2025高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：解答題專項突破（四） 立體幾何中的翻折問題與探索性問題

噴時塞塞1版商ga立體幾何中的翻折問題與探索性問題

［考情分析］在高考立體幾何的解答題中，常常出現(xiàn)翻折問題與探索性問題，此類問題要求

學(xué)生要有較強的空間想象能力和準確的計算能力.翻折問題是空間幾何與平面幾何轉(zhuǎn)化的集

中體現(xiàn)，處理這類題的關(guān)鍵是抓住兩圖的特征關(guān)系；探索性問題常常是在條件不完備的情況

下探討某些結(jié)論是否成立，處理這類問題一般可用綜合推理的方法、分析法、特殊化法和向

量法來解決.預(yù)計2025年高考可能會考查以下幾點：（1）證明平行（垂直）關(guān)系、空間角的計算

與翻折問題結(jié)合；（2）證明平行（垂直）關(guān)系、空間角的計算與探索性問題結(jié)合；（3）翻折問題與

探索性問題的綜合.

考點一立體幾何中的翻折問題

例1（2024?山東泰安模擬）如圖1,四邊形ABC。為矩形,BC=2AB,E為的中點，將AABE,

ADCE分別沿BE,CE折起，使得平面ABEL平面BCE,平面DCEL平面BCE,如圖2所

示.

圖1

（1）求證：4。〃平面BCE；

（2）若F為線段的中點，求直線FA與平面ADE所成角的正弦值.

解（1）證明：在題圖2中，分別取BE,CE的中點N,連接AM,DN,MN,

由題圖1知，BC=2AB,且￡為A。的中點，貝!

所以AALLBE,

又因為平面平面3CE,平面A8ECI平面AMu平面ABE,

所以AM_L平面BCE,

同理可得，ON_L平面BCE,

所以AM〃Z）N.

又因為AM=DN,

所以四邊形AMNO為平行四邊形，

所以AD〃腦V,

又AOC平面BCE,MNu平面BCE,

所以AD〃平面BCE.

（2）在題圖1中，因為/AEB=45。，ZDEC=45°,

所以BE±CE.

以￡為原點，EB,EC所在直線分別為x軸、y軸，建立如圖所示的空間直角坐標系,

設(shè)AB=1,則線0,，0,

所以或=0,

設(shè)平面AOE的法向量為打=（x,y,z）,

〃?或=0,

x+z=0f

由<得，取z=l,得〃=(—L—1,1),

、〃動=0,j+z=0,

又剪=卜，一坐,

設(shè)直線班與平面AOE所成的角為仇

\fA-n\_y[2_^6

貝Isin8=

同例—lx$—3

所以直線型與平面ADE所成角的正弦值為由.

1名師點撥】

翻折問題的解題關(guān)鍵點

金覦訓(xùn)練

1.（2024?湖北宜昌模擬）如圖1,在梯形A3CZ）中，AB//DC,A￡>=2C=OC=2,

A3=4,E為A3的中點，以DE為折痕把AADE折起，連接48,AC,得到如圖2的幾何體,

在圖2的幾何體中解答下列兩個問題.

⑴證明：AC±D￡；

(2)請從以下兩個條件中選擇一個作為已知條件，求二面角D-AE-C的余弦值.

①四棱錐A-BCDE的體積為2；

②直線AC與EB所成角的余弦值為小.

注：如果選擇兩個條件分別解答，按第一個解答計分.

