2025高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)必刷題：橢圓及其性質(zhì)（學(xué)生版）

第64講橢圓及其性質(zhì)

知識(shí)梳理

知識(shí)點(diǎn)一：橢圓的定義

平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)耳，耳的距離之和等于常數(shù)2〃（2〃>|耳居|）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓，

這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做橢圓的焦距，記作2c,定義用集合語(yǔ)言表

示為：｛尸||尸耳|+1尸耳|=2aQa>|FXF2|=2c>0）｝

注意：當(dāng)2a=2c時(shí)，點(diǎn)的軌跡是線段；

當(dāng)2a<2c時(shí)，點(diǎn)的軌跡不存在.

知識(shí)點(diǎn)二：橢圓的方程、圖形與性質(zhì)

橢圓的方程、圖形與性質(zhì)所示.

焦點(diǎn)的位

焦點(diǎn)在工軸上焦點(diǎn)在y軸上

置

A

圖形

4HlO

w

2222

標(biāo)準(zhǔn)方程二十斗=1（々>〃〉0）

a2b2v）a2b2V）

統(tǒng)一方程mx2+ny2=l（m>0,n>0,機(jī)w〃）

[x=acos0人3,,、[x=acosO”./、

參數(shù)方程,為參數(shù)（匹[0,2加）\7為參數(shù)（。￡[0,2捫）

[y=bsmO[y=Z?sin。

第一定義到兩定點(diǎn)耳、區(qū)的距離之和等于常數(shù)2a,^\MFt\+\MF2\=2a（2“>|耳耳|）

范圍-a<x<a^-b<y<b-b<x<b5.-a<y<a

A】、A2(?,0)A】（0,—。）、A2（0,〃）

頂點(diǎn)

B](O,詢(xún)、B2(O,/7)B1（-b,O）、B2（Z7,0）

軸長(zhǎng)長(zhǎng)軸長(zhǎng)二-2a,短軸長(zhǎng)=2b長(zhǎng)軸長(zhǎng)=2a,短軸長(zhǎng)=2〃

對(duì)稱(chēng)性關(guān)于X軸、y軸對(duì)稱(chēng)，關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)

焦點(diǎn)耳（-G。）、8（c,0）耳（0,-。）、K（O,c）

222

焦距FXF2\=2C(c=a-b)

\a2-b21-4(0<￡<1)

離心率7

a2Ia2

一

準(zhǔn)線方程

C

點(diǎn)和橢圓>1,外生+詈1=1o點(diǎn)（%，%）在橢圓<外

=lo點(diǎn)5,%)在橢圓上2上

a2b2ab

的關(guān)系<1內(nèi)<1內(nèi)

=1（（X。,%）為切點(diǎn)）2^+^^=i（（%,%）為切點(diǎn)）

a2b2ab

切線方程對(duì)于過(guò)橢圓上一點(diǎn)（%,%）的切線方程，只需將橢圓方程中f換為X/,/換為

為了可得

切點(diǎn)弦所

在的直線誓+浮=i（點(diǎn)（%,%）在橢圓外）浮+等=1（點(diǎn)（X。,%）在橢圓外）

abab

方程

2b2

a)cos6=-J,…圈,(B為短軸的端點(diǎn)）

)sinO3an"

c%1,焦點(diǎn)在無(wú)軸上.Fpp.

焦點(diǎn)三角(2)SkPRF?~

c天|,焦點(diǎn)在y軸上

形面積四乂(4，%)

J嚏

<JO

③當(dāng)尸點(diǎn)在長(zhǎng)軸端點(diǎn)時(shí)，(耳.血口=從

當(dāng)P點(diǎn)在短軸端點(diǎn)時(shí)，(皿)max="

焦點(diǎn)三角形中一般要用到的關(guān)系是

(\MFi\+\MF2\=2aC2a>2c)

=1|P^HP^|sinZJF；PF2)

