2025初中數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：截長補(bǔ)短模型的培優(yōu)綜合（解析版）

【暑假提升專題。2025初中數(shù)學(xué)截長補(bǔ)短模型的

培優(yōu)綜合（解析版）

1.截長補(bǔ)短模型的培優(yōu)綜合

目錄

【知識點(diǎn)歸納】...................................................................1

【考法一、截長型】..............................................................2

【考法二、補(bǔ)短型】..............................................................6

【課后練習(xí)】....................................................................11

【知識點(diǎn)歸納】

基本模型:

輔助線作法：（1）在N8上截取40=/。；

（2）把/C延長到點(diǎn)E,使48=ZE

結(jié)論：(1)因?yàn)槠椒諲A4C,且4D=NC,所以AZMD絲AZMC(SAS)；

(2)因?yàn)?/平分/A4C,S.AE=AB,所以AZA?也AZAffi(SAS)

補(bǔ)充說明：截長補(bǔ)短法，是初中幾何題中一種添加輔助線的方法，也是把幾何題化難為易的

一種策略.截長：在長線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等于另一條;

補(bǔ)短：將一條短線段延長，延長部分等于另一條短線段，然后證明新線段等于長線段.

【考法一、截長型】

例1.(基本模型)閱讀題：如圖1，0M平分以。為圓心任意長為半徑畫弧，交

射線CM,OB于C,。兩點(diǎn)，在射線上任取一點(diǎn)￡(點(diǎn)。除外)，連接CE,DE,可

證也△0DE,請你參考這個(gè)作全等的方法，解答下列問題：

(1)如圖2,在“3C中，NA=2NB,CD平分/ACB交4B于點(diǎn)D,試判斷BC與/C、

4D之間的數(shù)量關(guān)系；

(2)如圖3,在四邊形/BCD中，4c平分/BAD,BC=CD=10,48=20,AD=8,

求“BC的面積.

例2.(與坐標(biāo)系綜合)已知：在AASC中，ABAC=90°,AB=AC.將AABC按如圖所示

的位置放置在平面直角坐標(biāo)系中，使得點(diǎn)40,M落在了軸的負(fù)半軸上，使得點(diǎn)8(%0)落在X

軸的正半軸上，點(diǎn)C在第二象限，并且見"滿足+〃2+6〃z-8〃+25=0.

(1)由題意可知。4=,OB=(直接寫答案)；

(2)求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(3)的斜邊BC交V軸于。，直角邊ZC交X軸于￡.在/C上截取/尸=C￡,連接

DF.探究線段。尸、AD.BE的數(shù)量關(guān)系并證明你的結(jié)論.

例3.(培優(yōu)1)已知等腰4ABC中，AB=AC,點(diǎn)D在直線AB上，DE〃BC,交直線AC與點(diǎn)

E,且BD=BC,CHXAB,垂足為H.

圖1圖2圖3

(1)當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上時(shí)，如圖1,求證DH=BH+DE；

(2)當(dāng)點(diǎn)D在線段BA延長線上時(shí)，如圖2,當(dāng)點(diǎn)D在線段AB延長線上時(shí)，如圖3,直接

寫出。燈，BH,OE之間的數(shù)量關(guān)系，不需要證明.

例4.（培優(yōu)2）（1）如圖（1）,在四邊形4BC。中，AB=AD,ZB+ZD=\^O°,E,尸分別

是8C,C。上的動(dòng)點(diǎn)，且NE4F=；NBAD,求證：EF=BE+DF.

（2）如圖（2）,在（1）的條件下，當(dāng)點(diǎn)E,尸分別運(yùn)動(dòng)到8C,CD的延長線上時(shí)，EF,BE,DF

之間的數(shù)量關(guān)系是

圖⑴

【考法二、補(bǔ)短型】

例1.已知在四邊形ABCD中，ZABC+ZADC=180°,ZBAD+ZBCD=180°,AB=BC

(1)如圖1,連接BD,若NBAD=90。，AD=7,求DC的長度.

(2)如圖2,點(diǎn)P、Q分別在線段AD、DC上，滿足PQ=AP+CQ,求證：NPBQ=NABP

+ZQBC

(3)若點(diǎn)Q在DC的延長線上，點(diǎn)P在DA的延長線上，如圖3所示，仍然滿足PQ=AP+

CQ,請寫出/PBQ與/ADC的數(shù)量關(guān)系，并給出證明過程.

例2.(培優(yōu)1)本學(xué)期，我們學(xué)習(xí)了三角形相關(guān)知識，而四邊形的學(xué)習(xí)，我們一般通過輔助

線把四邊形轉(zhuǎn)化為三角形，通過三角形的基本性質(zhì)和全等來解決一些問題.

圖2圖3

(1)如圖1,在四邊形48co中，AB^AD,/8+/。=180。，連接/C.

①小明發(fā)現(xiàn)，此時(shí)4C平分N5CO.他通過觀察、實(shí)驗(yàn)，提出以下想法：延長C2到點(diǎn)E,

使得BE=CD,連接/E,證明△ABE/△4DC,從而利用全等和等腰三角形的性質(zhì)可以證

明/C平分N8CD.請你參考小明的想法，寫出完整的證明過程.

②如圖2,當(dāng)/胡。=90。時(shí)，請你判斷線段/C,BC,之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

(2)如圖3,等腰ACZ)E、等腰△48。的頂點(diǎn)分別為A、C,點(diǎn)8在線段CE上，且

ZABC+ZADC=^O°,請你判斷N7X4E與ND8E的數(shù)量關(guān)系，并證明.

