新高考2025屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題突破精練第51講概率與統(tǒng)計綜合問題學(xué)生版

第51講概率與統(tǒng)計綜合問題一、解答題1．（2024·山東·肥城市教學(xué)探討中心模擬預(yù)料）十三屆全國人大四次會議3月11日表決通過了關(guān)于國民經(jīng)濟(jì)和社會發(fā)展第十四個五年規(guī)劃和2035年遠(yuǎn)景目標(biāo)綱要的決議，確定批準(zhǔn)這個規(guī)劃綱要.綱要指出：“加強原創(chuàng)性引領(lǐng)性科技攻關(guān)”.某企業(yè)集中科研骨干，攻克系列“卡頸項”技術(shù)，已成功實現(xiàn)離子注入機全譜系產(chǎn)品國產(chǎn)化，包括中束流?大束流?高能?特種應(yīng)用及第三代半導(dǎo)體等離子注入機，工藝段覆蓋至28，為我國芯片制造產(chǎn)業(yè)鏈補上重要一環(huán)，為全球芯片制造企業(yè)供應(yīng)離子注入機一站式解決方案.此次技術(shù)的突破可以說為國產(chǎn)芯片的制造做出了重大貢獻(xiàn).該企業(yè)運用新技術(shù)對某款芯片進(jìn)行試生產(chǎn).（1）在試產(chǎn)初期，該款芯片的批次生產(chǎn)有四道工序，前三道工序的生產(chǎn)互不影響，第四道是檢測評估工序，包括智能自動檢測與人工抽檢.已知該款芯片在生產(chǎn)中，前三道工序的次品率分別為，，.①求批次芯片的次品率；②第四道工序中智能自動檢測為次品的芯片會被自動淘汰，合格的芯片進(jìn)入流水線并由工人進(jìn)行抽查檢驗.已知批次的芯片智能自動檢測顯示合格率為，求工人在流水線進(jìn)行人工抽檢時，抽檢一個芯片恰為合格品的概率（百分號前保留兩位小數(shù)）.（2）已知某批次芯片的次品率為，設(shè)個芯片中恰有個不合格品的概率為，記的最大值點為，改進(jìn)生產(chǎn)工藝后批次的芯片的次品率.某手機生產(chǎn)廠商獲得批次與批次的芯片，并在某款新型手機上運用.現(xiàn)對運用這款手機的用戶回訪，對開機速度進(jìn)行滿足度調(diào)查.據(jù)統(tǒng)計，回訪的名用戶中，安裝批次有部，其中對開機速度滿足的有人；安裝批次有部，其中對開機速度滿足的有人.求，并推斷是否有的把握認(rèn)為芯片質(zhì)量與用戶對開機速度滿足度有關(guān)？附：.2．（2024·廣西·模擬預(yù)料（理））十三屆全國人大常委會其次十次會議審議通過的《未成年人愛護(hù)法》針對監(jiān)護(hù)缺失、校內(nèi)欺凌、煙酒損害、網(wǎng)絡(luò)沉迷等問題，進(jìn)一步壓實監(jiān)護(hù)人、學(xué)校、住宿經(jīng)營者及網(wǎng)絡(luò)服務(wù)供應(yīng)者等主體責(zé)任，加大對未成年人的愛護(hù)力度．某中學(xué)為宣揚未成年人愛護(hù)法，特實行一次未成年人愛護(hù)法學(xué)問競賽，競賽規(guī)則是：兩人一組，每一輪競賽中，小組兩人分別答兩題，若答對題數(shù)不少于3題，被稱為“優(yōu)秀小組”，已知甲乙兩位同學(xué)組成一組，且同學(xué)甲和同學(xué)乙答對每道題的概率分為，．（1）若，，則在第一輪競賽中，求他們獲“優(yōu)秀小組”的概率；（2）當(dāng)，且每輪競賽互不影響，假如甲乙同學(xué)在此次競賽活動中要想獲得“優(yōu)秀小組”的次數(shù)為9次，那么理論上至少要進(jìn)行多少輪競賽？3．（2024·江蘇泰州·模擬預(yù)料）現(xiàn)有一批疫苗試劑，擬進(jìn)入動物試驗階段，將1000只動物平均分成100組，任選一組進(jìn)行試驗．第一輪注射，對該組的每只動物都注射一次，若檢驗出該組中有9只或10只動物產(chǎn)生抗體，說明疫苗有效，試驗終止；否則對沒有產(chǎn)生抗體的動物進(jìn)行其次輪注射，再次檢驗．假如被二次注射的動物都產(chǎn)生抗體，說明疫苗有效，否則須要改進(jìn)疫苗．設(shè)每只動物是否產(chǎn)生抗體相互獨立，兩次注射疫苗互不影響，且產(chǎn)生抗體的概率均為．（1）求該組試驗只需第一輪注射的概率（用含的多項式表示）；（2）記該組動物須要注射次數(shù)的數(shù)學(xué)期望為，求證：．4．（2024·全國·高三專題練習(xí)）冠狀病毒是一個大型病毒家族，已知可引起感冒以及中東呼吸綜合征（）和嚴(yán)峻急性呼吸綜合征（）等較嚴(yán)峻疾病.而今年出現(xiàn)在湖北武漢的新型冠狀病毒（）是以前從未在人體中發(fā)覺的冠狀病毒新毒株.人感染了新型冠狀病毒后常見體征有呼吸道癥狀、發(fā)熱、咳嗽、氣促和呼吸困難等.在較嚴(yán)峻病例中，感染可導(dǎo)致肺炎、嚴(yán)峻急性呼吸綜合征、腎衰竭，甚至死亡.某醫(yī)院為篩查冠狀病毒，須要檢驗血液是否為陽性，現(xiàn)有n（）份血液樣本，有以下兩種檢驗方式：方式一：逐份檢驗，則須要檢驗n次.方式二：混合檢驗，將其中k（且）份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗.若檢驗結(jié)果為陰性，這k份的血液全為陰性，因而這k份血液樣本只要檢驗一次就夠了，假如檢驗結(jié)果為陽性，為了明確這k份血液原委哪幾份為陽性，就要對這k份再逐份檢驗，此時這k份血液的檢驗次數(shù)總共為.假設(shè)在接受檢驗的血液樣本中，每份樣本的檢驗結(jié)果是陽性還是陰性都是獨立的，且每份樣本是陽性結(jié)果的概率為p（）.現(xiàn)取其中k（且）份血液樣本，記采納逐份檢驗方式，樣本須要檢驗的總次數(shù)為，采納混合檢驗方式，樣本須要檢驗的總次數(shù)為.（1）若，試求p關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式；（2）若p與干擾素計量相關(guān)，其中（）是不同的正實數(shù)，滿足且（）都有成立.（i）求證：數(shù)列等比數(shù)列；（ii）當(dāng)時，采納混合檢驗方式可以使得樣本須要檢驗的總次數(shù)的期望值比逐份檢驗的總次數(shù)的期望值更少，求k的最大值5．（2024·河南南陽·高三期末（理））某單位為患病員工集體篩查新型流感病毒，須要去某醫(yī)院檢驗血液是否為陽性，現(xiàn)有份血液樣本，有以下兩種檢驗方案，方案一：逐份檢驗，則須要檢驗k次；方案二：混合檢驗，將k份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗一次，若檢驗結(jié)果為陰性，則k份血液樣本均為陰性，若檢驗結(jié)果為陽性，為了確定k份血液中的陽性血液樣本，則對k份血液樣本再逐一檢驗.逐份檢驗和混合檢驗中的每一次檢驗費用都是元，且k份血液樣本混合檢驗一次須要額外收元的材料費和服務(wù)費.