22

||￡工|=|PF^+\PF21-21PFt||PF°|cosZFtPF2

左焦半徑：\MFX\=a+exQ上焦半徑：?jiǎn)岫ㄒ?0

焦半徑又焦半徑：|孫|=4-%下焦半徑：\MF1\=a+eyQ

焦半徑最大值a+c,最小值

h2

通徑過(guò)焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦叫通徑：通徑長(zhǎng)=2幺(最短的過(guò)焦點(diǎn)的弦)

a

設(shè)直線與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)為Aa，x),B(x2,j2),kAB=k,

2

則弦長(zhǎng)=J1+左2|石_引=&+k2-%2)-4XJX2

弦長(zhǎng)公式

(其中a是消y后關(guān)于x的一元二次方程的x2的系數(shù)，A是判別式)

【解題方法總結(jié)】

(1)過(guò)橢圓的焦點(diǎn)與橢圓的長(zhǎng)軸垂直的直線被橢圓所截得的線段稱(chēng)為橢圓的通徑，其

長(zhǎng)為匕

a

①橢圓上到中心距離最小的點(diǎn)是短軸的兩個(gè)端點(diǎn)，到中心距離最大的點(diǎn)是長(zhǎng)軸的兩個(gè)端

點(diǎn).

②橢圓上到焦點(diǎn)距離最大和最小的點(diǎn)是長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn).

距離的最大值為a+c,距離的最小值為a-c.

(2)橢圓的切線

22

①橢圓二+與=1(“>6>0)上一點(diǎn)產(chǎn)(%,為)處的切線方程是筆+理=i；

abab

22

②過(guò)橢圓二+斗=1（“>6>o）外一點(diǎn)尸?，為）,所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是

ab

%。%?=1

/b2~

③橢圓二+々=1(“>6>0)與直線Ac+By+C=O相切的條件是A2a2+3252=。2.

ab

必考題型全歸納

題型一：橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程

例1.（2024?高二課時(shí)練習(xí)）已知橢圓C上任意一點(diǎn)P（x,y）都滿(mǎn)足關(guān)系式

*2*4

7（%-1）+/+#+吁+/=4,則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

例2.（2024?山東青島?統(tǒng)考三模）已知橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,它的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線

y=9入2的焦點(diǎn)重合，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)___.

4

22

例3.（2024?全國(guó)?高二專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓—+當(dāng)=1（〃〉人>0）的左、右焦點(diǎn)為

ab

片（-1,0）,鳥(niǎo)（1,0）,且過(guò)點(diǎn)尸則橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為.

22

變式1.（2024.浙江紹興.紹興一中?？寄M預(yù)測(cè)）已知橢圓R=+2=1

ab

（a>b>0）,尸是E的左焦點(diǎn)，過(guò)E的上頂點(diǎn)A作AF的垂線交E于點(diǎn)B.若直線AB的

斜率為-石，△樹(shù)的面積為走，則E的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

22

變式2.（2024.全國(guó)?高二專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓焦點(diǎn)在x軸，它與橢圓工+匕=1有相同離心

43

率且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2,-6）,則橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為.

變式3.（2024.北京.高二北大附中?？计谀┡c雙曲線4y2-3/=12有相同焦點(diǎn)，且長(zhǎng)軸

長(zhǎng)為6的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為.

變式4.（2024?福建福州?高二福建省福州屏東中學(xué)?？计谀┮阎獧E圓E：

22

?+當(dāng)=1（。>6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為耳，B，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交E于P,0兩點(diǎn),

ah

且產(chǎn)乙，乙Q,且'%2=；］,|尸局+|g0=8,則E的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

22

變式5.（2024.山東青島.高二青島二中校考期中）過(guò)點(diǎn)（6-⑹，且與橢圓2+5=1有

相同的焦點(diǎn)的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程是.

變式6.（2024?浙江麗水?高三?？计谥校┪覀儼呀裹c(diǎn)在同一條坐標(biāo)軸上，且離心率相同的

橢圓叫做“相似橢圓若橢圓E:二+.=1,則以橢圓E的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的相似橢圓尸的標(biāo)準(zhǔn)

1612

方程為.