例3.(培優(yōu)2)【模型呈現(xiàn)】

(1)如圖1,/BAD=90°,AB=AD,過點(diǎn)8作3C，/C于點(diǎn)C,過點(diǎn)。作于

點(diǎn)E.已知BC=2,DE=\,貝ijAD=.

【模型應(yīng)用】

(2)如圖2,在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)/在y軸上，點(diǎn)2、C在x軸上，NABO=30°,AB=2,

04=1,OB=OC.若點(diǎn)。在第一象限且滿足4。=盤，ZDAC=90°,線段交y軸于點(diǎn)

G,求線段8G的長.

(3)如圖3,在(2)的條件下，若在第四象限有一點(diǎn)E,滿足NBEC=NBDC.請直接寫

出BE、CE、NE之間的數(shù)量關(guān)系.

例4.(培優(yōu)3)已知，NPOQ=90°,分別在邊。P,上取點(diǎn)A,B,使。4=02,過點(diǎn)A

平行于的直線與過點(diǎn)8平行于。尸的直線相交于點(diǎn)C.點(diǎn)E,尸分別是射線0P,。。上

動(dòng)點(diǎn)，連接CE,CF,EF.

(1)求證：OA=OB=AC=BC；

(2)如圖1,當(dāng)點(diǎn)￡,廠分別在線段/。，30上，且NEC尸=45。時(shí)，請求出線段E尸，AE,

8尸之間的等量關(guān)系式；

(3)如圖2,當(dāng)點(diǎn)E,尸分別在4。，80的延長線上，且NEC/=135。時(shí)，延長/C交E尸

于點(diǎn)“，延長3C交E尸于點(diǎn)N.請猜想線段EN,NM,尸M之間的等量關(guān)系，并證明你

的結(jié)論.

【課后練習(xí)】

1.在“3c中，AE,CD為-3C的角平分線，AE,CD交于點(diǎn)、F.

(1)如圖1,若/3=60。.

①直接寫出N4FC的大?。?/p>

②求證：AC=AD+CE.

(2)若圖2,若￡)2=90°,求證：SAACF=S&AFD+SACEF+SADEF?

2.己知：如圖所示，直線MA〃NB,NK48與的平分線交于點(diǎn)C,過點(diǎn)C作一條直

線/與兩條直線M4、距分別相交于點(diǎn)。、E.

（D如圖1,當(dāng)直線/與直線M4垂直時(shí)，猜想線段BE、之間的數(shù)量關(guān)系，請直接寫

出結(jié)論，不用證明；

（2）當(dāng)直線/與直線不垂直，且交點(diǎn)。、E在AB的異側(cè)時(shí)，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？

如果成立，請說明理由；如果不成立，那么線段/D、BE、之間還存在某種數(shù)量關(guān)系嗎？

如果存在，請直接寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系；

⑶如圖2,當(dāng)直線與直線NS相交于點(diǎn)尸時(shí)，延長ZC,BC,分別交BN,于點(diǎn)E,

D,直線M4與直線沏所夾的銳角為多少度時(shí)，線段BE、N5之間仍滿足（1）間中的

數(shù)量關(guān)系？請說明理由.

3.例：截長補(bǔ)短法，是初中幾何題中一種添加輔助線的方法，也是把幾何題化難為易的一

種策略.截長就是在長邊上截取一條線段與某一短邊相等，補(bǔ)短就是通過延長或旋轉(zhuǎn)等方式

使兩條短邊拼合到一起，從而解決問題.

(1)如圖1,△48。是等邊三角形，點(diǎn)。是邊BC下方一點(diǎn)，ZBDC=120°,探索線段

DB、。。之間的數(shù)量關(guān)系.

解題思路:將△A8D繞點(diǎn)/逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到可得/￡=N￡>,CE=BD,/ABD=NACE,

ZDAE=60°,根據(jù)NA4C+N3DC=180°,可知/4RD+/NCD=180°,則ZACE+ZACD=180°,

易知△4DE是等邊三角形，所以從而解決問題.

根據(jù)上述解題思路，三條線段DB、DC之間的等量關(guān)系是；

(2)如圖2,必△48C中，ZBAC=90°,AB=AC.點(diǎn)。是邊3c下方一點(diǎn)，ZBDC=90°,探

索三條線段ZU、DB、DC之間的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

4.在△48C中，AB=AC,點(diǎn)。與點(diǎn)E分別在/2、ZC邊上，DE//BC,且DE=DB,點(diǎn)尸

與點(diǎn)G分別在BC、NC邊上，ZFDG=|ZBDE.

(1)如圖1,若/BDE=120°,。尸_LBC,點(diǎn)G與點(diǎn)C重合，BF=1,直接寫出3C=_；

(2)如圖2,當(dāng)G在線段EC上時(shí)，探究線段AF、EG、FG的數(shù)量關(guān)系，并給予證明；

(3)如圖3,當(dāng)G在線段/￡上時(shí)，直接寫出線段BEEG、FG的數(shù)量關(guān)系：_____________

C(G)B1-f

5.如圖，在等邊AABC中，BD=CE,連接AD、BE交于點(diǎn)F.

(1)求/AFE的度數(shù)；

(2)連接FC,若CF_LAD時(shí)，求證：BD=yDC.

6.如圖，^ABC中，AB=AC,NEAF=gNB4C,BF±AE于￡交4尸于點(diǎn)R連結(jié)CF.

