老高考新教材適用2025版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題檢測(cè)五解析幾何

專題檢測(cè)五解析幾何一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.(2024·北京·3)若直線2x+y-1=0是圓(x-a)2+y2=1的一條對(duì)稱軸,則a=()A.12 B.-12 C.1 D.2.(2024·吉林長春模擬)當(dāng)直線l:x-my+m-1=0(m∈R)被圓x2+y2=4截得的弦長最短時(shí),m的值為()A.-2 B.2 C.-1 D.13.(2024·北京東城三模)已知直線y=k(x-3)與圓O:x2+y2=4交于A,B兩點(diǎn),且OA⊥OB,則k=()A.2 B.±2 C.1 D.±14.(2024·北京北大附中三模)已知半徑為r的圓C經(jīng)過點(diǎn)P(2,0),且與直線x=-2相切,則其圓心到直線x-y+4=0距離的最小值為 ()A.1 B.2 C.2 D.225.(2024·云南曲靖一中高二期中)已知雙曲線C:x2-y2b2=1(b>0)的漸近線經(jīng)過橢圓C1:x23+2y23=1與拋物線A.x2+y2=1 B.x2+y2=2C.x2+y2=3 D.x2+y2=46.(2024·福建福州模擬)圓x2+(y-2)2=4與圓x2+2mx+y2+m2-1=0至少有三條公切線,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A.(-∞,-5] B.[5,+∞)C.[-5,D.(-∞,-5]∪[5,+∞)7.(2024·河北唐山三模)阿基米德在他的著作《關(guān)于圓錐體和球體》中計(jì)算了一個(gè)橢圓的面積.當(dāng)我們垂直地縮小一個(gè)圓時(shí),我們得到一個(gè)橢圓,橢圓的面積等于圓周率π與橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積,已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的面積為62π,兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1,F2,點(diǎn)P為橢圓C的上頂點(diǎn),直線y=kx與橢圓C交于A,B兩點(diǎn).若PA,PBA.3 B.6 C.22 D.428.(2024·廣東茂名模擬)已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,雙曲線的左頂點(diǎn)為A,以F1F2為直徑的圓交雙曲線的一條漸近線于P,Q兩點(diǎn),其中點(diǎn)Q在A.(1,3] B.[3,+∞) C.1,213 D.213,+∞9.(2024·河北唐山三模)已知F1,F2為雙曲線C:y23-x2=1的兩個(gè)焦點(diǎn),P為雙曲線C上隨意一點(diǎn),則(A.|PF1|-|PF2|=23B.雙曲線C的漸近線方程為y=±33C.雙曲線C的離心率為2D.|PF1+10.已知點(diǎn)P在圓(x-5)2+(y-5)2=16上,點(diǎn)A(4,0),B(0,2),則下列說法錯(cuò)誤的是()A.點(diǎn)P到直線AB的距離小于10B.點(diǎn)P到直線AB的距離大于2C.當(dāng)∠PBA最小時(shí),|PB|=32D.當(dāng)∠PBA最大時(shí),|PB|=3211.(2024·湖南常德高三期末)已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,斜率為1的直線l交拋物線于A,B兩點(diǎn),則下列說法錯(cuò)誤的是()A.拋物線C的準(zhǔn)線方程為x=1B.線段AB的中點(diǎn)在直線y=2上C.若|AB|=8,則△OAB的面積為22D.以線段AF為直徑的圓肯定與y軸相切12.(2024·河北保定一模)已知橢圓M:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1(-3,0),F2(3,0),過點(diǎn)F2的直線與該橢圓相交于A,A.存在點(diǎn)P,使得∠F1PF2=90°B.滿意△F1PF2為等腰三角形的點(diǎn)P有2個(gè)C.若∠F1PF2=60°,則SD.|PF1|-|PF2|的取值范圍為[-23,23]二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.(2024·北京·12)已知雙曲線y2+x2m=1的漸近線方程為y=±33x,則m=14.(2024·新高考Ⅰ·14)寫出與圓x2+y2=1和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一條直線的方程:.

