2025屆高考數學二輪復習專題突破-抽象函數性質問題含解析

Page12024屆高三二輪復習專題突破——抽象函數性質問題一、單選題(共0分)1．已知函數的定義域為，，是偶函數，隨意滿意，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由是偶函數，得函數圖像關于直線對稱，結合單調性求解不等式即可得到結果.【詳解】因為是偶函數，所以的圖像關于直線對稱，則，因為隨意滿意，所以在上單調遞增，在上單調遞減，故等價于，解得.故選：D2．已知函數及其導函數的定義域均為R，若滿意，且為奇函數，則下列選項中肯定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】依據題意可得函數的奇偶性，然后令，即可求得，從而得到結果.【詳解】因為為奇函數，則，即，所以為偶函數，由，得，即，故A正確，C錯誤令，則，則，故D錯誤；令，則，故不肯定等于0.故B錯誤.故選:A3．定義在上的函數滿意，時，若的解集為，其中，則實數的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】依據題意可知：函數關于對稱，作出函數在區(qū)間上的圖象，然后依據函數的圖象和不等式的解集確定實數的取值范圍即可.【詳解】因為函數滿意，所以函數關于對稱，作出函數在區(qū)間上的圖象，又因為不等式的解集為，其中，依據圖象可知：當直線過點時為臨界狀態(tài)，此時，故要使不等式的解集為，其中，則，故選：.4．已知定義在上的偶函數滿意，若，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】構造，利用已知可得函數的單調性，利用周期性求出，化簡已知不等式，利用單調性得出解集．【詳解】是偶函數，，則，即是奇函數，由，可得，構造，則單調遞增；，，即的周期為，則，即；不等式可化簡為，即，由單調性可得，解得故選：A5．已知函數的定義域均為為偶函數，且，，下列說法正確的有（

）A．函數的圖象關于對稱B．函數的圖象關于對稱C．函數是以4為周期的周期函數D．函數是以6為周期的周期函數【答案】C【分析】依據題中所給條件可推斷關于和對稱，進而得的周期性，結合的周期性和的奇偶性即可推斷的周期性，結合選項即可逐一求解.【詳解】由得，又為偶函數，所以，進而可得；因此可得的圖象關于對稱,又可得，結合為偶函數，所以，故的圖象關于對稱，因此，所以是以4為周期的周期，故D錯誤，由于，所以且，因此的圖象關于對稱，函數是以4為周期的周期函數，故C正確，B錯誤，依據是以4為周期的周期函數，由，得，所以數的圖象關于對稱，故A錯誤，故選：C6．已知函數及其導函數的定義域均為，記，若為奇函數，為偶函數，則（

）A．2024 B．2024 C．2024 D．2024【答案】C【分析】先依據為偶函數得到，兩邊取的導數可得：求，進而得到，在依據導函數為奇函數可得到導函數的遞推公，然后依據遞推公式即可求解.【詳解】∵為偶函數，∴，即，兩邊同時對x求導得，即，令，則，∵為奇函數，∴，又，即，聯立得，即，∴，故選：C．7．已知函數的定義域為，且為偶函數，若，則（

）A．116 B．115 C．114 D．113【答案】C【分析】由可得函數的周期為，再結合為偶函數，可得也為偶函數，通過周期性與對稱性即可求解.【詳解】由，得，即，所以，所以函數的周期為，又為偶函數，則，所以，所以函數也為偶函數，又，所以，，所以，又，即，所以，又，，，所以故選：.8．已知函數的定義域均為R，且．若的圖像關于直線對稱，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】依據對稱性和已知條件得到，從而得到，，然后依據條件得到的值，再由題意得到從而得到的值即可求解.【詳解】因為的圖像關于直線對稱，所以，因為，所以，即，因為，所以，代入得，即，所以，.因為，所以，即，所以.因為，所以，又因為，聯立得，，所以的圖像關于點中心對稱，因為函數的定義域為R，所以因為，所以.所以.故選：D【點睛】含有對稱軸或對稱中心的問題往往條件比較隱藏，考生須要依據已知條件進行恰當的轉化，然后得到所需的一些數值或關系式從而解題.二、填空題(共0分)9．函數及其導函數定義域均為，且是偶函數，記，也是偶函數，則___________．【答案】【分析】依據函數的奇偶性得到，依據導函數的奇偶性得到，確定函數的周期為4，得到，計算得到答案.【詳解】是偶函數，，兩邊求導得到，即，即，取，，，也是偶函數，故，即，故，即，.故，是函數的一個周期，.故答案為：10．已知是定義域為的函數，為奇函數，為偶函數，則______.【答案】0【分析】依題意可得關于直線對稱、關于點對稱且時周期為的周期函數，再求出、，即可得解.【詳解】解：因為為偶函數，所以，所以，即，則關于直線對稱，因為為奇函數，所以，所以的圖象關于點對稱，所以，則，所以是周期為的周期函數，由，即，所以為奇函數，又是定義域為的函數，所以，在中，令，所以，所以，在中，令，所以，所以，所以，所以.故答案為：11．設是定義在上的不恒為零的函數，且滿意為偶函數，為奇函數，則______.【答案】0【分析】依據函數的奇偶性可知函數是周期為4的函數，然后利用周期性求解即可【詳解】由為偶函數，則函數關于直線對稱，則有；由函數為奇函數，則函數關于對稱，則，所以，設，則，從而函數是周期為4的函數，又由函數關于對稱，可得且，由可得，所以，因為，所以，故答案為：0三、多選題(共0分)12．已知函數，則（