解(1)證明：如圖，在題圖1中，連接CE,

因為DC=|AB,E為A8的中點，所以。C〃AE,DC=AE,所以四邊形AOCE為

平行四邊形，所以AO=CE=OC=AE=2,同理可證。E=2,在題圖2中，取。E的中點。,

連接OC,CE,貝!|OA=OC=小，因為AOnAEnCEuOC,所以。E_Lft4,DE±OC,

又因為04noc=。，所以。E_L平面AOC,因為ACu平面AOC,所以AC_LOE

(2)若選擇①：因為。E_L平面AOC,D￡c^WBCDE,

所以平面AOC_L平面BCDE且交線為OC,

所以過點A作AHLOC于反，

=

則A8_L平面BCDE,因為S四邊形BCDE2yj3f

所以VA—BCDE=2=3X2小xAH,

所以AH=S=CM,所以4。與AH重合，

所以AO_L平面BCDE,

建立空間直角坐標系，如圖，

則0(0,0,0),C(一小，0,0),￡(0,1,0),A(0,0,小),

平面D4E的一個法向量為。5=(小，0,0),

設(shè)平面AEC的法向量為〃=(尤，y,z),

因為荏=（小，1,0）,CA=（V3,0,3）,

n-Ck=0,

<

n-CA=0,

y[3x+y—0,

所以取x=l,得〃=（1,一小，-1）,

yj3x+y[3z=Q,

設(shè)二面角。一AE-C的大小為6,

4\COn\小小

則|cos<9|一二-r-"

\cb\\n\73x^55

易知二面角D-AE-C的平面角為銳角，

所以二面角D-AE-C的余弦值為半.

若選擇②：因為DC〃匹，

所以/ACD即為異面直線AC與￡8所成的角，

，,-AC2+4—4y[6

在△AZ)C中，cos/IACL)—4A。=4，

所以AC=#,所以。42+OC2=AC2,所以。4_LOC,

因為Z)E_L平面AOC,DEu平面BCDE,

所以平面AOC_L平面BCDE,且交線為OC,

所以AO_L平面BCDE,

建立空間直角坐標系，如圖，則。(0,0,0),C(一木,0,0),E(0,1,0),A(0,0,5)，

下同選①.

考點二立體幾何中的探索性問題

例2(2024?湖北武漢期末汝口圖，四邊形A8CQ是邊長為1的正方形，EDL^ABCD,FB

，平面ABC。，且￡￡)=FB=1.

E

⑴求證：EC_L平面AOF；

(2)在線段EC上是否存在點G(不含端點)，使得平面G8O與平面AZ)尸的夾角為45。？若存在,

指出點G的位置；若不存在，請說明理由.

解(1)證明：以。為原點，DA,DC,OE所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角

坐標系，如圖所示，

則。(0,0,0),A(l,0,0),C(0,1,0),E(0,0,1),F(l,1,1),

...反反=0,

；.EC=(0,1,-1),ZM=(1,0,0),訪=(1,1,1),_

庭訴=1—1=0,

：.EC±DF,EC±DA,

XDAQDF^D,DA,DFc^ADF,

；.EC_L平面AOF.

(2)設(shè)前

則點G的坐標為(0,九IT),D&=(0,A,IT),

易知3(1,1,0),則初=(1,1,0).

設(shè)平面GBD的法向量為n={x,y,z),

n-Dtj—Ay+(1—%)z—0,

則《

^n-Dh—x+y—0,

取y=l一九貝1Jx=4—Lz=-i

貝I/i=(2—L1一九一A)f

:平面GBD與平面A。尸的夾角為45。，且平面A。下的一個法向量為證=(0,1,-1),

I”.反11

cos45°=

\n\\Et\j(IT)2+萬義小，

又0<kl,解得力=/

；.G為線段EC上靠近點E的三等分點.

名師點撥】

探索性問題的解題策略

(1)條件探索性問題

①先猜后證，即先觀察與嘗試給出條件再證明.

②先通過命題成立的必要條件探索出命題成立的條件，再證明其充分性.

③把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，探索命題成立的條件.

(2)結(jié)論探索性問題

首先假設(shè)結(jié)論存在，然后在這個假設(shè)下進行推理論證，如果通過推理得到了合乎情理的結(jié)論,

就肯定假設(shè)，如果得到了矛盾的結(jié)論，就否定假設(shè).

訓(xùn)I練2.(2024?四川成都樹德中學(xué)模擬)如圖1,在梯形ABC。中，BC//AD,ABLAD,

AB=2,BC=3,AD=4,線段的垂直平分線與AD交于點E,與交于點R現(xiàn)將四邊

形沿EF折起，使C,。分別到點G,H的位置，得到幾何體ABFEHG,如圖2所示.

⑴判斷線段即上是否存在點尸，使得平面小尸〃平面BGH.若存在，求出點尸的位置；若不

存在，請說明理由；

(2)若AH=2巾,求平面A①/與平面2G8所成角的正弦值.

