四川省蓉城名校聯(lián)盟2024-2025學年高三數(shù)學上學期入學聯(lián)考試題理含解析

四川省蓉城名校聯(lián)盟2024-2025學年高三數(shù)學上學期入學聯(lián)考試題（理）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知復數(shù)，則（）．A．1 B．2 C． D．2．已知集合，，且，則a＝（）．A．0或 B．0或1 C．1或 D．03．若角的終邊與單位圓的交點為，則（）．A． B． C． D．4．設向量，，則“與同向”的充要條件是（）．A． B． C． D．5．在中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，，，則b＝（）．A．8 B．6 C．5 D．36．已知實數(shù)x，y滿意約束條件，則的最大值為（）．A． B． C． D．37．將3名醫(yī)護人員，6名志愿者分成3個小組，分別支配到甲、乙、丙三個新增便民核酸采樣點參與核酸檢測相關工作，每個小組由1名醫(yī)護人員和2名志愿者組成，則不同的支配方案共有（）．A．90種 B．540種 C．1620種 D．3240種8．折扇是我國傳統(tǒng)文化的持續(xù)，在我國已有四千年左右的歷史，“扇”與“善”諧音，折扇也寓意“和善”“善行”．它常以字畫的形式體現(xiàn)我國的傳統(tǒng)文化，也是運籌帷幄、決勝千里、智勇雙全的象征（如圖1），圖2為其結構簡化圖，設扇面A，B間的圓弧長為l，AB間的弦長為d，圓弧所對的圓心角為（為弧度角），則l、d和所滿意的恒等關系為（）． B．C． D．9．定義在R上的偶函數(shù)滿意，且當時，，則（）．A．0 B．1 C． D．310．的綻開式中的常數(shù)項為（）．A．240 B． C．400 D．8011．如圖，點A，B，C在球心為O的球面上，已知，，，球O的表面積為，下列說法正確的是（）．A．B．平面平面OBCC．OB與平面ABC所成角的正弦值為D．平面OAB與平面ABC所成角的余弦值為12．對于三個不等式：①；②；③（；）．其中正確不等式的個數(shù)為（）．A．0 B．1 C．2 D．3二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．四川省將于2024年秋季啟動實施新高考綜合改革，某校開展“新高考”動員大會，參會的有100名老師，1500名學生，1000名家長，為了解大家對推行“新高考”的認可程度，現(xiàn)采納分層抽樣調查，抽取了一個容量為n的樣本，其中老師與家長共抽取了55名，則n＝______．14．若曲線在點處的切線平行于x軸，則a＝______．15．如圖為陜西博物館保藏的國寶一唐·金筐寶鈿團化紋金杯，杯身曲線內收，玲瓏嬌美，巧奪天工，是唐朝金銀細作的典范之作．該杯的主體部分可以近似看作是雙曲線的部分的旋轉體．若該雙曲線上存在點P，使得直線PA，PB（點A，B為雙曲線的左、右頂點）的斜率之和為4，則該雙曲線離心率的取值范圍為______．16．已知點P是棱長為2的正方體的表面上一個動點，若使的點P的軌跡長度為a；使直線平面的點P的軌跡長度為b；使直線AP與平面ABCD所成的角為45°的點P的軌跡長度為c．則a，b，c的大小關系為______．（用“＜”符號連接）三、解答題：共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17～21題為必考題，每個試題考生都必需作答．第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17．（12分）已知數(shù)列中，，點對隨意的，都有，數(shù)列滿意，其中為的前n項和．（1）求的通項公式；（2）求數(shù)列的前n項和．