假設(shè)在接受檢驗的血液樣本中，每份樣本是否為陽性是相互獨立的，且據(jù)統(tǒng)計每份血液樣本是陽性的概率為.（1）若份血液樣本采納混合檢驗方案，須要檢驗的總次數(shù)為X，求X分布列及數(shù)學(xué)期望；（2）①若，以檢驗總費用為決策依據(jù)，試說明該單位選擇方案二的合理性；②若，采納方案二總費用的數(shù)學(xué)期望低于方案一，求k的最大值.參考數(shù)據(jù)：，，，，6．（2024·全國·高三期中）接近元旦，高三（1）班共50名同學(xué)，大家希望能邀請數(shù)學(xué)張老師參與元旦文藝表演．張老師確定和同學(xué)們進(jìn)行一個嬉戲，依據(jù)嬉戲的結(jié)果確定是否參與表演．嬉戲規(guī)則如下：班長先確定班上參與嬉戲的同學(xué)人數(shù)（）；每位同學(xué)手里均有張除顏色外無其他區(qū)分的卡片；第（，，，，）位同學(xué)手中有張紅色卡片，張白色卡片；老師任選其中一位同學(xué)，并且從該同學(xué)的手中隨機連續(xù)取出兩張卡片，若其次次取出的卡片為白色，則學(xué)生獲勝，張老師同意參與文藝表演，否則，張老師將不參與文藝表演．（1）若，求張老師同意參與文藝表演的概率；（2）若希望張老師參與文藝表演的可能最大，班長應(yīng)當(dāng)邀請多少同學(xué)參與嬉戲？7．（2024·山東·廣饒一中高三月考）為落實立德樹人根本任務(wù)，堅持五育并舉全面推動素養(yǎng)教化，某學(xué)校實行了乒乓球競賽，其中參與男子乒乓球決賽的12名隊員來自3個不同校區(qū)，三個校區(qū)的隊員人數(shù)分別是3，4，5.本次決賽的競賽賽制實行單循環(huán)方式，即每名隊員進(jìn)行11場競賽（每場競賽都實行5局3勝制），最終依據(jù)積分選出最終的冠軍.積分規(guī)則如下：競賽中以或取勝的隊員積3分，失敗的隊員積0分；而在競賽中以取勝的隊員積2分，失敗的隊員的隊員積1分.已知第10輪張三對抗李四，設(shè)每局競賽張三取勝的概率均為.（1）競賽結(jié)束后冠亞軍恰好來自不同校區(qū)的概率是多少？（2）第10輪競賽中，記張三取勝的概率為.①求出的最大值點；②若以作為的值，這輪競賽張三所得積分為，求的分布列及期望.8．（2024·重慶·西南高校附中高三月考）甲、乙兩人進(jìn)行對抗競賽，每場競賽均能分出輸贏．已知本次競賽的主辦方供應(yīng)8000元獎金并規(guī)定：①若有人先贏4場，則先贏4場者獲得全部獎金同時競賽終止；②若無人先贏4場且競賽意外終止，則甲、乙便依據(jù)競賽接著進(jìn)行各自贏得全部獎金的概率之比安排獎金．已知每場競賽甲贏的概率為p（0＜p＜1），乙贏的概率為1-p，且每場競賽相互獨立．（1）當(dāng)時，假設(shè)競賽不會意外終止，記競賽場次為隨機變量Y，求Y的分布列；（2）當(dāng)時，若已進(jìn)行了5場競賽，其中甲贏了3場，乙贏了2場，此時競賽因意外終止，主辦方確定頒發(fā)獎金，求甲獲得的獎金金額；（3）規(guī)定：若隨機事務(wù)發(fā)生的概率小于0.05，則稱該隨機事務(wù)為小概率事務(wù)，我們可以認(rèn)為該事務(wù)不行能發(fā)生，否則認(rèn)為該事務(wù)有可能發(fā)生．若本次競賽，且在已進(jìn)行的3場競賽中甲贏2場、乙贏1場，請推斷：競賽接著進(jìn)行乙贏得全部獎金是否有可能發(fā)生，并說明理由．9．（2024·全國·高三課時練習(xí)）系統(tǒng)中每個元件正常工作的概率都是，各個元件是否正常工作相互獨立.假如系統(tǒng)中有多于一半的元件正常工作，系統(tǒng)就能正常工作，系統(tǒng)正常工作的概率稱為系統(tǒng)的牢靠性.已知該系統(tǒng)配置有個元件，為正整數(shù).（1）求該系統(tǒng)正常工作的概率的表達(dá)式；（2）現(xiàn)為改善系統(tǒng)的性能，擬增加2個元件，試探討增加2個元件后，系統(tǒng)牢靠性的改變.10．（2024·全國·高三課時練習(xí)）為了檢測某種抗病毒疫苗的免疫效果，須要進(jìn)行動物與人體試驗.探討人員將疫苗注射到200只小白鼠體內(nèi)，一段時間后測量小白鼠的某項指標(biāo)值，按，，，，分組，繪制頻率分布直方圖如圖所示.試驗發(fā)覺小白鼠體內(nèi)產(chǎn)生抗體的共有160只，其中該項指標(biāo)值不小于60的有110只.假設(shè)小白鼠注射疫苗后是否產(chǎn)生抗體相互獨立.（1）填寫下面的列聯(lián)表，并依據(jù)列聯(lián)表及的獨立性檢驗，推斷能否認(rèn)為注射疫苗后小白鼠產(chǎn)生抗體與指標(biāo)值不小于60有關(guān).單位：只抗體指標(biāo)值合計小于60不小于60有抗體沒有抗體合計（2）為檢驗疫苗二次接種的免疫抗體性，對第一次注射疫苗后沒有產(chǎn)生抗體的40只小白鼠進(jìn)行其次次注射疫苗，結(jié)果又有20只小白鼠產(chǎn)生抗體.（i）用頻率估計概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后產(chǎn)生抗體的概率；（ii）以（i）中確定的概率作為人體注射2次疫苗后產(chǎn)生抗體的概率，進(jìn)行人體接種試驗，記個人注射2次疫苗后產(chǎn)生抗體的數(shù)量為隨機變量.試驗后統(tǒng)計數(shù)據(jù)顯示，當(dāng)時，取最大值，求參與人體接種試驗的人數(shù)及.參考公式：(其中為樣本容量)參考數(shù)據(jù)：0.500.400.250.150.1000.0500.0250.4550.7081.3232.0722.7063.8415.02411．（2024·遼寧·高三月考）個人所得稅起征點是個人所得稅工薪所得減除費用標(biāo)準(zhǔn)或免征額，個稅起征點與個人稅負(fù)凹凸的關(guān)系最為干脆，因此成為廣闊工薪階層關(guān)注的焦點.隨著我國人民收入的逐步增加，國家稅務(wù)總局綜合考慮人民群眾消費支出水平增長等各方面因素，規(guī)定從2024年1月1日起，我國實施個稅新政.實施的個稅新政主要內(nèi)容包括:①個稅起征點為元②每月應(yīng)納稅所得額(含稅)收入個稅起征點專項附加扣除;③專項附加扣除包括住房、子女教化和贍養(yǎng)老人等.新舊個稅政策下每月應(yīng)納稅所得額(含稅)計算方法及其對應(yīng)的稅率表如下:舊個稅稅率表(個稅起征點元)新個稅稅率表(個稅起征點元)繳稅級數(shù)每月應(yīng)納稅所得額(含稅)收入個稅起征點稅率/%每月應(yīng)納稅所得額(含稅）收入個稅起征點專項附加扣除稅率/%1不超過元不超過元2部分超過元至元部分部分超過元至元部分3超過元至元的部分超過元至元的部分4超過元至元的部分超過元至元的部分5超過元至元部分超過元至元部分············隨機抽取某市名同一收入層級的無親屬關(guān)系的男性互聯(lián)網(wǎng)從業(yè)者(以下互聯(lián)網(wǎng)從業(yè)者都是指無親屬關(guān)系的男性)的相關(guān)資料，經(jīng)統(tǒng)計分析，預(yù)估他們2024年的人均月收入為元.