(1)如圖1所示，當(dāng)NEAF在/"4C內(nèi)部時(shí)，求證：EF=BE+CF.

(2)如圖2所示，當(dāng)/E4F的邊AE,AF分別在/A4c外部、內(nèi)部時(shí)，求證：CF=3尸+23E.

7.如圖，在“BC中，44=45。.

K

(1)如圖1,若AC=6亞,BC=2岳,求AA8C的面積;

(2)如圖2,。為外的一點(diǎn)，連接CD,5。且CD=C8,ZABD=ZBCD.過點(diǎn)C作

CE_LZC交48的延長線于點(diǎn)E.求證：BD+2AB=42AC-

(3)如圖3,在(2)的條件下，作/P平分/C4E交CE于點(diǎn)P,過￡點(diǎn)作EM_L/尸交/P

的延長線于點(diǎn)點(diǎn)K為直線/C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接A/K,過Af點(diǎn)作〃K'_L"K,且始

終滿足WMK,連接NKL若NC=4,請直接寫出/K4MK，取得最小值時(shí)(/K，+〃K，)2

的值.

1.截長補(bǔ)短模型的培優(yōu)綜合

目錄

【知識點(diǎn)歸納】...................................................................1

【考法一、截長型】..............................................................2

【考法二、補(bǔ)短型】..............................................................9

【課后練習(xí)】....................................................................21

【知識點(diǎn)歸納】

基本模型:

輔助線作法：(1)在上截取40=/。；

(2)把/C延長到點(diǎn)E,使4g=ZE

結(jié)論：(1)因?yàn)槠椒?A4C,且40=4。，所以AZM)絲AZMC(SAS)；

(2)因?yàn)?/平分/A4C,S.AE=AB,所以AZA?也AZAffi(SAS)

補(bǔ)充說明：截長補(bǔ)短法，是初中幾何題中一種添加輔助線的方法，也是把幾何題化難為易的

一種策略.截長：在長線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等于另一條;

補(bǔ)短：將一條短線段延長，延長部分等于另一條短線段，然后證明新線段等于長線段.

【考法一、截長型】

例1.(基本模型)閱讀題：如圖1，平分//O3,以。為圓心任意長為半徑畫弧，交

射線CM,OB于C,。兩點(diǎn)，在射線上任取一點(diǎn)￡(點(diǎn)。除外)，連接CE,DE,可

證也△ODE,請你參考這個(gè)作全等的方法，解答下列問題：

(1)如圖2,在“3C中，NA=2NB,CD平分/ACB交4B于點(diǎn)D,試判斷BC與/C、

40之間的數(shù)量關(guān)系；

(2)如圖3,在四邊形/BCD中，4c平分/BAD,BC=CD=10,48=20,AD=8,

求“BC的面積.

【答案】(1)BC=AC+AD；(2)AABC的面積為80.

【分析】(1)在CB上截取CE=CA,則由題意可得AD=DE,NCED=/A,再結(jié)合NA=2/B可

得DE=BE,從而得到BC=AD+AC；

(2)在AB上截取AE=AD,連結(jié)CE,過C作CF_LAB于F點(diǎn)，由題意可得EC=BC,從而得到

EF的長度，再由勾股定理根據(jù)EC、EF的長度求得CF的長度，最后根據(jù)面積公式可以得到

解答.

【詳解】解：(1)如圖，在CB上截取CE=CA,則由題意得：△CADgZkCED,

；.AD=DE,ZCED=ZA,

VZA=2ZB,；./CED=2/B,

又/CED=NB+/EDB,NB+/EDB=2/B,

.\ZEDB=ZB,；.DE=BE,

BC=BE+CE=DE+CE=AD+AC；

(2)如圖，在AB上截取AE=AD,連結(jié)CE,過C作CF_LAB于F點(diǎn),

由題意可得：△CDA0Z\CEA,

/.EC=CD=BC=10,AE=AD=8,

VCF±AB,

CF=yjEC2-EF2=A/102-62=8>

S,Br=—ABxCF=—x20x8=80.

"c22

【點(diǎn)睛】本題考查三角形全等的綜合運(yùn)用，熟練掌握三角形全等的判定和性質(zhì)、等腰三角形

的判定和性質(zhì)、勾股定理是解題關(guān)鍵.

例2.(與坐標(biāo)系綜合)已知：在。6c中，ABAC=90°,AB^AC.將“按如圖所示

的位置放置在平面直角坐標(biāo)系中，使得點(diǎn)40,加)落在了軸的負(fù)半軸上，使得點(diǎn)8(”,0)落在x

軸的正半軸上，點(diǎn)C在第二象限，并且加，〃滿足/+〃2+6機(jī)-8〃+25=0.

(1)由題意可知。/=，OB=(直接寫答案)；

(2)求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(3)“BC的斜邊8C交〉軸于。，直角邊/C交x軸于￡.在/C上截取4B=CE,連接

DF.探究線段DRAD、8E的數(shù)量關(guān)系并證明你的結(jié)論.

【答案】(1)3,4；(2)C(-3,l)；(3)BE=DF+AD,理由見解析

【分析】(1)由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出m,n即可；

(2)如圖，作CH_Ly軸于點(diǎn)H,只要證明△ACH四△BAO即可解決問題；

(3)在OB上取一點(diǎn)K,使得OK=DH,則△CHDgZXAOK,再證明DF=EK,AD=BK即可解決

問題.

