內(nèi)蒙古阿拉善盟2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試文科試題含解析1

Page1阿拉善盟20242024學(xué)年度高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)（文科）考生留意：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫清晰.3.考生作答時(shí)，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.4.本卷命題范圍：高考范圍.一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.其次象限C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】結(jié)合虛數(shù)單位的周期性、復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算求解，結(jié)合復(fù)數(shù)對應(yīng)復(fù)平面點(diǎn)的坐標(biāo)即可得到答案.【詳解】，對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為，位于其次象限.故選：B.2.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先解指數(shù)不等式和一元二次不等式分別求出集合,再應(yīng)用并集概念運(yùn)算即可【詳解】集合，，所以.故選:D.3.已知向量，若，則實(shí)數(shù)m的值是（）A. B. C.1 D.4【答案】A【解析】【分析】由題意可得，求解即可.【詳解】解：由，得，解得.故選：A.4.若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】結(jié)合誘導(dǎo)公式和二倍角公式求得正確答案.【詳解】由，得，所以.故選：C5.已知函數(shù).若曲線和在公共點(diǎn)處有相同的切線，則a，b的值分別為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先依據(jù)和在公共點(diǎn)處有相同切線得出在處兩函數(shù)的導(dǎo)數(shù)相等,再由在上,列方程組求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，由題意，解得故選:A.6.若雙曲線的漸近線與圓相切，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)漸近線的公式寫出直線方程，依據(jù)直線與圓相切則圓心到直線的距離等于半徑列出方程求解.【詳解】雙曲線的漸近線為，即，由于對稱性不妨取，圓.即，所以圓心為，半徑，依題意圓心到漸近線的距離，解得或（舍去）.故選:D.7.在正方體中，E為的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】平移到,再連接，再解三角形即可求出答案.【詳解】平移到,再連接，則或其補(bǔ)角為異面直線與所成的角，設(shè)正方體的棱長為2，易得，，，由余弦定理得故選：A.8.將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長度，再向上平移4個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖像，則的解析式為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)平移規(guī)則，依次先左右平移再上下平移后化簡解析式即可.【詳解】函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長度，可得，再向上平移4個(gè)單位長度，可得.故選:A.9.某地錳礦石原有儲(chǔ)量為a萬噸，安排每年開采量為本年年初儲(chǔ)量的m（，且m為常數(shù)）倍，第n（）年開采后剩余儲(chǔ)量為，按該安排運(yùn)用10年時(shí)間開采到剩余儲(chǔ)量為原有儲(chǔ)量的一半.若開采到剩余儲(chǔ)量為原有儲(chǔ)量的70%，則需開采約（參考數(shù)據(jù)：）（）A.3年 B.4年 C.5年 D.6年【答案】C【解析】【分析】設(shè)第n年開采后剩余儲(chǔ)量為y，則，計(jì)算，得到，解得答案.【詳解】設(shè)第n年開采后剩余儲(chǔ)量為y，則，當(dāng)時(shí)，，所以，，故，即，，設(shè)第n年時(shí)，，故，，，故.故選：C10.更相減損術(shù)是出自中國古代數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》的一種算法，其內(nèi)容如下：“可半者半之，不行半者，副置分母、子之?dāng)?shù)，以少減多，更相減損，求其等也，以等數(shù)約之”，如圖是該算法的程序框圖，假如輸入，，則輸出的a是（）A.23 B.33 C.37 D.42【答案】B【解析】【分析】依據(jù)程序框圖依次計(jì)算得到答案.【詳解】依據(jù)程序框圖，輸入的，，因?yàn)?，且，所以；其次次循環(huán)，；第三次循環(huán)，；第四次循環(huán)，，此時(shí)，輸出.故選：B11.已知點(diǎn)F為拋物線C：的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F作兩條相互垂直的直線，，直線與C交于A，B兩點(diǎn)，直線與C交于D，E兩點(diǎn)，則的最小值為（）A.64 B.54 C.50 D.48【答案】C【解析】【分析】利用韋達(dá)定理表示出弦長和，利用基本不等式可求最小值.【詳解】拋物線：的焦點(diǎn)，因?yàn)?，所以直線，斜率存在，且均不為0.設(shè)直線的方程為，，，由得，所以，所以，因?yàn)?