2025版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)10年高考真題分類題組13數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入

專題十三數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入考點(diǎn)一復(fù)數(shù)的概念1.(2024課標(biāo)Ⅱ文,2,5分)設(shè)z=i(2+i),則z=()A.1+2iB.-1+2iC.1-2iD.-1-2i答案D本題主要考查復(fù)數(shù)的有關(guān)概念及復(fù)數(shù)的運(yùn)算;考查學(xué)生的運(yùn)算求解實(shí)力;考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).∵z=i(2+i)=2i+i2=-1+2i,∴z=-1-2i,故選D.解題關(guān)鍵正確理解共軛復(fù)數(shù)的概念是求解的關(guān)鍵.2.(2017課標(biāo)Ⅲ文,2,5分)復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)z=i(-2+i)的點(diǎn)位于()A.第一象限B.其次象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限答案Cz=i(-2+i)=-2i+i2=-2i-1=-1-2i,所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(-1,-2),位于第三象限.故選C.3.(2017北京理,2,5分)若復(fù)數(shù)(1-i)(a+i)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在其次象限,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.(-∞,1)B.(-∞,-1)C.(1,+∞)D.(-1,+∞)答案B本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算.∵復(fù)數(shù)(1-i)(a+i)=a+1+(1-a)i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在其次象限,∴a+1<0,4.(2017課標(biāo)Ⅲ理,2,5分)設(shè)復(fù)數(shù)z滿意(1+i)z=2i,則|z|=()A.12B.22C.2答案C本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算及復(fù)數(shù)的模.∵(1+i)z=2i,∴z=2i1+i=2i(1∴|z|=12+1一題多解∵(1+i)z=2i,∴|1+i|·|z|=|2i|,即12+125.(2017課標(biāo)Ⅰ文,3,5分)下列各式的運(yùn)算結(jié)果為純虛數(shù)的是()A.i(1+i)2B.i2(1-i)C.(1+i)2D.i(1+i)答案C本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算和純虛數(shù)的定義.A.i(1+i)2=i×2i=-2;B.i2(1-i)=-(1-i)=-1+i;C.(1+i)2=2i;D.i(1+i)=-1+i,故選C.6.(2016課標(biāo)Ⅰ文,2,5分)設(shè)(1+2i)(a+i)的實(shí)部與虛部相等,其中a為實(shí)數(shù),則a=()A.-3B.-2C.2D.3答案A∵(1+2i)(a+i)=(a-2)+(2a+1)i,∴a-2=2a+1,解得a=-3,故選A.解后反思將復(fù)數(shù)化為x+yi(x,y∈R)的形式,然后建立方程是解決問題的關(guān)鍵.評(píng)析本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算及復(fù)數(shù)的有關(guān)概念,將復(fù)數(shù)化為x+yi(x,y∈R)的形式是解題關(guān)鍵.7.(2016課標(biāo)Ⅱ文,2,5分)設(shè)復(fù)數(shù)z滿意z+i=3-i,則z=()A.-1+2iB.1-2iC.3+2iD.3-2i答案Cz=3-2i,所以z=3+2i,故選C.8.(2016課標(biāo)Ⅲ文,2,5分)若z=4+3i,則z|z|A.1B.-1C.45+35iD.45答案D由z=4+3i得|z|=32+42=5,z=4-3i,則z|z|9.(2016山東理,1,5分)若復(fù)數(shù)z滿意2z+z=3-2i,其中i為虛數(shù)單位,則z=()A.1+2iB.1-2iC.-1+2iD.-1-2i答案B設(shè)z=a+bi(a,b∈R),則2z+z=2(a+bi)+a-bi=3a+bi=3-2i,∴a=1,b=-2,∴z=1-2i,故選B.10.(2015安徽理,1,5分)設(shè)i是虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)2i1-i在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于A.第一象限B.其次象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限答案B∵2i1-i=2i(1+i)2=-1+i,∴復(fù)數(shù)11.(2015課標(biāo)Ⅰ理,1,5分)設(shè)復(fù)數(shù)z滿意1+z1-z=i,A.1B.2C.3D.2答案A由已知1+z1-z=i,可得z=i-1i+112.(2015湖北理,1,5分)i為虛數(shù)單位,i607的共軛復(fù)數(shù)····為(A.iB.-iC.1D.-1答案A∵i607=i4×151+3=(i4)151·i3=-i,∴i607的共軛復(fù)數(shù)為i.13.(2014課標(biāo)Ⅱ理,2,5分)設(shè)復(fù)數(shù)z1,z2在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱,z1=2+i,則z1z2=()A.-5B.5C.-4+iD.-4-i答案A由題意得z2=-2+i,∴z1z2=(2+i)(-2+i)=-5,故選A.14.(2014重慶理,1,5分)復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)i(1-2i)的點(diǎn)位于()A.第一象限B.其次象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限答案Ai(1-2i)=i-2i2=2+i,對(duì)應(yīng)復(fù)平面上的點(diǎn)為(2,1),在第一象限.選A.15.(2014課標(biāo)Ⅰ文,3,5分)設(shè)z=11+i+i,則|z|=(A.12B.22C.3答案Bz=11+i+i=1-i2+i=12+12i,因此|z|=1216.(2013課標(biāo)Ⅰ理,2,5分)若復(fù)數(shù)z滿意(3-4i)z=|4+3i|,則z的虛部為()A.-4B.-45C.4D.答案D∵|4+3i|=42+32=5,∴z=53-4i=5(3+4i)17.(2013課標(biāo)Ⅱ文,2,5分)21+i=(A.22B.2C.2D.1答案C21+i=2(1-i18.(2012課標(biāo)理,3,5分)下面是關(guān)于復(fù)數(shù)z=2-1+ip1:|z|=2,p2:z2=2i,p3:z的共軛復(fù)數(shù)為1+i,p4:z的虛部為-1.其中的真命題為()A.p2,p3B.p1,p2C.p2,p4D.p3,p4答案Cz=2-1+i=2(-1-i)(-1+i)(-1-i)=-1-i,所以|z|=2,p1為假命題;z2=(-1-i)2=(1+i)2評(píng)析本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算及復(fù)數(shù)的性質(zhì),考查了運(yùn)算求解實(shí)力.19.(2012課標(biāo)文,2,5分)復(fù)數(shù)z=-3+i2+i的共軛復(fù)數(shù)是(A.2+iB.2-iC.-1+iD.-1-i答案Dz=-3+i2+i=(-3+i)(2-i評(píng)析本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算,易忽視共軛復(fù)數(shù)而錯(cuò)選.20.(2011課標(biāo)理,1,5分)復(fù)數(shù)2+i1-2i的共軛復(fù)數(shù)是A.-35iB.35iC.-i答案C2+i1-2i=(2+i)(評(píng)析本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算和共軛復(fù)數(shù)的概念,屬簡單題.21.(2024天津理,9,5分)i是虛數(shù)單位,則5-i1+i答案13解析本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算,以復(fù)數(shù)的模為背景考查學(xué)生的運(yùn)算求解實(shí)力.5-i1+i=(5-i)(小題巧解5-i1+i=|5-22.(2024江蘇,2,5分)已知復(fù)數(shù)(a+2i)(1+i)的實(shí)部為0,其中i為虛數(shù)單位,則實(shí)數(shù)a的值是.