22

變式7.（2024.全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓C：二+4=1（。>6>0）的左、右焦點(diǎn)分別

ab

為Fi,F2,左、右頂點(diǎn)分別為M,N,過(guò)尸2的直線/交C于A,3兩點(diǎn)（異于M、N）,

的周長(zhǎng)為4石，且直線AM與AN的斜率之積為則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程

為.

變式8.（2024.高二課時(shí)練習(xí)）已知橢圓C的焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過(guò)A（-62）和

5（-273,1）兩點(diǎn)，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

【解題方法總結(jié)】

（1）定義法：根據(jù)橢圓定義，確定。2,/的值，再結(jié)合焦點(diǎn)位置，直接寫(xiě)出橢圓方程.

（2）待定系數(shù)法：根據(jù)橢圓焦點(diǎn)是在x軸還是y軸上，設(shè)出相應(yīng)形式的標(biāo)準(zhǔn)方程，然

后根據(jù)條件列出6,c的方程組，解出/，廿，從而求得標(biāo)準(zhǔn)方程.

注意：①如果橢圓的焦點(diǎn)位置不能確定，可設(shè)方程為4V2+By2=］（A>o,B>o,AwB）.

2222

②與橢圓一+—=1共焦點(diǎn)的橢圓可設(shè)為——+——=l（k>-m,k>—n,mwn）.

mnm+kn+k

2222

③與橢圓會(huì)+我=l（〃〉b〉O）有相同離心率的橢圓，可設(shè)為1r+%=勺（匕〉0,焦

Y2V2

點(diǎn)在x軸上）或=+4=匕（笈2>。，焦點(diǎn)在y軸上）.

b~~

題型二：橢圓方程的充要條件

例4.（2024?全國(guó)?高三對(duì)口高考）若6是任意實(shí)數(shù)，方程fsine+y2cos9=5表示的曲線不

可能是（）

A.圓B.拋物線C.橢圓D.雙曲線

例5.（2024?上海徐匯?位育中學(xué)校考三模）已知〃zeR,則方程（2-m）/+（m+1力2=］所

表示的曲線為C,則以下命題中正確的是（）

A.當(dāng)時(shí)，曲線C表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓

B.當(dāng)曲線C表示雙曲線時(shí)，加的取值范圍是（2,+8）

C.當(dāng)〃?=2時(shí)，曲線C表示一條直線

D.存在meR,使得曲線C為等軸雙曲線

例6.（2024?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知方程-2+6/+3+.+及尸尸=0,其中

A>B>C>D>E>F.現(xiàn)有四位同學(xué)對(duì)該方程進(jìn)行了判斷，提出了四個(gè)命題：

甲：可以是圓的方程；乙：可以是拋物線的方程；

丙：可以是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；?。嚎梢允请p曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

其中，真命題有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

變式9.（2024?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）0<3<1”是“方程分2=1_勿2表示的曲線為

橢圓”的（）

A.充要條件B.必要不充分條件

C.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件

22

變式10.（2024?云南楚雄?高三統(tǒng)考期末）已知曲線C：L+」^=1,則“4>o”是“曲線C

4。3。+2

是橢圓”的（）

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

2

變式11.（2024?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)。為實(shí)數(shù)，則曲線C：/一—之不可能是

\-a2

（）

A.拋物線B.雙曲線C.圓D,橢圓

22

變式12.（2024?廣西欽州?高三?？茧A段練習(xí)）"1<左<5"是方程“'+二二=1表示橢圓

k—15—k

的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條

【解題方法總結(jié)】

22

土+上=1表示橢圓的充要條件為：m>0,n>0,m^n；

mn

22

上+乙=1表示雙曲線方程的充要條件為：nm<0；

mn

22

匕+二=1表示圓方程的充要條件為：m=n>Q.