【詳解】解：（1）V

m2+1+6〃z-8〃+25=0(m+3)2+(?-4)2=0,

V(m+3)2>0,(n-4)2>0,

m=-3,〃=4,

???/(0,—3),8(4,0)

AOA=3,OB=4,

故答案為：3,4

(2)如圖，作CH_Ly軸于點(diǎn)H,

?.?ZCHA=ZAOB=ZCAB=90°,

.,.ZCAH+ZACH=90°,ZCAH+ZBAO=90°,

.,.ZACH=ZBAO,

VAC=BC,

.?.△ACH四△BAO,

.\AH=OB=4,CH=OA=3,

/.OH=1,

???C(-3,l)

(3)結(jié)論為：BE=DF+AD

理由：如圖，在OB上取一點(diǎn)K,使得OK二DH,

VCH=OA,ZCHD=ZAOK=90°,DH=OK,

.'.△CHD^AAOK(SAS),

ACD=AK,

VAD=BK,AB=AC,

.'.△AKB^ACDA(SSS),

AZKAB=ZACD=45O,

.\ZEAK=45°=ZFCD,

VCE=AF,

/.CF=AE,

VCD=AK,

AACDF^AAKE(SAS)

ADF=KE,

VBE=EK+BK,

?'?BE=DF+AD

【點(diǎn)睛】本題考查三角形綜合題、等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、非負(fù)

數(shù)的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考

壓軸題.

例3.（培優(yōu)1）已知等腰4ABC中，AB=AC,點(diǎn)D在直線AB上，DE〃BC,交直線AC與點(diǎn)

E,且BD=BC,CH_LAB,垂足為H.

圖1圖2圖3

（1）當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上時(shí)，如圖1,求證DH=BH+DE；

（2）當(dāng)點(diǎn)D在線段BA延長線上時(shí)，如圖2,當(dāng)點(diǎn)D在線段AB延長線上時(shí)，如圖3,直接

寫出。燈，BH,OE之間的數(shù)量關(guān)系，不需要證明.

【答案】（1）見詳解；（2）圖2：DH=BH-DE,圖3：DE=DH+BH

【分析】（1）在線段上截取,連接CW,CD,證明C段△￡>￡€1,可得

到。E=即可求解.

（2）當(dāng)點(diǎn)。在線段氏4延長線上時(shí)，在胡的延長線上截取,連接CM,DC,

由題意可證且△。加，可得=由題意可得，即可證

△DMC%ADEC,可得?！陝t可得當(dāng)點(diǎn)。在線段43延長線上時(shí),

在線段48上截取=,連接CM,CD,由題意可證△BHC*ZXCAM,可得

NB=NCMB,由題意可得ZB=AAED,即可證ADMC名△DEC,可得DE=DM,則可得

DE=DH+BH.

【詳解】解：（工）證明：在線段/〃上截取以心=8H,連接CM,CD

A

：.CM=BC

：./B=/CMB

???AB=AC

：.NB=ZACB

?；DEHBC

：.AADE=AB=ZAED=ZACB,NCDE=/BCD

：.ZAED=/BMC

：.ZDEC=ZDMC

???BD=BC

：.ABDC=ZBCD=ZEDC

???CD=CD

：.ACDM必CDE

???DM=DE

：.BH+DE=DM+HM=DH

(2)當(dāng)點(diǎn)。在線段24延長線上時(shí)，DH=BH-DE

如圖2：在24的延長線上截取MH=5",連接CM,DC

：./ABC=ZACB

???BD=BC

：.ZBDC=ZDCB

???DEHBC

:?NE=/ACB=/B=/EDB

VCH=CH,BH=MH,ZBHC=ZCHM

ABHCdCHM

：./B=/M

：.ZE=NM

VZMDC=ZB+ZDCB,ZEDC=ZBDC+ZEDB

：.ZMDC=ZEDC

又，：4E=/M,DC=CD

：./\DEC^ADMC

：.DE=DM

DH=MH-DM

：.DH=BH-DE

當(dāng)點(diǎn)Z）在線段延長線上時(shí)，DE=DH+BH

如圖3：當(dāng)點(diǎn)。在線段ZB延長線上時(shí)，在線段45上截取=，連接。0,CD

A

圖3

,:BH=HM,CH=CH,ZCHB=ZMHC=90°

：./^MHC^BHC

：.ZABC=ZBMC

AB=AC

：.ZABC=ZACB

,：BD=BC,：.ZBDC=ZBCD

???BCHDE

：./BCD=ZCDE,ZACB=ZAED

：./BDC=ZCDE,ABMC=ZAED,且CD=CO,/.ACDM^ACDE,DE=DM

9：DM=DH+HM

：.DE=DH+BH

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形綜合題，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，合

理添加輔助線證全等是解題的關(guān)鍵.

例4.（培優(yōu)2）（1）如圖（1）,在四邊形48co中，AB=AD,ZB+ZD=1^Q°,E,尸分別

是8C,CD上的動(dòng)點(diǎn)，且N&4尸=；/歷1。，求證：EF=BE+DF.

（2）如圖（2）,在（1）的條件下，當(dāng)點(diǎn)E,尸分別運(yùn)動(dòng)到3C,。的延長線上時(shí)，EF,BE,DF

之間的數(shù)量關(guān)系是.

