廣東省茂名市高州市2024年高三第一次模擬考試數(shù)學試卷

廣東省茂名市高州市2024年高三第一次模擬考試數(shù)學試卷姓名：__________班級：__________考號：__________題號一二三四總分評分一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知集合A={x|x2+2x?8<0}，B={x||x|≤2}A．(?4,?2) B．(?2,2) C．2．已知z=2?i1+i（i為虛數(shù)單位），則復數(shù)A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知x≠0,n∈N*，則“A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件4．Gompertz曲線用于預測生長曲線的回歸預測，常見的應用有：代謝預測，腫瘤生長預測，有限區(qū)域內(nèi)生物種群數(shù)量預測，工業(yè)產(chǎn)品的市場預測等等，其公式為：f(x)=kab?x（其中k>0,b>0，a為參數(shù)）．某研究員打算利用該函數(shù)模型預測公司新產(chǎn)品未來的銷售量增長情況，發(fā)現(xiàn)a=e．若x=1表示該新產(chǎn)品今年的年產(chǎn)量，估計明年(x=2)的產(chǎn)量將是今年的eA．5?12 B．5+12 C．5．已知cos(α+π)=?2sinα，則sinA．?1 B．?25 C．456．已知Tn為正項數(shù)列{an}的前n項的乘積，且A．16 B．32 C．64 D．1287．已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F2，直線lA．12 B．22 C．348．曲線y=lnx與曲線y=x2+2axA．(?∞,?12] B．[?1二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．已知圓C:A．圓C的圓心坐標為(?1B．圓C的周長為2C．圓M:(x+3)2D．圓C截y軸所得的弦長為310．中秋節(jié)起源于上古時代，普及于漢代，定型于唐代，如今逐漸演化為賞月、頌月等活動，以月之圓兆人之團圓，為寄托思念故鄉(xiāng)，思念親人之情，祈盼豐收、幸福，成為豐富多彩、彌足珍貴的文化遺產(chǎn)．某校舉行與中秋節(jié)相關的“中國傳統(tǒng)文化”知識競賽，隨機抽查了100人的成績整理后得到如圖所示的頻率分布直方圖，則下列結論正確的是（）A．樣本的眾數(shù)為75B．樣本的71%分位數(shù)為75C．樣本的平均值為68.5D．該校學生中得分低于60分的約占20%11．已知函數(shù)f(x)定義域為R，且f(x+2)+f(x)=0,A．f(x)是奇函數(shù) B．f(2024)=1C．f(x)的圖象關于x=1對稱 D．k=112．如圖，已知圓錐頂點為P，其軸截面△PAB是邊長為2的為等邊三角形，球O內(nèi)切于圓錐（與圓錐底面和側面均相切），Q是球O與圓錐母線PB的交點，M是底面圓弧上的動點，則（）A．球O的體積為4B．三棱錐A?QBM體積的最大值為3C．MA+MQ的最大值為3D．若M為AB中點，則平面PMQ截球O的截面面積為π三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．有一座六層高的商場，若每層所開燈的數(shù)量都是下面一層的兩倍，一共開了1890盞，則底層所開燈的數(shù)量為盞．14．如圖，△ABC在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，則AB?AC15．已知雙曲線C:x2?y23=1，直線l:y=kx+1分別與C的左、右支交于M,16．已知函數(shù)f(x)的圖象過點(0,1)，其導函數(shù)f'(x)=Acos(2x+φ)(A>0,0<φ<π2)四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟．17．在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別是（1）求B的大?。唬?）若D是AC邊的中點，且BD=2，求△ABC面積的最大值．18．已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且S5（1）求數(shù)列{a（2）求數(shù)列{an+1SnS19．近幾年，隨著新一輪科技革命和產(chǎn)業(yè)變革孕育興起，新能源汽車產(chǎn)業(yè)進入了加速發(fā)展的階段，我國的新能源汽車產(chǎn)業(yè)，經(jīng)過多年的持續(xù)努力，技術水平顯著提升、產(chǎn)業(yè)體系日趨完善、企業(yè)競爭力大幅增強，呈現(xiàn)市場規(guī)模、發(fā)展質量“雙提升”的良好局面．某汽車廠為把好質量關，對送來的某個汽車零部件進行檢測．（1）若每個汽車零部件的合格率為0.9，從中任取3個零部件進行檢測，求至少有1個零部件是合格的概率；（2）若該批零部件共有20個，其中有4個零部件不合格，現(xiàn)從中任取2個零部件，求不合格零部件的產(chǎn)品數(shù)X的分布列及其期望值．20．如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，AB⊥BC，AB=BC=2，BB1=6，B（1）當M為中點時，求證：MN∥平面BCC（2）當CM=23時，求直線MN與平面21．已知拋物線C:y2=2px(p>0)，F(xiàn)為拋物線的焦點，P,Q其為準線上的兩個動點，且（1）求拋物線C的標準方程；（2）若線段PF,QF分別交拋物線C于點A,B，記△PQF的面積為S1，△ABF的面積為S22．設函數(shù)f(x)=ex+asinx（1）當a=?1時，f(x)≥bx+1在[0,+∞)上恒成立，求實數(shù)（2）若a>0,f(x)在[0,

