人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)學(xué)案：2 5 2 圓與圓的位置關(guān)系

人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)PAGEPAGE12．5.2圓與圓的位置關(guān)系學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解圓與圓的位置關(guān)系.2.掌握?qǐng)A與圓的位置關(guān)系的判斷方法.3.能用圓與圓的位置關(guān)系解決一些簡單問題．知識(shí)點(diǎn)兩圓的位置關(guān)系及其判定(1)幾何法：若兩圓的半徑分別為r1，r2，兩圓連心線的長為d，則兩圓的位置關(guān)系如下：位置關(guān)系外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含圖示d與r1，r2的關(guān)系d>r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|<d<r1＋r2d＝|r1－r2|d<|r1－r2|(2)代數(shù)法：設(shè)兩圓的一般方程為C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(Deq\o\al(2,1)＋Eeq\o\al(2,1)－4F1>0)，C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(Deq\o\al(2,2)＋Eeq\o\al(2,2)－4F2>0)，聯(lián)立方程得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，,x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，))則方程組解的個(gè)數(shù)與兩圓的位置關(guān)系如下：方程組解的個(gè)數(shù)2組1組0組兩圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)2個(gè)1個(gè)0個(gè)兩圓的位置關(guān)系相交外切或內(nèi)切外離或內(nèi)含思考根據(jù)代數(shù)法確定兩個(gè)圓的位置關(guān)系時(shí)，若已知兩圓只有一個(gè)交點(diǎn)，能否準(zhǔn)確得出兩圓的位置關(guān)系？〖答案〗不能.已知兩圓只有一個(gè)交點(diǎn)只能得出兩圓內(nèi)切或外切．1．如果兩個(gè)圓的方程組成的方程組只有一組實(shí)數(shù)解，則兩圓外切．(×)2．如果兩圓的圓心距小于兩圓的半徑之和，則兩圓相交．(×)3．從兩圓的方程中消掉二次項(xiàng)后得到的二元一次方程是兩圓的公共弦所在的直線方程．(×)4．若兩圓有公共點(diǎn)，則|r1－r2|≤d≤r1＋r2.(√)一、兩圓位置關(guān)系的判斷例1當(dāng)實(shí)數(shù)k為何值時(shí)，兩圓C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14x＋k＝0相交、相切、相離？解將兩圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1，C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k，圓C1的圓心為C1(－2,3)，半徑r1＝1；圓C2的圓心為C2(1,7)，半徑r2＝eq\r(50－k)(k＜50)．從而|C1C2|＝eq\r(－2－12＋3－72)＝5.當(dāng)1＋eq\r(50－k)＝5，k＝34時(shí)，兩圓外切．當(dāng)|eq\r(50－k)－1|＝5，eq\r(50－k)＝6，k＝14時(shí)，兩圓內(nèi)切．當(dāng)|r2－r1|＜|C1C2|＜r2＋r1，即14＜k＜34時(shí)，兩圓相交．當(dāng)1＋eq\r(50－k)＜5或|eq\r(50－k)－1|＞5，即34＜k＜50或k＜14時(shí)，兩圓相離．反思感悟判斷兩圓的位置關(guān)系的兩種方法(1)幾何法：將兩圓的圓心距d與兩圓的半徑之差的絕對(duì)值，半徑之和進(jìn)行比較，進(jìn)而判斷出兩圓的位置關(guān)系，這是在〖解析〗幾何中主要使用的方法．(2)代數(shù)法：將兩圓的方程組成方程組，通過解方程組，根據(jù)方程組解的個(gè)數(shù)進(jìn)而判斷兩圓位置關(guān)系．跟蹤訓(xùn)練1(1)圓(x＋2)2＋y2＝4與圓(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置關(guān)系為()A．內(nèi)切 B．相交C．外切 D．