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文檔簡介
甘肅省師大附中2025屆高考仿真模擬數(shù)學(xué)試卷注意事項1.考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑;如需改動,請用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.某設(shè)備使用年限x(年)與所支出的維修費(fèi)用y(萬元)的統(tǒng)計數(shù)據(jù)分別為,,,,由最小二乘法得到回歸直線方程為,若計劃維修費(fèi)用超過15萬元將該設(shè)備報廢,則該設(shè)備的使用年限為()A.8年 B.9年 C.10年 D.11年2.某幾何體的三視圖如圖所示,三視圖是腰長為1的等腰直角三角形和邊長為1的正方形,則該幾何體中最長的棱長為().A. B. C.1 D.3.已知集合M={x|﹣1<x<2},N={x|x(x+3)≤0},則M∩N=()A.[﹣3,2) B.(﹣3,2) C.(﹣1,0] D.(﹣1,0)4.直線與圓的位置關(guān)系是()A.相交 B.相切 C.相離 D.相交或相切5.若(是虛數(shù)單位),則的值為()A.3 B.5 C. D.6.i是虛數(shù)單位,若,則乘積的值是()A.-15 B.-3 C.3 D.157.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸出的結(jié)果為11,則圖中的判斷條件可以為()A. B. C. D.8.要得到函數(shù)的圖象,只需將函數(shù)的圖象()A.向右平移個單位 B.向右平移個單位C.向左平移個單位 D.向左平移個單位9.已知函數(shù)的圖像向右平移個單位長度后,得到的圖像關(guān)于軸對稱,,當(dāng)取得最小值時,函數(shù)的解析式為()A. B.C. D.10.已知f(x),g(x)都是偶函數(shù),且在[0,+∞)上單調(diào)遞增,設(shè)函數(shù)F(x)=f(x)+g(1-x)-|f(x)-g(1-x)|,若a>0,則()A.F(-a)≥F(a)且F(1+a)≥F(1-a)B.F(-a)≥F(a)且F(1+a)≤F(1-a)C.F(-a)≤F(a)且F(1+a)≥F(1-a)D.F(-a)≤F(a)且F(1+a)≤F(1-a)11.如圖所示程序框圖,若判斷框內(nèi)為“”,則輸出()A.2 B.10 C.34 D.9812.已知函數(shù),則()A. B.1 C.-1 D.0二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知向量,,若,則________.14.若實數(shù)x,y滿足不等式組x+y-4≤0,2x-3y-8≤0,x≥1,則目標(biāo)函數(shù)15.已知為橢圓上的一個動點(diǎn),,,設(shè)直線和分別與直線交于,兩點(diǎn),若與的面積相等,則線段的長為______.16.兩光滑的曲線相切,那么它們在公共點(diǎn)處的切線方向相同.如圖所示,一列圓(an>0,rn>0,n=1,2…)逐個外切,且均與曲線y=x2相切,若r1=1,則a1=___,rn=______三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,在四棱柱中,平面,底面ABCD滿足∥BC,且(Ⅰ)求證:平面;(Ⅱ)求直線與平面所成角的正弦值.18.(12分)如圖所示,在四面體中,,平面平面,,且.(1)證明:平面;(2)設(shè)為棱的中點(diǎn),當(dāng)四面體的體積取得最大值時,求二面角的余弦值.19.(12分)在中,內(nèi)角的對邊分別是,已知.(1)求角的值;(2)若,,求的面積.20.(12分)某社區(qū)服務(wù)中心計劃按月訂購一種酸奶,每天進(jìn)貨量相同,進(jìn)貨成本每瓶5元,售價每瓶7元,未售出的酸奶降價處理,以每瓶2元的價格當(dāng)天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗,每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位:攝氏度℃)有關(guān).如果最高氣溫不低于25,需求量為600瓶;如果最高氣溫位于區(qū)間,需求量為500瓶;如果最高氣溫低于20,需求量為300瓶.為了確定六月份的訂購計劃,統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù),得下面的頻數(shù)分布表:最高氣溫天數(shù)414362763以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率.(1)求六月份這種酸奶一天的需求量(單位:瓶)的分布列;(2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為(單位:元),當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量為(單位:瓶)時,的數(shù)學(xué)期望的取值范圍?21.(12分)選修4-2:矩陣與變換(本小題滿分10分)已知矩陣A=(k≠0)的一個特征向量為α=,A的逆矩陣A-1對應(yīng)的變換將點(diǎn)(3,1)變?yōu)辄c(diǎn)(1,1).求實數(shù)a,k的值.22.(10分)設(shè)函數(shù).(1)當(dāng)時,求不等式的解集;(2)若不等式恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】