18．（12分）致敬百年，讀書筑夢，某學校組織全校學生參與“學黨史頌黨恩，黨史網絡學問競賽”活動，并從中抽取100位學生的競賽成果作為樣本進行統(tǒng)計，得到如圖所示的頻率分布直方圖．規(guī)定：成果在內為優(yōu)秀，成果低于60分為不及格．（1）求a的值，并用樣本估算總體，能否認為該校參與本活動的學生成果符合“不及格的人數(shù)低于20％”的要求；（2）若樣本中成果優(yōu)秀的男生為5人，現(xiàn)從樣本的優(yōu)秀答卷中隨機選取3份作進一步分析，求其中至少有1份是男生的概率．19．（12分）如圖所示，在四棱柱中，側棱底面ABCD，，，，，點E為棱的中點，點M為線段的中點．（1）求證：平面；（2）求二面角的正弦值．20．（12分）直線l在x軸上的截距為且交拋物線于A，B兩點，點O為拋物線的頂點，過點A，B分別作拋物線對稱軸的平行線與直線交于C，D兩點．（1）當時，求的大?。唬?）摸索究直線AD與直線BC的交點是否為定點，若是，懇求出該定點并證明；若不是，請說明理由；（3）分別過點A，B作拋物線的切線，求兩條切線的交點的軌跡方程．21．（12分）已知函數(shù)．（1）當時，求證：；（2）當時，已知，是兩個不相等的正數(shù)且，求證：．（二）選考題：共10分．請考生在22、23題中任選一題作答，假如多做，則按所做的第一題計分．22．[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]（10分）如圖，在極坐標系Ox中，點，曲線M是以OA為直徑，為圓心的半圓，點B在曲線M上，四邊形OBCD是正方形．（1）當時，求B，C兩點的極坐標；（2）當點B在曲線M上運動時，求D點軌跡的極坐標方程．23．[選修4-5；不等式選講]（10分）已知函數(shù)．（1）求不等式的解集；（2）若關于x的不等式有解，求實數(shù)a的取值范圍．蓉城名校聯(lián)盟2024～2024學年度上期中學2024級入學聯(lián)考理科數(shù)學參考答案及評分標準一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．123456789101112DABACDBACDCD1．解：，∴，故選D．2．解：∵，∴或，∴或，又由于集合元素的互異性，應舍去1，故選A．3．解：，故選B．4．解：，其中同向，反向，故選A．5．解：∵，∴，由正弦定理得，故選C．6．解：如圖，由，，三點組成的平面區(qū)域為可行域，表示可行域內過與原點的直線的斜率，最優(yōu)解為點，故的最大值為3，故選D．7．解：第一步，醫(yī)護人員的支配方案有種，其次步，志愿者的支配方案有種，∴不同的支配方案共有種，故選B．8．解：如圖，由弧長公式，得，在直角三角形中，化簡得，故選A．9．解：∵定義在R上的偶函數(shù)滿意，∴關于，對稱，∴是周期為4的函數(shù)，∴，故選C．10．解：第一步，關于的綻開式，依據(jù)二項式的綻開式的應用：，令，，得，令，，得，其次步，原式的常數(shù)項為，故選D．11．解：如圖，圖一 圖二由已知中，平面ABC（點為AC中點），，A選項，如圖二，，不成立；B選項，如圖二，假設面面垂直，過點C作OB垂線，則該垂線垂直平面OAB，不成立；C選項，如圖一，OB與平面ABC所成角為，得，成立；D選項，如圖二，，不成立．綜上，故選C．（另解：本題也可以B為原點建立空間直角坐標系計算平面法向量和直線的方向向量來計算驗證．）12．解：選項①：，故①正確；選項②：，，或，故②正確；選項③：，由（時等號成立）得，∴，故③正確，綜上可知選D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．130解：由，得，故填130．14．