統(tǒng)計資料還表明，他們均符合住房專項扣除，同時他們每人至多只有一個符合子女教化扣除的孩子，并且他們之中既不符合子女教化扣除又不符合贍養(yǎng)老人扣除、只符合子女教化扣除但不符合贍養(yǎng)老人扣除、只符合贍養(yǎng)老人扣除但不符合子女教化扣除、既符合子女教化扣除又符合贍養(yǎng)老人扣除的人數(shù)之比是.此外，他們均不符合其他專項附加扣除.新個稅政策下該市的專項附加扣除標(biāo)準(zhǔn)為:住房元/月，子女教化每孩元/月，贍養(yǎng)老人元/月等.假設(shè)該市該收入層級的互聯(lián)網(wǎng)從業(yè)者都獨自享受專項附加扣除，將預(yù)估的該市該收入層級的互聯(lián)網(wǎng)從業(yè)者的人均月收入視為其個人月收入.依據(jù)樣本估計總體的思想，解決下列問題.（1）按新個稅方案，設(shè)該市該收入層級的互聯(lián)網(wǎng)從業(yè)者2024年月繳個稅為元，求的分布列和數(shù)學(xué)期望;（2）依據(jù)新舊個稅方案，估計從2024年1月起先，經(jīng)過幾個月，該市該收入層級的互聯(lián)網(wǎng)從業(yè)者各月少繳的個稅之和就能購買一臺價值為元的華為才智屏巨幕電視?12．（2024·全國·模擬預(yù)料）2024年我國科技成果斐然，其中北斗三號全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)7月31日正式開通．北斗三號全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)由24顆中圓地球軌道衛(wèi)星、3顆地球靜止軌道衛(wèi)星和3顆傾斜地球同步軌道衛(wèi)星，共30顆衛(wèi)星組成．北斗三號全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)全球范圍定位優(yōu)于10米，實測的導(dǎo)航定位精度都是2~3米，全球服務(wù)可用性99%，亞太地區(qū)性能更優(yōu)．（Ⅰ）南美地區(qū)某城市通過對1000輛家用汽車進(jìn)行定位測試，發(fā)覺定位精確度近似滿足，預(yù)估該地區(qū)某輛家用汽車導(dǎo)航精確度在的概率；（Ⅱ）（?。┠车鼗竟ぷ魅藛T30顆衛(wèi)星中隨機選取4顆衛(wèi)星進(jìn)行信號分析，選取的4顆衛(wèi)星中含3顆傾斜地球同步軌道衛(wèi)星數(shù)記為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（ⅱ）某日北京、上海、拉薩、巴黎、里約5個基地同時獨立隨機選取1顆衛(wèi)星進(jìn)行信號分析，選取的5顆衛(wèi)星中含中圓地球軌道衛(wèi)星的數(shù)目記為，求的數(shù)學(xué)期望．附：若，則，，．13．（2024·湖南·雙峰縣第一中學(xué)高三開學(xué)考試）有甲、乙兩個袋子，甲袋中有2個白球2個紅球，乙袋中有2個白球2個紅球，從甲袋中隨機取出一球與乙袋中隨機取出一球進(jìn)行交換．（1）一次交換后，求乙袋中紅球與白球個數(shù)不變的概率；（2）二次交換后，記X為“乙袋中紅球的個數(shù)”，求隨機變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望．14．（2024·福建·模擬預(yù)料）班級里共出名學(xué)生，其中有，，．已知，，中隨意兩人均為摯友，且三人中每人均與班級里中超過一半的學(xué)生為摯友．若對于某三個人，他們當(dāng)中隨意兩人均為摯友，則稱他們組成一個“摯友圈”．（1）求班級里摯友圈個數(shù)的最大值．（2）求班級里摯友圈個數(shù)的最小值．15．（2024·江蘇省前黃高級中學(xué)高三月考）公元1651年，法國學(xué)者德梅赫向數(shù)學(xué)家帕斯卡請教了一個問題：設(shè)兩名賭徒約定誰先贏滿4局，誰便贏得全部賭注元，已知每局甲贏的概率為，乙贏的概率為，且每局賭博相互獨立，在甲贏了2局且乙贏了1局后，賭博意外終止，則賭注該怎么分才合理？帕斯卡先和費爾馬探討了這個問題，后來惠更斯也加入了探討，這三位當(dāng)時歐洲乃至全世界著名的數(shù)學(xué)家給出的安排賭注的方案是：假如出現(xiàn)無人先贏4局且賭博意外終止的狀況，則甲、乙依據(jù)賭博再接著進(jìn)行下去各自贏得全部賭注的概率之比安排賭注．（友情提示：珍愛生命，遠(yuǎn)離賭博）（1）若，甲?乙賭博意外終止，則甲應(yīng)分得多少元賭注？（2）若，求賭博接著進(jìn)行下去甲贏得全部賭注的概率，并推斷“賭博接著進(jìn)行下去乙贏得全部賭注”是否為小概率事務(wù)（發(fā)生概率小于的隨機事務(wù)稱為小概率事務(wù)）．16．（2024·湖南師大附中高三月考）一疫苗生產(chǎn)單位通過驗血方法檢驗?zāi)撤N疫苗產(chǎn)生抗體狀況，須要檢驗血液是否有抗體現(xiàn)有份血液樣本每份樣本取到的可能性均等有以下兩種檢驗方式：（1）逐份檢驗，則須要檢驗n次；（2）混合檢驗將其中（且）份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗若檢驗結(jié)果無抗體，則這k份的血液全無抗體，因而這k份血液樣本只需檢驗一次就夠了，若檢驗結(jié)果有抗體，為了明確這k份血液原委哪幾份有抗體就要對這k份再逐份檢驗，此時這k份血液的檢驗總次數(shù)為k+1次假設(shè)在接受檢驗的血液樣本中，每份樣本的檢驗結(jié)果有無抗體都是相互獨立的，且每份樣本有抗體的概率均為．（1）假設(shè)有5份血液樣本，其中只有2份血液樣本有抗體，若采納逐份檢驗方式，求恰好經(jīng)過3次檢驗就能把有抗體的血液樣本全部檢驗出來的概率；（2）現(xiàn)取其中（且）份血液樣本，記采納逐份檢驗方式，樣本須要檢驗的總次數(shù)為，采納混合檢驗方式樣本須要檢驗的總次數(shù)為．若，求關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式，并證明．17．（2024·全國·高三專題練習(xí)（理））某市為提升農(nóng)夫的年收入，更好地實現(xiàn)2024年精準(zhǔn)扶貧的工作支配，統(tǒng)計了2024年位農(nóng)夫的年收入并制成頻率分布直方圖，如圖．