根據(jù)樣本中心點(diǎn)在回歸直線上,求出,求解,即可求出答案.【詳解】依題意在回歸直線上,,由,估計第年維修費(fèi)用超過15萬元.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查回歸直線過樣本中心點(diǎn)、以及回歸方程的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】
首先由三視圖還原幾何體,進(jìn)一步求出幾何體的棱長.【詳解】解:根據(jù)三視圖還原幾何體如圖所示,所以,該四棱錐體的最長的棱長為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查由三視圖還原幾何體,考查運(yùn)算能力和推理能力,屬于基礎(chǔ)題.3、C【解析】
先化簡N={x|x(x+3)≤0}={x|-3≤x≤0},再根據(jù)M={x|﹣1<x<2},求兩集合的交集.【詳解】因為N={x|x(x+3)≤0}={x|-3≤x≤0},又因為M={x|﹣1<x<2},所以M∩N={x|﹣1<x≤0}.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的基本運(yùn)算,還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】
由幾何法求出圓心到直線的距離,再與半徑作比較,由此可得出結(jié)論.【詳解】解:由題意,圓的圓心為,半徑,∵圓心到直線的距離為,,,故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】
直接利用復(fù)數(shù)的模的求法的運(yùn)算法則求解即可.【詳解】(是虛數(shù)單位)可得解得本題正確選項:【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的模的運(yùn)算法則的應(yīng)用,復(fù)數(shù)的模的求法,考查計算能力.6、B【解析】,∴,選B.7、B【解析】
根據(jù)程序框圖知當(dāng)時,循環(huán)終止,此時,即可得答案.【詳解】,.運(yùn)行第一次,,不成立,運(yùn)行第二次,,不成立,運(yùn)行第三次,,不成立,運(yùn)行第四次,,不成立,運(yùn)行第五次,,成立,輸出i的值為11,結(jié)束.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查補(bǔ)充程序框圖判斷框的條件,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力,求解時注意模擬程序一步一步執(zhí)行的求解策略.8、D【解析】
直接根據(jù)三角函數(shù)的圖象平移規(guī)則得出正確的結(jié)論即可;【詳解】解:函數(shù),要得到函數(shù)的圖象,只需將函數(shù)的圖象向左平移個單位.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)圖象平移的應(yīng)用問題,屬于基礎(chǔ)題.9、A【解析】
先求出平移后的函數(shù)解析式,結(jié)合圖像的對稱性和得到A和.【詳解】因為關(guān)于軸對稱,所以,所以,的最小值是.,則,所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖像變換及性質(zhì).平移圖像時需注意x的系數(shù)和平移量之間的關(guān)系.10、A【解析】試題分析:由題意得,F(xiàn)(x)=2g(1-x),f(x)≥g(1-x)∴F(-a)=2g(1+a),f(a)=f(-a)≥g(1+a)2f(-a),f(a)=f(-a)<g(1+a),∵a>0,∴(a+1)2-(a-1)∴若f(a)>g(1+a):F(-a)=2g(1+a),F(xiàn)(a)=2g(1-a),∴F(-a)>F(a),若g(1-a)≤f(a)≤g(1+a):F(-a)=2f(-a)=2f(a),F(xiàn)(a)=2g(1-a),∴F(-a)≥F(a),若f(a)<g(1-a):F(-a)=2f(-a)=2f(a),F(xiàn)(a)=2f(a),∴F(-a)=F(a),綜上可知F(-a)≥F(a),同理可知F(1+a)≥F(1-a),故選A.考點(diǎn):1.函數(shù)的性質(zhì);2.分類討論的數(shù)學(xué)思想.【思路點(diǎn)睛】本題在在解題過程中抓住偶函數(shù)的性質(zhì),避免了由于單調(diào)性不同導(dǎo)致1-a與1+a大小不明確的討論,從而使解題過程得以優(yōu)化,另外,不要忘記定義域,如果要研究奇函數(shù)或者偶函數(shù)的值域、最值、單調(diào)性等問題,通常先在原點(diǎn)一側(cè)的區(qū)間(對奇(偶)函數(shù)而言)或某一周期內(nèi)(對周期函數(shù)而言)考慮,然后推廣到整個定義域上.11、C【解析】
由題意,逐步分析循環(huán)中各變量的值的變化情況,即可得解.【詳解】由題意運(yùn)行程序可得:,,,;,,,;,,,;不成立,此時輸出.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了程序框圖,只需在理解程序框圖的前提下細(xì)心計算即可,屬于基礎(chǔ)題.12、A【解析】
由函數(shù),求得,進(jìn)而求得的值,得到答案.【詳解】由題意函數(shù),則,所以,故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了分段函數(shù)的求值問題,其中解答中根據(jù)分段函數(shù)的解析式,代入求解是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、10【解析】
根據(jù)垂直得到,代入計算得到答案.【詳解】,則,解得,故,故.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)向量垂直求參數(shù),向量模,意在考查學(xué)生的計算能力.14、12【解析】
