2025年高考數(shù)學二輪復習 專項訓練16 數(shù)列求和及其綜合應用（原卷版）

2025二輪復習專項訓練16數(shù)列求和及其綜合應用[考情分析]高考?？純?nèi)容，主要考查等差、等比數(shù)列與常見數(shù)列求和的綜合應用，主要以解答題的形式出現(xiàn)，屬于中檔題．【練前疑難講解】一、an與Sn的關系1．數(shù)列{an}中，an與Sn的關系an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))2．求數(shù)列通項公式的常用方法：(1)公式法：利用等差(比)數(shù)列的公式求通項公式．(2)在已知數(shù)列{an}中，滿足an＋1－an＝f(n)，且f(1)＋f(2)＋…＋f(n)可求，則可用累加法求數(shù)列的通項公式an.(3)在已知數(shù)列{an}中，滿足eq\f(an＋1,an)＝f(n)，且f(1)·f(2)·…·f(n)可求，則可用累乘法求數(shù)列的通項公式an.(4)將遞推關系進行變換，轉化為常見數(shù)列(等差、等比數(shù)列)．二、數(shù)列求和數(shù)列求和常見方法：(1)分組轉化法：一個數(shù)列既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這個數(shù)列適當拆開，重新組合，就會變成幾個可以求和的部分，分別求和，然后再合并．(2)錯位相減法：主要用于求數(shù)列{an·bn}的前n項和，其中{an}，{bn}一個是等差數(shù)列，一個是等比數(shù)列．(3)裂項相消法：將數(shù)列的通項分成兩個式子的代數(shù)差的形式，然后通過累加抵消中間若干項的方法，裂項相消法適用于形如eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(c,anan＋1)))的數(shù)列．三、數(shù)列的綜合應用數(shù)列與函數(shù)、不等式的交匯：數(shù)列與函數(shù)的綜合問題一般是利用函數(shù)作為背景，給出數(shù)列所滿足的條件，通常利用點在曲線上給出Sn的表達式，還有以曲線上的切點為背景的問題，解決這類問題的關鍵在于利用數(shù)列與函數(shù)的對應關系，將條件進行準確的轉化．數(shù)列與不等式的綜合問題一般以數(shù)列為載體，考查最值問題、不等關系或恒成立問題．一、解答題1．（23-24高三上·山東青島·期中）已知數(shù)列的前項和為，，當時，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設數(shù)列，求數(shù)列的前項和.2．（2024·全國·高考真題）記為數(shù)列的前項和，已知．(1)求的通項公式；(2)設，求數(shù)列bn的前項和．3．（2024·四川自貢·一模）已知數(shù)列的前頂和為.且.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)在數(shù)列中，，求數(shù)列的前項和.4．（2024·江蘇·模擬預測）已知等差數(shù)列和等差數(shù)列的前項和分別為，，，.(1)求數(shù)列和數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和.5．（2024·廣東茂名·一模）設為數(shù)列的前項和，已知是首項為、公差為的等差數(shù)列.(1)求的通項公式；(2)令，為數(shù)列的前項積，證明：.6．（2024·廣東韶關·二模）記上的可導函數(shù)的導函數(shù)為，滿足的數(shù)列稱為函數(shù)的“牛頓數(shù)列”.已知數(shù)列為函數(shù)的牛頓數(shù)列，且數(shù)列滿足.(1)求；(2)證明數(shù)列是等比數(shù)列并求；(3)設數(shù)列的前項和為，若不等式對任意的恒成立，求t的取值范圍.【基礎保分訓練】一、單選題1．（23-24高二上·山東青島·階段練習）等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且，則（

）A．12 B．10 C．5 D．2．（2024·四川內(nèi)江·模擬預測）在數(shù)列中，已知，，則它的前30項的和為（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2022·河北滄州·二模）已知數(shù)列滿足，記的前項和為，則（

）A． B．C． D．4．（22-23高二下·廣西欽州·階段練習）剛考入大學的小明準備向銀行貸款元購買一臺筆記本電腦，然后上學的時候通過勤工儉學來分期還款.小明與銀行約定：每個月還一次款，分次還清所有的欠款，且每個月還款的錢數(shù)都相等，貸款的月利率為，設小明每個月所要還款的錢數(shù)為元，則下列說法正確的是（