[Failedtodownloadimage:s://img.xkw/dksih/QBM/2024/7/10/2761416923308032/2776847444451328/STEM/98da53a0dc174d8faf0b102e862ddbb3.png]（1）依據(jù)頻率分布直方圖，估計這位農(nóng)夫的年平均收入（單位：千元）（同一數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)區(qū)間的中點值表示）；（2）由頻率分布直方圖，可以認(rèn)為該市農(nóng)夫年收入聽從正態(tài)分布，其中近似為年平均收入，近似為樣本方差，經(jīng)計算得，利用該正態(tài)分布，求：①在扶貧攻堅工作中，若使該市約有占農(nóng)夫人數(shù)的的農(nóng)夫的年收入高于本市規(guī)定的最低年收入標(biāo)準(zhǔn)，則此最低年收入標(biāo)準(zhǔn)大約為多少千元？②該市為了調(diào)研“精準(zhǔn)扶貧，不落一人”的政策落實狀況，隨機走訪了位農(nóng)夫．若每位農(nóng)夫的年收入相互獨立，問：這位農(nóng)夫中的年收入不少于千元的人數(shù)最有可能是多少？附：；若，則，，．18．（2024·重慶八中高三月考）為豐富學(xué)生課外生活，某市組織了中學(xué)生鋼筆書法競賽，競賽分兩個階段進(jìn)行：第一階段由評委為全部參賽作品評分，并確定優(yōu)勝者；其次階段為附加賽，參賽人員由組委會按規(guī)則另行確定.數(shù)據(jù)統(tǒng)計員對第一階段的分?jǐn)?shù)進(jìn)行了統(tǒng)計分析，這些分?jǐn)?shù)X都在內(nèi)，再以5為組距畫分?jǐn)?shù)的頻率分布直方圖（設(shè)“”）時，發(fā)覺Y滿足：.（1）試確定n的全部取值，并求k；（2）組委會確定：在第一階段競賽中低于85分的同學(xué)無緣獲獎也不能參與附加賽；分?jǐn)?shù)在內(nèi)的同學(xué)評為一等獎；分?jǐn)?shù)在內(nèi)的同學(xué)評為二等獎，但通過附加賽有的概率提升為一等獎；分?jǐn)?shù)在內(nèi)的同學(xué)評為三等獎，但通過附加賽有的概率提升為二等獎（全部參與附加賽的獲獎人員均不降低獲獎等級，且附加賽獲獎等級在第一階段獲獎等級基礎(chǔ)上，最多上升一級）.已知學(xué)生A和B均參與了本次競賽，且學(xué)生A在第一階段獲得二等獎.①求學(xué)生B最終獲獎等級不低于學(xué)生A最終獲獎等級的概率；②已知學(xué)生A和B都獲獎，記A，B兩位同學(xué)最終獲得一等獎的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.19．（2024·湖南·長郡中學(xué)模擬預(yù)料）某商城玩具柜臺五一期間促銷，購買甲、乙系列的盲盒，并且集齊全部的產(chǎn)品就可以贈送節(jié)日送禮，現(xiàn)有甲、乙兩個系列盲盒，每個甲系列盲盒可以開出玩偶，，中的一個，每個乙系列盲盒可以開出玩偶，中的一個.（1）記事務(wù)：一次性購買個甲系列盲盒后集齊玩偶，，玩偶；事務(wù)：一次性購買個乙系列盲盒后集齊，玩偶；求概率及；（2）某禮品店限量出售甲、乙兩個系列的盲盒，每個消費者每天只有一次購買機會，且購買時，只能選擇其中一個系列的一個盲盒.通過統(tǒng)計發(fā)覺：第一次購買盲盒的消費者購買甲系列的概率為，購買乙系列的概率為；而前一次購買甲系列的消費者下一次購買甲系列的概率為，購買乙系列的概率為，前一次購買乙系列的消費者下一次購買甲系列的概率為，購買乙系列的概率為；如此往復(fù)，記某人第次購買甲系列的概率為.①求的通項公式；②若每天購買盲盒的人數(shù)約為，且這人都已購買過許多次這兩個系列的盲盒，試估計該禮品店每天應(yīng)打算甲、乙兩個系列的盲盒各多少個.20．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在創(chuàng)建“全國文明城市”過程中，我市“創(chuàng)城辦”為了調(diào)查市民對創(chuàng)城工作的了解狀況，進(jìn)行了一次創(chuàng)城學(xué)問問卷調(diào)查（一位市民只能參與一次）通過隨機抽樣，得到參與問卷調(diào)查的100人的得分統(tǒng)計結(jié)果如表所示：組別[30，40)[40，50)[50，60)[60，70)[70，80)[80，90)[90，100]頻數(shù)213212524114（1）由頻數(shù)分布表可以大致認(rèn)為，此次問卷調(diào)查的得分，近似為這100人得分的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的左端點值作代表），①求的值；②利用該正態(tài)分布，求；（2）在（1）的條件下，“創(chuàng)城辦”為此次參與問卷調(diào)查的市民制定如下嘉獎方案：①得分不低于的可以獲贈2次隨機話費，得分低于的可以獲贈1次隨機話費；②每次獲贈的隨機話費和對應(yīng)的概率為：贈送話費的金額（單位：元）2050概率現(xiàn)有市民甲參與此次問卷調(diào)查，記（單位：元）為該市民參與問卷調(diào)查獲贈的話費，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．參考數(shù)據(jù)與公式：．若，則，，.21．（2024·全國·高三專題練習(xí)）一種微生物群體可以經(jīng)過自身繁殖不斷生存下來，設(shè)一個這種微生物為第0代，經(jīng)過一次繁殖后為第1代，再經(jīng)過一次繁殖后為第2代……，該微生物每代繁殖的個數(shù)是相互獨立的且有相同的分布列，設(shè)X表示1個微生物個體繁殖下一代的個數(shù)，．（1）已知，求；（2）設(shè)p表示該種微生物經(jīng)過多代繁殖后接近滅亡的概率，p是關(guān)于x的方程：的一個最小正實根，求證：當(dāng)時，，當(dāng)時，；（3）依據(jù)你的理解說明（2）問結(jié)論的實際含義．22．（2024·江西·南昌市豫章中學(xué)高三開學(xué)考試（理））某籃球隊為提高隊員的訓(xùn)練主動性，進(jìn)行小組投籃嬉戲，每個小組由兩名隊員組成，隊員甲與隊員乙組成了一個小組.嬉戲規(guī)則：每個小組的兩名隊員在每輪嬉戲中分別投籃兩次，每小組投進(jìn)的次數(shù)之和不少于3次的稱為“神投小組”，已知甲乙兩名隊員投進(jìn)籃球的概率為別為，.（1）若，，則在第一輪嬉戲他們獲“神投小組”的概率；（2）若，則在嬉戲中，甲乙兩名隊員想要獲得“神投小組”的稱號16次，則理論上他們小組要進(jìn)行多少輪嬉戲才行？并求此時，的值.23．（2024·全國·高三專題練習(xí)）2024年是中國共產(chǎn)黨百年華誕.中國站在“兩個一百年”的歷史交匯點，全面建設(shè)社會主義現(xiàn)代化國家新征程即將開啟.2024年3月23日，中宣部介紹中國共產(chǎn)黨成立100周年慶?；顒影隧椫饕獌?nèi)容，其中第一項是結(jié)合鞏固深化“不忘初心?牢記使命”主題教化成果，在全體黨員中開展黨史學(xué)習(xí)教化.