畫出約束條件的可行域,求出最優(yōu)解,即可求解目標(biāo)函數(shù)的最大值.【詳解】根據(jù)約束條件畫出可行域,如下圖,由x+y-4=02x-3y-8=0,解得目標(biāo)函數(shù)y=3x-z,當(dāng)y=3x-z過點(diǎn)(4,0)時,z有最大值,且最大值為12.故答案為:12.【點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃的簡單應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】
先設(shè)點(diǎn)坐標(biāo),由三角形面積相等得出兩個三角形的邊之間的比例關(guān)系,這個比例關(guān)系又可用線段上點(diǎn)的坐標(biāo)表示出來,從而可求得點(diǎn)的橫坐標(biāo),代入橢圓方程得縱坐標(biāo),然后可得.【詳解】如圖,設(shè),,,由,得,由得,∴,解得,又在橢圓上,∴,,∴.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查直線與橢圓相交問題,解題時由三角形面積相等得出線段長的比例關(guān)系,解題是由把線段長的比例關(guān)系用點(diǎn)的橫坐標(biāo)表示.16、【解析】
第一空:將圓與聯(lián)立,利用計算即可;第二空:找到兩外切的圓的圓心與半徑的關(guān)系,再將與聯(lián)立,得到,與結(jié)合可得為等差數(shù)列,進(jìn)而可得.【詳解】當(dāng)r1=1時,圓,與聯(lián)立消去得,則,解得;由圖可知當(dāng)時,①,將與聯(lián)立消去得,則,整理得,代入①得,整理得,則.故答案為:;.【點(diǎn)睛】本題是拋物線與圓的關(guān)系背景下的數(shù)列題,關(guān)鍵是找到圓心和半徑的關(guān)系,建立遞推式,由遞推式求通項公式,綜合性較強(qiáng),是一道難度較大的題目.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ)證明見解析;(Ⅱ)【解析】
(Ⅰ)證明,根據(jù)得到,得到證明.(Ⅱ)如圖所示,分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系,平面的法向量,,計算向量夾角得到答案.【詳解】(Ⅰ)平面,平面,故.,,故,故.,故平面.(Ⅱ)如圖所示:分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,,.設(shè)平面的法向量,則,即,取得到,,設(shè)直線與平面所成角為故.【點(diǎn)睛】本題考查了線面垂直,線面夾角,意在考查學(xué)生的空間想象能力和計算能力.18、(1)見證明;(2)【解析】
(1)根據(jù)面面垂直的性質(zhì)得到平面,從而得到,利用勾股定理得到,利用線面垂直的判定定理證得平面;(2)設(shè),利用椎體的體積公式求得,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,從而求得時,四面體的體積取得最大值,之后利用空間向量求得二面角的余弦值.【詳解】(1)證明:因為,平面平面,平面平面,平面,所以平面,因為平面,所以.因為,所以,所以,因為,所以平面.(2)解:設(shè),則,四面體的體積.,當(dāng)時,,單調(diào)遞增;當(dāng)時,,單調(diào)遞減.故當(dāng)時,四面體的體積取得最大值.以為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,,.設(shè)平面的法向量為,則,即,令,得,同理可得平面的一個法向量為,則.由圖可知,二面角為銳角,故二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)立體幾何的問題,涉及到的知識點(diǎn)有面面垂直的性質(zhì),線面垂直的判定,椎體的體積,二面角的求法,在解題的過程中,注意巧用導(dǎo)數(shù)求解體積的最大值.19、(1);(2)【解析】
(1)由已知條件和正弦定理進(jìn)行邊角互化得,再根據(jù)余弦定理可求得值.(2)由正弦定理得,,代入得,運(yùn)用三角形的面積公式可求得其值.【詳解】(1)由及正弦定理得,即由余弦定理得,,.(2)設(shè)外接圓的半徑為,則由正弦定理得,,,.【點(diǎn)睛】本題考查運(yùn)用三角形的正弦定理、余弦定理、三角形的面積公式,關(guān)鍵在于熟練地運(yùn)用其公式,合理地選擇進(jìn)行邊角互化,屬于基礎(chǔ)題.20、(1)見解析;(2)【解析】
(1)X的可能取值為300,500,600,結(jié)合題意及表格數(shù)據(jù)計算對應(yīng)概率,即得解;(2)由題意得,分,及,分別得到y(tǒng)與n的函數(shù)關(guān)系式,得到對應(yīng)的分布列,分析即得解.【詳解】(1)由題意:X的可能取值為300,500,600故:六月份這種酸奶一天的需求量(單位:瓶)的分布列為300500600(2)由題意得.1°.當(dāng)時,利潤此時利潤的分布列為.2.時,利潤此時利潤的分布列為.綜上的數(shù)學(xué)期望的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)與概率統(tǒng)計綜合,考查了學(xué)生綜合分析,數(shù)據(jù)處理,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.21、解:設(shè)特征向量為α=對應(yīng)的特征值為λ,則=λ,即因為k≠0,所以a=2.5分因為,所以A=,即=,所以2+k=3,解得k=2.綜上,a=2,k=2.
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