浙江省寧波市2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期12月月考試卷含解析

考生須知：1．本卷共4頁(yè)滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘；2．答題前，在答題卷指定區(qū)域完成相應(yīng)內(nèi)容的填寫(xiě)和填涂考試號(hào)、貼好條形碼，所有答案必須寫(xiě)在答題紙上，寫(xiě)在試卷上無(wú)效；3．本次考試期間不得使用計(jì)算器；4．考試結(jié)束后，只需上交答題紙.選擇題部分一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】計(jì)算分式不等式解出集合后，結(jié)合交集運(yùn)算即可得.【詳解】由，即，解得，故，又，故.故選：B.2.若，則角是（）A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角【答案】D【解析】【分析】根據(jù)已知直接判斷即可.【詳解】由可得是第三象限或第四象限角，由可得是第二象限或第四象限角，故角是第四象限角.故選：D.3.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出函數(shù)的定義域，再確定在上單調(diào)遞增，結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，即可求得答案.【詳解】由可得，解得或，由圖象的對(duì)稱(chēng)軸為，則在上單調(diào)遞增，故的單調(diào)遞減區(qū)間為，故選：C4.若且，則下列不等式中一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性得到A正確；BCD選項(xiàng)，舉出反例.【詳解】A選項(xiàng)，因?yàn)樵赗上單調(diào)遞增，，所以，A正確；B選項(xiàng)，若，滿(mǎn)足，但此時(shí)，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，若，此時(shí)，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，若，此時(shí)，D錯(cuò)誤.故選：A5.已知函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)抽象函數(shù)定義域及對(duì)數(shù)函數(shù)定義域列出不等式組，解三角不等式可得解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域是，所以函數(shù)有意義需滿(mǎn)足，解得，故函數(shù)的定義域?yàn)?，故選：B6.已知扇形的周長(zhǎng)為18cm，面積為14，則該扇形的圓心角的弧度數(shù)為（）A.7或 B. C.7 D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)扇形的半徑為，圓心角的弧度數(shù)為，從而根據(jù)周長(zhǎng)和面積得到方程組，檢驗(yàn)后求出答案.【詳解】設(shè)扇形的半徑為，圓心角的弧度數(shù)為，則扇形的弧長(zhǎng)為，故，又，解得（舍去）或，故選：D7若，，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由于和都大于小于，比較它們大小時(shí)要引入中間值即可；結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得，即可選出答案.【詳解】由于，得，因?yàn)楹瘮?shù)在定義域上單調(diào)遞增，，所以，由于，得，因?yàn)楹瘮?shù)在定義域上單調(diào)遞增，，所以，且，得，由于，函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減，所以，總之，，即成立.故選：C.8.已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程有4個(gè)實(shí)數(shù)解，且，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】方程解，即函數(shù)的圖象與直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，可畫(huà)出函數(shù)圖象，結(jié)合二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】如圖所示：因?yàn)殛P(guān)于方程有四個(gè)實(shí)數(shù)解，所以函數(shù)的圖象與直線有四個(gè)交點(diǎn)，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，且，結(jié)合圖象，左側(cè)的二次函數(shù)部分中，最大值為，可得當(dāng)時(shí)時(shí)，是方程的兩個(gè)不等實(shí)根，所以；同時(shí)時(shí)，得出，結(jié)合圖象可得，即，所以，，即，可得，所以，由于，所以，故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是作出函數(shù)圖象，函數(shù)方程根的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)問(wèn)題，同時(shí)要通過(guò)分段函數(shù)得特點(diǎn)，得到根與跟之間的等式關(guān)系，從而進(jìn)行整體代換，減少變量，最后求出范圍.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.某同學(xué)利用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)時(shí)，用計(jì)算器算得部分函數(shù)值如表所示：則函數(shù)零點(diǎn)的近似值（精確度0.1）可取為（）A.2.49 B.2.52 C.2.55 D.2.58【答案】BC【解析】【分析】利用函數(shù)的性質(zhì)及零點(diǎn)存在性定理即得答案.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在其定義域上單調(diào)遞增，結(jié)合表格可知，方程的近似解在，，，內(nèi)，又精確度0.1，所以方程的近似解（精確度0.1）可取為2.52，2.55.故選：BC10.下列選項(xiàng)正確的是（）A.函數(shù)是增函數(shù)B.函數(shù)與函數(shù)是同一函數(shù)C.