15.(2024·浙江鎮(zhèn)海中學(xué)模擬)油紙傘是中國傳統(tǒng)工藝品,至今已有1000多年的歷史,為宣揚(yáng)和推廣這一傳統(tǒng)工藝,北京市文化宮于春分季節(jié)開展油紙傘文化藝術(shù)節(jié).活動(dòng)中,某油紙傘撐開后擺放在戶外展覽場(chǎng)地上,如圖所示,該傘的傘沿是一個(gè)半徑為2的圓,圓心到傘柄底端距離為2,陽光照耀抽紙傘在地面形成了一個(gè)橢圓形影子(春分時(shí),北京的陽光與地面夾角為60°),若傘柄底正好位于該橢圓的焦點(diǎn)位置,則該橢圓的離心率為.

16.(2024·山東濟(jì)寧三模)已知拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)F的直線l與拋物線交于A,B兩點(diǎn),且|AF|=3|BF|=3,設(shè)M是拋物線C上的隨意一點(diǎn),N是拋物線C的對(duì)稱軸與準(zhǔn)線的交點(diǎn),則|MN||MF三、解答題:本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.(10分)(2024·四川成都模擬)P為曲線C上隨意一點(diǎn),直線l:x=-4,過點(diǎn)P作PQ與直線l垂直,垂足為Q,點(diǎn)F(-1,0),且|PQ|=2|PF|.(1)求曲線C的方程;(2)過曲線C上的點(diǎn)M(x0,y0)(x0≥1)作圓(x+1)2+y2=1的斜率為k1,k2的兩條切線,切線與y軸分別交于A,B兩點(diǎn),若k1k2=512,求|AB|18.(12分)(2024·山東濱州二模)已知拋物線C:x2=2py(p>0)在點(diǎn)M(1,y0)處的切線斜率為12(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若拋物線C上存在不同的兩點(diǎn)關(guān)于直線l:y=2x+m對(duì)稱,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.19.(12分)已知橢圓E:x2t+y23=1的焦點(diǎn)在x軸上,A是E的左頂點(diǎn),斜率為k(k>0)的直線交E于A,M兩點(diǎn),點(diǎn)N在(1)當(dāng)t=4,|AM|=|AN|時(shí),求△AMN的面積;(2)當(dāng)2|AM|=|AN|時(shí),求k的取值范圍.20.(12分)(2024·福建漳州三模)已知圓C1:(x+2)2+y2=9,圓C2:(x-2)2+y2=1,動(dòng)圓P與圓C1、圓C2都外切,圓心P的軌跡為曲線C.(1)求曲線C的方程;(2)已知A,B是曲線C上不同的兩點(diǎn),AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2,且AB的中垂線為直線l,是否存在半徑為1的定圓E,使得l被圓E截得的弦長為定值?若存在,求出圓E的方程;若不存在,請(qǐng)說明理由.21.(12分)(2024·山東菏澤二模)已知拋物線E:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,O為坐標(biāo)原點(diǎn),拋物線E上不同的兩點(diǎn)M,N只能同時(shí)滿意下列三個(gè)條件中的兩個(gè):①|(zhì)FM|+|FN|=|MN|,②|OM|=|ON|=|MN|=83,③直線MN的方程為x=6p.(1)問M,N兩點(diǎn)只能滿意哪兩個(gè)條件(只寫出序號(hào),無需說明理由)?并求出拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)如圖,過點(diǎn)F的直線與拋物線E交于A,B兩點(diǎn),過點(diǎn)A的直線l與拋物線E的另一交點(diǎn)為C,與x軸的交點(diǎn)為D,且|FA|=|FD|,求△ABC面積的最小值.22.(12分)(2024·山東濰坊二模)已知M,N為橢圓C1:x2a2+y2=1(a>0)和雙曲線C2:x2a2-y2=1的公共頂點(diǎn)(M為左頂點(diǎn)),e1,e2分別為C(1)若e1e2=154(ⅰ)求C2的漸近線方程;(ⅱ)過點(diǎn)G(4,0)的直線l交C2的右支于A,B兩點(diǎn),直線MA,MB與直線x=1相交于A1,B1兩點(diǎn),記A,B,A1,B1的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),(x4,y4),求證:1y(2)從C2上的動(dòng)點(diǎn)P(x0,y0)(x0≠±a)引C1的兩條切線,經(jīng)過兩個(gè)切點(diǎn)的直線與C2的兩條漸近線圍成的三角形的面積為S,試推斷S是否為定值.若是,懇求出該定值;若不是,請(qǐng)說明理由.