解⑴當尸為線段的中點時，平面外尸〃平面8GH

證明如下：由題易知EH=2,GF=1,EH//GF,

因為尸為線段EH的中點，

所以HP=GP=1,HP//GF,

所以四邊形HP_FG是平行四邊形，

所以HG//PF,

因為PFu平面PAF,HGC平面PAF,

所以HG〃平面PAF.

連接尸G,因為PE〃GF,PE=GF=1,

所以四邊形尸EFG是平行四邊形，

所以PG〃EF,且尸G=EF,

XEF//AB,EF=AB,

所以尸G〃43,PG=AB,

所以四邊形ABGP是平行四邊形，

所以PA//BG,

因為以u平面叢凡8GC平面以尸，

所以BG〃平面PAF.

因為“GnBG=G,HG,BGu平面BGH,

所以平面E4P〃平面BGH.

(2)因為AH=2吸，AE=EH=2,

所以AE2+￡H2=AH2,所以AE±EH,

又所_LEA,EF±EH,

所以EA,EF,EW兩兩垂直.

故以E為原點，EA,EF,或/所在直線分別為x,y,z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系

Exyz,

則A(2,0,0),BQ,2,0),H(0,0,2),G(0,2,1),所以協(xié)=(0,2,0),蔭=(-2,一

2,2),砧=(一2,0,1).

設(shè)平面A5”的法向量為加=(?,yi,zi),

/n?戲=0,12yl=0,

則，即?

斷威=0,1一2xi—2yi+2zi=0,

取zi=l,得加=(1,0,1).

設(shè)平面3GH的法向量為〃=(%2，＞2，Z2),

〃協(xié)=0,一2x2-2y2+2Z2=0,

則,即

m茄=0,—212+Z2=0,

?。?=1，得〃=(1,192).

設(shè)平面A3H與平面BGH所成的角為仇

um，\m-n\3^3

則|c°sHa—|利"廠色xj_2，

所以sin9=\l1—cos20="\J1-4=2'

所以平面ABH與平面8GH所成角的正弦值為g.

課時作業(yè)

1.如圖，在R3ABC和RtAOBC中，AB^AC,BC=2BD=2,ZA=90°,ZD=90°,將AABC

翻折到△A'BC的位置，使二面角4一2。一。的大小為30。，￡為邊CD上的點，且CE=2ED

(1)證明：BCXA-E；

(2)求直線A'D與平面A'BC所成角的正弦值.

解(1)證明：取8c的中點R連接4凡EF,如圖，

由4B=AC,得4P_LBC.

又BC=2BD=2,則C￡)=小，CE=平，/BCD=30。,C尸=1,

EF-=CE2+CF2-1C￡-CFcos30°=g,

i4、

EF2+CF2=-j+1=2=CE2,

：.EF±CF,BPEF±BC,

XEFQA'F^F,EF,A'EF,

.?.8C_L平面A'ER

：4Eu平面4EP,：.BC±A'E.

(2)VA,F±BC,EFLBC,NAPE為二面角4—BC-。的平面角，ZATE=30°.

以廠為原點，建立空間直角坐標系，如圖，貝l4］。，坐，；)，8(1,0,0),C(-l,0,0),

嗎,坐，0),故求=(—2,0,0),屆=11,一坐，一￡|,m=d，o,一；),

設(shè)平面45c的法向量為〃=(%,y,z),

n-Bt=0,廠2x=0,

則1即JA/31

“獨=0,1x-5廠呼=0，

取y=l,則尤=0,z=一隹，即〃=(0,1,一小)，

設(shè)直線4。與平面48c所成的角為a,

則sina=|cos{n,雙＞〉-=—\=坐，

I"11ml2x^4

直線4。與平面4BC所成角的正弦值為坐.

2.(2024?福建廈門模擬)如圖，在底面是菱形的四棱錐P—ABCD中，ZABC=60°,PA=AC=

1,PB=PD=p，點E在線段PD上,且滿足成=2動.

(1)求平面EAC與平面DAC所成角的余弦值；

(2)在線段PC上是否存在一點Q,使得8?！ㄆ矫鍱4C?若存在，請指出點。的位置；若不

存在，請說明理由.