1解：由已知，得，解得，符合題意，∴，故填1．15．解：設點，其中，易知點，，且有，則，，當點P在第一象限時，，，則，，且，由基本不等式可得，∵存在點P，使得直線PA，PB的斜率之和為4，則，即，∴，故填．16．解：若點P到點A的距離為2，則點P的軌跡為球的表面與正方體交軌，在平面ABCD內，P的軌跡為以A為圓心，2為半徑的圓弧，由對稱性知，這樣的圓弧同樣在平面內和平面內，故P的軌跡長度；若平面，則點P的軌跡為過點A且平行于平面的平面與正方體交軌，而平面平面，所以點P的軌跡長度為三角形的周長（除掉A點，不影響周長），故，若直線AP與平面ABCD所成的角為45°，則點P的軌跡為圓錐的側面與正方體交軌，在平面內，點P的軌跡為對角線（除掉A點，不影響）；在平面內，點P的軌跡為對角線（除掉A點，不影響）；在平面內是以點為圓心2為半徑的圓弧，如圖，故點P的軌跡長度為，∵，∴，即．故填．三、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（12分）解：（1）∵，可得，∴是公差為2的等差數(shù)列，∴，．（2），∴，∴．18．（12分）解：（1），解得，成果不及格的頻率為，∴“成果不及格”的概率估計值為21％，∵21％＞20％，∴不能認為該校參與本活動的學生成果符合“不及格的人數(shù)低于20％”的要求．（2）法一：由（1）可知樣本中成果優(yōu)秀有20人，其中男生5人，故女生15人，記事務A＝“從樣本的優(yōu)秀答卷中隨機選取3份作進一步分析，求其中至少有1份是男生”，則，∴所求概率為．法二：由（1）可知樣本中成果優(yōu)秀的有20人，其中男生5人，故女生15人，記事務A＝“從優(yōu)秀答卷中隨機選取3份，其中至少有1份是男生”，則“從優(yōu)秀答卷中隨機選取3份，全是女生”，則，∴，∴所求概率為．19．（12分）解：（1）法一：由已知在四棱柱中，側棱底面ABCD，得底面，∴， ①又易求，，，由勾股定理的逆定理得：， ②由①②，且，∴平面，∴平面．法二：如圖，建立空間直角坐標系，依據(jù)題意得，，，，，∴，即，且，而，∴，，∴平面．法三：∵，∴與確定一平面，∵點E為棱的中點，點M為線段的中點，∴平面與平面是同一平面，易得，，∴平面，即平面；（2）同（1）法二，建立空間直角坐標系，∵平面CAM與平面是同一平面，∴平面CAM的法向量，又，而，可求得平面的法向量，∴，∴二面角的正弦值為．20．（12分）解：（1）設直線l的方程為，聯(lián)立，得，設，，則，，當時，，，∵，∴，∴．（2）明顯，當軸時，由對稱性可知直線AD與直線BC交于原點，下面證明當AB斜率存在時，AD，BC也恒交于原點，由（1）知，，且此時，，，，∴，故O、A、D三點共線，同理O、B、C三點共線，∴直線AD與直線BC交于原點，綜上，直線AD與直線BC的交點恒為原點．（3）由（1）知，，拋物線在A，B兩點的切線方程分別為，，兩式相除消去y得，解得，∵，∴，∴兩條切線的交點的軌跡方程為．21．（12分）解：（1）當時，函數(shù)，∴，當時，，∴在上單調遞減，當時，，∴在上單調遞增，∴，即．（2）當時，函數(shù)，∴，當時，，∴在上單調遞增，當時，，∴在上單調遞減，依據(jù)題意不妨設，①先證明，即證，∵在上單調遞增，∴只需證，設，則，∵，，∴，，∴，在上單調遞減，∴由得，即得證，∴．②再證明，構造過函數(shù)的切線，過與兩點函數(shù)的割線，不妨設，設，，∴，，∴，∴單調遞增，∵得，單調遞增，∴得，∴得．設，，由（當?shù)厝〉龋?，得，則，∴得，∴得．由得，得，∴，∴．綜上得．22．（10分）解：（1）由題意知在中，，，∴，∴點B的極坐標為，在正方形OBCD中，，∴點C的極坐標為．（2）設，，且，由題可知曲線M的極坐標方程為，當時，O，B兩點重合，不合題意，∴點B的極坐標方