圖（1）圖（2）

【答案】（1）詳見解析；（2）EF=BE-DF

【分析】（1）延長ED到點(diǎn)G,使DG=BE,連接/G,先證明A4BE會(huì)A4DG（S/S）,得到

AE=AG,NBAE=NDAG,然后證明A4EF絲A4GF,得到￡尸=尸G,根據(jù)

FG=DG+DF=BE+DF,可得EF=B￡+Z）F；

（2）在8C上截取8G=D尸，連接/G,先證明△ABGgZkADF（SAS）,得到AG=AF,

/BAG=/DAF,再證明4EAG絲△EAF（SAS）,得到EG=EF,根據(jù)BG=DF,即可得EF=BE-BG=BE-DF.

【詳解】（1）如圖，延長ED到點(diǎn)G,使DG=BE,連接NG.

???ZB+ZADF=ZADG+ZADF=180"，

:.ZB=ZADG,

XvAB=AD,BE=DG,

：.AABE2MDG(SAS),

AE=AG,ZBAE=ZDAG,

ZEAF=-ABAD,ZGAF=ZDAG+NDAF=ZBAE+ZDAF=ABAD-ZEAF=NEAF.

2

vAE=AG,ZEAF=ZGAF,AF=AF,

：.\AEF^\AGF,

EF=FG.

-：FG=DG+DF=BE+DF,

:.EF=BE+DF；

(2)EF=BE-DF.如圖，在6c上截取BG=Q7"連接/G,

圖(2)

???NB+ZADC=ZADC+ZADF=180°,/./B=ZADF，

AB=AD

在AABG和4ADF中=，.,.△ABG^AADF(SAS),

BG二DF

AAG=AF,ZBAG=ZDAF,ZBAD=2ZEAF,

ZBAG+ZGAE+ZEAD=ZEAD+ZDAF+ZEAD+ZDAF,ZGAE=ZEAF,

AG=AF

在AEAG和4EAF中=/，AAEAG^AEAF(SAS),AEG=EF,

AE=AE

VBG=DF,AEF=BE-BG=BE-DF.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握判定定理是解題關(guān)鍵.

【考法二、補(bǔ)短型】

例1.已知在四邊形ABCD中，ZABC+ZADC=180°,ZBAD+ZBCD=180°,AB=BC

(1)如圖1,連接BD,若NBAD=90。，AD=7,求DC的長度.

(2)如圖2,點(diǎn)P、Q分別在線段AD、DC上，滿足PQ=AP+CQ,求證：ZPBQ=ZABP

+ZQ.BC

(3)若點(diǎn)Q在DC的延長線上，點(diǎn)P在DA的延長線上，如圖3所示，仍然滿足PQ=AP+

CQ,請寫出/PBQ與/ADC的數(shù)量關(guān)系，并給出證明過程.

【答案】(1)OC=7；(2)見解析；(3)N尸3。=90。+；//DC,證明見解析

【分析】(1)根據(jù)已知條件得出ABOC為直角三角形，再根據(jù)HL證出放△艮1。多口與⑦，

從而證出。即可得出結(jié)論；

(2)如圖2,延長DC到K,使得CK=AP,連接BK,通過證4BPA名△BCK(SAS)得到：

Nl=/2,BP=BK.然后根據(jù)SSS證明得也,從而得出

NPBQ=N2+NCBQ=N1+NCBQ,然后得出結(jié)論；

(3)如圖3,在CD延長線上找一點(diǎn)K,使得KC=AP,連接BK,構(gòu)建全等三角形：ABPA^ABCK

(SAS),由該全等三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定定理SSS證得：△PBQg△BKQ,則其對

應(yīng)角相等：NPBQ=/KBQ,結(jié)合四邊形的內(nèi)角和是360。可以推得：ZPBQ=90°+1ZADC.

【詳解】(1)證明：如圖1,

ZBCD=ZBAD=90°,

在RtVBAD和RtABCD中，

jBD=BD

[AB^BC

：.RtABADmRtABCD(HL),

Z.AD=DC,

DC=7；

(2)如圖2,

延長。C至點(diǎn)K,使得CK=4P,連接BK

ZASC+ZADC=180°,

ZBAD+ZBCD=180°,

,：NBCD+NBCK=180°,

：.ABAD=ZBCK,

AP=CK,AB=BC,

：.△BPAHBCK(SAS),

???/l=/2,BP=BK,

VPQ=AP+CQ,QK=CK+CQ,

???PQ=QK,

VBP=BK,BQ=BQ,

??.△尸50之△BKQ(SSS),

AZPBQ=Z2+ZCBQ=Z\+ZCBQ,

.??ZPBQ=ZABP+ZQBC；

(3)ZPBQ=90°+^ZADC；

如圖3,在CD延長線上找一點(diǎn)K,使得KC=4P,連接BK,

,/ZABC-bZADC=180°,

???/BAD+/BCD=18。。,

???ZBAD+ZPAB=1^,

???ZPAB=/BCK,

在△⑼〃和中，

'AP=CK

</BAP=/BCK

AB=BC

：.LBPAm△BCK(SAS),

：.ZABP=ZCBK,BP=BK,

???ZPBK=/ABC,

?.?PQ=AP+CQ,

：.PQ=QK,

在△P80和△BK。中，

"BP=BK

<BQ=BQ

PQ=KQ

:CPBQABKQGSS),

：.ZPBQ=ZKBQ,

...2ZPBQ+ZPBK=2ZPBQ+/ABC=360°,

2ZPBQ+(180°-ZADC)=360°,

/尸30=90°+；//DC.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì).在應(yīng)用全等三角形的判定時(shí)，要注意三角形

間的公共邊和公共角，必要時(shí)添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形.