答案2解析本題考查了復(fù)數(shù)的概念及運(yùn)算,考查了學(xué)生的運(yùn)算求解實(shí)力,考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)運(yùn)算.∵(a+2i)(1+i)=(a-2)+(a+2)i的實(shí)部為0,∴a-2=0,解得a=2.解題關(guān)鍵駕馭復(fù)數(shù)的有關(guān)概念及代數(shù)形式的四則運(yùn)算是解題的關(guān)鍵.23.(2017江蘇,2,5分)已知復(fù)數(shù)z=(1+i)(1+2i),其中i是虛數(shù)單位,則z的模是.

答案10解析本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算.∵z=(1+i)(1+2i)=1+2i+i+2i2=3i-1,∴|z|=32+(-24.(2016江蘇,2,5分)復(fù)數(shù)z=(1+2i)(3-i),其中i為虛數(shù)單位,則z的實(shí)部是.

答案5解析(1+2i)(3-i)=3+5i-2i2=5+5i,所以z的實(shí)部為5.25.(2016北京理,9,5分)設(shè)a∈R.若復(fù)數(shù)(1+i)(a+i)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于實(shí)軸上,則a=.

答案-1解析(1+i)(a+i)=(a-1)+(a+1)i,∵a∈R,該復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于實(shí)軸上,∴a+1=0,∴a=-1.26.(2015天津,9,5分)i是虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù)(1-2i)(a+i)是純虛數(shù),則實(shí)數(shù)a的值為.

答案-2解析∵(1-2i)(a+i)=2+a+(1-2a)i為純虛數(shù),∴1-227.(2015江蘇,3,5分)設(shè)復(fù)數(shù)z滿意z2=3+4i(i是虛數(shù)單位),則z的模為.

答案5解析設(shè)z=a+bi(a,b∈R),則z2=a2-b2+2abi,由復(fù)數(shù)相等的定義得a解得a=2,從而|z|=a2+b28.(2015重慶理,11,5分)設(shè)復(fù)數(shù)a+bi(a,b∈R)的模為3,則(a+bi)(a-bi)=.