mn

題型三：橢圓中焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)與面積及其他問(wèn)題

22

例7.（2024?貴州黔東南?高三校考階段練習(xí)）已知點(diǎn)A,B是橢圓C:土+2=1上關(guān)于原

94

點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，耳,工分別是橢圓C的左、右焦點(diǎn)，若|A耳|=2,則忸同=（）

A.1B.2C.4D.5

22

例8.（2024.北京?高三強(qiáng)基計(jì)劃）如圖，過(guò)橢圓?+g=l的右焦點(diǎn)B作一條直線，交橢

例9.（2024?江西?高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知橢圓C:*+y2=l（a>l）,片，工為兩個(gè)焦點(diǎn)，P

a

為橢圓c上一點(diǎn)，若△尸耳后的周長(zhǎng)為4,則〃=（）

35

A.2B.3C.—D.一

24

22

變式13.（2024?河南?高三階段練習(xí)）已知月,區(qū)分別為橢圓0q+匕=1（"26）的兩個(gè)

a12

焦點(diǎn)，且C的離心率為為橢圓C上的一點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為（）

A.6B.9C.12D.15

22

變式14.（2024?全國(guó)?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓E:=+二=1（。>6>0）的左頂點(diǎn)為A,上

ab

頂點(diǎn)為2,左、右焦點(diǎn)分別為耳，B，延長(zhǎng)8K交橢圓E于點(diǎn)P.若點(diǎn)A到直線88的距離

為至1,耳的周長(zhǎng)為16,則橢圓￡的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

3

2222

A.——+—=lB.工+匕=1

25163632

爐十九1爐y,2

cD.----+--1----=-1

494810064

x2,2

變式15.（2024.廣東梅州.統(tǒng)考三模）已知橢圓C:—+匕=1的左、右焦點(diǎn)分別為月,

95

尸2,過(guò)點(diǎn)尸2的直線/與橢圓C的一個(gè)交點(diǎn)為A,若|A乙|=4,則耳心的面積為（）

A.273B.如C.4

22

變式16.（2024.廣東廣州.高三華南師大附中?？奸_(kāi)學(xué)考試）橢圓￡:3+（=l（a>8>0）的

兩焦點(diǎn)分別為與F2,A是橢圓片上一點(diǎn)，當(dāng)△耳4工的面積取得最大值時(shí)，ZF,AF2=

()

n-2〃

A.—cD.—

6-t3

,2

變式17.（2024?河南開(kāi)封?統(tǒng)考三模）已知點(diǎn)尸是橢圓工+上=1上一點(diǎn)，橢圓的左、右焦

259

點(diǎn)分別為耳、B，且cos/耳則心的面積為(

「9A/2

A.6B.12D.2A/2

2

,2

變式18.（2024?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)片為橢圓C:5+y2=l的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)尸在C

上，若麗?朋=0,則|/訃|尸閭=（）

A.1B.2C.4D.5

22

變式19.（2024?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，耳，居為橢圓C:土+匕=1的兩個(gè)

96

3

焦點(diǎn)，點(diǎn)尸在。上,cosZ^P^=-,則|OP|二()

A.乜R730n扃

LJ.--------

522

22

變式20.（2024?湖南長(zhǎng)沙?長(zhǎng)郡中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）若橢圓c：=+2=l（a>6>0）的離心

ab

率為g，兩個(gè)焦點(diǎn)分別為耳（-c，0）,乙（c,0）（c>0）,M為橢圓C上異于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，

“\PM\

點(diǎn)尸是△MKB的內(nèi)心，連接"P并延長(zhǎng)交于點(diǎn)。，則胃=（）

A.2B.±C.4D.-

24

變式21.（2024?云南昆明?昆明一中校考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓c：二+《=l的左、右焦點(diǎn)分

259

別為小尸2,直線尸丘與橢圓。交于A,8兩點(diǎn)，若|人卻=閨閭，則，明的面積等于

（）

A.18B.10C.9D.6

22

變式22.（2024貴州黔西?？家荒＃┰O(shè)橢圓C:[+馬=l（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為

ab

耳，F(xiàn)2,離心率為1.尸是C上一點(diǎn)，且可尸，丹P.若△尸的面積為2,則4=

2

（）

A.1B.2C.&D.4

22

變式23.（2024?云南昆明?昆明市第三中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）己知橢圓C:]+齊=1（0<6<3）

