數(shù)列在概率中的應(yīng)用 教學(xué)設(shè)計(jì)

數(shù)列在概率中的應(yīng)用（正課）教學(xué)目標(biāo)1.結(jié)合數(shù)列的知識，會運(yùn)用全概率公式、概率的乘法公式計(jì)算復(fù)雜事件的概率；2.通過解決與概率有關(guān)的實(shí)際問題，強(qiáng)化數(shù)學(xué)建模意識，進(jìn)一步提升學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).二、教學(xué)重難點(diǎn)1.教學(xué)重點(diǎn)：結(jié)合數(shù)列的知識，運(yùn)用全概率公式、概率的乘法公式計(jì)算復(fù)雜事件的概率；2.教學(xué)難點(diǎn)：通過分析概率的實(shí)際問題，建立之間的遞推關(guān)系.三、教學(xué)過程環(huán)節(jié)一：復(fù)習(xí)引入問題：前面我們學(xué)習(xí)了概率的乘法公式、全概率公式，請大家回顧一下相關(guān)的知識.1.概率的乘法公式：對任意兩個(gè)事件A與B，若，則.2.全概率公式：一般地，設(shè)是一組兩兩互斥的事件，，且，，則對任意的事件，有.圖形：設(shè)計(jì)意圖：通過復(fù)習(xí)全概率公式和概率的乘法公式兩個(gè)重要知識點(diǎn)，為后面計(jì)算復(fù)雜的概率做好知識準(zhǔn)備.環(huán)節(jié)二：典例精講例1甲、乙、丙三人相互做傳球訓(xùn)練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時(shí)，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個(gè)人中的任何一個(gè)人．求次傳球后球在甲手中的概率．解：設(shè)表示事件第次傳球后球在甲手中，事件的概率為，即.則事件表示第次傳球后球在乙或在丙手中，其概率為.依題意可得，第次傳球后球在甲手中，包括兩種情況：①第次傳球后球在甲手中；②第次傳球后球在乙或在丙手中.則，.由，，，.是以為首項(xiàng)公比為的等比數(shù)列.，解得.設(shè)計(jì)意圖：根據(jù)最近發(fā)展區(qū)的理論，從教材的傳球模型出發(fā)，理解計(jì)算跟正整數(shù)相關(guān)的概率問題，關(guān)鍵利用全概率公式找到遞推關(guān)系，再用數(shù)列的方法加以解決.環(huán)節(jié)三：鞏固提高例2甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若未命中則換為對方投籃．無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．（1）求第2次投籃的人是乙的概率；（2）求第次投籃的人是甲的概率；（3）已知：若隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，且，則．記前次（即從第1次到第次投籃）中甲投籃的次數(shù)為，求．解：(1)記“第次投籃的人是甲”為事件，“第次投籃的人是乙”為事件，所以，.(2)設(shè)，依題可知，，則，即，即構(gòu)造等比數(shù)列，設(shè)，即，解得，則，又，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，即．（3）設(shè)表示第次是甲投籃的次數(shù)，可能的值為0，1，根據(jù)題意的分布列為01則,因?yàn)?，，所以?dāng)時(shí)，，故．設(shè)計(jì)意圖：以2023年全國新高考題為背景，從第一問特殊情況出發(fā)，得到第二問的一般情況，遵循從特殊到一般思想方法，加深鞏固運(yùn)用全概率公式得到遞推關(guān)系，再利用數(shù)列遞推公式求數(shù)列通項(xiàng).例3一種擲骰子走跳棋的游戲：棋盤上標(biāo)有第站、第站、第站、、第站，共站，設(shè)棋子跳到第站的概率為，一枚棋子開始在第站，棋手每擲一次骰子，棋子向前跳動一次．若擲出奇數(shù)點(diǎn)，棋子向前跳一站；若擲出偶數(shù)點(diǎn)，棋子向前跳兩站，直到棋子跳到第站（獲勝）或第站（失?。r(shí)，游戲結(jié)束．（1）求、、，并根據(jù)棋子跳到第站的情況，試用和表示；（2）求證：為等比數(shù)列；（3）求玩該游戲獲勝的概率．解：（1）棋子開始在第站是必然事件，所以，棋子跳到第站，只有一種情形，第一次擲骰子出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)，其概率為，所以；棋子跳到第站，包括兩種情形：①第一次擲骰子出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)，其概率為；②前兩次擲骰子都出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)，其概率為，所以；棋子跳到第站，包括兩種情形：①棋子先跳到第站，又?jǐn)S骰子出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)；②棋子先跳到第站，又?jǐn)S骰子出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn).設(shè)事件表示棋子跳到第站，，根據(jù)全概率公式得因?yàn)?，，故，棋子跳到站只有一種情況，棋子先跳到第站，又?jǐn)S骰子出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)，其概率為，所以，.（2）證明：由（1）可得且，所以，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.（3）由（2）可知，所以，.所以，玩該游戲獲勝的概率為.設(shè)計(jì)意圖：進(jìn)一步加強(qiáng)學(xué)生從實(shí)際問題中提取關(guān)鍵信息能力,通過構(gòu)造概率之間的遞推關(guān)系,這是二階遞推關(guān)系類型，借助二階遞推公式證明一個(gè)新數(shù)列為等比數(shù)列，再用累加法求出通項(xiàng)公式，鞏固提升本節(jié)課知識.環(huán)節(jié)四：歸納總結(jié)數(shù)列與概率的綜合應(yīng)用問題，多以概率求解為主線，通過建立關(guān)于概率的遞推關(guān)系，以數(shù)列知識為工具解決問題，具體的基本步驟：（1）審清題意，理解題目中研究對象、試驗(yàn)或游戲規(guī)則等；（2）精準(zhǔn)定性，明確所求概率的事件屬性，并合理假設(shè)事件；（3）準(zhǔn)確建模，通過概率的求解（一般用全概率公式和乘法公式），建立遞推關(guān)系；（4）解決模型，用數(shù)列遞推求通項(xiàng)公式的方法解決問題