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：已知集合A={x|x2+2x?8<0}，B={x||x|≤2}，

所以A={x|x∴A∩B={x|?2≤x<2}.故答案為：C.【分析】根據(jù)一元二次不等式的解法以及絕對值不等式化簡集合A，B，再利用交集含義即可求解.2．【答案】A【解析】【解答】解：因為z=2?i所以zi?z=zi?1所以復數(shù)zi?z在復平面內(nèi)對應的點(1故答案為：A.【分析】利用復數(shù)的乘除法法則化簡復數(shù)z，從而求得zi?z=1+2i，最后判斷點所在象限即可.3．【答案】A【解析】【解答】解：(2x3+1x)n的通項公式為：Cnk若(2x設二項式的通項為Tr+1且存在常數(shù)項，則3n?4r=0，r=3n4，所以n能被4整除.所以“n=8”是“(2x故答案為：A.【分析】先求出(2x4．【答案】A【解析】【解答】解：由題意得，因為a=e，

所以f(x)=k?e∴當x=1時，f(1)=k?e當x=2時，f(2)=ke依題意，明年(x=2)的產(chǎn)量將是今年的e倍，得：ke∴1b2?1∵b>0，∴b=5故答案為：A.【分析】理解題意，分別代入x=1、x=2，得到f(1)和f(2)的值，進而得到ke5．【答案】D【解析】【解答】解：由誘導公式可得：cos(α+π)=-cosα，

因為cos(α+π)=?2sinα，則cosα=2sinα，

則tanα=1所以sin故答案為：D【分析】由誘導公式可得cosα=2sinα，求出tanα6．【答案】B【解析】【解答】解：已知Tn為正項數(shù)列{an}的前n項的乘積，

因為Tn2=an等式兩邊取對數(shù)得nlgan+1=(n+1)lg則lgann=lga11=故答案為：B【分析】利用遞推公式得Tn+12=7．【答案】B【解析】【解答】解：由題意得，直線l:y=kx經(jīng)過原點0,0，

因為直線l:y=kx(k≠0)與橢圓交于A,B兩點，

所以設由兩點間的斜率公式可得kAD又∵x12a2+y∴y12?y22故答案為：B.【分析】根據(jù)題目已知條件，利用點差法得到斜率的表達式，化簡即可得到離心率的值.8．【答案】B【解析】【解答】解：已知曲線y=lnx與曲線y=x2+2ax設y=lnx，y=x2+2ax圖象上的切點分別為(則過這兩點處的切線方程分別為y=xx1則1x1=2x2設f(x)=ex2?1?2x令g(x)所以g(x)在R則f(x)在(?∞,1)上單調遞減，在所以2a≥f(1)=?1，a≥?1故答案為：B.【分析】首先利用直線的點斜式方程分別求出兩曲線的切線方程，再構造函數(shù)f(x)=ex29．【答案】B,C【解析】【解答】解：已知圓，C:x2對于AB，可得圓心的坐標為(1,1)，半徑為5，則周長為25π，可知對于C，由M(?3,?1)，|MC|=16+4對于D，令x=0，可得y2?2y?3=0，解得可得圓C截y軸所得的弦長為4，可知D錯誤.故答案為：BC.【分析】先求出圓的圓心和半徑，即可求解判斷ABC，對于D求出圓C上橫坐標為0的點的縱坐標即可判斷.10．【答案】A,C【解析】【解答】解：根據(jù)頻率分布直方圖可得，