的左、右焦點(diǎn)分別為0耳，尸為橢圓上一點(diǎn)，且/耳尸耳=60。，若可關(guān)于/耳P瑞平分線的對(duì)

稱(chēng)點(diǎn)在橢圓C上，則鳥(niǎo)的面積為（）

A.6石B.3A/3C.273D.色

變式24.（2024?四川綿陽(yáng)?高三綿陽(yáng)南山中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考階段練習(xí)）在橢圓中，已知焦距

為2,橢圓上的一點(diǎn)P與兩個(gè)焦點(diǎn)0B的距離的和等于4,且/尸￡6=120。，則△尸

的面積為（）

「石

A3A/3R2A/336n3

7545

變式25.（2024.河北唐山?統(tǒng)考三模）已知橢圓C:,+V=l的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為片,后，點(diǎn)加

/耳次,的角平分線交線段片乙于點(diǎn)N,則陰=

為C上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任意一點(diǎn),

|甲V|

()

RM旦D.72

52

【解題方法總結(jié)】

焦點(diǎn)三角形的問(wèn)題常用定義與解三角形的知識(shí)來(lái)解決，對(duì)于涉及橢圓上點(diǎn)到橢圓兩焦

點(diǎn)將距離問(wèn)題常用定義，即|P耳|+|尸名|=2人

題型四：橢圓上兩點(diǎn)距離的最值問(wèn)題

22

例10.（2024.湖南?校聯(lián)考二模）已知斗鳥(niǎo)分別為橢圓C:二+匕=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，尸為橢

62

圓上一點(diǎn)，則|尸耳|2+怛囚2—2怛司|產(chǎn)閶的最大值為（）

A.64B.16C.8D.4

22

例11.（2024.云南.高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知A（3,0）,3（-3,0）,p是橢圓夫+夫之上的任

2516

意一點(diǎn)，貝力夫川?|。團(tuán)的最大值為（）

A.9B.16C.25D.50

例12.（2024?河南?高三期末）已知尸是橢圓C:'+±=1上的動(dòng)點(diǎn)，且與C的四個(gè)頂點(diǎn)不

1612

重合，耳,且分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若點(diǎn)M在/可尸乙的平分線上，且函.稱(chēng)=0,則

|0加|的取值范圍是（）

A.（0,2）B.（0,273）C.（0,4一2⑹D.（0,1）

22

變式26.（2024?重慶沙坪壩?高三重慶八中?？茧A段練習(xí)）已知月,月是橢圓C:三+匕=1

43

的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)尸在C上，則|尸￡「+|尸乙「的取值范圍是（）

A.[1,16]B.[4,10]C.[8,10]D.[8,16]

22

變式27.（2024?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）若橢圓C：土+匕=1,則該橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離

43

的最大值為（）

A.3B.2+73

C.2D.G+1

22

變式28.（2024?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知點(diǎn)/在橢圓上+匕=1上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N在圓

189

V+（y-爐=1上運(yùn)動(dòng)，則|MV|的最大值為（）

A.1+Vi?B.1+275C.5D.6

【解題方法總結(jié)】

利用幾何意義進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

題型五：橢圓上兩線段的和差最值問(wèn)題

22

例13.（2024?北京?高三強(qiáng)基計(jì)劃）設(shè)實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足工+二=1,則

54

*2

J尤2+/一2丫+1+Qx+/一2無(wú)+1的最小值為（）

A.2&B.2A/5-2

C.2V5-V2D.前三個(gè)答案都不對(duì)

22

例14.（2024?甘肅定西?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓C：\_+g=l的左、右焦點(diǎn)分別為耳,