這次學(xué)習(xí)教化貫穿2024年全年，總的要求是學(xué)史明理?學(xué)史增信?學(xué)史崇德?學(xué)史力行，教化引導(dǎo)黨員干部學(xué)黨史?悟思想?辦實事，開新局.為了協(xié)作這次學(xué)黨史活動，某地組織全體黨員干部參與黨史學(xué)問競賽，現(xiàn)從參與人員中隨機抽取100人，并對他們的分?jǐn)?shù)進(jìn)行統(tǒng)計，得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）現(xiàn)從這100人中隨機抽取2人，記其中得分不低于80分的人數(shù)為，試求隨機變量的分布列及期望；（2）由頻率分布直方圖，可以認(rèn)為該地參與黨史學(xué)問競賽人員的分?jǐn)?shù)聽從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差，經(jīng)計算.現(xiàn)從全部參與黨史學(xué)問競賽的人員中隨機抽取500人，且參與黨史學(xué)問競賽的人員的分?jǐn)?shù)相互獨立，試問這500名參賽者的分?jǐn)?shù)不低于82.3的人數(shù)最有可能是多少？參考數(shù)據(jù)：，，，.24．（2024·廣東·東莞市東方明珠學(xué)校模擬預(yù)料）某醫(yī)院為篩查冠狀病毒，須要檢驗血液是不是陽性，現(xiàn)有份血液樣本，有以下兩種檢驗方式：方式一：逐份檢驗，則須要檢驗次．方式二：混合檢驗，將其中（且）份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗．若檢驗結(jié)果為陰性，這份血液樣本全為陰性，因而這份血液樣本只要檢驗一次就夠了；若檢驗結(jié)果為陽性，為了明確這份血液樣本原委哪幾份為陽性，就要對這份血液樣本再逐份檢驗，此時這份血液樣本的檢驗次數(shù)總共為．假設(shè)在接受檢驗的血液樣本中，每份樣本的檢驗結(jié)果是陽性還是陰性都是獨立的，且每份樣本是陽性結(jié)果的概率為．現(xiàn)取其中份血液樣本，記采納逐份檢驗方式，須要檢驗的總次數(shù)為，采納混合檢驗方式，須要檢驗的總次數(shù)為．（1）若，試求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（2）若與干擾素計量相關(guān)，其中是不同的正整數(shù)，且，都有成立．①求證：數(shù)列是等比數(shù)列；②當(dāng)時，采納混合檢驗方式可以使樣本須要檢驗的總次數(shù)的期望值比采納逐份檢驗方式的檢驗總次數(shù)的期望值更少，求的最大值．參考數(shù)據(jù)：，．25．（2024·全國·高三專題練習(xí)）安慶市某學(xué)校高三年級開學(xué)之初增加晚自習(xí)，晚飯在校食堂就餐人數(shù)增多，為了緩解就餐壓力，學(xué)校在原有一個餐廳的基礎(chǔ)上增加了一個餐廳，分別記做餐廳甲和餐廳乙，經(jīng)過一周左右統(tǒng)計調(diào)研分析：前一天選擇餐廳甲就餐其次天選擇餐廳甲就餐的概率是25%?選擇餐廳乙就餐的概率為75%，前一天選擇餐廳乙就餐其次天選擇餐廳乙就餐的概率是50%?選擇餐廳甲就餐的概率也為50%，如此往復(fù).假設(shè)學(xué)生第一天選擇餐廳甲就餐的概率是，擇餐廳乙就餐的概率是，記某同學(xué)第n天選擇甲餐廳就餐的概率為.（1）記某班級的3位同學(xué)其次天選擇餐廳甲的人數(shù)為X，求X的分布列，并求E(X)；（2）請寫出與的遞推關(guān)系；（3）求數(shù)列的通項公式并幫助學(xué)校解決以下問題：為提高學(xué)生服務(wù)意識和團(tuán)隊合作精神，學(xué)校每天從20個班級中每班抽調(diào)一名學(xué)生志愿者為全體學(xué)生供應(yīng)就餐服務(wù)工作，依據(jù)上述數(shù)據(jù)，如何合理安排到餐廳甲和餐廳乙志愿者人數(shù)？請說明理由.26．（2024·山東·模擬預(yù)料）某商場擬在年末進(jìn)行促銷活動，為吸引消費者，特殊推出“玩嬉戲，送禮券“的活動，嬉戲規(guī)則如下：每輪嬉戲都拋擲一枚質(zhì)地勻稱的骰子（形態(tài)為正方體，六個面的點數(shù)分別為1，2，3，4，5，6），若向上點數(shù)不超2點，獲得1分，否則獲得2分，進(jìn)行若干輪嬉戲，若累計得分為19分，則嬉戲結(jié)束，可得到200元禮券，若累計得分為20分，則嬉戲結(jié)束，可得到紀(jì)念品一份，最多進(jìn)行20輪嬉戲．（1）當(dāng)進(jìn)行完3輪嬉戲時，總分為X，求X的期望；（2）若累計得分為i的概率為，（初始得分為0分，）．①證明數(shù)列，（i＝1，2，…，19）是等比數(shù)列；②求活動參與者得到紀(jì)念品的概率．27．（2024·重慶一中模擬預(yù)料）某5G傳輸設(shè)備由奇數(shù)根相同的光導(dǎo)纖維并聯(lián)組成，每根光導(dǎo)纖維能正常傳輸信號的概率均為，且每根光導(dǎo)纖維能否正常傳輸信號相互獨立．已知該設(shè)備中有超過一半的光導(dǎo)纖維能正常傳輸信號，這個5G傳輸設(shè)備才可以正常工作．記根光導(dǎo)纖維組成的這種5G傳輸設(shè)備可以正常工作的概率為．（1）用p表示；（2）當(dāng)時，證明：；（3）為提高這個5G傳輸設(shè)備正常工作的概率，在這個傳輸設(shè)備上再并聯(lián)兩根相同規(guī)格的光導(dǎo)纖維，且新增光導(dǎo)纖維后的5G傳輸設(shè)備有超過一半的光導(dǎo)纖維能正常傳輸信號才可以正常工作．確定的取值范圍，使新增兩根光導(dǎo)纖維可以提高這個5G傳輸設(shè)備正常工作的概率．28．（2024·山東·煙臺二中三模）為紀(jì)念中國共產(chǎn)黨成立100周年，加深青少年對黨的歷史、黨的學(xué)問、黨的理論和路途方針的相識，激發(fā)愛黨愛國熱忱，堅決走新時代中國特色社會主義道路的信念，某校舉辦了黨史學(xué)問競賽．競賽規(guī)則是：兩人一組，每一輪競賽中，小組兩人分別答3道題，若答對題目不少于5道題，則獲得一個積分．已知甲乙兩名同學(xué)一組，甲同學(xué)和乙同學(xué)對每道題答對的概率分別是和，且每道題答對與否互不影響．（1）若，，求甲乙同學(xué)這一組在一輪競賽中獲得一個積分的概率；（2）若，且每輪競賽互不影響，若甲乙同學(xué)這一組想至少獲得5個積分，那么理論上至少要進(jìn)行多少輪競賽？29．（2024·全國·模擬預(yù)料）某學(xué)校聘請在職老師，甲?乙兩人同時應(yīng)聘.