Z20 名校聯(lián)盟(浙江省名校新高考研究聯(lián)盟)2024屆高三第三次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷

Z20名校聯(lián)盟(浙江省名校新高考研究聯(lián)盟)2024屆高三第三次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷姓名：__________班級(jí)：__________考號(hào)：__________題號(hào)一二三四總分評(píng)分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．集合A={x|2≤x<4}，B={x|x-1≥8-2x}，則AUB=（）A．[2，4] B．(3，4) C．[2，+∞） D．[3，+∞）2．復(fù)數(shù)5ii?2A．i B．1 C．-2i D．-23．已知單位向量a→，b→滿足a→·b→=0，則cos<3a→+4bA．0 B．7210 C．24．設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知S3=a4-2，S2=a3-2，則公比q=（）A．2 B．-2 C．12 D．5．已知A(-2，-2)，B(1，3)，點(diǎn)P在圓x2+y2=4上運(yùn)動(dòng)，則|PA|2+|PB|2的最大值為（）A．16-6√2 B．26+2√2 C．26+4√2 D．326．若函數(shù)f（x）=sin（ωx）+cosx的最大值為2，則常數(shù)ω的取值可以為（）A．1 B．12 C．13 7．已知[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)：，若x=1為函數(shù)f(A．2ee?1 B．3e2e8．設(shè)O為原點(diǎn)，F(xiàn)，F(xiàn)2為雙曲線C:x2a2A．√2x±y=0 B．x±√2y=0 C．√3x±y=0 D．x±√3y=0二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9．下列說(shuō)法正確的是（）A．?dāng)?shù)據(jù)7，5，3，10，2的第40百分位數(shù)是3B．已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，σ越小，表示隨機(jī)變量X分布越集中C．已知一組數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差為3，則x1-1，x2-1，x3-1，…，xn-1的方差為3D．根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖判斷出兩個(gè)變量線性相關(guān)，由最小二乘法求得其回歸直線方程為y=010．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且23A．BB．若a=4，b=5，則△ABC有兩解C．當(dāng)a?D．若△ABC為銳角三角形，則cosA+cosC的取值范圍是(11．在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，已知E、F分別為線段B1C，D1C1的中點(diǎn)，點(diǎn)P滿足DP→=λDD1A．當(dāng)λ+μ=1時(shí)，則三棱錐D-PEF的體積為定值B．λ=μ=12四棱錐P-ABCD的外接球的表面積是C．△PEF周長(zhǎng)的最小值為3D．若AP=6三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．已知圓臺(tái)的上底面半徑為1，下底面半徑為5，側(cè)面積為30π，則圓臺(tái)的高為.13．甲、乙、丙3人站到共有6級(jí)的臺(tái)階上，若每級(jí)臺(tái)階最多站2人且甲、乙不站同一個(gè)臺(tái)階，同一臺(tái)階上的人不區(qū)分站的位置，則不同的站法種數(shù)是.種.(用數(shù)字作答)14．已知關(guān)于x的不等式(lnx-2ax)[x2-(2a+1)x+1]≤0對(duì)任意x∈(0，+o)恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是..四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或驗(yàn)算步驟.15．已知等差數(shù)列{an}的公差不為零，a1、a2、a5成等比數(shù)列，且a2n=2an+1．（1）求數(shù)列{an（2）求a1+a3+a5+…+a2n-1．16．已知四面體A-BCD，AB=AD=BC=CD=2，AC=√3（1）證明：AC⊥BD；（2）若BD=2√3，求直線AB與平面ACD所成角的正弦值.17．為了增強(qiáng)身體素質(zhì)，寒假期間小王每天堅(jiān)持在“跑步20分鐘”和“跳繩20分鐘”中選擇一項(xiàng)進(jìn)行鍛煉.在不下雪的時(shí)候，他跑步的概率為80%，跳繩的概率為20%，在下雪天，他跑步的概率為20%，跳繩的概率為80%.若前一天不下雪，則第二天下雪的概率為60%，若前一天下雪，則第二天仍下雪的概率為40%.已知寒假第一天不下雪，跑步20分鐘大約消耗能量300卡路里，跳繩20分鐘大約消耗能量200卡路里.記寒假第n天不下雪的概率為R·（1）求P1、P2、P3（2）設(shè)小王寒假第n天通過(guò)運(yùn)動(dòng)消耗的能量為X，求X的數(shù)學(xué)期望.18．已知橢圓C:x2折疊前（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）如圖，將平面xOy沿x軸折，使y軸正半軸和x軸所確定的半平面(平面A'FF2)與y軸負(fù)半軸和x軸所確定的半平面(平面B'FF2)垂直.①若折疊后OA'⊥OB'，求m的值；②是否存在m，使折疊后A、B'兩點(diǎn)間的距離與折疊前A、B兩點(diǎn)間的距離之比19．在平面直角坐標(biāo)系中，如果將函數(shù)y=f(x)的圖象繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α(0<（1）判斷函數(shù)y=√5x是否為“π6（2）已知函數(shù)f(x)=In(2x+1)(x>0)是“α旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，求tanα的最大值；（3）若函數(shù)g(x)=