例2.（培優(yōu)1）本學(xué)期，我們學(xué)習(xí)了三角形相關(guān)知識，而四邊形的學(xué)習(xí)，我們一般通過輔助

線把四邊形轉(zhuǎn)化為三角形，通過三角形的基本性質(zhì)和全等來解決一些問題.

（1）如圖1,在四邊形48co中，AB=AD,/3+/。=180。，連接ZC.

①小明發(fā)現(xiàn)，此時(shí)/C平分4CZ）.他通過觀察、實(shí)驗(yàn)，提出以下想法：延長C5到點(diǎn)E,

使得BE=CD,連接/E,證明△/BE之從而利用全等和等腰三角形的性質(zhì)可以證

明4C平分N8CD.請你參考小明的想法，寫出完整的證明過程.

②如圖2,當(dāng)/胡。=90。時(shí)，請你判斷線段/C,BC,8之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

（2）如圖3,等腰ACDE、等腰△/助的頂點(diǎn)分別為A、C,點(diǎn)3在線段CE上，且

AABC+AADC=,請你判斷ND4E與ND2E的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【答案】（1）①見解析；②CD+BC3AC，證明見解析；（2）ZDAE=2ZDBE,證明

見解析

【分析】（1）①參考小明的想法，延長C8到點(diǎn)E,使得BE=CD,連接/E,證明

△4BE名LADC,從而利用全等和等腰三角形的性質(zhì)可以證明/C平分；

②沿用①中輔助線，延長CB到點(diǎn)E,使得BE=CD,連接ZE,證得直角三角形C4E,

再利用勾股定理可求得ZC,BC,CD之間的數(shù)量關(guān)系；

（2）類比（1）中證明的思路，延長CD至尸，使得DF=CB,連,，證明尸、

“CDmAACE,再利用全等三角形的對應(yīng)角相等和等腰三角形等邊對等角的性質(zhì)，找到

ZDAE與ZDBE的數(shù)量關(guān)系.

【詳解】（1）如圖，延長CB到點(diǎn)E,使得BE=CD,連接NE.

VNADC+NABC=180°,NABE+NABC=180°,

ZADC=ZABE

在△4DC與中，

AD=AB

?：＜ZADC=ZABE

CD=EB

AADC^AABE(SAS)

ZACD=ZAEB,AC=AE

NACB=ZAEB

ZACD=ZACB.

二./C平分Z8CZ)

(2)CD+BC=6AC

證明：如圖，延長C3到點(diǎn)￡,使得BE=CD,連接NE.

由(1)知，△ADCaABE(SAS)

:./DAC=/BAE,AC=AE

???/BAD=ZDAC+/CAB=90°

/CAE=/BAE+/CAB=ZDAC+/CAB=/BAD=90°

在直角三角形C4￡中，ZCAE=90°

:.CE=^JAC2+AE2=6AC

:.CD+BC=42AC

(3)ZDAE=2ZDBE

證明：如圖，延長S至尸，使得。尸=CB,連4月，

由(1)知，^ABC^AADF(SAS)

:.AF=AC,/ACB=/F

:.ZACD=ZF

:.ZACD=NACE

在△4。。與/\，。￡中，

CD=CE

???<ZACD=ZACE

AC=AC

LACD2AACE(SAS)

AD=AE

AD=AE=AB

AADB=ZABD,ZAEB=ZABE

/.ZBAD=1SO0-2ZADBfZBAE=1SO0-2ZABE,

???/DAE=360?！?BAD-/BAE

/.NDAE=360?！?180。—2/力。5)—(180?！?ZABE)=2ZADB+2/ABE=2ZDBE

【點(diǎn)睛】本題考查三角形的基本知識、全等三角形的性質(zhì)和判定以及等腰三角形的性質(zhì)與判

定.綜合性較強(qiáng).

例3.（培優(yōu)2）【模型呈現(xiàn)】

圖1圖2

(1)如圖1,ABAD=90°,AB=AD,過點(diǎn)8作BC1/C于點(diǎn)C,過點(diǎn)。作于

點(diǎn)及已知3C=2,DE=1,貝U4D=

【模型應(yīng)用】

⑵如圖2,在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)/在y軸上，點(diǎn)5、C在x軸上，ZABO=30°,AB=2,

04=1,OB=OC.若點(diǎn)。在第一象限且滿足4。=",/CMC=90。，線段3。交y軸于點(diǎn)

G,求線段8G的長.

(3)如圖3,在（2）的條件下，若在第四象限有一點(diǎn)￡,滿足NBEC=ZBDC.請直接寫

出BE、CE、/E之間的數(shù)量關(guān)系.

【答案】（1）5(2)&,(3)BE+CE=y/3AE

【分析】（1）易證VN8C到D/E（SAS）,進(jìn)而有北=BC=2,由勾股定理

AD=4AE2+DE2=V22+l2=V5，問題隨之得解;

（2）根據(jù)已知可得“8C是等腰三角形，可求出N8/C=120。，進(jìn)而得出

ABAD=360°-ABAC-ACAD=150°,得出/ABD=/4DB=15。，可得

ZGBO=ZABD+ZABO=4J,即有/G80=/3G0=45°,在等腰直角三角形△80G即可

求出3G；

（3）由（2）可知：NADB=15。，可得/8OC=41D8+//DC=60。，進(jìn)而有

ZBEC=ZBDC=60P,延長班至尸，使.BF=CE,連接4/，過/點(diǎn)作_L￡廠于Af點(diǎn),

根據(jù)NCMB=NCMC=60。，即有NR4C=120。，進(jìn)一步有NR4C+4BEC=180。，即可證明

NABF=ZACE,接著證明VN3廠名VNCE（SAS）,問題隨之得解.