F2,A是C上一點(diǎn)，5（2,1）,則|AB|+|4周的最大值為（）

A.7B.8C.9D.11

2

例15.（2024?江蘇?統(tǒng)考三模）已知尸為橢圓C：三r+丁=1的右焦點(diǎn)，p為C上一點(diǎn)，Q

4'

為圓M：d+（y_3）2=l上一點(diǎn)，則PQ+PF的最大值為（）

A.3B.6

C.4+2>/3D.5+26

變式29.（2024?河北?高三河北衡水中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若平面向量口瓦^(guò)滿(mǎn)足

\a\=\b\=l,\a+b\=\a-b\,^\c-a\+\c-^/3b\=4,則卜一”同+忸-回|的取值范圍為

（）

A.[2,6]B.[2,4]C.[4,6]D.[3,5]

22

變式30.（2024?廣東?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓C:土+匕=1的左焦點(diǎn)為￡尸是。上

167

一點(diǎn)，M（3,l）,則歸M|+|P可的最大值為（）

A.7B.8C.9D.11

22

變式31.（2024?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知點(diǎn)尸為橢圓土+匕=1上任意一點(diǎn)，點(diǎn)M、N分

43

別為（X-琰+丁2=1和（％+l）2+y2=i上的點(diǎn)，則PM+|7W|的最大值為（）

A.4B.5C.6D.7

變式32.（2024.全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知耳，B分別為橢圓c：5+y2=l的兩個(gè)焦點(diǎn)，P

為橢圓上一點(diǎn)，則歸胤-歸局的最大值為（）

A.2B.2A/3C.4D.

r22

變式33.（2024.全國(guó).高三專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓夫+3=1外一點(diǎn)45,6）,/為橢圓的左準(zhǔn)

2516

3

線，P為橢圓上動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P到/的距離為d,貝+的最小值為（）

A.8B.10C.12D.14

22

變式34.（2024?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓C：L+工=1的右焦點(diǎn)為p,尸為橢圓C上

43

一動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)42,4）,貝||PA|-|PF|的最小值為（）

A.1B.-1C.V17D.-V17

【解題方法總結(jié)】

在解析幾何中，我們會(huì)遇到最值問(wèn)題，這種問(wèn)題，往往是考察我們定義.求解最值問(wèn)題

的過(guò)程中，如果發(fā)現(xiàn)動(dòng)點(diǎn)尸在圓錐曲線上，要思考并用上圓錐曲線的定義，往往問(wèn)題能迎刃

而解.

題型六：離心率的值及取值范圍

方向1：利用橢圓定義去轉(zhuǎn)換

例16.（2024?四川成都?高三成都市錦江區(qū)嘉祥外國(guó)語(yǔ)高級(jí)中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試）如圖，某同

學(xué)用兩根木條釘成十字架，制成一個(gè)橢圓儀.木條中間挖一道槽，在另一活動(dòng)木條的尸

處鉆一個(gè)小孔，可以容納筆尖，各在一條槽內(nèi)移動(dòng)，可以放松移動(dòng)以保證R4與P3的

長(zhǎng)度不變，當(dāng)各在一條槽內(nèi)移動(dòng)時(shí)，P處筆尖就畫(huà)出一個(gè)橢圓E.已知|R4|=2|AB|,且

尸在右頂點(diǎn)時(shí)，B恰好在。點(diǎn)，則E的離心率為（）

22

例17.（2024.全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)橢圓+的一個(gè)焦點(diǎn)為-2,0）,

點(diǎn)A（-2,l）為橢圓E內(nèi)一點(diǎn)，若橢圓E上存在一點(diǎn)尸，使得|必+「典=8,則橢圓E的離心

率的取值范圍是（）

'441（441「22、「22

|_97」（97」L97）\_97」

例18.（2024?安徽?高三安徽省宿松中學(xué)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知橢圓C的左右焦點(diǎn)分別為

耳，F(xiàn)2,p,。為C上兩點(diǎn)，2%=3月。，若M工期,則C的離心率為（）

「713V17

,虧

變式35.（2024?湖北?高三孝感高中校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）如圖，已知圓柱底面半徑為2,高為

3,A3CD是軸截面，瓦尸分別是母線AB,8上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），過(guò)E尸與軸截面A8C。

垂直的平面與圓柱側(cè)面的交線是圓或橢圓，當(dāng)此交線是橢圓時(shí)，其離心率的取值范圍是

;

a-H]B.[°q]c.]|“D.