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：由x?1≥8?2x，解得x≥3，即集合B={x|x≥3}，因?yàn)锳={x|2≤x<4}，所以A∪B={x|x≥2}，即A∪B=[2,+∞).故答案為：C.【分析】先解不等式求得集合B，再根據(jù)集合的并集運(yùn)算求解即可.2．【答案】D【解析】【解答】解：5ii?2=5i(?2?i)(i?2)(?2?i)=1?2i故答案為：D.【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，再判斷其虛部即可.3．【答案】B【解析】【解答】解：因?yàn)橄蛄縜→，b→為單位向量，且a→(3a+4b(a+b則cos?3故答案為：B.【分析】由題意，根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算以及向量的模先計(jì)算(3a→+4b→4．【答案】A【解析】【解答】解：由等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn，滿足S3=a4?2，S2故答案為：A.【分析】根據(jù)已知條件，兩式相減求解即可.5．【答案】C【解析】【解答】解：因?yàn)镻為圓x2+y則|PA|=4=4cos當(dāng)cos(θ+π4)=1時(shí)，故答案為：C.【分析】由題意，設(shè)P(2cos6．【答案】D【解析】【解答】解：因?yàn)楹瘮?shù)y=cosx的最大值為1，由題意可知，y=cosx取得最大值1時(shí)，即當(dāng)x=2kπ,k∈Z時(shí)，ω?2kπ=π2+2k'π，當(dāng)k=1,k'故答案為：D.【分析】分別分析函數(shù)y=cosx和7．【答案】B【解析】【解答】解：函數(shù)f(x)=令g(x)=?xex+2ex則存在?2<x0<?1，使得g(當(dāng)f'(x)<0時(shí)，?2<x<x0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)f'所以x=x0為函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)，所以[t]=[x故答案為：B.【分析】先求導(dǎo)，構(gòu)造函數(shù)g(x)=?xex+28．【答案】B【解析】【解答】解：設(shè)|PF1|=m，|PF2在△F1PF2中，由余弦定理得：4因?yàn)閨OP|=32a，O為F1,F2的中點(diǎn)，延長(zhǎng)PO所以四邊形PF1F在△PF1F在△PF1Q因?yàn)椤螰1P所以2(m2+n由①③得mn=14a2+c2化簡(jiǎn)得20c2=30a2則雙曲線的漸近線方程為：x±2故答案為：B.【分析】設(shè)|PF1|=m,|P9．【答案】B,C【解析】【解答】解：A、數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列為2,3,所以數(shù)據(jù)7，5，3，10，2的第40百分位數(shù)是3+52B、由正態(tài)分布可知：σ越小，方差越小，隨機(jī)變量X分布越集中，故B正確；C、易知數(shù)據(jù)x1?1,D、散點(diǎn)(m,?0.28)不一定在回歸直線為y=0故答案為：BC.【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義即可判斷A；根據(jù)正態(tài)曲線的性質(zhì)即可判斷B；根據(jù)方差的性質(zhì)即可判斷C；根據(jù)觀測(cè)值與預(yù)測(cè)值的區(qū)別即可判斷D.10．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：A、23a?si即23sinA?cos2B化解得cosB2(所以cosB2=0或sin(B2B、由余弦定理b2=a2+由Δ=(?4)2?4×C、因?yàn)閍?c=33b，兩邊平方得a2?2ac+由兩式消b2得，2a2?5ac+2c由B=π3，a=2c，b=3c解得∠A=故△ABC為直角三角形，故C正確；D、因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形，且B=π所以0<A<π即cosA+所以A+π6∈故答案為：ACD.【分析】通過(guò)正弦定理、誘導(dǎo)公式、二倍角公式及輔助角公式即可判斷A；通過(guò)余弦定理即可判斷B；通過(guò)余弦定理及a?c=33b可得a=2c或c=2a，即可判斷C；通過(guò)求A的取值范圍π11．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：A、當(dāng)λ+μ=1時(shí)，DP=λ故DP?DB=λ(DD1?連接BC1，與B1C相交于點(diǎn)E，則E為BC因?yàn)镕為D1C1的中點(diǎn)，所以DB、當(dāng)λ=μ=12時(shí)，由A選項(xiàng)可知，BP=12連接AC,BD相交于點(diǎn)Q，如圖所示：

則PQ⊥平面ABCD，設(shè)正四棱錐P?ABCD的外接球的球心為T，則P其中PQ=12,CQ=2由勾股定理得TC2=TQ2則表面積是πrC、點(diǎn)P在矩形D1B1BD及其內(nèi)部，取線段A1

|PF|+|PE|=|PF1|+|PE|≥|F1E|=|PF|+|PE|+|FE|≥5D、因?yàn)锳P=62，又點(diǎn)P在矩形D1B1BD及其內(nèi)部，所以點(diǎn)P的軌跡為點(diǎn)A為球心，半徑長(zhǎng)為又因?yàn)锳Q⊥平面BDD1B1，且所以點(diǎn)P的軌跡為以Q為圓心，半徑為1的圓的一部分，如圖所示：