若，則函數(shù)的解析式為D.已知函數(shù)（且），則函數(shù)的反函數(shù)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)單調(diào)性定義判斷A，根據(jù)函數(shù)的定義判斷B，利用湊配法求出函數(shù)解析式判斷C，根據(jù)反函數(shù)的性質(zhì)判斷D．【詳解】在和上都是增函數(shù)，但在整個(gè)定義域上不是增函數(shù)，如，A錯(cuò)；的定義域是，的定義域是，不是同一函數(shù)，B錯(cuò)；，且的取值范圍是R，所以，C正確；函數(shù)（且）的圖象過(guò)定點(diǎn)，反函數(shù)圖象與原函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，因此其反函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)，D正確．故選：CD．11.下列選項(xiàng)正確是（）A.若銳角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則B.△ABC中，“”是“△ABC是鈍角三角形”的充要條件C.函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心是（）D.若，則【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)定義及誘導(dǎo)公式判斷A，根據(jù)充分條件、必要條件判斷B，根據(jù)正切函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心判斷C，根據(jù)整體代換及誘導(dǎo)公式判斷D.【詳解】由三角函數(shù)定義知，，又都為銳角，所以，故A正確；在中，為鈍角，所以三角形為鈍角三角形，反之是鈍角三角形，推不出為鈍角，所以“”是“是鈍角三角形”的充分不必要條件，故B錯(cuò)誤；令或，，解得或，即，所以函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心是，故C正確；因?yàn)椋?，故D正確.故選：ACD12.已知，且，則（）A.的最小值為 B.的最大值為C.的最小值為 D.的最小值為8【答案】ABD【解析】【分析】利用二次函數(shù)性質(zhì)判斷A，利用基本不等式求最值判斷BCD．【詳解】因?yàn)?，，所以，即，又，，所以時(shí)，取得最小值，A正確；，又，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，即的最小值是，所以的最大值是，B正確；，令，則，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以取得最小值為，所以取得最小值為，C錯(cuò)；，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，D正確，故選：ABD．非選擇題部分三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.計(jì)算：_________．【答案】【解析】【分析】利用對(duì)數(shù)的換底公式計(jì)算即可得解.【詳解】.故答案為：.14.已知冪函數(shù)的圖象不經(jīng)過(guò)第二象限，則_____________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義求得的可能取值，根據(jù)冪函數(shù)的圖像即可得解.【詳解】因?yàn)槭莾绾瘮?shù)，所以，解得或，當(dāng)時(shí)，，顯然其圖象不經(jīng)過(guò)第二象限，滿(mǎn)足題意；當(dāng)時(shí)，，顯然其圖象經(jīng)過(guò)第二象限，不滿(mǎn)足題意；綜上，.故答案為：.15.已知定義在上的函數(shù)滿(mǎn)足，且當(dāng)時(shí)，，則_____________．【答案】【解析】【分析】先由條件推得，再依次轉(zhuǎn)化得到，從而得解.【詳解】因，所以，又當(dāng)時(shí)，，所以.故答案為：.16.已知函數(shù)，若對(duì)任意的，都有恒成立，則實(shí)數(shù)t的最大值為_(kāi)____________．【答案】【解析】【分析】先根據(jù)函數(shù)解析式求出函數(shù)在不同區(qū)間上解析式；再根據(jù)解析式畫(huà)出相應(yīng)圖象；最后結(jié)合圖像列出方程即可求解【詳解】因?yàn)樗援?dāng)時(shí)，有，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，有，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，有，此時(shí)；作出函數(shù)的部分圖象，如圖所示：令，，解得：或.結(jié)合圖像可得.故答案為：四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.已知p：關(guān)于x的方程（）無(wú)實(shí)數(shù)根．（1）若p是假命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）已知條件q：，，若p是q的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)命題為假命題，結(jié)合一元二次方程的判別式，解不等式，即得答案；（2）求出命題p相應(yīng)的m的范圍，由題意可得，分類(lèi)討論是否為空集，解不等式，即得答案.【小問(wèn)1詳解】由題意知p是假命題，則可得關(guān)于x的方程（）有實(shí)數(shù)根，即，即，解得或；則實(shí)數(shù)m的取值范圍為.【小問(wèn)2詳解】p：關(guān)于x的方程（）無(wú)實(shí)數(shù)根，則，即，解得，設(shè)命題p相應(yīng)的集合為，命題q相應(yīng)的集合為，若p是q的必要不充分條件，則有，當(dāng)為空集時(shí)，，符合題意；當(dāng)不為空集時(shí)，需滿(mǎn)足，等號(hào)不能同時(shí)成立，解得，驗(yàn)證時(shí)符合題意，綜上可得實(shí)數(shù)a的取值范圍為.18.已知，．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用同角公式結(jié)合齊次式法求出.（2）由（1）的結(jié)論，結(jié)合誘導(dǎo)公式及齊次式法計(jì)算即得.【小問(wèn)1詳解】由，兩邊平方得，解得，由，得，則，且，從而于是，即，解得，所以.