專題檢測(cè)五解析幾何1.A解析:圓(x-a)2+y2=1的圓心為(a,0),代入直線方程,可得2a+0-1=0,∴a=12,故選A.2.C解析:直線l過定點(diǎn)A(1,1),圓x2+y2=4的圓心為O(0,0),半徑為r=2,當(dāng)l⊥OA時(shí),直線l:x-my+m-1=0(m∈R)被圓x2+y2=4截得的弦長最短,因?yàn)閗OA=1,所以kl=-1,即1m=-1,m=-13.B解析:直線y=k(x-3)過定點(diǎn)(3,0),且點(diǎn)(3,0)在圓O:x2+y2=4內(nèi).因?yàn)橹本€y=k(x-3)與圓O:x2+y2=4交于A,B兩點(diǎn),且OA⊥OB,所以圓心O(0,0)到直線y=k(x-3)的距離d=2,所以d=2=|3k|1+k24.B解析:依題意,設(shè)圓C的圓心為C(x,y),動(dòng)點(diǎn)C到點(diǎn)P的距離等于到直線x=-2的距離,依據(jù)拋物線的定義可得圓心C的軌跡方程為y2=8x.設(shè)圓心C到直線x-y+4=0的距離為d,則d=|x當(dāng)y=4時(shí),dmin=2.5.B解析:由x23則橢圓C1與拋物線C2的交點(diǎn)為P(±1,1).因?yàn)辄c(diǎn)(1,1)在C的漸近線y=bx上,所以b=1,則雙曲線C的焦點(diǎn)為F1(-2,0),F2(2,0),所以以F1F2為一條直徑的圓的方程是x2+y2=2.6.D解析:將x2+2mx+y2+m2-1=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程得(x+m)2+y2=1,即圓心為(-m,0),半徑為1,圓x2+(y-2)2=4的圓心為(0,2),半徑為2.因?yàn)閳Ax2+(y-2)2=4與圓x2+2mx+y2+m2-1=0至少有三條公切線,所以兩圓的位置關(guān)系為外切或相離,所以m2+4≥2+1,即m2≥5,解得m∈(-∞,-5]∪[5,+∞7.B解析:橢圓的面積S=πab=62π,即ab=62. ①因?yàn)辄c(diǎn)P為橢圓C的上頂點(diǎn),所以P(0,b).因?yàn)橹本€y=kx與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),不妨設(shè)A(m,n),則B(-m,-n),且m2a2+n2b2=因?yàn)镻A,PB的斜率之積為-89所以n-bm把m2=a2-a2n2b2①②聯(lián)立解得a=3,b=22.所以橢圓C的長軸長為2a=6.8.C解析:由題意,以F1F2為直徑的圓的方程為x2+y2=c2,由雙曲線的對(duì)稱性不妨令P,Q在漸近線y=bax上,由y=∴Q(a,b),P(-a,-b).又A為雙曲線的左頂點(diǎn),則A(-a,0),∴|AQ|=(a|AP|=[-a-(-∵|AQ|≥2|AP|,∴(a+a)2+b2≥2b,即4a2≥3(c2-a2),∴e2≤73.又e>9.C解析:雙曲線C:y23-x2=1的焦點(diǎn)在y軸上,a=3,b=1,c=a2+b2=2.對(duì)于A,||PF1|-|PF2||=2a=23,而點(diǎn)P在哪支上并不確定,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B,焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的漸近線方程為y=±abx=±3x,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C,e=ca=23=233,故C正確;對(duì)于D,設(shè)P(x,y),則|PO|=x2+y2=x2+(10.B解析:如圖,記圓心為M,半徑為r,則M(5,5),r=4.由條件得,直線AB的方程為x4+y2=1,整理得x+2y-4=0,過點(diǎn)M作MN垂直于直線AB,垂足為N,直線MN與圓M分別交于點(diǎn)P1,P2,圓心M(5,5)到直線AB的距離|MN|=|5+2×5-4|12+22=115,于是點(diǎn)P到直線AB的距離最小值為|P2N|=|MN|-r=115-過點(diǎn)B分別作圓的兩條切線BP3,BP4,切點(diǎn)分別為點(diǎn)P3,P4,則當(dāng)點(diǎn)P在P3處時(shí)∠PBA最大,在P4處時(shí)∠PBA最小.