）A．小明選擇的還款方式為“等額本金還款法” B．小明選擇的還款方式為“等額本息還款法C．小明第一個月還款的現(xiàn)值為元 D．三、填空題5．（2024·河北保定·二模）已知數(shù)列的前項積為，若，則滿足的正整數(shù)的最小值為.6．（22-23高二下·江蘇南京·期中）已知數(shù)列的項數(shù)為，且，則的前n項和為．四、解答題7．（2024·云南·模擬預測）已知數(shù)列.(1)求；(2)令為數(shù)列的前項和，求.8．（24-25高三上·寧夏石嘴山·階段練習）已知數(shù)列的首項為1，且.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列bn的前項和.9．（2024·全國·二模）已知數(shù)列的前n項和為，且，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和為.10．（2024·海南海口·模擬預測）已知函數(shù)是高斯函數(shù)，其中表示不超過的最大整數(shù)，如，.若數(shù)列滿足，且，記.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和.11．（2023·廣東佛山·一模）佛山新城文化中心是佛山地標性公共文化建筑.在建筑造型上全部都以最簡單的方塊體作為核心要素，與佛山世紀蓮體育中心的圓形蓮花造型形成“方”“圓”呼應.坊塔是文化中心的標志性建筑、造型獨特、類似一個個方體錯位堆疊，總高度153.6米.坊塔塔樓由底部4個高度相同的方體組成塔基，支托上部5個方體，交錯疊合成一個外形時尚的塔身結構.底部4個方體高度均為33.6米，中間第5個方體也為33.6米高，再往上2個方體均為24米高，最上面的兩個方體均為19.2米高.(1)請根據(jù)坊塔方體的高度數(shù)據(jù)，結合所學數(shù)列知識，寫出一個等差數(shù)列的通項公式，該數(shù)列以33.6為首項，并使得24和19.2也是該數(shù)列的項；(2)佛山世紀蓮體育中心上層屋蓋外徑為310米.根據(jù)你得到的等差數(shù)列，連續(xù)取用該數(shù)列前m（）項的值作為方體的高度，在保持最小方體高度為19.2米的情況下，采用新的堆疊規(guī)則，自下而上依次為、、、……、（表示高度為的方體連續(xù)堆疊層的總高度），請問新堆疊坊塔的高度是否超過310米？并說明理由.12．（23-24高二上·河北·階段練習）已知數(shù)列的前項和為.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設，數(shù)列的前項和為，若，求的最小值.【能力提升訓練】一、單選題1．（21-22高二上·福建寧德·期中）已知數(shù)列的前n項和為且，若對任意恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（）A． B．C． D．2．（2024·全國·模擬預測）已知數(shù)列滿足，若數(shù)列的前項和為，不等式恒成立，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、多選題3．（22-23高二上·山東泰安·階段練習）已知數(shù)列滿足，設數(shù)列的前項和為，則下列結論正確的是（）A．數(shù)列為等差數(shù)列 B．C．數(shù)列的前10項和為30 D．數(shù)列的前項和為4．（2024·云南·模擬預測）設是首項為，公差為的等差數(shù)列；是首項為，公比為的等比數(shù)列．已知數(shù)列的前項和，，則（

）A． B．C． D．三、填空題5．（2024·河北·三模）歐拉是十八世紀數(shù)學界最杰出的人物之一，他不但在數(shù)學上作出偉大貢獻，而且把數(shù)學用到了幾乎整個物理領域，為紀念歐拉的成就，函數(shù)就是以其名字命名的，稱為歐拉函數(shù).人教A版新教材選擇性必修二第8頁指出：歐拉函數(shù)的函數(shù)值等于所有不超過正整數(shù)，且與互素的正整數(shù)個數(shù)．歐拉函數(shù)有很多性質(zhì)，比如歐拉函數(shù)是積性函數(shù)，即如果互素，則.請計算數(shù)列的前項和.6．（23-24高三下·湖北·階段練習）已知數(shù)列中，，，，則的前項和．四、解答題7．（2024·安徽池州·模擬預測）定義：若對恒成立，則稱數(shù)列為“上凸數(shù)列”．(1)若，判斷是否為“上凸數(shù)列”，如果是，給出證明；如果不是，請說明理由．(2)若為“上凸數(shù)列”，則當時，．（?。┤魯?shù)列為的前項和，證明：；（ⅱ）對于任意正整數(shù)序列（為常數(shù)且），若恒成立，求的最小值．8．（2023·全國·模擬預測）已知數(shù)列的前n項和為，，且．，．(1)求數(shù)列和的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前n項和．9．（2024·江蘇宿遷·一模）已知為公差不為0的等差數(shù)列的前項和，且．(1)求的值；(2)若，求證：．10．（2024·貴州畢節(jié)·一模