(0.015+0.選項A，∵最高小矩形的中點橫坐標為75，∴眾數(shù)是75，故A正確.選項B，設樣本的71%分位數(shù)為x，又10×(0.∴0.5+(x?70)×0.選項C，平均數(shù)為45×0.選項D，樣本中得分低于60分的占(0.010+0.015)×10=25%，故答案為：AC.【分析】頻率分布直方圖中，由各組面積之和為1可求得a的值，再根據(jù)頻率分布直方圖的性質逐項判斷即可.11．【答案】A,C【解析】【解答】解：對于選項A，因為f(1?x)=f(1+x)，將x替換為x+1，得：f(?x)=f(2+x)，

又因為f(x+2)+f(x)=0，即f(x+2)=?f(x)，∴f(?x)=?f(x)，∴f(x)是奇函數(shù)，選項A正確；對于選項B，∵f(x+2)=?f(x)，將x替換為x+2，得：f(x+4)=?f(x+2)=f(x)，所以4為函數(shù)f(x)的周期，又因為f(x)是奇函數(shù)，且函數(shù)f(x)的定義域為R，∴f(0)=0，∴f(2024)=f(4×506)=f(0)=0，選項B錯誤.

對于選項C，f(2x+1)是偶函數(shù)，得：f(1?2x)=f(1+2x)，將x替換為所以函數(shù)f(x)關于直線x=1對稱，選項C正確；對于選項D，由已知f(x+2)+f(x)=0，分別代入x=1,x=2，得：f(1)+f(3)=0，f(2)+f(4)=0，同時4為f(x)的周期，∴k=1故答案為：AC.【分析】根據(jù)抽象函數(shù)的性質，以及函數(shù)的奇偶性、周期性和對稱性對各個選項進行驗證，即可求得結果.12．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：由題意可得，如圖，

對于選項A，

設底面圓心為O1，則PO1⊥AB，AQ⊥PB因為△PAB是邊長為2的為等邊三角形，則BO1=1，Q則球O的半徑OO1=33對于選項B，作QD⊥AB，因為PO1⊥面ABM所以QD⊥底面ABM，QD=1∵VA?QBM=對于選項C，設AM=x，x∈[0,∴cos∠MAB=AMAB=∴QM=MD2設f(x)=x+3?x22，則令當x=0時，f'(x)>0，當x∈(0,易知y=3x2?12在(0,2]上單調遞減，則當x∈[0,2]時，f'f(x)對于選項D，當M為AB中點時，MO⊥AB，由PB=PM=2，MB=2，PQ=1，得sin∠QPM=74.設點O到平面PMQ的距離為h，∵S△OPQ=36，VM?OPQ∴截面面積為π?[(故答案為：ACD.【分析】根據(jù)球的體積公式、基本不等式、利用導數(shù)即可求出其最大值以及等體積法求出O到平面PMQ的距離判斷各個選項即可.13．【答案】30【解析】【解答】解：六層高的商場，每層所開燈的數(shù)量都是下面一層的兩倍，

可設從下往上每層燈的數(shù)據(jù)構成等比數(shù)列{an}，

則公比q=2，n=6于是S6=a所以底層所開燈的數(shù)量為30盞.故答案為：30【分析】每層燈的數(shù)據(jù)構造等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的Sn14．【答案】9【解析】【解答】解：如圖，以點B為坐標原點，建立平面直角坐標系，