應(yīng)聘者需進(jìn)行筆試和面試，筆試分為三個環(huán)節(jié)，每個環(huán)節(jié)都必需參與，甲筆試部分每個環(huán)節(jié)通過的概率均為，乙筆試部分每個環(huán)節(jié)通過的概率依次為，，，筆試三個環(huán)節(jié)至少通過兩個才能夠參與面試，否則干脆淘汰；面試分為兩個環(huán)節(jié)，每個環(huán)節(jié)都必需參與，甲面試部分每個環(huán)節(jié)通過的概率依次為，，乙面試部分每個環(huán)節(jié)通過的概率依次為，，若面試部分的兩個環(huán)節(jié)都通過，則可以成為該學(xué)校的在職老師.甲?乙兩人通過各個環(huán)節(jié)相互獨立.（1）求乙未能參與面試的概率；（2）記甲本次應(yīng)聘通過的環(huán)節(jié)數(shù)為，求的分布列以及數(shù)學(xué)期望；（3）若該校僅聘請1名在職老師，試通過概率計算，推斷甲?乙兩人誰更有可能入職.30．（2024·山東泰安·模擬預(yù)料）國際競賽賽制常見的有兩種，一種是單敗制，一種是雙敗制．單敗制即每場競賽的失敗者干脆淘汰，常見的有等等．表示雙方進(jìn)行一局競賽，獲勝者晉級．表示雙方最多進(jìn)行三局競賽，若連勝兩局，則干脆晉級；若前兩局兩人各勝一局，則須要進(jìn)行第三局決輸贏．現(xiàn)在四人進(jìn)行乒乓球競賽，競賽賽制采納單敗制，A與B一組，C與D一組，第一輪兩組分別進(jìn)行，勝者晉級，敗者淘汰；其次輪由上輪的勝者進(jìn)行，勝者為冠軍．已知A與競賽，A的勝率分別為；B與競賽，B的勝率分別；C與D競賽，C的勝率為．隨意兩局競賽之間均相互獨立．（1）在C進(jìn)入其次輪的前提下，求A最終獲得冠軍的概率；（2）記A參與競賽獲勝的局?jǐn)?shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．31．（2024·山東濟(jì)南·二模）某企業(yè)對生產(chǎn)設(shè)備進(jìn)行優(yōu)化升級，升級后的設(shè)備限制系統(tǒng)由個相同的元件組成，每個元件正常工作的概率均為，各元件之間相互獨立．當(dāng)限制系統(tǒng)有不少于個元件正常工作時，設(shè)備正常運行，否則設(shè)備停止運行，記設(shè)備正常運行的概率為（例如：表示限制系統(tǒng)由3個元件組成時設(shè)備正常運行的概率；表示限制系統(tǒng)由5個元件組成時設(shè)備正常運行的概率）．（1）若每個元件正常工作的概率．（i）當(dāng)時，求限制系統(tǒng)中正常工作的元件個數(shù)的分布列和期望；（ii）計算．（2）已知設(shè)備升級前，單位時間的產(chǎn)量為件，每件產(chǎn)品的利潤為1元，設(shè)備升級后，在正常運行狀態(tài)下，單位時間的產(chǎn)量是原來的4倍，且出現(xiàn)了髙端產(chǎn)品，每件產(chǎn)品成為高端產(chǎn)品的概率為，每件髙端產(chǎn)品的利潤是2元．請用表示出設(shè)備升級后單位時間內(nèi)的利潤（單位：元），在確保限制系統(tǒng)中元件總數(shù)為奇數(shù)的前提下，分析該設(shè)備能否通過增加限制系統(tǒng)中元件的個數(shù)來提高利潤．32．（2024·河北省唐縣第一中學(xué)高三月考）某病毒在進(jìn)入人體后有潛藏期，患者在潛藏期內(nèi)無任何癥狀，但已具傳染性.假設(shè)一位病毒攜帶者在潛藏期內(nèi)每天有n位密接者，每位密接者被感染的概率為p，（1）若，，求一天內(nèi)被一位病毒攜帶者干脆感染人數(shù)X的分布列和均值：（2）某定點醫(yī)院為篩查某些人員是否感染此病毒，須要檢測血液樣本是否為陽性，有以下兩種檢驗方式：①逐份檢驗，即k份血液樣本須要檢驗k次；②混合檢驗，即將k份（且）血液樣本分別取樣混合在一起檢驗，若檢驗結(jié)果為陰性，則這k份血液樣本全為陰性，因而這k份血液樣本只要檢驗一次就夠了：假如檢驗結(jié)果為陽性，為了明確這k份血液樣本究競哪份為陽性，就要對k份血液樣本再逐份檢驗，此時這k份血液樣本的檢驗次數(shù)為k+1次.假設(shè)樣本的檢驗結(jié)果相互獨立，且每份樣本檢驗結(jié)果是陽性的概率為，為使混合檢驗須要的檢驗的總次數(shù)的期望值比逐份檢驗的總次數(shù)的期望值更少，求k的取值范圍.參考數(shù)據(jù)：，，，，.33．（2024·湖北·漢陽一中模擬預(yù)料）2024年12月16日至18日，中心經(jīng)濟(jì)工作會議在北京召開，會議確定，2024年要抓好八個重點任務(wù)，其中第五點就是：保障糧食平安，關(guān)鍵在于落實藏糧于地?藏糧于技戰(zhàn)略.要加強種質(zhì)資源愛護(hù)和利用，加強種子庫建設(shè).要敬重科學(xué)?嚴(yán)格監(jiān)管，有序推動生物育種產(chǎn)業(yè)化應(yīng)用.某“種子銀行”對某種珍稀珍貴植物種子實行“活態(tài)保存”方法進(jìn)行保存，即對種子實行定期更換和種植.通過以往的相關(guān)數(shù)據(jù)表明，該植物種子的出芽率為，每顆種子是否發(fā)芽相互獨立.現(xiàn)任取該植物種子顆進(jìn)行種植，若種子的出芽數(shù)超過半數(shù)，則可認(rèn)為種植成功().（1）當(dāng)，時，求種植成功的概率及的數(shù)學(xué)期望；（2）現(xiàn)擬加種兩顆該植物種子，試分析能否提高種植成功率？34．（2024·全國·高三專題練習(xí)）品酒師需定期接受酒味鑒別功能測試，通常采納的測試方法如下：拿出（且）瓶外觀相同但品質(zhì)不同的酒讓品酒師品嘗，要求其按品質(zhì)優(yōu)劣為它們排序；經(jīng)過一段時間，等其記憶漸忘之后，再讓其品嘗這瓶酒，并重新按品質(zhì)優(yōu)劣為它們排序.這稱為一輪測試，依據(jù)一輪測試中的兩次排序的偏離程度的凹凸為其評分.現(xiàn)分別以、、、、表示第一次排序時被排在、、、、的種酒在其次次排序時的序號，并令，則是對兩次排序的偏離程度的一種描述.（1）證明：無論取何值，的可能取值都為非負(fù)偶數(shù)；（2）取，假設(shè)在品酒師僅憑隨機揣測來排序的條件下，、、、等可能地為、、、的各種排列，且各輪測試相互獨立.①求的分布列和數(shù)學(xué)期望；②若某品酒師在相繼進(jìn)行的三輪測試中，都有，則認(rèn)為該品酒師有較好的酒味鑒別功能.求出現(xiàn)這種現(xiàn)象的概率，并據(jù)此說明該測試方法的合理性.35．（2024·湖北·漢陽一中三模）設(shè)是給定的正整數(shù)（），現(xiàn)有個外表相同的袋子，里面均裝有個除顏色外其他無區(qū)分的小球，第個袋中有個紅球，個白球．現(xiàn)將這些袋子混合后，任選其中一個袋子，并且從中連續(xù)取出三個球（每個取后不放回）．（1）若，假設(shè)已知選中的恰為第2個袋子，求第三次取出為白球的概率；（2）若，求第三次取出為白球的概率；（3）對于隨意的正整數(shù)，求第三次取出為白球的概率．36．