）A．的定義域是 B．的值域是C．是奇函數 D．在上單調遞減【答案】AC【分析】逐個推斷每個選項.【詳解】對于A項，分式中分母不等于0，所以，解得：所以的定義域是；故A項正確；對于B項，的值域是，故B項錯誤；對于C項，，令，定義域為，所以是奇函數，即是奇函數，故C項正確；對于D項，多個單調區(qū)間可用逗號（或“和”）隔開，所以在，上單調遞減，在上不是單調遞減的，故D項錯誤.故選：AC.13．已知函數及其導函數的定義域均為R，記，若，均為奇函數，則（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】對A，依據定義域為R的奇函數的滿意在處的值為0推斷即可；對B，依據題意不能求出的值；對C，依據奇函數的性質可得的關系；對D，依據為奇函數推導可得，再為奇函數可得的周期為2，再令可得，進而依據周期性推斷即可【詳解】對A，因為為奇函數，且定義域為R，故，即，故A正確；對B，為奇函數則，且無條件推出的值，故B錯誤；對C，因為為奇函數，故，即，故C錯誤；對D，因為為奇函數，則，故，故，所以，即關于對稱.又為奇函數，故關于對稱，結合關于對稱有，即.故，又，所以，即的周期為2.又，即，所以，即，故D正確；故選：AD14．已知函數是奇函數，是偶函數，并且當，則下列結論正確的是（

）A．在上為減函數B．在上C．在上為增函數D．關于對稱【答案】BD【分析】由已知可得的圖象關于中心對稱，且關于軸對稱，周期為，則可依次推斷每個選項正誤.【詳解】因為是奇函數，是偶函數，所以，，所以，又，所以，所以函數的周期為，其圖象關于軸對稱，當時，，則函數在上遞減，依據對稱性可得在單調遞增，再結合周期性可得在上為增函數，故A錯誤，因為當時，，在小于0，依據對稱性可得在小于0，故B正確；的圖象關于軸對稱，所以，，所以不行能在上為增函數，故C錯誤；因為，，所以所以的圖象關于軸對稱，因為的周期為，所以關于對稱，故D正確.故選：BD.15．已知函數是定義在上的奇函數，且.若時，，則下列結論正確的有（

）A．函數的值域為B．函數圖像關于直線對稱C．當實數時，關于的方程恰有三個不同實數根D．當實數時，關于的方程恰有四個不同實根【答案】ABD【分析】依據已知利用周期性得到函數的圖像，數形結合推斷方程根的個數即可求得的范圍進行推斷.【詳解】解析：由，函數周期為4．又為奇函數，而時，，即，變形整理得．可得函數圖像：由圖像可知，函數的值域為且關于對稱，選項A、B正確．記，由，所以為偶函數，當時，，當時，，圖像為：又方程有四個不同的根，當時，即直線與函數，，有四個交點，即直線與函數，，有四個交點，數形結合可得，又因為為偶函數，所以，同時時恰有一個交點，選項C錯誤，D正確．故選：ABD16．已知函數的定義域為，函數的圖象關于點對稱，函數的圖象關于直線對稱，下列結論正確的有（

）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】依據給定條件，探討函數的性質，再逐項推斷作答.【詳解】函數的定義域為，由函數的圖象關于點對稱，得的圖象關于點對稱，則有，取得，B正確；由函數的圖象關于直線對稱，得，則有，函數的圖象關于直線對稱，因此，有，C正確；于是得，即，有，取得，D正確；函數的圖象關于點對稱，且關于直線對稱，而，A不正確.故選：BCD17．已知奇函數在R上可導，其導函數為，且恒成立，若在單調遞增，則（