小正方形組成的網(wǎng)格中，小正方形的邊長為1，

則A(2,3)，∴AB=(?2,?3)，AC故答案為：9.【分析】數(shù)形結合，如圖建立平面直角坐標系，求出AB→，AC15．【答案】y=±【解析】【解答】解：已知雙曲線C:x2?y23=1與直線l:y=kx+1相交，如圖所示，

可將雙曲線與直線聯(lián)立方程組可得：x2?y23=1∵Δ=4k2+16(3?k2由直線過定點(0,1)，故∴(解得k2=2或72（舍去），∴k=±2，∴直線故答案為：y=±2【分析】理解題意畫出圖形，將雙曲線與直線聯(lián)立方程組，借助韋達定理表示△OMN的面積并計算即可得解.16．【答案】[【解析】【解答】解：根據(jù)導函數(shù)f'(x)圖象可知，f'(x)的圖象過點(0,3)，

∴Acosφ=又f'(x)的圖象過點(π6,0)，∴cosφ=32=∴f'(x)=2cos(2x+又∵f(x)過點(0,1)，∴f(0)=sinπ∴f(x)=sin(2x+π令f(tx)=sin(2tx+π6)+令2tx+π6=α，∵x∈[0∵函數(shù)y=f(tx)(t>0)在[0,∴sin(2tx+π6)=12在[0,故答案為：[1【分析】數(shù)形結合，由f'(x)的圖象過點(0,3)，(π6,0)可求出A和φ，結合f(0)=1求得f(x)=sin(2x+π617．【答案】（1）解：∵A+B+C=π，∴sinA=sin(B+C)，∴bsinA=asinπ?B∴由正弦定理可得sinBsinA=sinAcosB∵sinB=2sinB2cos∵sinA≠0，cosB2≠0，∴sinB2（2）解：依題意，S△ABC因為|BA+BC|=2|BD|，所以|BA+BC∴△ABC面積的最大值為12【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理的應用進行邊角轉化，以及三角形內(nèi)角和A+B+C=π可得sinBsinA=sinAcosB218．【答案】（1）解：∵數(shù)列{an}由題意知5所以an（2）解：∵an+1S∵Sn=【解析】【分析】（1）利用基本量法求解已知條件的方程組即可求得其通項公式；（2）利用裂項求和得Tn=119．【答案】（1）解：記“檢測出至少有1個零部件是合格品”為事件A，則P(A)=1?P(A（2）解：由題意可知，隨機變量X的可能取值為0,P(X=0)=C162C20所以隨機變量X的分布列為X012P12323E(X)=0×12【解析】【分析】（1）理解題意，根據(jù)獨立事件的乘法公式和對立事件的概率計算公式即可得到答案；（2）先求出X的所有可能取值，再利用超幾何分布即可得到其分布列，從而可得數(shù)學期望.20．【答案】（1）證明：如圖，在平面ABC內(nèi)作CA的垂線CD，∵B1C⊥平面ABC，∴AC，B依題意，以C為坐標原點，分別以CA,CD,∵AB⊥BC，AB=BC=2，∴AC=∵BC?平面ABC，B1C⊥平面ABC，∴B1C⊥BC∴當M為AC中點時，點M的坐標為(1,0,0)，∵AA1=B∴N(12,?1∵AB?平面ABC，B1C⊥平面ABC，又AB⊥BC，BC∩B1C=C，BC，B1C?平面BC∵AB?MN=0，（2）解：M(23,0,0)，則設平面BC1M∴13a+b=0,?53設直線MN與平面BC1M由題意可得sinα=|cos?m【解析】【分析】（1）如圖建立空間直角坐標系，結合線面垂直的判定定理以及數(shù)量積公式即可求證；（2）計算出MN，再求出平面BC21．【答案】（1）解：設x軸與準線的交點為M．∵PF⊥QF,∴當|PF|=2|QF|時，∴|PM|=2|MF|，|MF|=2|MQ|．∴|PQ|=|PM|+|MQ|=5∴拋物線C的標準方程為y2（2）解：依題意，直線AB的斜率不為0，∴設直線AB的解析式為x=ky+b，A(x1,聯(lián)立y2=4x,x=ky+b,消去x，得y由FA?FB=0可得(x1?