度.2.以空間向量為工具，探究空間幾何體中線、面的位置關(guān)系或空間角存在的條件，計(jì)算量較大，一般以解答題的形式考查，難度中等偏上．真題自測(cè)真題自測(cè)一、解答題1．（2024·天津·高考真題）已知四棱柱中，底面為梯形，，平面，，其中．是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)．(1)求證平面；(2)求平面與平面的夾角余弦值；(3)求點(diǎn)到平面的距離．考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破【考點(diǎn)一】空間距離核心梳理：(1)點(diǎn)到直線的距離直線l的單位方向向量為u，A是直線l上的任一點(diǎn)，P為直線l外一點(diǎn)，設(shè)eq\o(AP,\s\up6(→))＝a，則點(diǎn)P到直線l的距離d＝eq\r(a2－a·u2).(2)點(diǎn)到平面的距離平面α的法向量為n，A是平面α內(nèi)任一點(diǎn)，P為平面α外一點(diǎn)，則點(diǎn)P到平面α的距離為d＝eq\f(|\o(AP,\s\up6(→))·n|,|n|).一、單選題1．（2024·江西新余·模擬預(yù)測(cè)）已知，直線過(guò)原點(diǎn)且平行于，則到的距離為（

）.A． B．1 C． D．2．（2024·北京朝陽(yáng)·一模）在棱長(zhǎng)為的正方體中，，，分別為棱，，的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在平面內(nèi)，且.則下列說(shuō)法正確的是（

）A．存在點(diǎn)，使得直線與直線相交B．存在點(diǎn)，使得直線平面C．直線與平面所成角的大小為D．平面被正方體所截得的截面面積為二、多選題3．（2024·福建福州·模擬預(yù)測(cè)）在長(zhǎng)方體中，為的中點(diǎn)，則（

）A． B．平面C．點(diǎn)到直線的距離為 D．點(diǎn)到平面的距離為4．（2024·江蘇·一模）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，為的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，則（

）A．當(dāng)時(shí)，平面B．任意，三棱錐的體積是定值C．存在，使得與平面所成的角為D．當(dāng)時(shí)，平面截該正方體的外接球所得截面的面積為三、填空題5．（2023·福建·一模）已知空間中三點(diǎn)，則點(diǎn)A到直線的距離為．6．（2024·遼寧·二模）如圖，經(jīng)過(guò)邊長(zhǎng)為1的正方體的三個(gè)項(xiàng)點(diǎn)的平面截正方體得到一個(gè)正三角形，將這個(gè)截面上方部分去掉，得到一個(gè)七面體，則這個(gè)七面體內(nèi)部能容納的最大的球半徑是．規(guī)律方法：(1)求點(diǎn)到平面的距離有兩種方法，一是利用空間向量點(diǎn)到平面的距離公式，二是利用等體積法．(2)求直線到平面的距離的前提是直線與平面平行．求直線到平面的距離可轉(zhuǎn)化成直線上任一點(diǎn)到平面的距離．【考點(diǎn)二】空間中的探究性問題核心梳理：與空間向量有關(guān)的探究性問題主要有兩類：一類是探究線面的位置關(guān)系；另一類是探究線面角或兩平面的夾角滿足特定要求時(shí)的存在性問題．處理原則：先建立空間直角坐標(biāo)系，引入?yún)?shù)(有些是題中已給出)，設(shè)出關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)，然后探究這樣的點(diǎn)是否存在，或參數(shù)是否滿足要求，從而作出判斷．一、單選題1．（2024·北京懷柔·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知正方體中，F(xiàn)為線段的中點(diǎn)，E為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則下列四個(gè)結(jié)論正確的是（

）

A．存在點(diǎn)E，使平面B．三棱錐的體積隨動(dòng)點(diǎn)E變化而變化C．直線與所成的角不可能等于D．存在點(diǎn)E，使平面2．（2024·山東臨沂·二模）已知正方體中，M，N分別為，的中點(diǎn)，則（

）A．直線MN與所成角的余弦值為 B．平面與平面夾角的余弦值為C．在上存在點(diǎn)Q，使得 D．在上存在點(diǎn)P，使得平面二、多選題3．（2024·廣西貴港·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在正方體中，P為線段的中點(diǎn)，Q為線段上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），則（

