2025版新教材高中數(shù)學(xué)第五章三角函數(shù)5.1任意角和蝗制5.1.1任意角導(dǎo)學(xué)案新人教A版必修第一冊(cè)

5.1.1隨意角【學(xué)習(xí)目標(biāo)】(1)理解隨意角的概念，學(xué)會(huì)在平面內(nèi)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系來探討隨意角．(2)能在指定范圍內(nèi)，找到一個(gè)與已知角終邊相同的角，并判定其為第幾象限角．(3)能寫出與任一已知角終邊相同的角的集合．(4)嫻熟駕馭象限角與軸線角的集合表示．(5)會(huì)寫出某個(gè)區(qū)間上角的集合．題型1隨意角的概念【問題探究1】(1)回憶初中我們是如何定義一個(gè)角的？所學(xué)的角的范圍是什么？(2)在跳水競(jìng)賽中，運(yùn)動(dòng)員會(huì)做出“轉(zhuǎn)體兩周”“向前翻轉(zhuǎn)兩周半”等動(dòng)作，做上述動(dòng)作時(shí)，運(yùn)動(dòng)員轉(zhuǎn)體多少度？轉(zhuǎn)過的度數(shù)還能用0°到360°的角度表示嗎？例1將表的分針撥慢30分鐘，則這個(gè)過程中時(shí)針轉(zhuǎn)過的角度是()A．10°B．15°C．30°D．－30°學(xué)霸筆記：處理隨意角問題的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)(1)定方向：明確該角是由順時(shí)針方向還是逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的，由逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角為正角，否則為負(fù)角．(2)定大?。阂罁?jù)旋轉(zhuǎn)角度的肯定值確定角的大小．跟蹤訓(xùn)練1經(jīng)過2個(gè)小時(shí)，鐘表的時(shí)針和分針轉(zhuǎn)過的角度分別是()A．60°，720°B．－60°，－720°C．－30°，－360°D．－60°，720°題型2象限角【問題探究2】為了進(jìn)一步探討角的須要，我們常在直角坐標(biāo)系內(nèi)探討角，并使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，那么對(duì)一個(gè)隨意角，角的終邊可能落在哪些位置？例2下列命題中正確的是()A．第一象限角肯定不是負(fù)角B．鈍角肯定是其次象限角C．小于90°的角肯定是銳角D．第一象限角肯定是銳角學(xué)霸筆記：正確理解象限角與銳角、直角、鈍角、平角、周角等概念的關(guān)系，須要駕馭推斷結(jié)論正確與否的技巧，推斷結(jié)論正確須要證明，而推斷結(jié)論不正確只須要一個(gè)反例即可．跟蹤訓(xùn)練2給出四個(gè)命題：①－60°是第四象限角；②235°是第三象限角；③475°是其次象限角；④－315°是第一象限角．其中正確的有()個(gè)．A．1B．2C．3D．4題型3終邊相同的角【問題探究3】在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出以下幾個(gè)角：30°，－30°，390°，－330°.我們發(fā)覺30°，390°，－330°這三個(gè)角的終邊都是同一條射線，它們的終邊相同．你還能找出哪些以這一條射線為終邊的角？與30°終邊相同的角與30°有什么關(guān)系？與30°終邊相同的角的集合如何表示？例3已知α＝－1845°，在與α終邊相同的角中，求滿意下列條件的角.(1)最小的正角；(2)最大的負(fù)角；(3)－360°～720°之間的角．題后師說在某個(gè)范圍內(nèi)找與已知角終邊相同的角的步驟跟蹤訓(xùn)練3(1)下列各角中，與26°角終邊相同的角為()A．206°B．－334°C．116°D．－154°(2)終邊落在x軸上的角的集合為________．題型4區(qū)域角的表示例4寫出終邊在下列各圖所示陰影部分內(nèi)的角α的集合．題后師說表示區(qū)域角的一般步驟跟蹤訓(xùn)練4表示頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊重合于x軸的正半軸、終邊落在陰影部分內(nèi)的角的集合(不包含邊界)．隨堂練習(xí)1.現(xiàn)有如下三個(gè)集合，A＝{鈍角}，B＝{其次象限角}，C＝{小于180°的角}，則下列說法正確的是()A．A＝BB．B＝CC．A?BD．B?C2．與－20°角終邊相同的角是()A．－300°B．－280°C．320°D．340°3．已知角α＝563°，那么α的終邊在()A．第一象限B．其次象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限4．小于360°且終邊與角－45°重合的正角是________．課堂小結(jié)1.隨意角、終邊相同的角的概念．2．與角α終邊相同的角的集合為S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}，這一結(jié)果表示角周而復(fù)始的改變規(guī)律，同時(shí)，它也是探討角之間關(guān)系的最為基礎(chǔ)的學(xué)問．5．1.1隨意角問題探究1提示：(1)角可以看成一條射線圍著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所成的圖形，角的范圍是0°～360°.