22

變式36.（2024?湖北.高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知小入分別是橢圓c：A+2=l

（a>6>0）的左，右焦點(diǎn)，M,N是橢圓C上兩點(diǎn)，且砒=2鼻獷，MF^MN=0,

則橢圓C的離心率為（）

「V5

22

變式37.（2024?重慶巴南?統(tǒng)考一模）橢圓C:三+a=1（〃>6>0）的左右焦點(diǎn)為B,

點(diǎn)P為橢圓上不在坐標(biāo)軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)M,N滿(mǎn)足封=礪，2ON=OP+OF^,若四邊

形MONP的周長(zhǎng)等于46,則橢圓C的離心率為e=（）

A.|B.正C.正D.顯

2223

變式38.（2024.黑龍江哈爾濱.哈爾濱市第六中學(xué)校校考三模）已知N是橢圓

22

上關(guān)于原點(diǎn)。對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，P是橢圓C上異于M,N的點(diǎn)，且

兩.兩的最大值是:則橢圓C的離心率是（）

A.-B.|C.—D.且

3223

方向2：利用a與c,建立一次二次方程不等式

22

變式39.（2024?四川綿陽(yáng)?高三鹽亭中學(xué)校考階段練習(xí)）橢圓廣二+2=1（”>6>0）的左、

ab

右焦點(diǎn)分別為用B，焦距為2c,若直線y=5（x+c）與橢圓7的一個(gè)交點(diǎn)為M在x軸上

3

方，滿(mǎn)足/々"二^/仍用，則該橢圓的離心率為（）

A.73-1B.在匚

2

C.41D.3二1■

22

變式40.（2024?廣東深圳.高三?？茧A段練習(xí)）己知橢圓風(fēng)5+與=1（。>6>0）的右焦點(diǎn)

ab

為B，左頂點(diǎn)為A，若E上的點(diǎn)尸滿(mǎn)足軸，tanNPA,居=g，則E的離心率為

（）

A.JB.—C.—D.—

2545

變式41.（2024?廣東廣州.高三華南師大附中?？茧A段練習(xí)）己知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，P（為％）

22

是橢圓E:=+與=1（。>6>0）上一點(diǎn)（西>0）,尸為右焦點(diǎn).延長(zhǎng)PO,尸尸交橢圓E于。，

ab

G兩點(diǎn)，DF.FG=0,\DF\=4\FG\,則橢圓E的離心率為（）

A逐RVi7「后nVio

3565

22

變式42.（2024?河南開(kāi)封??？寄M預(yù)測(cè)）已知橢圓C:=+2=l（a>6>0）,A,2分別是

ab

C的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，尸是C的左焦點(diǎn)，若tanNE鉆=2tanNEB4,則C的離心率為

（）

A.|B.立

22

Q3-小D布一、

?~2-?2

22

變式43.（2024.山東泰安?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓c：5+2=l（〃>h>0）的左、右焦點(diǎn)分

ab

別是月，工，斜率為1的直線經(jīng)過(guò)左焦點(diǎn)月且交C于A3兩點(diǎn)（點(diǎn)A在第一象限），設(shè)^

的內(nèi)切圓半徑為？月6的內(nèi)切圓半徑為馬，若；=2,則橢圓的離心率的值為

（）

QTD-T

22

變式44.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓二+1=1（。>6>0）的左頂點(diǎn)為A,右焦點(diǎn)為

ab

12

F,8為橢圓上一點(diǎn)，AFBF=0,cosZBAF=—,則橢圓的離心率為（）

22

變式45.（2024.湖北荊州?沙市中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知橢圓C：3+多=l（a>b>0）,F