解(1)：底面ABC。是菱形，ZABC^60°,

.,.AB=AD=AC=1,

：.R^+AB2^PB2,

由勾股定理逆定理知，PALAB,

同理可得，PALAD,

'：AB,AOu平面ABC。，ABPiAD=A,

...以1.平面ABC。，

以A為原點，AD,AP所在直線分別為y,z軸，過點A且與垂直的直線為無軸，建立如

圖所示的空間直角坐標系，

則A（O,o,0）,c停o）,p（o,o,1）,。（0,1,0）,

:彷=2動，；.《0,|,￡）,

.?.屐=（0,W）,祀=（坐,0）,

設(shè)平面EAC的法向量為〃=（%,y,z）,

\n±Ak,卜*=專+/=。，

陷得1r

.LAC,1”市=孚^+5=0,

取x=l,得"=（1,~\[3,2?。?

易知平面D4C的一個法向量為機=（0,0,1）,

./xmn^3

..cos〈…}=|利川=2'

A/3

???平面EAC與平面DAC所成角的余弦值是手.

（2）設(shè)題=屁=曾3盤,—,（0WfWl）,

攝,1—fj,

又《坐，T4則旗=（^^，與，1—）

由（1）,知平面&1C的一個法向量為"=（1,一小，2?。?

當2?！ㄆ矫鍱AC時，”_L旗,

.,?〃.膠=0,

???恒子-迪邛+2$（1—）=。，

.,"=/即。為PC的中點時，再退_1_”,

且平面EAC,滿足8?！ㄆ矫鍱4C.

3.（2024?黑龍江大慶期中）如圖1,在直角梯形EFBC中，BF//CE,EC±EF,EF=LBF=

2,EC=3.現(xiàn)沿平行于EF的A。折疊，使得E￡）_LZ）C且BC_L平面BOE,如圖2所示.

圖1圖2

⑴求AB的長；

(2)求二面角F-EB-C的大小.

解(1)由BC_L平面BOE,BDu平面BDE,得BC_LBD,

在直角梯形EFBC中，由8月〃CE,EC±EF,EF=1,BF=2,EC=3,知BC=5

設(shè)AB=x(0a<2),則AP=OE=2—x,CD^x+1,

故BD^^AB2+AD2=x2+l,CD?=(尤+1產(chǎn)，

由BU+BCZMC》，得f+1+(5)2=(尤+1)2,

解得x=l,即AB的長為1.

(2)因為即_LAD,ED±DC,ADHDC^D,

且A。，ABCD,所以EZ)_L平面ABCD,

結(jié)合ZM_LZ)C知，DA,DC,Z)E兩兩相互垂直，

故以。為原點，DA,反，方方的方向分別為x軸、y軸、z軸正方向，建立如圖所示的空間

直角坐標系，

則2(1,1,0),C(0,2,0),E(0,0,1),F(l,0,1),

所以昉=(0,-1,1),彷=(1,0,0),病=(一1,1,0),比=(0,2,-1),

設(shè)平面8CE的法向量為“1=(x1,yi,zi),

ni-BtJ=-xi+yi+0=0,

所以

^ni-Et—2yi-zi—Q,

取陽=1,則"i=(l,1,2),

設(shè)平面BEF的法向量為“2=(X2，>2，Z2),

H2,盾'=X2=0,

所以j-

Jl2?融=—y2+z2=0,

取丁2=—1，則"2=（0，—1，—1），

制/\八肛一3近

則COS〈小，"2）一閉||"2|一,X啦——2'

又所求二面角為鈍角，

,5兀

所以二面角廠一EB—C的大小為不.

4.（2024?廣東高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在四棱錐尸一48CZ）中，PAL^ABCD,AD//BC,

ADLCD,AD=CD=^BC=2,點E在平面P8C上運動.

（1）試確定一點E,使得CD〃平面B4E,并說明點E的位置；

（2）若四棱錐的體積為6,在側(cè)棱PC上是否存在一點F,使得二面角F-AB-C的余弦值為

甯？若存在，求Pf的長；若不存在，請說明理由.