(2)“轉(zhuǎn)體兩周”指順時(shí)針旋轉(zhuǎn)720°或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)720°.“向前翻轉(zhuǎn)兩周半”指順時(shí)針或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)900°，轉(zhuǎn)的角度不能用0°到360°的角表示．例1解析：分針撥慢，則時(shí)針逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，故時(shí)針轉(zhuǎn)過的角度為正數(shù)．又因?yàn)榉轴槗苈?0分鐘，時(shí)針逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)0.5個(gè)小時(shí)，所以124答案：B跟蹤訓(xùn)練1解析：鐘表的時(shí)針和分針都是順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，因此轉(zhuǎn)過的角度都是負(fù)的，而212×360°＝60°，2×360°＝720°，故鐘表的時(shí)針和分針轉(zhuǎn)過的角度分別是－答案：B問題探究2提示：第一、其次、第三、第四象限或坐標(biāo)軸上．例2解析：對(duì)于A，令α＝－300°＝60°－360°，明顯α是第一象限角，同時(shí)也是負(fù)角，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，不妨設(shè)θ是鈍角，則90°<θ<180°，所以θ肯定是其次象限角，故B正確；對(duì)于C，令β＝－60°，明顯β是小于90°的角，但不是銳角，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，令α＝－300°＝60°－360°，明顯α是第一象限角，但不是銳角，故D錯(cuò)誤．故選B.答案：B跟蹤訓(xùn)練2解析：對(duì)①：－60°是第四象限角，故①正確；對(duì)②：180°<235°<270°，故其為第三象限角，故②正確；對(duì)③：475°＝360°＋115°，115°是其次象限角，故475°是其次象限角，③正確；對(duì)④：－315°＝－360°＋45°，45°是第一象限角，故－315°是第一象限角，④正確．故正確的有4個(gè)．故選D.答案：D問題探究3提示：與30°、390°、－330°終邊相同的角還有750°，－690°等，這樣的角有多數(shù)個(gè)，它們之間相差360°的整數(shù)倍，全部與30°角終邊相同的角的集合為{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}．例3解析：因?yàn)椋?845°＝－45°＋(－5)×360°，即－1845°角與－45°角的終邊相同，所以與角α終邊相同的角的集合是{β|β＝－45°＋k·360°，k∈Z}，(1)最小的正角為315°.(2)最大的負(fù)角為－45°.(3)－360°～720°之間的角分別是－45°，315°，675°.跟蹤訓(xùn)練3解析：(1)與26°角終邊相同的角為θ＝360°·k＋26°，k∈Z，對(duì)選項(xiàng)A：取θ＝360°·k＋26°＝206°，k不是整數(shù)解，解除；對(duì)選項(xiàng)B：取θ＝360°·k＋26°＝－334°，k＝－1，正確；對(duì)選項(xiàng)C：取θ＝360°·k＋26°＝116°，k不是整數(shù)解，解除；對(duì)選項(xiàng)D：取θ＝360°·k＋26°＝－154°，k不是整數(shù)解，解除．故選B.(2)在0°～360°范圍內(nèi)，終邊在直線y＝0上的角有兩個(gè)，即0°和180°，又全部與0°角終邊相同的角的集合為S1＝{β|β＝0°＋k·360°，k∈Z}，全部與180°角終邊相同的角的集合為S2＝{β|β＝180°＋k·360°，k∈Z}，于是，終邊在直線y＝0上的角的集合為S＝S1∪S2＝{β|β＝k·180°，k∈答案：(1)B(2){β|β＝k·180°，k∈Z}例4解析：先寫出邊界角，再按逆時(shí)針依次寫出區(qū)域角，則得①{α|30°＋k·360°≤α≤150°＋k·360°，k∈Z}．②{α|－210°＋k·360°<α<30°＋k·360°，k∈Z}．跟蹤訓(xùn)練4解析：圖(1)中，330°＝360°－30°，∴對(duì)應(yīng)為k·360°－30°<θ<k·360°＋75°，k∈Z，即對(duì)應(yīng)角的集合為{θ|k·360°－30°<θ<k·360°＋75°，k∈Z}．圖(2)中，225°＝360°－135°，∴對(duì)應(yīng)為k·360°－135°<θ<k·360°＋135°，k∈Z，即對(duì)應(yīng)角的集合為{θ|k·360°－135°<θ<k·360°＋135°，k∈Z}．[隨堂練習(xí)]1．解析：鈍角是大于90°，且小于180°的角，肯定是其次象限角，故A?B；其次象限角的范圍是90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z，即其次象限角不肯定小于180°，故ABD錯(cuò)誤，C正確．故選C.答案：C2．解析：因?yàn)榕c－20°角終邊相同的角是－20°＋360°k，k∈Z，當(dāng)k＝1時(shí)，這個(gè)角為3