又|BP3|=|BP4|=|BM|2-r2=11.A解析:對(duì)于A,拋物線C的準(zhǔn)線方程為x=-1,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B,設(shè)點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M(x0,y0),則y12=4x1,y22=4x2,兩式作差得(y1-y2)(y1所以y1+y2=4,故y0=y1+對(duì)于C,設(shè)直線AB的方程為y=x+b,聯(lián)立y=x+b,y2=4x,可得x2+(2b-4)x+b2=0,Δ=4(b-2)2-4b2>0,解得b<1,則x1+x2=4-2b,x1x2=b2,|AB|=2·(x1+x2)2-4x1x2=2×對(duì)于D,設(shè)線段AF的中點(diǎn)為N(x3,y3),則x3=x1由拋物線的定義可得|AF|=x1+1=2×x1+12,即|AF|等于點(diǎn)故以線段AF為直徑的圓肯定與y軸相切,故D正確.12.B解析:依據(jù)題意,可得c=3.因?yàn)閨AB|的最小值為1,所以2b2a=1.又c2=a2-b2,所以a=2,b=1,c=3,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24+y2=1.當(dāng)點(diǎn)P為該橢圓的上頂點(diǎn)時(shí),tan∠OPF2=3,所以∠OPF2=60°,此時(shí)∠F所在存在點(diǎn)P,使得∠F1PF2=90°,故A正確;當(dāng)點(diǎn)P為橢圓的上、下頂點(diǎn)時(shí),滿意△F1PF2為等腰三角形,又因?yàn)?-3≤|PF2|≤2+3,|F1F2|=23,所以滿意|PF2|=|F1F2|的點(diǎn)P有兩個(gè),同理滿意|PF1|=|F1F2|的點(diǎn)P有兩個(gè),故B不正確;若∠F1PF2=60°,|PF1|+|PF2|=4,|F1F2|=23,由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2,即|PF1|2+|PF2|2-|PF1|·|PF2|=12,又|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|·|PF2|=16,所以|PF1|·|PF2|=43,所以S△F1PF2=12|PF1|·|PF2|PF1|-|PF2|=|PF1|-(2a-|PF1|)=2|PF1|-4,分析可得|PF1|∈[2-3,2+3],則|PF1|-|PF2|∈[-23,23],故D正確.13.-3解析:由題意知a2=1,b2=-m,其中m<0,所以雙曲線的漸近線方程為y=±x-m=±33x,解得14.x=-1或y=-34x+54,或y=724x-2524解析:在平面直角坐標(biāo)系中,畫出圓x2+y2=1和圓(x-3)2+(y-4)2=16.設(shè)點(diǎn)O(0,0),O1(3,4),由圖得兩圓外切,則☉O∵l1與直線OO1垂直,直線OO1的斜率kOO1=43,∴直線l1的斜率kl1=-34,直線OO1的方程為y=43x.可設(shè)直線又圓心O到直線l1的距離d1=|b|-342+1=1,解得b=54(負(fù)值舍去).故內(nèi)公切線由y=43x,x=-1則可設(shè)直線l2的方程為y+43=k(x+1)又圓心O到直線l2的距離d2=k-43k2+1=1,解得k=724,故直線l由上可知,與圓x2+y2=1和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的直線的方程為x=-1,或y=-34x+54,或y=72415.2-3解析:如圖所示,傘柄底位于橢圓的左焦點(diǎn),且左焦點(diǎn)到右頂點(diǎn)的距離為22,即a+c=22.在△ABC中,由正弦定理得2a∴a=2×∴c=22-∴該橢圓的離心率為e=ca=32-16.2解析:設(shè)過點(diǎn)F0,p2的直線l的方程為y=kx+p2(斜率存在且不為0),A(x1,y1),B(x2,y2),聯(lián)立x2=2py,y=kx+p2,消去x得y2-(2k2+1)由|AF|=3|BF|=3,可得y則3-p21過點(diǎn)M作準(zhǔn)線的垂線,垂足為D,則可得|MN若|MN||MF|取到最大值,即∠MND最小,此時(shí)直線x2=3y,即y=x23,則y'=2設(shè)Mx0,x023,則切線斜率k=23x0,切線方程為y-x023=23x0(x-x0),切線過點(diǎn)N0,-則|MD|=32,|ND|=32,即∠MND=則|MN||17.