其中JQ=MQ=1，DQ=DB=22故JD=MB=1?則∠JQD=∠MQB=45°，則∠JQM=90°，則軌跡長(zhǎng)為14故答案為：ABD.【分析】先得到BP=λBD1，故點(diǎn)P在線段D1B上，證明出D1B//EF，所以三棱錐D?PEF為定值即可判斷A；點(diǎn)P為線段D1B的中點(diǎn)，作出輔助線，找到外接球球心，從而得到外接球半徑和外接球面積即可判斷B；取線段A112．【答案】3【解析】【解答】解：設(shè)母線長(zhǎng)為l，高為h，則π(1+5)圓臺(tái)的軸截面，如圖所示：在△BED中，|ED|=4故答案為：3.【分析】根據(jù)圓臺(tái)的側(cè)面積求圓臺(tái)的母線，再根據(jù)圓臺(tái)軸截面，利用勾股定理求圓臺(tái)的高即可.13．【答案】180【解析】【解答】解：甲先選有6種站法，則乙有5種站法，丙有6種站法，則共有6×5×6=180種.故答案為：180.【分析】由題意，利用分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算即可.14．【答案】[【解析】【解答】解：不等式轉(zhuǎn)化為(2ax?lnx)[2ax?(x令y=lnx?(x2?x+1)令y'>0，解得0<x<1，則函數(shù)y=ln令y'<0，解得x>1，則函數(shù)y=ln所以當(dāng)x=1時(shí)，ymax=?1<0，即當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí)，所以lnx≤2ax≤設(shè)k1為過(guò)原點(diǎn)且與y=lnx相切的直線的斜率，設(shè)切點(diǎn)(則k1=y'|x=x0=設(shè)k2為過(guò)原點(diǎn)且與y=x2則k2=y'|x=x畫(huà)出函數(shù)y=lnx與y=x2?x+1數(shù)形結(jié)合可得，k1≤2a≤k故答案為：[1【分析】將原不等式轉(zhuǎn)化為lnx≤2ax≤x2?x+1恒成立，畫(huà)出函數(shù)y=lnx與y=x215．【答案】（1）解：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，且d≠0，因?yàn)閍1，a2，a5成等比數(shù)列，所以a22=a1a5，即a1+d2=a1a（2）解：a2n?1=2(2n?1)?1=4n?3，a2n?3=4n?7，a1【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列基本量的計(jì)算求解即可；（2）根據(jù)等差數(shù)列求和公式求解即可.16．【答案】（1）證明：取BD的中點(diǎn)M，連AM,因?yàn)锳B=AD=BC=BD=2，所以BD⊥AM,又因?yàn)锳M∩CM=M，AM、CM?平面ACM，所以BD⊥平面ACM，因?yàn)锳C?平面ACM，所以AC⊥BD.（2）解：因?yàn)锽D=23，所以AM=CM=1又因?yàn)锳C=3，可知∠AMC=12由（1）可得BD⊥平面ACM，且BD?平面BCD，所以平面BCD⊥平面ACM，作AH⊥CM交CM延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，則AH⊥平面BCD且AH=3以MB為x軸，MC為y軸，z軸//AH則A(0,AC=(0設(shè)平面ACD的一個(gè)法向量為n=(x,y令x=1，則y=?3,z=?3設(shè)直線AB與平面ACD所成角為θ，sinθ=|所以直線AB與平面ACD取成線面角的正弦值為3913【解析】【分析】（1）由題意，可知BD⊥AM,（2）根據(jù)題意可知：平面BCD⊥平面ACM，作輔助線，可知AH⊥平面BCD，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求解即可.17．【答案】（1）解：由題意得P1第3天不下雪，分為兩種情況，第2天不下雪且第三天不下雪，第2天下雪且第3天不下雪，故P3依題意Pn整理得Pn所以{Pn?12即Pn?1（2）解：易知X的可能取值為200，300，由（1）得P(X=300)=0.則他第n天通過(guò)運(yùn)動(dòng)鍛煉消耗的能量X的期望為300P(X=300)+200(1?P(X=300))=200+100P(X=300)=220+60P【解析】【分析】（1）由題意得到P1,P2,（2）易知X=200，300，求對(duì)應(yīng)的概率，即可得X的數(shù)學(xué)期望.18．【答案】（1）解：易知c=3，c則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2（2）解：折疊前設(shè)A(x1，y1由直線y=kx+m與橢圓交于不同兩點(diǎn)，所以Δ>0，解得m2由韋達(dá)定理得：x1因?yàn)锳B位于x軸兩側(cè)，所以y1?y2<0以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，折疊后，分別以原y軸負(fù)半軸，原x軸，原y軸正半軸所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：

則折疊后A'①折疊后OA'⊥OB'，則②折疊前|AB|=2折疊后|=所以120?22m25=3故不存在m，使折疊后的A'B'與折疊前的AB【解析】【分析】（1）由題意，結(jié)合橢圓的性質(zhì)列式求得a,b的值，即可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)