，所以將中的替換為可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).故的最小值是50.故選:C.12.設(shè)等比數(shù)列滿意，，記為中在區(qū)間中的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，則數(shù)列的前50項(xiàng)和（）A.109 B.111 C.114 D.116【答案】C【解析】【分析】先求出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，再結(jié)合題意得到當(dāng)，2時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；從而求出數(shù)列的前50項(xiàng)和.【詳解】設(shè)等比數(shù)列公比為q，則，，解得，，故，因?yàn)闉橹性趨^(qū)間中的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，所以當(dāng)，2時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；故.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.某高校調(diào)查了400名學(xué)生每周的自習(xí)時(shí)間（單位：小時(shí)），將收集到的自習(xí)時(shí)間分成5組：（自習(xí)時(shí)間均在內(nèi)），制成了如圖所示的頻率分布直方圖，則這400名學(xué)生中每周的自習(xí)時(shí)間不少于22.5小時(shí)的人數(shù)是______.【答案】280【解析】【分析】計(jì)算自習(xí)時(shí)間不少于22.5小時(shí)的組的頻率與總?cè)藬?shù)相乘即可.【詳解】由頻率分布直方圖知，這400名學(xué)生中每周的自習(xí)時(shí)間不少于22.5小時(shí)的人數(shù)為：.故答案為：280.14.設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，對隨意都有（t為常數(shù)），則稱該數(shù)列為“t數(shù)列”，若數(shù)列為“2數(shù)列”，且，則______.【答案】2024【解析】【分析】利用并項(xiàng)求和即可.【詳解】依據(jù)題意得到：，所以.故答案為：2024.15.已知函數(shù)，若它們同時(shí)滿意下面兩個(gè)條件：①，和中至少有一個(gè)小于0；②，則m的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】依據(jù)取正負(fù)時(shí)的范圍分類探討．先由時(shí)，得出的范圍，然后由時(shí)，縮小范圍，最終利用條件②，存在，使得，結(jié)合一元二次不等式的解集可得答案．【詳解】由題意時(shí)，，時(shí)，時(shí)，，（1）由條件①時(shí)，，，或，（2）時(shí)，，在（1）的基礎(chǔ)上，若，時(shí)，時(shí)，或，因此，滿意題意，時(shí)，也滿意題意，時(shí)，，或，滿意題意，，，此時(shí)，不滿意題意因此有，（3）下面在范圍內(nèi)探討條件②，即存在，使得．即，由于時(shí)，，所以，，所以．故答案為：．16.在三棱錐中，是等邊三角形，平面平面ABC，，，且三棱錐的全部頂點(diǎn)都在半徑為4的球О的球面上，則三棱錐的體積為______.【答案】24【解析】【分析】由幾何關(guān)系可推斷在上，即可列式求得棱長，即可求三棱錐體積.【詳解】因?yàn)?，所以為所在截面圓的直徑，又平面平面，為等邊三角形，所以在上，如圖所示，設(shè)，則，，所以，解得，所以，，又，，所以，所以.故答案為：24.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必需作答.第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.（1）求證：；（2）若，外接圓的半徑為，求的面積.【答案】（1）證明見解析；（2）或.【解析】【分析】（1）由正弦定理角化邊可得，進(jìn)而依據(jù)余弦定理角化邊可得，即可得出結(jié)果；（2）由正弦定理可得，或.依據(jù)余弦定理，分別求出當(dāng)以剛好，的值，然后依據(jù)面積公式即可得出結(jié)果.【小問1詳解】證明：因?yàn)?，所以，由正弦定理得，又由余弦定理?所以，又，所以.【小問2詳解】解：因?yàn)榍?，所以，即，又外接圓的半徑，由正弦定理，即，因?yàn)?，所以?若，又，由余弦定理，即，解得或（舍去），所以，所以；若，又，由余弦定理，即，解得或（舍去），所以，所以.所以的面積為或.18.盲盒里面通常裝的是動(dòng)漫、影視作品的周邊，或者設(shè)計(jì)師單獨(dú)設(shè)計(jì)出來的玩偶.由于盒子上沒有標(biāo)注，購買者只有打開后才會(huì)知道自己買到了什么，因此這種驚喜吸引了眾多年輕人，形成了“盲盒經(jīng)濟(jì)”.某款盲盒內(nèi)裝有正版海賊王手辦，且每個(gè)盲盒只裝一個(gè).某銷售網(wǎng)點(diǎn)為調(diào)查該款盲盒的受歡迎程度，隨機(jī)抽取了400人進(jìn)行問卷調(diào)查，并全部收回.經(jīng)統(tǒng)計(jì)，有的人購買了該款盲盒，在這些購買者當(dāng)中，男生占；而在未購買者當(dāng)中，男生、女生各占.（1）完成下面的列聯(lián)表，并推斷是否有的把握認(rèn)為是否購買該款盲盒與性別有關(guān)？女生男生總計(jì)購買未購買總計(jì)（2）從購買該款盲盒的人中按性別用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取6人，再從這6人中隨機(jī)抽取3人發(fā)放實(shí)惠券，求抽到的3人中恰有1位男生的概率.參考公式：，其中.