（2024·安徽·高三月考（理））公元1651年，法國一位著名的統(tǒng)計學(xué)家德梅赫（Demere）向另一位著名的數(shù)學(xué)家帕斯卡（B.Pascal）提出了一個問題，帕斯卡和費馬（Fermat）探討了這個問題，后來惠更斯（C.Huygens）也加入了探討，這三位當(dāng)時全歐洲乃至全世界最優(yōu)秀的科學(xué)家都給出了正確的解答.該問題如下：設(shè)兩名運動員約定誰先贏局，誰便贏得全部獎金元.每局甲贏的概率為，乙贏的概率為，且每場競賽相互獨立.在甲贏了局，乙贏了局時，競賽意外終止.獎金該怎么分才合理？這三位數(shù)學(xué)家給出的答案是：假如出現(xiàn)無人先贏局則競賽意外終止的狀況，甲、乙便依據(jù)競賽再接著進(jìn)行下去各自贏得全部獎金的概率之比安排獎金.（1）規(guī)定假如出現(xiàn)無人先贏局則競賽意外終止的狀況，甲、乙便依據(jù)競賽再接著進(jìn)行下去各自贏得全部獎金的概率之比安排獎金.若，，，，求.（2）記事務(wù)為“競賽接著進(jìn)行下去乙贏得全部獎金”，試求當(dāng)，，時競賽接著進(jìn)行下去甲贏得全部獎金的概率，并推斷當(dāng)時，事務(wù)是否為小概率事務(wù)，并說明理由.規(guī)定：若隨機事務(wù)發(fā)生的概率小于0.05，則稱該隨機事務(wù)為小概率事務(wù).37．（2024·湖南·雅禮中學(xué)高三開學(xué)考試）某新型雙軸承電動機須要裝配兩個軸承才能正常工作，且兩個軸承互不影響．現(xiàn)支配購置甲，乙兩個品牌的軸承，兩個品牌軸承的運用壽命及價格狀況如下表：品牌價格（元/件）運用壽命（月）甲或乙或已知甲品牌運用個月或個月的概率均為，乙品牌運用個月或個月的概率均為．（1）若從件甲品牌和件乙品牌共件軸承中，任選件裝入電動機內(nèi)，求電動機可工作時間不少于個月的概率；（2）現(xiàn)有兩種購置方案，方案一：購置件甲品牌；方案二：購置件甲品牌和件乙品牌（甲、乙兩品牌軸承搭配運用）．試從性價比（即電動機正常工作時間與購置軸承的成本之比）的角度考慮，選擇哪一種方案更實惠？38．（2024·全國·高三專題練習(xí)（理））為落實《關(guān)于全面加強和改進(jìn)新時代學(xué)校體育工作的看法》，完善學(xué)校體育“健康學(xué)問＋基本運動技能＋專項運動技能”教學(xué)模式，建立“校內(nèi)競賽－校級聯(lián)賽－選拔性競賽－國際溝通競賽”為一體的競賽體系，構(gòu)建校、縣（區(qū)）、地（市）、省、國家五級學(xué)校體育競賽制度．某校開展“陽光體育節(jié)”活動，其中傳統(tǒng)項目“定點踢足球”深受同學(xué)們寵愛．其間甲、乙兩人輪番進(jìn)行足球定點踢球競賽（每人各踢一次為一輪），在相同的條件下，每輪甲、乙兩人在同一位置，甲先踢，每人踢一次球，兩人有1人命中，命中者得1分，未命中者得分；兩人都命中或都未命中，兩人均得0分，設(shè)甲每次踢球命中的概率為，乙每次踢球命中的概率為，且各次踢球互不影響．（1）經(jīng)過1輪踢球，記甲的得分為，求的數(shù)學(xué)期望；（2）若經(jīng)過輪踢球，用表示經(jīng)過第輪踢球累計得分后甲得分高于乙得分的概率．①求，，；②規(guī)定，且有，請依據(jù)①中，，的值求出、，并求出數(shù)列的通項公式．39．（2024·全國·模擬預(yù)料）當(dāng)前，全國上下正處在新冠肺炎疫情“外防輸入，內(nèi)防反彈”的關(guān)鍵時期，為深化實行習(xí)近平總書記關(guān)于疫情防控的重要指示要求，始終把師生生命平安和身體健康放在第一位．結(jié)合全國第個愛國衛(wèi)生月要求，學(xué)校某班組織開展了“戰(zhàn)疫有我，愛衛(wèi)同行”防控疫情學(xué)問竟賽活動，抽取四位同學(xué)，分成甲、乙兩組，每組兩人，進(jìn)行對戰(zhàn)答題．規(guī)則如下：每次每位同學(xué)給出道題目，其中有道是送分題(即每位同學(xué)至少答對題)．若每次每組答對的題數(shù)之和為的倍數(shù)，原答題組的人再接著答題；若答對的題數(shù)之和不是的倍數(shù)，就由對方組接著答題．假設(shè)每位同學(xué)每次答題之間相互獨立，無論答對幾道題概率都一樣，且每次答題依次不作考慮，第一次由甲組起先答題．求：(1)若第次由甲組答題的概率為，求；(2)前次答題中甲組恰好答題次的概率為多少？40．（2024·全國·高三專題練習(xí)（理））甲、乙、丙三人參與學(xué)?！霸┘文耆A”競答嬉戲，活動的規(guī)則為：甲、乙、丙三人先分別坐在圓桌的，，三點，第一輪從甲起先通過擲骰子確定甲的競答對手，假如點數(shù)是奇數(shù)，則按逆時針選擇乙，假如是偶數(shù)，則按順時針選丙，下一輪由上一輪擲骰子選中的對手接著通過擲骰子確定竟答對手，假如點數(shù)是奇數(shù)按逆時針選對手，點數(shù)是偶數(shù)按順時針選對手，已知每場競答甲對乙、甲對丙、乙對丙獲勝的概率分別為，，且甲、乙、丙之間競答互不影響，各輪嬉戲亦互不影響，競賽中某選手累計獲勝場數(shù)達(dá)到場，嬉戲結(jié)束，該選手為晉級選手．（1）求競賽進(jìn)行了場且甲晉級的概率；（2）當(dāng)競賽進(jìn)行了場后結(jié)束，記甲獲勝的場數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．41．（2024·重慶南開中學(xué)高三月考）中國職業(yè)籃球聯(lián)賽（CBA聯(lián)賽）分為常規(guī)賽和季后賽.由于新冠疫情關(guān)系，今年聯(lián)賽采納賽會制：全部球隊集中在同一個地方競賽，分兩個階段進(jìn)行，每個階段采納循環(huán)賽，分主場競賽和客場競賽，積分排名前8的球隊進(jìn)入季后賽.季后賽的總決賽采納五場三勝制（“五場三勝制”是指在五場競賽中先勝三場者獲得競賽成功，勝者成為本賽季的總冠軍）.下表是隊在常規(guī)賽60場競賽中的競賽結(jié)果記錄表.階段競賽場數(shù)主場場數(shù)獲勝場數(shù)主場獲勝場數(shù)第一階段30152010其次階段30152515（1）依據(jù)表中信息，是否有90%的把握認(rèn)為競賽的“主客場”與“輸贏”之間有關(guān)？（2）已知隊與隊在季后賽的總決賽中相遇，假設(shè)每場競賽結(jié)果相互獨立，隊除第五場競賽獲勝的概率為外，其他場次競賽獲勝的概率等于隊常規(guī)賽60場競賽獲勝的頻率.記為隊在總決賽中獲勝的場數(shù).（?。┣蟮姆植剂?；（ⅱ）求隊獲得本賽季的總冠軍的概率.附：.（）0.1000.0500.0252.7063.8415.02442．（2024·江蘇省天一中學(xué)三模）最近考試頻繁，為了減輕同學(xué)們的學(xué)習(xí)壓力，班上確定進(jìn)行一次減壓嬉戲.班主任把除顏色不同外其余均相同的8個小球放入一個紙箱子，其中白色球與黃色球各3個，紅色球與綠色球各1個.