解(1)設(shè)P(x,y),由|PQ|=2|PF|,得|x+4|=2(x+1)2所以曲線C的方程為x24+(2)設(shè)過點(diǎn)M(x0,y0)的切線方程為y-y0=k(x-x0)(斜率必存在),A(xA,yA),B(xB,yB).圓心為F(-1,0),半徑為r=1,所以點(diǎn)F(-1,0)到y(tǒng)-y0=k(x-x0)的距離d=|-k+即(x02+2x0)k2-2(x0+1)y0k+y02則k1+k2=2(x0+1)y0x所以y02-1x02+2x0=512,又因?yàn)?y02=12-3x02,x0≥1,解得x0=1.因?yàn)橹本€MA:y-y0=k1(x-x0),令xA=0,得yA=y0-k1x0,同理yB=y0-k2x18.解(1)點(diǎn)M1,12p,則切線方程為y-12p=12(x-1),聯(lián)立2py-1=p(x-1),x2所以拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程是x2=4y.(2)設(shè)拋物線C上關(guān)于直線l對(duì)稱的兩點(diǎn)為A(x1,y1),B(x2,y2),則設(shè)直線AB的方程為y=-12x+t(t∈R聯(lián)立y=-12x+t,x2=4y,消去y并整理得x2+2x-4則x1+x2=-2,y1+y2=-12(x1+x2)+2t=2t+1明顯線段AB的中點(diǎn)-1,t于是得t+12=-2+m,即t=m-5而t>-14,因此m-52>-14,解得所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是9419.解(1)當(dāng)t=4時(shí),E的方程為x24+y23=直線AM的方程為y=k(x+2),代入橢圓方程,整理可得(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0,設(shè)M(x0,y0),則x0=-8k2-6由MA⊥NA,得直線NA的斜率為-1k(k>0),所以|AN|=1+由|AM|=|AN|,得1+k2·123+4k2=1+k2·12k3整理可得(k-1)(4k2+k+4)=0,由4k2+k+4=0無實(shí)根,可得k=1.故△AMN的面積為12|AM|2=1(2)由題意t>3,k>0,A(-t,0),直線AM的方程y=k(x+t),由y=kx+kt,x2t+y23=1,得(3+tk2)x2故|AM|=1+k2·4×t×3(3+tk2-tk2)3+tk2=1+k2·6t3+tk2.由MA⊥NA,得直線NA的斜率為-1由此得k-2>0,k因此k的取值范圍是3220.解(1)圓C1的圓心為C1(-2,0),半徑為r1=3.圓C2的圓心為C2(2,0),半徑為r2=1.設(shè)動(dòng)圓P的半徑為R,因?yàn)閯?dòng)圓P與圓C1、圓C2都外切,所以|PC1|=R+r1=R+3,|PC2|=R+r2=R+1,所以|PC1|-|PC2|=2<4=|C1C2|,所以點(diǎn)P在以C1,C2為焦點(diǎn),以2為實(shí)軸長的雙曲線的右支上.設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),c=a2+b2留意圓C1與圓C2外切于點(diǎn)(1,0),P不行能為(1,0),所以C的方程為x2-y23=1(x>(2)存在圓E:(x-8)2+y2=1滿意題意.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中點(diǎn)為M(x0,y0).因?yàn)锳,B是C上不同的兩點(diǎn),AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2,所以x①-②得(x1+x2)(x1-x2)-(y1+當(dāng)kAB存在時(shí),kAB=y1所以AB的中垂線l的方程為y-y0=-y06(x-2),即l:y=-y06(x-8),所以l當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí),點(diǎn)A,B關(guān)于x軸對(duì)稱,AB的中垂線l為x軸,此時(shí)l也過T(8,0).所以存在定圓E:(x-8)2+y2=1,使得l被圓E截得的弦長為定值2.21.解(1)拋物線E:y2=2px的焦點(diǎn)為Fp2,0,由①知,點(diǎn)F在線段MN上,由②知,△OMN為正三角形,由③知,直線MN過點(diǎn)(6p,0),明顯若滿意①②,令M(t1,s1),N(t2,s2),則|MN|=t1+t2+p,由|OM|=|ON|,得t12+s12=t22+s22,即t12+2pt1=t22+2pt2?