）A．在上單調遞減 B．C． D．【答案】BCD【分析】依據函數的的對稱性和周期性，以及函數的導數的相關性質，逐個選項進行驗證即可.【詳解】方法一：對于A，若，符合題意，故錯誤，對于B，因已知奇函數在R上可導，所以，故正確，對于C和D，設，則為R上可導的奇函數，，由題意，得，關于直線對稱，易得奇函數的一個周期為4，，故C正確，由對稱性可知，關于直線對稱，進而可得，（其證明過程見備注）且的一個周期為4，所以，故D正確．備注：，即，所以，等式兩邊對x求導得，，令，得，所以．方法二：對于A，若，符合題意，故錯誤，對于B，因已知奇函數在R上可導，所以，故正確，對于C，將中的x代換為，得，所以，可得，兩式相減得，，則，，…，，疊加得，又由，得，所以，故正確，對于D，將的兩邊對x求導，得，令得，，將的兩邊對x求導，得，所以，將的兩邊對x求導，得，所以，故正確．故選：BCD18．已知函數的圖象關于直線對稱，且對有.當時，，則下列說法正確的是（

）A．的最小正周期是8 B．的最大值為5C． D．為偶函數【答案】ACD【分析】利用對稱關系以及恒等式對等式進行變形，可以得到函數的周期，即可推斷選項A，由上述過程中可得，即可推斷選項D，求出函數在，上的函數解析式，利用函數的圖象關于直線對稱，探討一個周期中的最大值，即可推斷選項B，利用函數的周期性以及對稱性求解，即可推斷選項C．【詳解】解：因為函數的圖象關于直線對稱，故的圖象關于直線對稱，因為對有，所以函數的圖象關于點成中心對稱，所以，即，又，即，所以，所以，所以，所以的周期為8，故A正確；又，故函數為偶函數，故D正確；因為當，時，，且，則當，時，，，所以，所以，故當，時，，又函數的圖象關于直線對稱，所以在同一個周期，上，的最大值為，故在上的最大值為4，故B錯誤；因為，所以C正確．故選：ACD．19．已知函數及其導函數的定義域均為R，若，均為奇函數，則（

）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】由題知，，進而得，可推斷A；再對求導可得，進而得為周期函數，周期為，進而可得，可推斷BD；再依據得，進而得時，可推斷C..【詳解】解：因為若，為奇函數，所以，令得，，即，，A選項正確；所以，，即，所以，函數關于對稱，對稱，所以，，即所以，，所以，，即函數為周期函數，周期為，所以，，，故D選項正確，B選項錯誤；對于C選項，由可得，其中為常數，所以，所以，故令得，即，故C選項正確.故選：ACD.20．已知函數、的定義域均為，為偶函數，且，，下列說法正確的有（

）A．函數的圖象關于對稱 B．函數的圖象關于對稱C．函數是以為周期的周期函數 D．函數是以為周期的周期函數【答案】BC【分析】利用題中等式以及函數的對稱性、周期性的定義逐項推導，可得出合適的選項.【詳解】對于A選項，因為為偶函數，所以．由，可得，可得，所以，函數的圖象關于直線對稱，A錯；對于B選項，因為，則，又因為，可得，所以，函數的圖象關于點對稱，B對；對于C選項，因為函數為偶函數，且，則，從而，則，所以，函數是以為周期的周期函數，C對；對于D選項，因為，且，，又因為，所以，，又因為，則，所以，，故，因此，函數是周期為的周期函數，D錯.故選：BC.【點睛】結論點睛：對稱性與周期性之間的常用結論：（1）若函數的圖象關于直線和對稱，則函數的周期為；（2）若函數的圖象關于點和點對稱，則函數的周期為；（3）若函數的圖象關于直線和點對稱，則函數的周期為.21．已知定義在R上的函數滿意，，且當時，，則（

）A．的圖像關于點對稱B．在區(qū)間上單調遞減C．若關于x的方程在區(qū)間上的全部實數根的和為，則D．函數有4個零點【答案】ACD【分析】對于A，由，結合偶函數性質，可得答案；對于B，依據偶函數的對稱性和函數圖像的中心對稱性，可得答案；對于C，依據函數與方程的關系，結合對稱性，可得答案；對于D，依據函數的圖像性質，函數值域之間的比較，可得答案.【詳解】由題意，得，所以，所以是以4為周期的函數，故，所以的圖像關于點對稱，故選項A正確；由A可知：當時，，當時，，.即當時，，又，所以為偶函數，則當時，，，所以.依據的周期性，當時，，則，同理，當，，得，所以在區(qū)間上單調遞增，故選項B錯誤；依據上述結論，函數在上的圖像如下：求方程等價于函數的圖像與的圖像相交點的橫坐標，如圖，設從小到大依次為，，，其中，其和，解得，代入，得，故選項C正確；求函數的零點個數，即求曲線與的公共點個數.當時，在點處的切線方程為，故與只有一個公共點.由，，得時，與有一個交點，故當時，與有2個公共點.由與均為偶函數，得當時，與有2個公共點，故函數有4個零點.如下圖.故選項D正確.故選：ACD.22．設函數定義域為，為奇函數，為偶函數，當時，，則下列結論正確的是（