現(xiàn)甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行摸球得分競賽，摸到白球每個記1分，黃球每個記2分，紅球每個記3分，綠球每個記4分，規(guī)定摸球人得分不低于8分獲勝.競賽規(guī)則如下：①只能一個人摸球；②摸出的球不放回；③摸球的人先從袋中摸出1球；若摸出的是綠色球，則再從袋子里摸出2個球；若摸出的不是綠色球，則再從袋子里摸出3個球，他的得分為兩次摸出的球的記分之和；④剩下的球歸對方，得分為剩下的球的記分之和.（1）若甲第一次摸出了綠色球，求甲獲勝的概率；（2）假如乙先摸出了紅色球，求乙得分的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）第一輪競賽結(jié)束，有同學(xué)提出競賽不公允，提出你的看法，并說明理由.43．（2024·全國·高三專題練習(xí)）網(wǎng)絡(luò)是第五代移動通信網(wǎng)絡(luò)的簡稱，是新一輪科技革命最具代表性的技術(shù)之一.年初以來，我國網(wǎng)絡(luò)正在大面積鋪開.A市某調(diào)查機構(gòu)為了解市民對該市網(wǎng)絡(luò)服務(wù)質(zhì)量的滿足程度，從運用了手機的市民中隨機選取了人進(jìn)行了問卷調(diào)查，并將這人依據(jù)其滿足度得分分成以下組：、、、、，統(tǒng)計結(jié)果如圖所示：（1）由直方圖可認(rèn)為市市民對網(wǎng)絡(luò)滿足度得分（單位：分）近似地聽從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本的標(biāo)準(zhǔn)差，并已求得.若市恰有萬名手機用戶，試估計這些手機用戶中滿足度得分位于區(qū)間的人數(shù)（每組數(shù)據(jù)以區(qū)間的中點值為代表）；（2）該調(diào)查機構(gòu)為參與本次調(diào)查的手機用戶實行了抽獎活動，每人最多有輪抽獎活動，每一輪抽獎相互獨立，中獎率均為.每一輪抽獎，若中獎，獎金為元話費且接著參與下一輪抽獎；若未中獎，則抽獎活動結(jié)束，現(xiàn)小王參與了此次抽獎活動.（?。┣笮⊥醌@得元話費的概率；（ⅱ）求小王所獲話費總額的數(shù)學(xué)期望（結(jié)果精確到）.參考數(shù)據(jù)：若隨機變量z聽從正態(tài)分布，即，則，.44．（2024·全國·高三月考（理））“博弈”原指下棋，出自我國《論語·陽貨》篇，現(xiàn)在多指一種決策行為，即一些個人?團(tuán)隊或組織，在肯定規(guī)則約束下，同時或先后，一次或多次，在各自允許選擇的策略下進(jìn)行選擇和實施，并從中各自取得相應(yīng)結(jié)果或收益的過程.生活中有許多嬉戲都蘊含著博弈，比如現(xiàn)在有兩個人玩“亮”硬幣的嬉戲，甲?乙約定若同時亮出正面，則甲付給乙3元，若同時亮出反面，則甲付給乙1元，若亮出結(jié)果是一正一反，則乙付給甲2元.（1）若兩人各自隨機“亮”出正反面，求乙收益的期望.（2）因為各自“亮”出正反面，而不是拋出正反面，所以可以限制“亮”出正面或反面的頻率(假設(shè)進(jìn)行多次嬉戲，頻率可以代替概率)，因此雙方就面臨競爭策略的博弈.甲?乙可以依據(jù)對手出正面的概率調(diào)整自己出正面的概率，進(jìn)而增加自己贏得收益的期望，以收益的期望為決策依據(jù)，甲?乙各自應(yīng)當(dāng)如何選擇“亮”出正面的概率，才能讓結(jié)果對自己最有利？并分析嬉戲規(guī)則是否公允.45．（2024·重慶·西南高校附中高三開學(xué)考試）“T2鉆石聯(lián)賽”是世界乒聯(lián)推出一種新型乒乓球賽事，其賽制如下：采納七局四勝制，競賽過程中可能出現(xiàn)兩種模式：“常規(guī)模式”和“FAST5模式”.在前24分鐘內(nèi)進(jìn)行的常規(guī)模式中，每小局競賽均為11分制，領(lǐng)先拿滿11分的選手贏得該局；假如兩名球員在24分鐘內(nèi)都沒有人贏得4局競賽，那么將進(jìn)入“FAST5”模式，“FAST5”模式為5分制的小局競賽，領(lǐng)先拿滿5分的選手贏得該局.24分鐘計時后起先的全部小局均采納“FAST5”模式.某位選手領(lǐng)先在7局競賽中拿下4局，競賽結(jié)束.現(xiàn)有甲、乙兩位選手進(jìn)行競賽，經(jīng)統(tǒng)計分析甲、乙之間以往競賽數(shù)據(jù)發(fā)覺，24分鐘內(nèi)甲、乙可以完整打滿2局或3局，且在11分制競賽中，每局甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為；在“FAST5”模式，每局競賽雙方獲勝的概率都為，每局競賽結(jié)果相互獨立.（Ⅰ）求4局競賽決出輸贏的概率；（Ⅱ）設(shè)在24分鐘內(nèi)，甲、乙競賽了3局，競賽結(jié)束時，甲乙總共進(jìn)行的局?jǐn)?shù)記為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.46．（2024·江西南昌·三模（理））高爾頓板是英國生物統(tǒng)計學(xué)家高爾頓設(shè)計用來探討隨機現(xiàn)象的模型，在一塊木板上釘著若干排相互平行但相互錯開的圓柱形小木塊，小木塊之間留有適當(dāng)?shù)目障蹲鳛橥ǖ?，前面擋有一塊玻璃，讓一個小球從高爾頓板上方的通道口落下，小球在下落的過程中與層層小木塊碰撞，且等可能向左或向右滾下，最終掉入高爾頓板下方的某一球槽內(nèi).如圖1所示的高爾頓板有7層小木塊，小球從通道口落下，第一次與第2層中間的小木塊碰撞，以的概率向左或向右滾下，依次經(jīng)過6次與小木塊碰撞，最終掉入編號為1，2，…，7的球槽內(nèi).例如小球要掉入3號球槽，則在6次碰撞中有2次向右4次向左滾下.（1）如圖1，進(jìn)行一次高爾頓板試驗，求小球落入5號球槽的概率；（2）小紅?小明同學(xué)在探討了高爾頓板后，利用高爾頓板來到社團(tuán)文化節(jié)上進(jìn)行盈利性“抽獎”活動.小紅運用圖1所示的高爾頓板，付費6元可以玩一次嬉戲，小球掉入m號球槽得到的獎金為元，其中.小明改進(jìn)了高爾頓板(如圖2)，首先將小木塊削減成5層，然后使小球在下落的過程中與小木塊碰撞時，有的概率向左，的概率向右滾下，最終掉入編號為1，2，……，5的球槽內(nèi)，改進(jìn)高爾頓板后只需付費4元就可以玩一次嬉戲，小球掉入n號球槽得到的獎金為元，其中.兩位同學(xué)的高爾頓板嬉戲火爆進(jìn)行，許多同學(xué)參與了嬉戲，你覺得小紅和小明同學(xué)誰的盈利多？請說明理由.47．（2024·湖南·長郡中學(xué)高三月考）一支擔(dān)負(fù)勘探任務(wù)的隊伍有若干個勘探小組和兩類勘探人員，甲類人員應(yīng)用某種新型勘探技術(shù)的精準(zhǔn)率為0.6，乙