相離〖答案〗B〖解析〗兩圓的圓心分別為(－2,0)，(2,1)，半徑分別為r＝2，R＝3，兩圓的圓心距為eq\r(－2－22＋0－12)＝eq\r(17)，則R－r<eq\r(17)<R＋r，所以兩圓相交，選B.(2)到點(diǎn)A(－1,2)，B(3，－1)的距離分別為3和1的直線有________條．〖答案〗4〖解析〗到點(diǎn)A(－1,2)的距離為3的直線是以A為圓心，3為半徑的圓的切線；同理，到B的距離為1的直線是以B為圓心，半徑為1的圓的切線，所以滿足題設(shè)條件的直線是這兩圓的公切線，而這兩圓的圓心距|AB|＝eq\r(3＋12＋－1－22)＝5.半徑之和為3＋1＝4，因?yàn)?>4，所以圓A和圓B外離，因此它們的公切線有4條．二、兩圓的公共弦問題例2已知兩圓x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0.(1)判斷兩圓的位置關(guān)系；(2)求公共弦所在的直線方程；(3)求公共弦的長度．解(1)將兩圓方程配方化為標(biāo)準(zhǔn)方程，則C1：(x－1)2＋(y＋5)2＝50，C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝10，∴圓C1的圓心坐標(biāo)為(1，－5)，半徑為r1＝5eq\r(2)，圓C2的圓心坐標(biāo)為(－1，－1)，半徑為r2＝eq\r(10).∴|C1C2|＝2eq\r(5)，r1＋r2＝5eq\r(2)＋eq\r(10)，|r1－r2|＝|5eq\r(2)－eq\r(10)|，∴|r1－r2|<|C1C2|<r1＋r2，∴兩圓相交．(2)將兩圓方程相減，得公共弦所在的直線方程為x－2y＋4＝0.(3)方法一由(2)知圓C1的圓心(1，－5)到直線x－2y＋4＝0的距離為d＝eq\f(|1－2×－5＋4|,\r(1＋－22))＝3eq\r(5)，∴公共弦長為l＝2eq\r(r\o\al(2,1)－d2)＝2eq\r(50－45)＝2eq\r(5).方法二設(shè)兩圓相交于點(diǎn)A，B，則A，B兩點(diǎn)滿足方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＋4＝0，,x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－4，,y＝0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝2，))∴|AB|＝eq\r(－4－02＋0－22)＝2eq\r(5).即公共弦長為2eq\r(5).反思感悟兩圓的公共弦問題(1)若圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0與圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，則兩圓公共弦所在的直線方程為(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.(2)公共弦長的求法①代數(shù)法：將兩圓的方程聯(lián)立，解出交點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出弦長．②幾何法：求出公共弦所在直線的方程，利用圓的半徑、半弦長、弦心距構(gòu)成的直角三角形，根據(jù)勾股定理求解．跟蹤訓(xùn)練2(1)兩圓x2＋y2－10x－10y＝0，x2＋y2＋6x＋2y－40＝0的公共弦的長為()A．5B．5eq\r(2)C．10eq\r(2)D．10〖答案〗D(2)圓C1：x2＋y2＝1與圓C2：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的公共弦所在的直線被圓C3：(x－1)2＋(y－1)2＝eq\f(25,4)所截得的弦長為________．〖答案〗eq\r(23)〖解析〗由題意將兩圓的方程相減，可得圓C1和圓C2公共弦所在的直線l的方程為x＋y－1＝0.又圓C3的圓心坐標(biāo)為(1,1)，其到直線l的距離為d＝eq\f(|1＋1－1|,\r(12＋12))＝eq\f(\r(2),2)，設(shè)圓C3的半徑為r，由條件知，r2－d2＝eq\f(25,4)－eq\f(1,2)＝eq\f(23,4)，所以弦長為2×eq\f(\r(23),2)＝eq\r(23).圓系方程的應(yīng)用典例(1)求圓心在直線x－y－4＝0上，且過兩圓x2＋y2－4x－6＝0和x2＋y2－4y－6＝0的交點(diǎn)的圓的方程．解方法一設(shè)經(jīng)過兩圓交點(diǎn)的圓系方程為x2＋y2－4x－6＋λ(x2＋y2－4y－6)＝0(λ≠－1)，即x2＋y2－eq\f(4,1＋λ)x－eq\f(4λ,1＋λ)y－6＝0，所以圓心坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,1＋λ)，\f(2λ,1＋λ))).