參考數(shù)據(jù)：0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）列聯(lián)表見解析，有99.5%的把握認(rèn)為是否購買該款盲盒與性別有關(guān)（2）【解析】【分析】（1）結(jié)合題意可完成列聯(lián)表，結(jié)合公式即可計(jì)算，即可推斷是否有的把握認(rèn)為是否購買該款盲盒與性別有關(guān)（2）列舉基本領(lǐng)件個(gè)數(shù)，結(jié)合古典概型的概率計(jì)算公式即可求解.【小問1詳解】由題可得：購買了該款盲盒的人數(shù)為人，其中購買了該款盲盒的男生人數(shù)為人，則購買了該款盲盒的女生為人，所以未購買者總?cè)藬?shù)為280人，男生、女生各占為140人，則列聯(lián)表為：女生男生總計(jì)購買8040120未購買140140280總計(jì)220180400依據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，可得，因?yàn)?，所以?9.5%的把握認(rèn)為是否購買該款盲盒與性別有關(guān).【小問2詳解】抽取6人中，女生有：（人），記為.男生有：（人），記為A，B.從這6人中隨機(jī)抽取3人，有，，，共20種基本領(lǐng)件，其中抽到的3人中恰有1位男生，有，，共12種基本領(lǐng)件，所以抽到的3人中恰有1位男生的概率.19.如圖，在三棱柱中，底面是邊長為4的等邊三角形，.（1）求證：；（2）求三棱錐的體積.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）取中點(diǎn)M，利用平面幾何學(xué)問證明，，所以平面，即證；（2）利用等體積轉(zhuǎn)化將轉(zhuǎn)化為，求平面的面積，直截面法可求體積.【小問1詳解】證明：取中點(diǎn)M，連接，如圖所示.因?yàn)闉榈冗吶切?，，M為中點(diǎn)，所以，因?yàn)椋?，所以，所以，又平面，所以平面，又平面，所?【小問2詳解】解：在三棱柱中，平面平面，所以平面，所以.在中，由余弦定理得，即，解得或（舍去）.在中，，由勾股定理得，中，，所以，所以，所以.因?yàn)槠矫?，所?所以的體積為.20.已知橢圓：的離心率為，且點(diǎn)在上.（1）求的方程；（2）設(shè)，為的左、右焦點(diǎn)，過的直線交于A，B兩點(diǎn)，若內(nèi)切圓的半徑為，求直線的方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）依據(jù)題設(shè)條件列方程求解即可；（2）先依據(jù)橢圓的定義確定的周長，進(jìn)而可求的面積，再依據(jù)，利用韋達(dá)定理代入求解.【小問1詳解】因?yàn)榈碾x心率為，故可設(shè)，，.故的方程為，代入得，解得.所以的方程為.【小問2詳解】的周長為，故.設(shè)，，由題意可得直線與軸不重合，，故可設(shè)直線的方程為，則.由得，此時(shí)，所以，，故.解得，故直線的方程為或.21.設(shè)向量，，，（）.（1）當(dāng)時(shí)，求的極值；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).【答案】（1）的微小值為，無極大值（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1【解析】【分析】（1）將的值代入，然后求導(dǎo)，分析單調(diào)區(qū)間求極值即可.（2）對分類探討，分別求函數(shù)單調(diào)區(qū)間，結(jié)合極值即可推斷零點(diǎn)個(gè)數(shù).【小問1詳解】依據(jù)已知得，則當(dāng)時(shí)，，，，由得或（舍）.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以的微小值為，無極大值.【小問2詳解】因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，有極大值，微小值，又，所以函數(shù)有1個(gè)零點(diǎn).若，恒成立，函數(shù)單調(diào)遞增，此時(shí)，，所以函數(shù)有1個(gè)零點(diǎn)；若，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以有極大值，明顯微小值，又，所以函數(shù)有1個(gè)零點(diǎn).綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：確定單調(diào)區(qū)間的步驟：(1)確定函數(shù)的定義域；(2)求導(dǎo)數(shù)，令，解此方程，求出在定義區(qū)間內(nèi)的一切實(shí)根；(3)利用的定義域和實(shí)根把函數(shù)的定義區(qū)間分成若干個(gè)小區(qū)間；(4)確定在各個(gè)區(qū)間內(nèi)的符號(hào)，依據(jù)符號(hào)判定函數(shù)在每個(gè)相應(yīng)區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性（二）選考題：共10分.請考生在第22、23兩題中任選一題作答.假如多做，則按所做的第一題計(jì)分.選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程22.在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為.（1）求的直角坐標(biāo)方程；（2）若與有公共點(diǎn)，求取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用兩角和與差的正弦公式綻開，再結(jié)合，即可得到直線方程；（2）將參數(shù)方程代入（1）中的直線方程得，則轉(zhuǎn)化為有解，令，，則設(shè)，求出其值域即可.【小問1詳解】因?yàn)?，所以，又因?yàn)?/p>