【詳解】解：(1)VABAD^90°,BC1AC,DE1AC,

：.ZC=ZE=90°,NB+NBAC=90°,NDAE+NBAC=90°,

：.NB=NDAE,

又：AB=AD,

：.VABCDAE(SAS),

/.AE=BC=2,

???在中，AD=y]AE2+DE2=722+12=75，

故答案為：垂＞:

（2）,：OB=OC,OALBC,

AB=AC=2,

：.ZABO=ZACO=30°,

：.ZCAB=180。—2x30。=120。，

???/DAB=360°-ABAC-/CAD=360°-120°-90°=l50°,

,/AD=AC,

：.AD=AB,

180?！?。

：./ABD=/ADB=

2

???ZGBO=ZABD+ZABO=4S,

JBO=OG,

VZABO=30°fZAOB=90°f

AO=-AB=1,

2

BO=yjAB2—AO2=-^22—I2=V3，

OG=6

，在RtZXBOG中，BG=YJBO2+OG2=V6；

（3）BE+CE=6AE,理由如下：

由（2）可知：ZADB=15°,

VAD=AC,ADAC=90°f

：.ZADC=ZACD=45°,

JZBDC=ZADB+ZADC=60°,

???/BEC=/BDC=60P,

延長￡5至尸，使BF=CE,連接肝，過/點(diǎn)作⑷/_LM于M點(diǎn)，如圖,

ZBAC=120°,

NBAC+NBEC=180。,

.-.ZACE+ZABE=18CP,

vZABF+ZABE=180°f

；./ABF=/ACE,

又?；AB=AC,BF=CE,

???VZ5尸到ZCE(SAS),

；.AF=AE,/BAF=/CAE,

；"FAE=/BAC=12(T,

??.ZF=ZAEF=30°,

AMLEF,AF=AE,

：.AM=-AE,ME=-EF,

22

__________h

ME=>jAE2-AM2=—AE

2

；.FE=MAE,

■■BE+CE=BE+BF=FE=y/3AE,

BE+CE=^>AE.

【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，等

腰直角三角形的判定與性質(zhì)，含30。角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵

是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題.

例4.(培優(yōu)3)已知，ZPOQ=90°,分別在邊。尸，。。上取點(diǎn)A,B,使。4=08,過點(diǎn)A

平行于。。的直線與過點(diǎn)3平行于。尸的直線相交于點(diǎn)C.點(diǎn)E,尸分別是射線。尸，。。上

動(dòng)點(diǎn)，連接CE,CF,EF.

(1)求證：OA=OB=AC=BC；

(2)如圖1,當(dāng)點(diǎn)E,尸分別在線段/。，80上，且NECF=45°時(shí)，請求出線段E/，AE,

3尸之間的等量關(guān)系式；

(3)如圖2,當(dāng)點(diǎn)E,尸分別在/。，30的延長線上，且/EC尸=135°時(shí)，延長ZC交E尸

于點(diǎn)M,延長3c交E尸于點(diǎn)N.請猜想線段EN,NM,■之間的等量關(guān)系，并證明你

的結(jié)論.

【答案】（1）見解析；（2）EF=AE+BF-（3）MN2=EN2+FM2,見解析

【分析】（1）連接通過/尸。。=90。，O/=OB得到"08為等腰直角三角形，進(jìn)而得

到NOAB=AOBA=45。，根據(jù)過點(diǎn)A平行于OQ的直線與過點(diǎn)B平行于OP的直線相交于點(diǎn)

C,可推出NCA4=45。，ABAC=45°,最后通過證明“03空,可以得出結(jié)論；

（2）在射線4P上取點(diǎn)。，使=連接CD,通過證明AC4D經(jīng)VC5尸，得到CO=C尸，

ZACD=NBCF,再結(jié)合ZECF=45°,ZACB=900推導(dǎo)證明AECDgAECF,得到ED=EF,

最后等量代換線段即可求解；

（3）延長/。到點(diǎn)。，使得4D=BF,連接CD,通過證明AC/。烏VCB尸，得到CD=CF,

ZACD=ZBCF,再結(jié)合NECF=135°，推導(dǎo)證明AECD0△ECF,得至I」ZD=/CbM,根

據(jù)ND=/CF8,等量代換可知7M=/CF8,又因?yàn)镹C7/O。，推出=

進(jìn)而得到九武=兒加，同理可證CN=￡N,最后根據(jù)勾股定理即可求解.

【詳解】解：（1）證明：連接

???ZPOQ=90°,OA=OB,

"08為等腰直角三角形，

NOAB=AOBA=45°,

又BCHOP,且ZPOQ=90°,

BCLOQ,

ZCBF=90°,

ZCBA=45°,

同理，ZBAC=45",

在44Q8與△/CB中

ZOAB=ZCAB

<AB=AB,

AOBA=ZCBF

"OBg△NC3(ASA),

ZAOB=ZACB=90°,OA=OB=AC=BC

(2)如圖1,在射線/尸上取點(diǎn)。，使8尸，連接CD.

在△C4O與VCS廠中

CA=CB

</CAD=/CBF,

AD=BF

/.^CAD^NCBF(SAS),

?.CD=CF,ZACD=ZBCF,

ZECF=45°,/ACB=90°,

丁./ACE+NBCF=45°,

???ZACE+ZACD=/ECD=45°,

ZECD=ZECF,

在AECD與A￡CF中

CD=CF

<ZECD=ZECF

CE=CE

，^ECD會(huì)/\ECF("S),

ED=EF,

又=ED=AD+AE=BF+AE,

EF=AE+BF.