又圓心在直線x－y－4＝0上，所以eq\f(2,1＋λ)－eq\f(2λ,1＋λ)－4＝0，即λ＝－eq\f(1,3).所以所求圓的方程為x2＋y2－6x＋2y－6＝0.方法二由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－4x－6＝0，,x2＋y2－4y－6＝0，))得兩圓公共弦所在直線的方程為y＝x.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x，,x2＋y2－4y－6＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝－1，,y1＝－1，))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝3，,y2＝3.))所以兩圓x2＋y2－4x－6＝0和x2＋y2－4y－6＝0的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(－1，－1)，B(3,3)，線段AB的垂直平分線所在的直線方程為y－1＝－(x－1)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y－1＝－x－1，,x－y－4＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝－1，))即所求圓的圓心坐標(biāo)為(3，－1)，半徑為eq\r(3－32＋[3－－1]2)＝4.所以所求圓的方程為(x－3)2＋(y＋1)2＝16.(2)求過直線x＋y＋4＝0與圓x2＋y2＋4x－2y－4＝0的交點(diǎn)且與直線y＝x相切的圓的方程．解設(shè)所求圓的方程為x2＋y2＋4x－2y－4＋λ(x＋y＋4)＝0.聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x，,x2＋y2＋4x－2y－4＋λx＋y＋4＝0，))得x2＋(1＋λ)x＋2(λ－1)＝0.因?yàn)樗髨A與直線y＝x相切，所以Δ＝0，即(1＋λ)2－8(λ－1)＝0，解得λ＝3，故所求圓的方程為x2＋y2＋7x＋y＋8＝0.〖素養(yǎng)提升〗(1)當(dāng)經(jīng)過兩圓的交點(diǎn)時(shí)，圓的方程可設(shè)為(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1)＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0，然后用待定系數(shù)法求出λ即可．(2)理解運(yùn)算對(duì)象，選擇運(yùn)算方法，設(shè)計(jì)運(yùn)算程序，求得運(yùn)算結(jié)果，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．1．圓O1：x2＋y2－2x＝0和圓O2：x2＋y2－4y＝0的位置關(guān)系是()A．相離 B．相交C．外切 D．內(nèi)切〖答案〗B〖解析〗化為標(biāo)準(zhǔn)方程：圓O1：(x－1)2＋y2＝1，圓O2：x2＋(y－2)2＝4，則O1(1,0)，O2(0,2)，|O1O2|＝eq\r(1－02＋0－22)＝eq\r(5)<r1＋r2，又r2－r1<eq\r(5)，所以兩圓相交．2．圓C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9與圓C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4外切，則m的值為()A．2 B．－5C．2或－5 D．不確定〖答案〗C〖解析〗圓C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9的圓心為(－2，m)，半徑長為3，圓C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4的圓心為(m，－1)，半徑長為2.依題意有eq\r(－2－m2＋m＋12)＝3＋2，即m2＋3m－10＝0，解得m＝2或m＝－5.3．圓x2＋y2－4x＋6y＝0和圓x2＋y2－6x＝0交于A，B兩點(diǎn)，則AB的垂直平分線的方程是()A．x＋y＋3＝0 B．2x－y－5＝0C．3x－y－9＝0 D．4x－3y＋7＝0〖答案〗C〖解析〗AB的垂直平分線過兩圓的圓心，把圓心(2，－3)代入，即可排除A，B，D.4．已知以C(4，－3)為圓心的圓與圓O：x2＋y2＝1相切，則圓C的方程是__________________．〖答案〗(x－4)2＋(y＋3)2＝16或(x－4)2＋(y＋3)2＝36〖解析〗設(shè)圓C的半徑為r，圓心距為d＝eq\r(4－02＋－3－02)＝5，當(dāng)圓C與圓O外切時(shí)，r＋1＝5，r＝4，當(dāng)圓C與圓O內(nèi)切時(shí)，r－1＝5，r＝6，∴圓的方程為