）A．存在點(diǎn)Q，使得 B．存在點(diǎn)Q，使得平面C．三棱錐的體積是定值 D．二面角的余弦值為4．（2024·河北秦皇島·二模）如圖，在直四棱柱中，四邊形是矩形，，，，點(diǎn)P是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)M是側(cè)面內(nèi)的一點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．直線與直線所成角的余弦值為B．存在點(diǎn)，使得C．若點(diǎn)是棱上的一點(diǎn)，則點(diǎn)M到直線的距離的最小值為D．若點(diǎn)到平面的距離與到點(diǎn)的距離相等，則點(diǎn)M的軌跡是拋物線的一部分三、填空題5．（2024·北京大興·三模）在棱長(zhǎng)為6的正方體中，E為棱上一動(dòng)點(diǎn)，且不與端點(diǎn)重合，F(xiàn)，G分別為，的中點(diǎn)，給出下列四個(gè)結(jié)論：①平面平面；②平面可能經(jīng)過(guò)的三等分點(diǎn)；③在線段上的任意點(diǎn)H（不與端點(diǎn)重合），存在點(diǎn)E使得平面；④若E為棱的中點(diǎn)，則平面與正方體所形成的截面為五邊形，且周長(zhǎng)為.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.6．（2024·北京海淀·二模）如圖，在正方體中，為棱上的動(dòng)點(diǎn)，平面為垂足.給出下列四個(gè)結(jié)論：①；②線段的長(zhǎng)隨線段的長(zhǎng)增大而增大；③存在點(diǎn)，使得；④存在點(diǎn)，使得平面.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.四、解答題7．（23-24高三下·廣西·階段練習(xí)）在中，，，D為邊上一點(diǎn)，，E為上一點(diǎn)，，將沿翻折，使A到處，.

(1)證明：平面；(2)若射線上存在點(diǎn)M，使，且與平面所成角的正弦值為，求λ.8．（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）如圖，AB是圓O的直徑，點(diǎn)C是圓O上異于A，B的點(diǎn)，平面ABC，，，E，F(xiàn)分別為PA，PC的中點(diǎn)，平面BEF與平面ABC的交線為l．(1)證明：平面PBC；(2)直線l與圓O的交點(diǎn)為B，D，求三棱錐的體積；(3)點(diǎn)Q在直線l上，直線PQ與直線EF的夾角為，直線PQ與平面BEF的夾角為，是否存在點(diǎn)Q，使得？如果存在，請(qǐng)求出；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．規(guī)律方法：解決立體幾何中探索性問題的基本方法(1)通常假設(shè)問題中的數(shù)學(xué)對(duì)象存在或結(jié)論成立，再在這個(gè)前提下進(jìn)行推理，如果能推出與條件吻合的數(shù)據(jù)或事實(shí)，說(shuō)明假設(shè)成立，并可進(jìn)一步證明，否則假設(shè)不成立．(2)探索線段上是否存在滿足條件的點(diǎn)時(shí)，一定注意三點(diǎn)共線的條件的應(yīng)用．專題精練專題精練一、單選題1．（2024·江蘇鹽城·模擬預(yù)測(cè)）棱長(zhǎng)為2的正方體中，設(shè)點(diǎn)為底面內(nèi)（含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)到平面距離之和的最小值為（

）A． B． C． D．2．（23-24高二下·浙江·期中）空間點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離（

）A． B． C． D．3．（2024·廣西來(lái)賓·一模）棱長(zhǎng)為3的正方體中，點(diǎn)E，F(xiàn)滿足D1E=2ED，BF?=2FBA． B．C． D．4．（2024·福建福州·模擬預(yù)測(cè)）四棱錐的頂點(diǎn)均在球的球面上，底面為矩形，平面平面，，，，則到平面的距離為（