解（1）取BC的中點G,連接AG,PG,如圖，

由AQ—BC,AD//BC,得AZ）〃GC,AD=GC,

即四邊形AGCD為平行四邊形，

于是AG〃CD,

而AGu平面PAG,

COC平面PAG,

則C。〃平面PAG,

所以當點E在APBC的邊8c的中線PG上運動時（E與尸不重合），CD〃平面PAE.

i(2+4)x2

⑵由于B4_L底面ABCD,ADLCD,則四棱錐P-ABCD的體積V=§x-------j-------xB4=6,

解得B4=3,

由(1)知，AGLBC,AG=BG=2,則有48=2w，AC=2吸，tAB2+AC2=BC2,AB±AC,

以A為原點，AB,AC,AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標

系，

則A(0,0,0),8(2吸，0,0),C(0,2小，0),P(0,0,3),

假定棱PC上存在一點F滿足條件，

令瓦'=%此，/€(0,1),則刀(0,2寸〃,3—32),

屈=(2吸，0,0),#=(0,2回，3-3/1),

設(shè)平面ABF的法向量為〃=(x,y,z),

Ai-n—2-\f2x—0,

則彳

、辦大=2/犯+(3-3/)z=0,

取z=2小九得〃=(0,3(2-1),2^22),

又平面ABC的一個法向量為機=(0,0,1),

于是二面角F—AB—C的余弦值為|cos(n,m)1=熄=~/=呼用畢，

同加yj9Q-i)2+217

解得即尸為PC的中點，此時尸C=>(2巾)2+的=5,pF=Lpc=^-

即當尸尸=乎時，二面角尸一AB—C的余弦值為平.

5.(2023?北京昌平三模)如圖1,在RtAABC中，ZC=90°,BC=3,AC=6,D,E分別為

AC,AB上的點，S.DE//BC,DE=2,將AADE沿。E折起到AAiDE的位置，使4C_LC。,

如圖2.

⑴求證：4C_L平面8CDE；

⑵若M是4。的中點，求CM與平面AiBE所成角的大?。?/p>

(3)線段2C上是否存在點P,使平面4DP與平面A/E垂直？說明理由.

解(1)證明：在R3ABC中，NC=90。，

DE//BC,

則有CDLDE,AD±DE,

折起后，有CD_LZ)E,AiD±DE,

又0X141。=。，CD,ARu平面AC。，

.?.OE_L平面AC。，又AiCu平面AC。，

：.AiC±DE,

又AiC_LC￡),CD,DEu平面BCDE,CDCDE=D,

；.AiC_L平面BCDE.

(2)由CD,CB,CAi兩兩相互垂直，建立如圖所示的空間直角坐標系,

則C(0,0,0),0(-2,0,0),4(0,0,2事),8(0,3,0),￡(-2,2,0),

.?.腦=(0,3,-2^3),硅=(—2,2,一2小)，

設(shè)平面4BE的法向量為"=(x,y,z),

A^Bn=0,f3y—2小z=0,

則彳即彳「

、元."=0,〔一2x+2y—2/z=0,

取x=—1,則y=2,z=/,

.*.n=(-l,2,4),又〃(一1,0,小)，

.?.加=(一1,0,小)，

設(shè)CM與平面所成的角為Q,

..a,3、,\cU-n\1+3__________4__應(yīng)

|南|同V1+3XV1+4+32x2/2

?.?0。(《90。，；.CM與平面AiBE所成角的大小為45°.

(3)設(shè)線段BC上存在點P,且點P的坐標為(0,a,0),則。€[0,3],

.>.A>=(0,a,-2^3),D>=(2,a,0),

設(shè)平面AiOP的法向量為"i=(xi，yi，zi),

f—近

ay1—2y/3zi=0,.zi=$，

則

2xi~\~ayi=Of1

x\——'

.'.7ii=(—3a,6,y[3a)>

假設(shè)平面A。尸與平面AiBE垂直，則〃「"=0,

；.3a+12+3a=0,解得a=—2,

線段BC上不存在點P,使平面A\DP與平面ArBE垂直.

6.(2024?山西太原小店區(qū)月考)如圖1,在邊長為4的菱形4BCD中，ZDAB=6Q°,M,N分

別是邊8C,CO的中點，ACHBD=O,ACriMN=G.沿MN將翻折到△PMN的位置，

連接B4,PB,PD