答案3解析復(fù)數(shù)a+bi(a,b∈R)的模為a2+b2=3,則a2+b2=3,則(a+bi)(a-bi)=a2-(bi)2=a2-b2·i2=a考點(diǎn)二復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算1.(2024課標(biāo)Ⅰ文,2,5分)若z=1+2i+i3,則|z|=()A.0B.1C.2D.2答案C∵z=1+2i+i3=1+2i-i=1+i,∴|z|=|1+i|=12+12=2.(2024課標(biāo)Ⅱ文,2,5分)(1-i)4=()A.-4B.4C.-4iD.4i答案A(1-i)4=[(1-i)2]2=(-2i)2=4i2=-4,故選A.3.(2024課標(biāo)Ⅲ文,2,5分)若z(1+i)=1-i,則z=()A.1-iB.1+iC.-iD.i答案D∵z(1+i)=1-i,∴z=1-i1+i=(1-4.(2024課標(biāo)Ⅰ文,1,5分)設(shè)z=3-i1+2i,則A.2B.3C.2D.1答案C本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算;考查了運(yùn)算求解實(shí)力;考查的核心素養(yǎng)為數(shù)學(xué)運(yùn)算.∵z=3-i=3-7i+2i21-(2i∴|z|=152+-7易錯(cuò)警示易將i2誤算為1,導(dǎo)致計(jì)算出錯(cuò).5.(2024課標(biāo)Ⅰ,理1,文2,5分)設(shè)z=1-i1+i+2i,則A.0B.12C.1D.答案C本題主要考查復(fù)數(shù)的相關(guān)概念及復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算.∵z=(1-i)26.(2024課標(biāo)Ⅱ理,1,5分)1+2i1-2iA.-45-35iB.-45C.-35-45iD.-35答案D本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算.1+2i1-2i=(1+2i)2(1-7.(2024課標(biāo)Ⅱ文,1,5分)i(2+3i)=()A.3-2iB.3+2iC.-3-2iD.-3+2i答案D本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算.i(2+3i)=2i-3=-3+2i,故選D.8.(2024北京理,2,5分)在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)11-i的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于A.第一象限B.其次象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限答案D本題主要考查復(fù)數(shù)的概念、運(yùn)算和幾何意義.∵11-i=1+i(1-i)(1+i)=12+12i,∴其共軛復(fù)數(shù)為12-9.(2017課標(biāo)Ⅱ理,1,5分)3+i1+i=(A.1+2iB.1-2iC.2+iD.2-i答案D本題主要考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算.3+i1+i=(3+i)(1-10.(2017課標(biāo)Ⅱ文,2,5分)(1+i)(2+i)=()A.1-iB.1+3iC.3+iD.3+3i答案B本題考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算.(1+i)(2+i)=2+i+2i+i2=1+3i.故選B.11.(2017山東文,2,5分)已知i是虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù)z滿意zi=1+i,則z2=()A.-2iB.2iC.-2D.2答案A本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算.由zi=1+i得z=1+ii所以z2=(1-i)2=-2i,故選A.12.(2016北京文,2,5分)復(fù)數(shù)1+2i2-iA.iB.1+iC.-iD.1-i答案A1+2i2-i=(1+2i)(2+i)13.(2015課標(biāo)Ⅱ理,2,5分)若a為實(shí)數(shù),且(2+ai)(a-2i)=-4i,則a=()A.-1B.0C.1D.2答案B∵(2+ai)(a-2i)=-4i?4a+(a2-4)i=-4i,∴4a=014.(2015課標(biāo)Ⅰ文,3,5分)已知復(fù)數(shù)z滿意(z-1)i=1+i,則z=()A.-2-iB.-2+iC.2-iD.2+i答案C由已知得z=1+ii+1=2-i,故選15.(2015課標(biāo)Ⅱ文,2,5分)若a為實(shí)數(shù),且2+ai1+i=3+i,則A.-4B.-3C.3D.4答案D由已知得2+ai=(1+i)(3+i)=2+4i,所以a=4,故選D.16.(2015安徽文,1,5分)設(shè)i是虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)(1-i)(1+2i)=()A.3+3iB.-1+3iC.3+iD.-1+i答案C(1-i)(1+2i)=1+2i-i-2i2=3+i.17.(2015湖南文,1,5分)已知(1-i)2z=1+i(iA.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i答案Dz=(1-i)21+i=18.(2014課標(biāo)Ⅰ理,2,5分)(1+i)3A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i答案D(1+i)3(1-i)219.(2014課標(biāo)Ⅱ文,2,5分)1+3i1-iA.1+2iB.-1+2iC.1-2iD.-1-2i答案B1+3i1-i=(1+3i)(20.(2013課標(biāo)Ⅱ理,2,5分)設(shè)復(fù)數(shù)z滿意(1-i)z=2i,則z=()A.-1+iB.-1-iC.1+iD.1-i答