(3)MN2=EN2+FM2.證明如下：

如圖2,延長/。到點(diǎn)。，使得=連接CO.

丁./CAD=/CBF=90°,

在△C/。與VCB廠中

CA=CB

</CAD=/CBF,

AD=BF

「?^CAD^VCBF(SAS),

/.CD=CF,ZACD=ZBCF,

ZACD+ZDCB=90°,

二.ZBCF+/DCB=90°=/DCF,

ZFCD=/BCA=90°，

NEC尸=135°,

，ZECD=360°-90°-135°=135°，

ZECF=ZECD,

在AECD與△ECF中

EC=EC

<ZECD=ZECF,

CD=CF

AECD也/\ECF(取S),

/D=ZCFM,

KAD名NCBF,

ZD=ZCFB,

ZCFM=ACFB,

AC//OQ,

ZMCF=ZCFB,

ZCFM=ZMCF,

MC=MF,

同理可證：CN=EN,

???在比中，由勾股定理得：MN2=CN2+CM2=EN2+FM2.

【點(diǎn)睛】本題綜合考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理以及正方形的有關(guān)知識，通過

添加輔助線構(gòu)造全等三角形，通過證明全等三角形得到線段之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

【課后練習(xí)】

1.在“3c中，AE,CD為-3C的角平分線，AE,CD交于點(diǎn)、F.

(1)如圖1,若/3=60。.

①直接寫出N4FC的大??；

②求證：AC=AD+CE.

(2)若圖2,若￡)2=90°,求證：SAACF=S&AFD+SACEF+SADEF?

【答案】(1)①120。；②見解析；(2)見解析

【分析】(1)①綜合三角形的內(nèi)角和定理以及角平分線的定義求解即可；②利用“截長補(bǔ)

短”思想，在4C上取點(diǎn)區(qū)使得4D=AH,從而通過全等證得再結(jié)合①的

結(jié)論進(jìn)一步證明從而通過全等證得CE=CH,即可得出結(jié)論；

(2)同樣利用“截長補(bǔ)短"思想，在/C上取S、T兩點(diǎn)，使得/D=/S,CE=CT,連接即，

SE,TF,TE,可通過全等直接先對根。尸和尸的面積進(jìn)行轉(zhuǎn)換，然后結(jié)合(1)中的結(jié)

論，證明即可對△￡>￡尸的面積進(jìn)行轉(zhuǎn)換，從而得出結(jié)論.

【詳解】(1)①解：；NB=60°,

o

,Z5^C+ZJBC4=180-Z5=120°,

；4E平分NB4C,C。平分/8C4,

ZFAC=|ABAC,ZFCA=^-ZBCA,

：./E4C+NFCA=g(/BAC+NBC4)=yxl20°=60°,

ZAFC=180°-(ZE4C+ZFCA)=120°；

②證：如圖所示，在/C上取點(diǎn)打，使得/￡>=/〃，

在ZkAD尸和△/"F中，

AD=AH

<ZDAF=ZHAF

AF=AF

：./^ADF^AAHF(SAS),

：.ZAFD=ZAFH,

:NAFD=NCFE,

，NAFH=NCFE,

由①可知，ZAFC=120\

：.ZCFE=180°-120°=60°,

：?AFH=/CFE=6。。,

：.ZCFH=6Q°,

即：ZCFH=ZCFE,

在△CF//和△CFE中，

ZCFH=ZCFE

<CF=CF

ZHCF=ZECF

：.△CFHQACFE〈ASA),

：.CE=CH,

■:AC=AH+CH,

.\AC=AD+CE；

(2)證：如圖所示，在4c上取S、T兩點(diǎn)，使得CE=CT,連接S廠，SE,TF,TE,

平分NA4C,

???ZDAF=ZSAFf

在△4。/和ZUSF中,

AD=AS

ZDAF=ZSAF

AF=AF

：.AADFmAASF(SAS),

同理可證△AED/ZXZES,ACEF^ACTF,

:.DF;SF,DE=SE,FT=FE,

：.△DEFQASEF,

vVV—VVV

U"DF2Azs尸?°ACEF-°AC7F'3DEFU&SEF,

S.ZAFD=ZAFS,/CFE=/CFT,

???ZAFD=ZCFE,

：.NAFD=ZAFS=ZCFE=ZCFT,

由（1）可得：Z^FC=90°+yZ5=135°,

/.NCFE=180°-135°=45°,

工NAFD=ZAFS=ZCFE=ZCFT=45°,

ZCFS=135°-ZAFS=90°,

：.CF.LSF,

又"：FT=FE,CT=CE,

???C/垂直平分ER

即：CFLET,

：.SF//ET,

?c—c

,,QASFT-JASEF'

?V—V

,?n^DEF-JSFT

?S^ACF=S、AFS+S、CFT+S-spr，

??^/SACF=SAAFD+SACEF+S&DEF?

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，以及三角形角平分線相關(guān)的證明問題，掌握基

本的輔助線添加思想，熟練運(yùn)用全等三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

2.已知：如圖所示，直線M4〃NS,與/Na4的平分線交于點(diǎn)C,過點(diǎn)C作一條直

線/與兩條直線M4、即分別相交于點(diǎn)。、E.

(1)如圖1,