）A． B． C． D．5．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，P為棱的中點(diǎn)，Q為正方形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)（含邊界），則下列說(shuō)法中不正確的是（）A．若平面，則動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是一條線段B．存在Q點(diǎn)，使得平面C．當(dāng)且僅當(dāng)Q點(diǎn)落在棱上某點(diǎn)處時(shí)，三棱錐的體積最大D．若，那么Q點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為6．（2024·四川成都·三模）在棱長(zhǎng)為5的正方體中，是中點(diǎn)，點(diǎn)在正方體的內(nèi)切球的球面上運(yùn)動(dòng)，且，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為（

）A． B． C． D．7．（2023·江蘇徐州·模擬預(yù)測(cè)）在空間直角坐標(biāo)系中，直線的方程為，空間一點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為（

）A． B．1 C． D．8．（2023·廣東佛山·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平行六面體中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都是a，且，，E為的中點(diǎn)，則點(diǎn)E到直線的距離為（

）

A． B． C． D．二、多選題9．（2024·江蘇揚(yáng)州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，一個(gè)棱長(zhǎng)為6的透明的正方體容器（記為正方體）放置在水平面的上方，點(diǎn)恰在平面內(nèi)，點(diǎn)到平面的距離為2，若容器中裝有水，靜止時(shí)水面與表面的交線與的夾角為0，記水面到平面的距離為，則（

）A．平面平面B．點(diǎn)到平面的距離為8C．當(dāng)時(shí)，水面的形狀是四邊形D．當(dāng)時(shí)，所裝的水的體積為10．（2024·廣東佛山·模擬預(yù)測(cè)）如圖，幾何體的底面是邊長(zhǎng)為6的正方形底面，，則（

）A．當(dāng)時(shí)，該幾何體的體積為45B．當(dāng)時(shí)，該幾何體為臺(tái)體C．當(dāng)時(shí)，在該幾何體內(nèi)放置一個(gè)表面積為S的球，則S的最大值為D．當(dāng)點(diǎn)到直線距離最大時(shí)，則11．（23-24高三下·山東菏澤·階段練習(xí)）已知直三棱柱中，且，直線與底面所成角的正弦值為，則（

）A．線段上存在點(diǎn)，使得B．線段上存在點(diǎn)，使得平面平面C．直三棱柱的體積為D．點(diǎn)到平面的距離為三、填空題12．（2023·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測(cè)）已知空間中有三點(diǎn)，，，則點(diǎn)O到直線的距離為.13．（23-24高二上·江蘇無(wú)錫·期中）在棱長(zhǎng)為3的正方體中，為線段靠近的三等分點(diǎn).為線段靠近的三等分點(diǎn)，則直線到平面的距離為.14．（2024·北京通州·二模）如圖，幾何體是以正方形ABCD的一邊BC所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)90°形成的面所圍成的幾何體，點(diǎn)G是圓弧的中點(diǎn)，點(diǎn)H是圓弧上的動(dòng)點(diǎn)，，給出下列四個(gè)結(jié)論：①不存在點(diǎn)H，使得平面平面CEG；②存在點(diǎn)H，使得平面CEG；③不存在點(diǎn)H，使得點(diǎn)H到平面CEG的距離大于；④存在點(diǎn)H，使得直線DH與平而CEG所成角的正弦值為．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是．四、解答題15．（2023·江蘇連云港·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD與ABEF均為直角梯形，平面平面ABEF，，，，，，且．(1)已知點(diǎn)G為AF上一點(diǎn)，且，證明：平面DCE；(2)若平面DCE與平面BDF所成銳二面角的余弦值為，求點(diǎn)F到平面DCE的距離．16．（2024·天津河西·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，分別是棱上的動(dòng)點(diǎn)，且．(1)求證：；(2)當(dāng)三棱錐的體積取得最大值時(shí)，求平面與平面BEF夾角的正切值及點(diǎn)到直線的距離．17．（2024·江蘇蘇州·三模）如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為，，分別是和的中點(diǎn).(1)求證：；(2)求直線和之間的距離；(3)求直線與平面所成角的正弦值.18．（23-24高二下·江蘇泰州·階段練習(xí)）如圖，在三棱柱中，，側(cè)面是正方形，二面角的大小是．(1)求到平面的距離．(2)線段上是否存在一個(gè)點(diǎn)D，使直線與平面所成角為？若存在，求出