）A．B．為奇函數C．在上為減函數D．方程僅有6個實數解【答案】ABD【分析】利用函數奇偶性以及特值可以得到，選項A正確；利用函數奇偶性可以得到函數的周期性選項B正確；利用函數奇偶性以及周期性得出函數圖象可得選項C錯誤；通過數形結合可選項D正確.【詳解】對于選項A：為偶函數，故，令得：，又為奇函數，故，令得：，其中，所以，故選項A正確；對于選項B：因為為奇函數，所以關于對稱，又為偶函數，則關于對稱，所以周期為，故，所以，從而為奇函數，故選項B正確；對于選項C：在上單調遞增，又關于對稱，所以在上單調遞增，且周期為8，故在上單調遞增，故選項C錯誤；對于選項D：依據題目條件畫出與的函數圖象，如圖所示：其中單調遞減且，所以兩函數有6個交點，故方程僅有6個實數解，故選項D正確.故選：ABD23．定義在R上的函數與的導函數分別為和，若，，且為奇函數，則下列說法中肯定正確的是（

）A． B．函數關于對稱C．函數是周期函數 D．【答案】ACD【分析】由為奇函數可得，由取導數可得，結合條件可得，推斷B，再由條件推斷函數，的周期，由此計算，推斷C，D.【詳解】因為為奇函數，所以，取可得，A對，因為，所以所以，又，即，，故，所以函數的圖象關于點對稱，B錯，因為，所以所以，為常數，因為，所以，所以，取可得，所以，又，即，所以，所以，所以，故函數為周期為4的函數，因為，所以，，所以，所以，所以，故的值為0，D正確；因為，即故函數也為周期為4的函數，C正確.故選：ACD.【點睛】本題的關鍵在于結合，，且為奇函數三個條件，得到函數，的周期，利用對稱性和周期性推斷各個選項.24．已知函數及其導函數的定義域均為R，記，，，則（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】代入，找到含有的等式可推斷A正確，令，建立等式并求導，可得到關于對稱，利用，用換得到方程組解得，可知為偶函數，進而可推斷周期為2，簡單推斷D正確，利用為周期為2的偶函數，結合選項變換函數值，可求得，推斷不肯定相等.【詳解】令，得，所以A正確.令，則求導數得，，即所以關于對稱，又因為所以為偶函數.，的周期為2.因為為周期為2的偶函數，所以令時，令，得，所以B不正確，C正確.因為的周期為2，，所以D正確.故選：ACD.【點睛】解決函數性質綜合問題，要仔細分析條件，聯系函數的性質，推斷函數是否具備奇偶性，周期性，對稱性等性質，然后再利用函數性質，結合選項，選擇特值找尋與選項有關的等式或不等式進行計算或者推斷.25．已知都是定義在上的函數，對隨意滿意，且，則下列說法正確的有（

）A．B．函數的圖象關于點對稱C．D．若，則【答案】ABD【分析】利用賦值法結合題目給定的條件可推斷ABC，對于D，通過視察選項可以推斷很可能為周期函數，結合，的特殊性以及一些已經證明的結論，想到當令和時可構建出兩個式子，兩式相加即可得出，進一步可得出是周期函數，從而可得出的值.【詳解】對于A，令，代入已知等式得，得，再令，，代入已知等式得，可得，結合得，故A正確；對于B，再令，代入已知等式得，將代入上式，得，∴函數為奇函數，∴函數關于點對稱，故B正確；對于C，再令，代入已知等式，得，∵，∴，又∵，∴，∵，∴，故C錯誤；對于D，分別令和，代入已知等式，得以下兩個等式：，兩式相加易得，所以有，即：，有：，即：，∴為周期函數，且周期為3，∵，∴，∴，，∴，∴，故D正確.故選：ABD.【點睛】思路點睛：對于含有，，的抽象函數的一般解題思路是：視察函數關系，發(fā)覺可利用的點，以及利用證明白的條件或者選項；抽象函數一般通過賦值法來確定、推斷某些關系，特殊是有，雙變量，須要雙賦值，可以得到一個或多個關系式，進而得到所需的關系.此過程中的難點是給予哪些合適的值，這就