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，，所以.19.杭州亞運(yùn)會(huì)田徑比賽10月5日迎來(lái)收官，在最后兩個(gè)競(jìng)技項(xiàng)目男女馬拉松比賽中，中國(guó)選手何杰以2小時(shí)13分02秒奪得男子組冠軍，這是中國(guó)隊(duì)亞運(yùn)史上首枚男子馬拉松金牌.人類(lèi)長(zhǎng)跑運(yùn)動(dòng)一般分為兩個(gè)階段，第一階段為前1小時(shí)的穩(wěn)定階段，第二階段為疲勞階段.現(xiàn)一60kg的復(fù)健馬拉松運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行4小時(shí)長(zhǎng)跑訓(xùn)練，假設(shè)其穩(wěn)定階段作速度為的勻速運(yùn)動(dòng)，該階段每千克體重消耗體力（表示該階段所用時(shí)間），疲勞階段由于體力消耗過(guò)大變?yōu)榈臏p速運(yùn)動(dòng)（表示該階段所用時(shí)間）.疲勞階段速度降低，體力得到一定恢復(fù)，該階段每千克體重消耗體力已知該運(yùn)動(dòng)員初始體力為不考慮其他因素，所用時(shí)間為（單位：h），請(qǐng)回答下列問(wèn)題：（1）請(qǐng)寫(xiě)出該運(yùn)動(dòng)員剩余體力關(guān)于時(shí)間的函數(shù)；（2）該運(yùn)動(dòng)員在4小時(shí)內(nèi)何時(shí)體力達(dá)到最低值，最低值為多少?【答案】（1）（2）時(shí)有最小值，最小值為.【解析】【分析】（1）先寫(xiě)出速度關(guān)于時(shí)間的函數(shù)，進(jìn)而求出剩余體力關(guān)于時(shí)間的函數(shù)；（2）分和兩種情況，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合基本不等式，求出最值.【小問(wèn)1詳解】由題可先寫(xiě)出速度關(guān)于時(shí)間的函數(shù)，代入與公式可得解得；【小問(wèn)2詳解】①穩(wěn)定階段中單調(diào)遞減，此過(guò)程中最小值；②疲勞階段，則有，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，“”成立，所以疲勞階段中體力最低值為，由于，因此，在時(shí)，運(yùn)動(dòng)員體力有最小值.20.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；（2）設(shè)，若對(duì)任意的，存在，使得，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）直接由周期公式計(jì)算周期即可，整體代入法解表達(dá)式即可求得單調(diào)遞減區(qū)間.（2）先求復(fù)合函數(shù)的值域，然后將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為存在性問(wèn)題即可，結(jié)合余弦函數(shù)單調(diào)性即可得解.【小問(wèn)1詳解】函數(shù)的最小正周期為，令，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.【小問(wèn)2詳解】，由于，所以，故原題等價(jià)于對(duì)任意的，存在，使得，由題意首先，當(dāng)時(shí)，，而，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，解得，綜上所述，實(shí)數(shù)b的取值范圍為.21.已知函數(shù)對(duì)任意的x，，都有，且當(dāng)時(shí)，，．（1）判斷函數(shù)的奇偶性，并證明當(dāng)時(shí)，；（2）判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并用定義法證明；（3）設(shè)實(shí)數(shù)，求關(guān)于x的不等式的解集．【答案】（1）為奇函數(shù)，證明見(jiàn)解析；（2）函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)遞增函數(shù)，證明見(jiàn)解析（3）【解析】【分析】（1）利用賦值法，即可求得所求的函數(shù)值，得到答案；（2）首先判定函數(shù)為增函數(shù)，然后利用函數(shù)的單調(diào)性的定義和所給條件進(jìn)行證明即可；（3）利用函數(shù)的單調(diào)性和所得函數(shù)值對(duì)應(yīng)的自變量得到函數(shù)不等式，得出不等式，即可求解.【小問(wèn)1詳解】為奇函數(shù).證明如下：因?yàn)楹瘮?shù)對(duì)任意的x，，都有，所以令，可得，代入，可得，所以為奇函數(shù)；所以，由奇函數(shù)的性質(zhì)可知奇函數(shù)在定義域內(nèi)是單調(diào)的，且當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，【小問(wèn)2詳解】函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)遞增函數(shù).證明如下：設(shè)，則，因?yàn)?，且?dāng)時(shí)，，所以，所以當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)遞增函數(shù).【小問(wèn)3詳解】因?yàn)?，設(shè)，所以因?yàn)?，且函?shù)在區(qū)間上為單調(diào)遞增函數(shù)，所以不等式等價(jià)于，等價(jià)于，方程的根為，即，所以不等式的解集為.22.設(shè)，函數(shù)．（1）若函數(shù)為奇函數(shù)，求a的值；（2）若，函數(shù)在區(qū)間上的值域是（），求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)利用求解即可；（2）分討論，分別求出函數(shù)的定義域，單調(diào)性，時(shí)利用單調(diào)遞增建立方程，根據(jù)方程根的分布列出不等式即可求出的范圍，當(dāng)時(shí)，可分析所在區(qū)間，據(jù)此得出關(guān)于的等式，化簡(jiǎn)可得解.【小問(wèn)1詳解】由函數(shù)，且函數(shù)為奇函數(shù)所以，即，化簡(jiǎn)可得，解得，當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，滿(mǎn)足題意；當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，滿(mǎn)足題